Bac maths 2023 France J2 : sujet et corrigé

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2023 en France métropolitaine, épreuve du 21 mars 2023 (également posée aux Antilles-Guyane et au Maroc), avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé plus bas sur la page. Le premier exercice est un QCM qui part d’un jeu vidéo à deux mondes : probabilités conditionnelles puis loi binomiale sur dix parties. Le deuxième compare deux modèles de croissance d’une population d’insectes dans un jardin botanique, une suite géométrique puis une suite définie par \(v_{n+1}=1{,}6v_n-1{,}6v_n^2\), avec récurrence, convergence monotone et fonction Python. Le troisième étudie deux plans perpendiculaires, leur droite d’intersection et trois projetés orthogonaux formant un rectangle. Le dernier porte sur \(f(x)=\ln(1+\text{e}^{-x})\) : limites, dérivée, convexité et tangente.

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
France métropolitaine, Antilles-Guyane, Maroc — 21 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B.

On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.

Lorsqu’il joue une partie, on admet que :

la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à \(\dfrac25\) ;
si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de \(\dfrac{7}{10}\) ;
la probabilité que le joueur gagne la partie est de \(\dfrac{12}{25}\).

On considère les évènements suivants :

\(A\) : « Le joueur choisit le monde A » ;
\(B\) : « Le joueur choisit le monde B » ;
\(G\) : « Le joueur gagne la partie ».

1. La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\dfrac{7}{10}\)	\(\dfrac{3}{25}\)	\(\dfrac{7}{25}\)	\(\dfrac{24}{125}\)

2. La probabilité \(P_B(G)\) de l’événement \(G\) sachant que \(B\) est réalisé est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\dfrac{1}{5}\)	\(\dfrac{1}{3}\)	\(\dfrac{7}{15}\)	\(\dfrac{5}{12}\)

Dans la suite de l’exercice, un joueur effectue 10 parties successives.

On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise.

On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de \(\dfrac{12}{25}\).

3. La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement 6 parties est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}859\)	\(0{,}671\)	\(0{,}188\)	\(0{,}187\)

4. On considère un entier naturel \(n\) pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus \(n\) parties est de \(0{,}207\). Alors :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(n=2\)	\(n=3\)	\(n=4\)	\(n=5\)

5. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(1-(\dfrac{12}{25})^{10}\)	\((\dfrac{13}{25})^{10}\)	\((\dfrac{12}{25})^{10}\)	\(1-(\dfrac{13}{25})^{10}\)

Exercice 2 (5 points)

Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique.

Au début de l’étude la population est de 100 000 insectes.

Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser 400 000.

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de 60 % chaque mois.

En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite \((u_n)\) où, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de \(n\) mois.

On a donc \(u_0=0{,}1\).

1. Justifier que pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n=0{,}1\times 1{,}6^n\).

2. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

3. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel \(n\) à partir duquel \(u_n\gt0{,}4\).

4. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.

Partie B : Étude d’un second modèle

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.

Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite \((v_n)\), définie par :

\(v_0=0{,}1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=1{,}6v_n-1{,}6v_n^2\),

où, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n\) est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de \(n\) mois.

1. Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.

2. On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0\,;\,\dfrac12]\) par

\[f(x)=1{,}6x-1{,}6x^2.\]

a. Résoudre l’équation \(f(x)=x\).

b. Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle \([0\,;\,\dfrac12]\).

3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, v_n\leq\, v_{n+1}\leq\,\dfrac12\).

b. Montrer que la suite \((v_n)\) est convergente.

On note \(\ell\) la valeur de sa limite. On admet que \(\ell\) est solution de l’équation \(f(x)=x\).

c. Déterminer la valeur de \(\ell\).

Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.

4. On donne ci-dessous la fonction seuil, écrite en langage Python.

def seuil(a) :
    v=0.1
    n=0
    while v<a :
        v=1.6*v-1.6*v*v
        n=n+1
    return n

a. Qu’observe-t-on si on saisit seuil(0.4) ?

b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(0.35).

Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), on considère :

le plan \(\mathcal{P}_1\) dont une équation cartésienne est \(2x+y-z+2=0\),
le plan \(\mathcal{P}_2\) passant par le point \(\text{B}(1\,;\,1\,;\,2)\) et dont un vecteur normal est \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\).

