Limites et asymptotes : cours de maths en terminale S en PDF.

Mise à jour le 12 avril 2021

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Sommaire de cette fiche

1 I.Limite d’une fonction en l’infini
- 1.1 1. Limite finie en l’infini
2 II. Limite infinie en l’infini
- 2.1 2. Limite infinie en un réel
3 III. Opérations sur les limites.
4 IV. Limite d’une fonction composée
- 4.1 1. Fonction composée
- 4.2 2. Théorème de composition des limites
5 V. Limites et comparaison
- 5.1 1. Théorème de comparaison
- 5.2 2. Théorème d’encadrement dit « des gendarmes » ou « sandwich ».

Les limites (somme, produit, quotient) dans un cours de maths en terminale S avec l’étude des formes indéterminées. Dans cette leçon, nous mènerons une études des asymptotes horizontales, verticales et obliques en terminale S pour l’enseignement obligatoire.
Connaissances nécessaires à ce chapitre :
$\star\,$ Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique.
$\star\,$ Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient
de deux suites.
$\star\,$ Utiliser un théorème de comparaison ou d’encadrement
pour déterminer une limite de suite.
$\star\,$ Établir (par dérivation ou non) les variations d’une fonction.

I.Limite d’une fonction en l’infini

Dans toute cette partie, C_f désigne la courbe représentative de la fonction f dans un repère quelconque du plan.

1. Limite finie en l’infini

Définition :

Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle de $\mathbb{R}$ du type $]a\,;\,+\infty[$ .
La fonction f a pour limite ℓ en $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les
valeurs de f (x) pour x assez grand. On note alors : $\lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\,l$ .

Exemple :

Soit f la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f\,(x)\,=\frac{1}{x}+\,1$ . On a $\lim_{x\to\,+\infty}\,(\,\frac{1}{x}+1\,\,)\,=\,1$ .
En effet, l’inverse de x se rapproche de 0 à mesure que x augmente.
Soit un intervalle ouvert I tel que $1\in\,I$ . Alors, f (x) sera toujours dans I pour x assez grand.
Graphiquement, aussi étroite que soit une bande parallèle à la droite d’équation y = 1 et qui la
contient, il existe toujours une valeur de x au delà de laquelle C_f ne sort plus de cette bande.

Asymptote horizontale.

La droite d’équation y = ℓ est asymptote horizontale à C_f

en $+\infty$ si $\lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\,l$ .

Remarque :

On définit de façon analogue $\lim_{x\to\,-\infty}f\,(x)\,=\,l$ qui caractérise une asymptote horizontale à C_f en $-\infty$ d’équation y = ℓ.

Exemple :

On a vu précédemment que $\lim_{x\to\,+\infty}\,(\,\frac{1}{x}+1\,\,)\,=\,1$ . On a aussi $\lim_{x\to\,-\infty}\,(\,\frac{1}{x}+1\,\,)\,=\,1$ .
Donc, la droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe C_f en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Propriété (admise) : limites finies des fonctions usuelles en ± $\infty$ .

Soit n un entier naturel non nul.
$\lim_{x\to\,+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to\,+\infty}\frac{1}{x^n}=0$

et $\lim_{x\to\,-\infty}\frac{1}{x^n}=0$ .

II. Limite infinie en l’infini

Définition :

La fonction f a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si tout intervalle de $\mathbb{R}$ du type $]a\,;\,+\infty[$ contient
toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note alors : $\lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\,+\infty$ .

Exemple :

Soit f la fonction racine carrée. On a $\lim_{x\to\,+\infty}\,\sqrt{x}\,=\,+\infty$ .
En effet, $\sqrt{x}$ devient aussi grand que l’on veut à mesure que x augmente.
Soit un intervalle ouvert $I\,=]a\,;\,+\infty[$ . Alors, f (x) sera toujours dans I pour x assez grand.
Graphiquement, si on considère le demi-plan supérieur de frontière une droite d’équation
y = a, il existe toujours une valeur de a au-delà de laquelle C_f ne sort plus de ce demi-plan.

Propriété (admise) : limites infinies des fonctions usuelles en ± $\infty$ .

