Sujet France 2023 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2023 en France métropolitaine, épreuve du 21 mars 2023 (également posée aux Antilles-Guyane et au Maroc), avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé sur une page dédiée. Le premier exercice est un QCM qui part d’un jeu vidéo à deux mondes : probabilités conditionnelles puis loi binomiale sur dix parties. Le deuxième compare deux modèles de croissance d’une population d’insectes dans un jardin botanique, une suite géométrique puis une suite définie par \(v_{n+1}=1{,}6v_n-1{,}6v_n^2\), avec récurrence, convergence monotone et fonction Python. En outre, le troisième étudie deux plans perpendiculaires, leur droite d’intersection et trois projetés orthogonaux formant un rectangle. Ensuite, le dernier porte sur \(f(x)=\ln(1+\text{e}^{-x})\) : limites, dérivée, convexité et tangente.

Par ailleurs, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en France (jour 2).

De plus, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Sujet France 2023 : organisation de l’épreuve

Tout d’abord, ce sujet France 2023 correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en France (jour 2), reproduit ici avec son énoncé complet. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, les suites géométriques et le raisonnement par récurrence. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
France métropolitaine, Antilles-Guyane, Maroc — 21 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B.

On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.

Lorsqu’il joue une partie, on admet que :

la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à \(\dfrac25\) ;
si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de \(\dfrac{7}{10}\) ;
la probabilité que le joueur gagne la partie est de \(\dfrac{12}{25}\).

On considère les évènements suivants :

\(A\) : « Le joueur choisit le monde A » ;
\(B\) : « Le joueur choisit le monde B » ;
\(G\) : « Le joueur gagne la partie ».

1. La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\dfrac{7}{10}\)	\(\dfrac{3}{25}\)	\(\dfrac{7}{25}\)	\(\dfrac{24}{125}\)

Exercice 1 du sujet France 2023 : questions 2 à 5

2. La probabilité \(P_B(G)\) de l’événement \(G\) sachant que \(B\) est réalisé est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\dfrac{1}{5}\)	\(\dfrac{1}{3}\)	\(\dfrac{7}{15}\)	\(\dfrac{5}{12}\)

Dans la suite de l’exercice, un joueur effectue 10 parties successives.

On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise.

On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de \(\dfrac{12}{25}\).

3. La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement 6 parties est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}859\)	\(0{,}671\)	\(0{,}188\)	\(0{,}187\)

4. On considère un entier naturel \(n\) pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus \(n\) parties est de \(0{,}207\). Alors :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(n=2\)	\(n=3\)	\(n=4\)	\(n=5\)

5. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(1-(\dfrac{12}{25})^{10}\)	\((\dfrac{13}{25})^{10}\)	\((\dfrac{12}{25})^{10}\)	\(1-(\dfrac{13}{25})^{10}\)

Exercice 2 (5 points)

Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique.

Au début de l’étude la population est de 100 000 insectes.

Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser 400 000.

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de 60 % chaque mois.

En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite \((u_n)\) où, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de \(n\) mois.

On a donc \(u_0=0{,}1\).

1. Justifier que pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n=0{,}1\times 1{,}6^n\).

2. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

3. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel \(n\) à partir duquel \(u_n\gt0{,}4\).

4. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.

Partie B : Étude d’un second modèle

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.

Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite \((v_n)\), définie par :

\(v_0=0{,}1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=1{,}6v_n-1{,}6v_n^2\),

où, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n\) est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de \(n\) mois.

1. Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.

2. On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0\,;\,\dfrac12]\) par

\[f(x)=1{,}6x-1{,}6x^2.\]

a. Résoudre l’équation \(f(x)=x\).

b. Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle \([0\,;\,\dfrac12]\).

3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, v_n\leq\, v_{n+1}\leq\,\dfrac12\).

b. Montrer que la suite \((v_n)\) est convergente.

On note \(\ell\) la valeur de sa limite. On admet que \(\ell\) est solution de l’équation \(f(x)=x\).

c. Déterminer la valeur de \(\ell\).

Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.