1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur \(\vec{n_1}\) normal au plan \(\mathcal{P}_1\).

b. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l’un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l’autre plan.

Montrer que les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont perpendiculaires.

2. a. Déterminer une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}_2\).

b. On note \(\Delta\) la droite dont une représentation paramétrique est : \(\{\begin{array}{l}x=0\\y=-2+t\\z=t\end{array}.,\quad t\in\mathbb{R}\).

Montrer que la droite \(\Delta\) est l’intersection des plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\).

On considère le point \(\text{A}(1\,;\,1\,;\,1)\) et on admet que le point A n’appartient ni à \(\mathcal{P}_1\) ni à \(\mathcal{P}_2\).

On note H le projeté orthogonal du point A sur la droite \(\Delta\).

3. On rappelle que, d’après la question 2. b, la droite \(\Delta\) est l’ensemble des points \(M_t\) de coordonnées \((0\,;\,-2+t\,;\,t)\), où \(t\) désigne un nombre réel quelconque.

a. Montrer que, pour tout réel \(t\), \(\text{A}M_t=\sqrt{2t^2-8t+11}\).

b. En déduire que \(\text{AH}=\sqrt3\).

4. On note \(\mathcal{D}_1\) la droite orthogonale au plan \(\mathcal{P}_1\) passant par le point A et \(\text{H}_1\) le projeté orthogonal du point A sur le plan \(\mathcal{P}_1\).

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\mathcal{D}_1\).

b. En déduire que le point \(\text{H}_1\) a pour coordonnées \((-\dfrac13\,;\,\dfrac13\,;\,\dfrac53)\).

5. Soit \(\text{H}_2\) le projeté orthogonal de A sur le plan \(\mathcal{P}_2\).

On admet que \(\text{H}_2\) a pour coordonnées \((\dfrac43\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac43)\) et que H a pour coordonnées \((0\,;\,0\,;\,2)\).

Sur le schéma ci-contre, les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont représentés, ainsi que les points A, \(\text{H}_1\), \(\text{H}_2\), H.

Montrer que \(\text{AH}_1\text{HH}_2\) est un rectangle.

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=\ln(1+\text{e}^{-x}),\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

La courbe \(\mathcal{C}\) est tracée ci-dessous.

1. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).

b. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

Interpréter graphiquement ce résultat.

c. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Calculer \(f^{\prime}(x)\) puis montrer que, pour tout nombre réel \(x\), \(f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{1+\text{e}^x}\).

d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

2. On note \(T_0\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) en son point d’abscisse 0.

a. Déterminer une équation de la tangente \(T_0\).

b. Montrer que la fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

c. En déduire que, pour tout nombre réel \(x\), on a :

\[f(x)\geq\,-\dfrac12x+\ln(2).\]

3. Pour tout nombre réel \(a\) différent de 0, on note \(M_a\) et \(N_a\) les points de la courbe \(\mathcal{C}\) d’abscisses respectives \(-a\) et \(a\).

On a donc : \(M_a(-a\,;\,f(-a))\) et \(N_a(a\,;\,f(a))\).

a. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\), on a : \(f(x)-f(-x)=-x\).

b. En déduire que les droites \(T_0\) et \((M_aN_a)\) sont parallèles.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Traduisons l’énoncé : \(P(A)=\dfrac25\), \(P_A(G)=\dfrac{7}{10}\) et \(P(G)=\dfrac{12}{25}\). Comme le joueur choisit l’un des deux mondes, \(B\) est l’évènement contraire de \(A\), donc \(P(B)=1-\dfrac25=\dfrac35\).

1. L’évènement « choisir A et gagner » est \(A\cap G\). Par définition d’une probabilité conditionnelle, \(P(A\cap G)=P(A)\times P_A(G)=\dfrac25\times \dfrac{7}{10}=\dfrac{14}{50}=\dfrac{7}{25}\). Réponse c.

2. Les évènements \(A\) et \(B\) forment une partition de l’univers. La formule des probabilités totales donne \(P(G)=P(A\cap G)+P(B\cap G)\), d’où \(P(B\cap G)=\dfrac{12}{25}-\dfrac{7}{25}=\dfrac{5}{25}=\dfrac15\).