Soit n un entier naturel non nul.
$\lim_{x\to\,+\infty}\sqrt{x}=\lim_{x\to\,+\infty}x^n=+\infty$

et $\lim_{x\to\,-\infty}x^n=0\,(+\infty\,\,si\,\,n\,pair\,;\,-\infty\,si\,\,n\,impair\,).$

2. Limite infinie en un réel

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ du type $]x_0\,-\varepsilon\,;\,x_0[$ ou $]x_0\,;\,x_0+\varepsilon[$ .
La fonction f a pour limite $+\infty$ en x_0

si tout intervalle de $\mathbb{R}$ du type $]A\,;\,+\infty[$ contient toutes
les valeurs de f (x) pour x assez proche de x_0

. On note alors : $\lim_{x\to\,x_0}f\,(x)\,=\,+\infty$ .

Définition : asymptote verticale.

La droite d’équation x=x_0

est asymptote verticale à C_f

si $\lim_{x\to\,x_0}f\,(x)\,=\,+\infty$ ou $\lim_{x\to\,x_0}f\,(x)\,=\,-\infty$ .

Propriété (admise) : limites finies des fonctions usuelles en 0.

Soit n un entier naturel non nul.
$\lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{x^n}=+\infty$

et $\lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{x^n}=0\,(+\infty\,\,si\,\,n\,pair\,;\,-\infty\,si\,\,n\,impair\,).$

III. Opérations sur les limites.

Propriété : limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de deux fonctions.

IV. Limite d’une fonction composée

1. Fonction composée

Définition :

Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F.
La composée de f suivie de g est la fonction notée $g\,o\,f$ définie sur E par $g\,o\,f\,(x)\,=\,g(\,f\,(x))$ .

Remarque :

Il ne faut pas confondre $g\,o\,f$ et $fo\,g$ qui sont, en général, différentes.

2. Théorème de composition des limites

Théorème :

Soit h la composée de la fonction f suivie de g et a, b et c trois réels ou ± $\infty$ .
Si $\lim_{x\to\,a}f\,(x)\,=\,b$ et $\lim_{x\to\,b}g\,(x)\,=\,c$ , alors $\lim_{x\to\,a}h\,(x)\,=\,c$ .

V. Limites et comparaison

1. Théorème de comparaison

Théorème :

2. Théorème d’encadrement dit « des gendarmes » ou « sandwich ».

Théorème :

Soit deux réels a et ℓ et trois fonctions f , g et h telles que, pour x > a, on a $f\,(x)\,\leq\,\,g(x)\,\leq\,\,h(x)$ .
Si $\lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\lim_{x\to\,+\infty}h\,(x)\,=\,l$

, alors $\lim_{x\to\,+\infty}g\,(x)\,=l$ .

Remarque :

On a, comme pour le théorème de comparaison précédent, deux théorèmes
analogues lorsque x tend vers − $\infty$ et lorsque x tend vers un réel x_0 .

Exemple :

Déterminons la limite en − $\infty$ de $f\,(x)\,=\,\frac{x\,cos\,x\,}{x^2\,+\,1}$ .
La limite de cos x en − $\infty$ est indéterminée. Donc celle de f (x) aussi.
Cependant pour tout x réel strictement négatif, $-1\,\leq\,\,cos\,x\,\leq\,\,1$ donc $x\,\leq\,\,x\,cos\,x\,\leq\,\,-x$ .
Et en divisant membre à membre par $x^2\,+\,1\,>\,0$ on a :
$\frac{x}{x^2+1}\leq\,\,\frac{x\,cos\,x}{x^2+1}\leq\,\,\frac{-x}{x^2+1}$ .

Pour $x\,\in\,R\,^*$ , $\frac{x}{x^2\,+\,1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$ .

Or, $\lim_{x\to\,-\infty}x+\frac{1}{x}=-\infty$ donc $\lim_{x\to\,-\infty}\frac{x}{x^2\,+\,1}=\lim_{x\to\,-\infty}\frac{-x}{x^2\,+\,1}=0$

Donc, d’après le théorème des gendarmes, $\lim_{x\to\,-\infty}\frac{x\,cos\,x\,}{x^2\,+\,1}=0$ .

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Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale S

I.Limite d’une fonction en l’infini

1. Limite finie en l’infini

II. Limite infinie en l’infini

2. Limite infinie en un réel

III. Opérations sur les limites.

IV. Limite d’une fonction composée

1. Fonction composée

2. Théorème de composition des limites

V. Limites et comparaison

1. Théorème de comparaison

2. Théorème d’encadrement dit « des gendarmes » ou « sandwich ».

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