4. On donne ci-dessous la fonction seuil, écrite en langage Python.

def seuil(a) :
    v=0.1
    n=0
    while v<a :
        v=1.6*v-1.6*v*v
        n=n+1
    return n

a. Qu’observe-t-on si on saisit seuil(0.4) ?

b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(0.35).

Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), on considère :

le plan \(\mathcal{P}_1\) dont une équation cartésienne est \(2x+y-z+2=0\),
le plan \(\mathcal{P}_2\) passant par le point \(\text{B}(1\,;\,1\,;\,2)\) et dont un vecteur normal est \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\).

1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur \(\vec{n_1}\) normal au plan \(\mathcal{P}_1\).

b. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l’un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l’autre plan.

Montrer que les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont perpendiculaires.

2. a. Déterminer une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}_2\).

b. On note \(\Delta\) la droite dont une représentation paramétrique est : \(\{\begin{array}{l}x=0\\y=-2+t\\z=t\end{array}.,\quad t\in\mathbb{R}\).

Montrer que la droite \(\Delta\) est l’intersection des plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\).

On considère le point \(\text{A}(1\,;\,1\,;\,1)\) et on admet que le point A n’appartient ni à \(\mathcal{P}_1\) ni à \(\mathcal{P}_2\).

On note H le projeté orthogonal du point A sur la droite \(\Delta\).

3. On rappelle que, d’après la question 2. b, la droite \(\Delta\) est l’ensemble des points \(M_t\) de coordonnées \((0\,;\,-2+t\,;\,t)\), où \(t\) désigne un nombre réel quelconque.

a. Montrer que, pour tout réel \(t\), \(\text{A}M_t=\sqrt{2t^2-8t+11}\).

b. En déduire que \(\text{AH}=\sqrt3\).

Exercice 3 du sujet France 2023 : questions 4 à 5

4. On note \(\mathcal{D}_1\) la droite orthogonale au plan \(\mathcal{P}_1\) passant par le point A et \(\text{H}_1\) le projeté orthogonal du point A sur le plan \(\mathcal{P}_1\).

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\mathcal{D}_1\).

b. En déduire que le point \(\text{H}_1\) a pour coordonnées \((-\dfrac13\,;\,\dfrac13\,;\,\dfrac53)\).

5. Soit \(\text{H}_2\) le projeté orthogonal de A sur le plan \(\mathcal{P}_2\).

On admet que \(\text{H}_2\) a pour coordonnées \((\dfrac43\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac43)\) et que H a pour coordonnées \((0\,;\,0\,;\,2)\).

Sur le schéma ci-contre, les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont représentés, ainsi que les points A, \(\text{H}_1\), \(\text{H}_2\), H.

Montrer que \(\text{AH}_1\text{HH}_2\) est un rectangle.

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=\ln(1+\text{e}^{-x}),\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

La courbe \(\mathcal{C}\) est tracée ci-dessous.

1. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).

b. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

Interpréter graphiquement ce résultat.

c. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Calculer \(f^{\prime}(x)\) puis montrer que, pour tout nombre réel \(x\), \(f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{1+\text{e}^x}\).

d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

2. On note \(T_0\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) en son point d’abscisse 0.

a. Déterminer une équation de la tangente \(T_0\).

b. Montrer que la fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

c. En déduire que, pour tout nombre réel \(x\), on a :

\[f(x)\geq\,-\dfrac12x+\ln(2).\]

3. Pour tout nombre réel \(a\) différent de 0, on note \(M_a\) et \(N_a\) les points de la courbe \(\mathcal{C}\) d’abscisses respectives \(-a\) et \(a\).

On a donc : \(M_a(-a\,;\,f(-a))\) et \(N_a(a\,;\,f(a))\).

a. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\), on a : \(f(x)-f(-x)=-x\).

b. En déduire que les droites \(T_0\) et \((M_aN_a)\) sont parallèles.

Comment réviser avec ce sujet France 2023

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.

Les pièges classiques

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Avec une suite géométrique, contrôlez l’exposant du terme général : il dépend du rang du premier terme (0 ou 1).

Questions fréquentes sur ce sujet France 2023

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et les suites géométriques, mais aussi le raisonnement par récurrence.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en France (jour 2)

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