On en déduit \(P_B(G)=\dfrac{P(B\cap G)}{P(B)}=\dfrac{1/5}{3/5}=\dfrac13\). Réponse b.

Pour les questions suivantes, on note \(X\) le nombre de parties gagnées sur les 10. On répète 10 fois, de façon identique et indépendante (tirage avec remise), une épreuve à deux issues dont le succès « gagner » a pour probabilité \(p=\dfrac{12}{25}=0{,}48\). La variable \(X\) suit donc la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0{,}48\).

3. \(P(X=6)=\dbinom{10}{6}\times 0{,}48^6\times 0{,}52^4=210\times 0{,}48^6\times 0{,}52^4\approx0{,}18779\). Arrondi au millième, cela donne 0,188 (le chiffre suivant, 7, impose d’arrondir vers le haut, ce qui écarte 0,187). Réponse c.

4. On calcule à la calculatrice les probabilités cumulées \(P(X\leq\, k)\) : \(P(X\leq\,2)\approx0{,}070\), \(P(X\leq\,3)\approx0{,}207\), \(P(X\leq\,4)\approx0{,}427\), \(P(X\leq\,5)\approx0{,}671\). La valeur 0,207 correspond à \(n=3\). Réponse b.

5. Le contraire de « gagner au moins une partie » est « perdre les 10 parties », de probabilité \(P(X=0)=(1-\dfrac{12}{25})^{10}=(\dfrac{13}{25})^{10}\). Donc \(P(X\geq\,1)=1-P(X=0)=1-(\dfrac{13}{25})^{10}\). Réponse d.

Exercice 2 :

Partie A

1. Une augmentation de 60 % correspond à un coefficient multiplicateur de \(1+\dfrac{60}{100}=1{,}6\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=1{,}6\,u_n\) : la suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q=1{,}6\) et de premier terme \(u_0=0{,}1\). Son terme général est \(u_n=u_0\times q^n\), c’est-à-dire \(u_n=0{,}1\times 1{,}6^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

2. La raison \(1{,}6\) est strictement supérieure à 1, donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}1{,}6^n=+\infty\). En multipliant par le réel strictement positif \(0{,}1\), on obtient \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).

3. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_n\gt0{,}4\iff0{,}1\times 1{,}6^n\gt0{,}4\iff1{,}6^n\gt4.\]

La fonction ln est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), on peut donc l’appliquer aux deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

\[1{,}6^n\gt4\iff n\ln(1{,}6)\gt\ln(4)\iff n\gt\dfrac{\ln(4)}{\ln(1{,}6)},\]

la dernière étape étant valable car \(\ln(1{,}6)\gt0\) (puisque \(1{,}6\gt1\)). Or \(\dfrac{\ln(4)}{\ln(1{,}6)}\approx2{,}95\). Le plus petit entier qui convient est donc \(n=3\).

4. D’après la question précédente, \(u_3\approx0{,}41\gt0{,}4\) : dès le troisième mois, la population dépasserait 400 000 insectes (et elle continuerait ensuite de croître indéfiniment puisque la suite tend vers \(+\infty\)). Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel ne serait pas préservé.

Partie B

1. \(v_1=1{,}6\times 0{,}1-1{,}6\times 0{,}1^2=0{,}16-0{,}016=0{,}144\). Comme \(v_n\) est exprimé en millions, il y a 144 000 insectes au bout d’un mois.

2. a. Sur \([0\,;\,\dfrac12]\) :

\[f(x)=x\iff1{,}6x-1{,}6x^2-x=0\iff0{,}6x-1{,}6x^2=0\iff x(0{,}6-1{,}6x)=0.\]

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x=0\) ou \(x=\dfrac{0{,}6}{1{,}6}=\dfrac38\). Ces deux valeurs appartiennent à \([0\,;\,\dfrac12]\) puisque \(\dfrac38=0{,}375\). L’ensemble des solutions est \(\{0\,;\,\dfrac38\}\).

b. La fonction \(f\) est polynomiale, donc dérivable, et \(f^{\prime}(x)=1{,}6-3{,}2x=1{,}6\,(1-2x)\). Pour \(x\in[0\,;\,\dfrac12]\), on a \(2x\leq\,1\), donc \(1-2x\geq\,0\) et \(f^{\prime}(x)\geq\,0\) (avec égalité seulement en \(\dfrac12\)). La fonction \(f\) est donc croissante sur \([0\,;\,\dfrac12]\).

3. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(0\leq\, v_n\leq\, v_{n+1}\leq\,\dfrac12\) ». Remarquons que, par définition, \(v_{n+1}=f(v_n)\).

Initialisation. \(v_0=0{,}1\) et \(v_1=0{,}144\) : on a bien \(0\leq\,0{,}1\leq\,0{,}144\leq\,\dfrac12\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \(0\leq\, v_n\leq\, v_{n+1}\leq\,\dfrac12\). Tous ces nombres sont dans \([0\,;\,\dfrac12]\), intervalle sur lequel \(f\) est croissante ; appliquer \(f\) conserve donc l’ordre : \(f(0)\leq\, f(v_n)\leq\, f(v_{n+1})\leq\, f(\dfrac12)\).

Or \(f(0)=0\), \(f(v_n)=v_{n+1}\), \(f(v_{n+1})=v_{n+2}\) et \(f(\dfrac12)=0{,}8-0{,}4=0{,}4\). On obtient \(0\leq\, v_{n+1}\leq\, v_{n+2}\leq\,0{,}4\leq\,\dfrac12\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, v_n\leq\, v_{n+1}\leq\,\dfrac12\).

b. D’après la question précédente, pour tout \(n\), \(v_n\leq\, v_{n+1}\) : la suite \((v_n)\) est croissante. De plus, pour tout \(n\), \(v_n\leq\,\dfrac12\) : elle est majorée par \(\dfrac12\). D’après le théorème de convergence monotone, une suite croissante et majorée converge : la suite \((v_n)\) est convergente.

c. D’après la question 2. a, \(\ell\) vaut 0 ou \(\dfrac38\). La suite étant croissante, tous ses termes sont inférieurs ou égaux à sa limite : \(\ell\geq\, v_0=0{,}1\). La valeur 0 est donc exclue et \(\ell=\dfrac38=0{,}375\).

Pour tout \(n\), \(v_n\leq\,\ell=0{,}375\) : la population ne dépassera jamais 375 000 insectes, ce qui reste en dessous du seuil de 400 000. Selon ce second modèle, l’équilibre du milieu naturel est préservé.

4. a. La fonction part de \(v=v_0=0{,}1\) et \(n=0\), puis calcule les termes successifs de la suite tant que \(v\lt a\) ; elle renvoie le premier indice \(n\) tel que \(v_n\geq\, a\). Avec \(a=0{,}4\), la condition \(v\lt0{,}4\) reste toujours vraie, puisque tous les termes sont inférieurs ou égaux à 0,375. La boucle while ne s’arrête jamais : le programme tourne indéfiniment et ne renvoie aucune valeur.

b. Calculons les termes successifs (valeurs arrondies au millième) :

\(n\)	0	1	2	3	4	5	6
\(v_n\)	0,1	0,144	0,197	0,253	0,303	0,338	0,358

On a \(v_5\approx0{,}338\lt0{,}35\) et \(v_6\approx0{,}358\geq\,0{,}35\) : la boucle s’arrête après le calcul de \(v_6\) et seuil(0.35) renvoie 6.

Interprétation : c’est au bout de 6 mois que la population d’insectes atteint, pour la première fois, 350 000 individus (elle les dépasse ensuite chaque mois, la suite étant croissante).

Exercice 3 :

1. a. Les coefficients de \(x\), \(y\) et \(z\) dans l’équation cartésienne \(2x+y-z+2=0\) donnent un vecteur normal : \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\).

b. Le repère étant orthonormé, \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=2\times 1+1\times (-1)+(-1)\times 1=2-1-1=0\). Les vecteurs normaux sont orthogonaux, donc les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont perpendiculaires.

2. a. Comme \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) est normal à \(\mathcal{P}_2\), ce plan a une équation de la forme \(x-y+z+d=0\). Le point \(\text{B}(1\,;\,1\,;\,2)\) lui appartient : \(1-1+2+d=0\), donc \(d=-2\). Une équation de \(\mathcal{P}_2\) est \(x-y+z-2=0\).

b. Les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont perpendiculaires, donc sécants : leur intersection est une droite. Il suffit de montrer que tout point de \(\Delta\) appartient aux deux plans. Soit \(M(0\,;\,-2+t\,;\,t)\) un point de \(\Delta\).

Dans l’équation de \(\mathcal{P}_1\) : \(2\times 0+(-2+t)-t+2=0\), donc \(M\in\mathcal{P}_1\). Dans l’équation de \(\mathcal{P}_2\) : \(0-(-2+t)+t-2=2-t+t-2=0\), donc \(M\in\mathcal{P}_2\).

La droite \(\Delta\) est donc incluse dans les deux plans, c’est-à-dire dans leur intersection. Une droite contenue dans une autre droite lui est égale : \(\Delta\) est l’intersection de \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\).

3. a. Pour tout réel \(t\), le vecteur \(\vec{\text{A}M_t}\) a pour coordonnées \((0-1\,;\,-2+t-1\,;\,t-1)=(-1\,;\,t-3\,;\,t-1)\). Dans un repère orthonormé :

\[\text{A}M_t^2=(-1)^2+(t-3)^2+(t-1)^2=1+t^2-6t+9+t^2-2t+1=2t^2-8t+11.\]

Une distance étant positive, \(\text{A}M_t=\sqrt{2t^2-8t+11}\).

b. Le projeté orthogonal H de A sur \(\Delta\) est le point de \(\Delta\) le plus proche de A : AH est la plus petite des distances \(\text{A}M_t\). La fonction racine carrée étant croissante, il s’agit de minimiser le trinôme \(g(t)=2t^2-8t+11\).

Son coefficient dominant 2 est positif, il atteint donc son minimum en \(t=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{8}{4}=2\), et ce minimum vaut \(g(2)=8-16+11=3\). (On peut aussi écrire \(g(t)=2(t-2)^2+3\geq\,3\).) Ainsi \(\text{AH}=\sqrt3\), atteint pour le point \(M_2(0\,;\,0\,;\,2)\).

4. a. La droite \(\mathcal{D}_1\) est orthogonale à \(\mathcal{P}_1\), donc dirigée par le vecteur normal \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\). Elle passe par \(\text{A}(1\,;\,1\,;\,1)\). Une représentation paramétrique est :

\[\{\begin{array}{l}x=1+2k\\y=1+k\\z=1-k\end{array}.,\quad k\in\mathbb{R}.\]

b. Le projeté orthogonal \(\text{H}_1\) de A sur \(\mathcal{P}_1\) est le point d’intersection de \(\mathcal{P}_1\) avec la droite \(\mathcal{D}_1\), perpendiculaire à ce plan passant par A. Son paramètre \(k\) vérifie l’équation du plan :

\[2(1+2k)+(1+k)-(1-k)+2=0\iff6k+4=0\iff k=-\dfrac23.\]

On remplace : \(x=1-\dfrac43=-\dfrac13\), \(y=1-\dfrac23=\dfrac13\), \(z=1+\dfrac23=\dfrac53\). Donc \(\text{H}_1(-\dfrac13\,;\,\dfrac13\,;\,\dfrac53)\).

5. Montrons d’abord que \(\text{AH}_1\text{HH}_2\) est un parallélogramme en comparant \(\vec{\text{AH}_1}\) et \(\vec{\text{H}_2\text{H}}\) :

\(\vec{\text{AH}_1}\begin{pmatrix}-\frac13-1\\\frac13-1\\\frac53-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac43\\-\frac23\\\frac23\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{H}_2\text{H}}\begin{pmatrix}0-\frac43\\0-\frac23\\2-\frac43\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac43\\-\frac23\\\frac23\end{pmatrix}\).

Ces deux vecteurs sont égaux, donc \(\text{AH}_1\text{HH}_2\) est un parallélogramme (A, \(\text{H}_1\), H ne sont pas alignés puisque \(\vec{\text{H}_1\text{H}}\begin{pmatrix}\frac13\\-\frac13\\\frac13\end{pmatrix}\) n’est pas colinéaire à \(\vec{\text{AH}_1}\)).

Cherchons un angle droit. On calcule \(\vec{\text{AH}_1}\cdot\vec{\text{H}_1\text{H}}=-\dfrac43\times \dfrac13+(-\dfrac23)\times (-\dfrac13)+\dfrac23\times \dfrac13=\dfrac{-4+2+2}{9}=0\). Ce résultat était attendu : la droite \((\text{AH}_1)\) est orthogonale au plan \(\mathcal{P}_1\), donc à toute droite de ce plan, en particulier à \((\text{H}_1\text{H})\) puisque \(\text{H}_1\) et H (point de \(\Delta\)) sont dans \(\mathcal{P}_1\).

Un parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle : \(\text{AH}_1\text{HH}_2\) est un rectangle.

Exercice 4 :

1. a. Quand \(x\to-\infty\), \(-x\to+\infty\) et \(\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^X=+\infty\), donc \(1+\text{e}^{-x}\to+\infty\). Comme \(\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty\), par composition \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\).

b. Quand \(x\to+\infty\), \(-x\to-\infty\) et \(\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\), donc \(1+\text{e}^{-x}\to1\). La fonction ln est continue en 1 et \(\ln1=0\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\).

Graphiquement : l’axe des abscisses (droite d’équation \(y=0\)) est asymptote horizontale à la courbe \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\).

c. On a \(f=\ln\circ u\) avec \(u(x)=1+\text{e}^{-x}\), strictement positive et dérivable, de dérivée \(u^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x}\). La dérivée de \(\ln(u)\) est \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\), donc :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{-\text{e}^{-x}}{1+\text{e}^{-x}}.\]

En multipliant numérateur et dénominateur par \(\text{e}^x\neq0\), et comme \(\text{e}^{-x}\times \text{e}^x=1\) :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{-\text{e}^{-x}\times \text{e}^{x}}{(1+\text{e}^{-x})\text{e}^{x}}=\dfrac{-1}{\text{e}^x+1}=\dfrac{-1}{1+\text{e}^x}.\]

d. Pour tout réel \(x\), \(1+\text{e}^x\gt0\), donc \(f^{\prime}(x)\lt0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\). Avec les limites trouvées en 1. a et 1. b :

\(x\)	\(-\infty\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(-\)
variations de \(f\)	\(+\infty\)	↘	0

2. a. La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\). Or \(f(0)=\ln(1+\text{e}^0)=\ln(2)\) et \(f^{\prime}(0)=\dfrac{-1}{1+1}=-\dfrac12\). Donc \(T_0\ :\ y=-\dfrac12x+\ln(2)\).

b. On dérive \(f^{\prime}(x)=-(1+\text{e}^x)^{-1}\) : la dérivée de \(\dfrac{1}{v}\) étant \(-\dfrac{v^{\prime}}{v^2}\), on obtient

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}.\]

Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs, donc \(f^{\prime\prime}(x)\gt0\) pour tout réel \(x\) : \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

c. La courbe d’une fonction convexe est située au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier au-dessus de \(T_0\). Pour tout réel \(x\), le point de \(\mathcal{C}\) d’abscisse \(x\) est donc au-dessus du point de \(T_0\) de même abscisse : \(f(x)\geq\,-\dfrac12x+\ln(2)\).

3. a. Pour tout réel \(x\), par la propriété \(\ln a-\ln b=\ln\dfrac ab\) :

\[f(x)-f(-x)=\ln(1+\text{e}^{-x})-\ln(1+\text{e}^{x})=\ln(\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1+\text{e}^{x}}).\]

En factorisant le numérateur par \(\text{e}^{-x}\) : \(1+\text{e}^{-x}=\text{e}^{-x}(\text{e}^{x}+1)\). Le quotient se simplifie en \(\text{e}^{-x}\), et donc \(f(x)-f(-x)=\ln(\text{e}^{-x})=-x\).

b. Pour \(a\neq0\), les points \(M_a\) et \(N_a\) ont des abscisses distinctes (\(-a\neq a\)), et la droite \((M_aN_a)\) a pour coefficient directeur

\[\dfrac{f(a)-f(-a)}{a-(-a)}=\dfrac{-a}{2a}=-\dfrac12,\]

en utilisant la question précédente avec \(x=a\). La tangente \(T_0\) a aussi pour coefficient directeur \(-\dfrac12\). Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles : \(T_0\) et \((M_aN_a)\) sont parallèles.

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