Limites et asymptotes : cours de maths en terminale S en PDF.

Mise à jour le 25 avril 2020

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Sommaire de cette fiche

1 I.Limite d’une fonction en l’infini
- 1.1 1. Limite finie en l’infini
2 II. Limite infinie en l’infini
- 2.1 2. Limite infinie en un réel
3 III. Opérations sur les limites.
4 IV. Limite d’une fonction composée
- 4.1 1. Fonction composée
- 4.2 2. Théorème de composition des limites
5 V. Limites et comparaison
- 5.1 1. Théorème de comparaison
- 5.2 2. Théorème d’encadrement dit « des gendarmes » ou « sandwich ».

Les limites (somme, produit, quotient) dans un cours de maths en terminale S avec l’étude des formes indéterminées. Dans cette leçon, nous mènerons une études des asymptotes horizontales, verticales et obliques en terminale S pour l’enseignement obligatoire.
Connaissances nécessaires à ce chapitre :
$\star\,$ Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique.
$\star\,$ Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient
de deux suites.
$\star\,$ Utiliser un théorème de comparaison ou d’encadrement
pour déterminer une limite de suite.
$\star\,$ Établir (par dérivation ou non) les variations d’une fonction.

I.Limite d’une fonction en l’infini

Dans toute cette partie, C_f désigne la courbe représentative de la fonction f dans un repère quelconque du plan.

1. Limite finie en l’infini

Définition :

Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle de $\mathbb{R}$ du type $]a\,;\,+\infty[$ .
La fonction f a pour limite ℓ en $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les
valeurs de f (x) pour x assez grand. On note alors : $\lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\,l$ .

Exemple :

Soit f la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f\,(x)\,=\frac{1}{x}+\,1$ . On a $\lim_{x\to\,+\infty}\,(\,\frac{1}{x}+1\,\,)\,=\,1$ .
En effet, l’inverse de x se rapproche de 0 à mesure que x augmente.
Soit un intervalle ouvert I tel que $1\in\,I$ . Alors, f (x) sera toujours dans I pour x assez grand.
Graphiquement, aussi étroite que soit une bande parallèle à la droite d’équation y = 1 et qui la
contient, il existe toujours une valeur de x au delà de laquelle C_f ne sort plus de cette bande.

Asymptote horizontale.

La droite d’équation y = ℓ est asymptote horizontale à C_f

en $+\infty$ si $\lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\,l$ .

Remarque :

On définit de façon analogue $\lim_{x\to\,-\infty}f\,(x)\,=\,l$ qui caractérise une asymptote horizontale à C_f en $-\infty$ d’équation y = ℓ.

Exemple :

On a vu précédemment que $\lim_{x\to\,+\infty}\,(\,\frac{1}{x}+1\,\,)\,=\,1$ . On a aussi $\lim_{x\to\,-\infty}\,(\,\frac{1}{x}+1\,\,)\,=\,1$ .
Donc, la droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe C_f en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Propriété (admise) : limites finies des fonctions usuelles en ± $\infty$ .

Soit n un entier naturel non nul.
$\lim_{x\to\,+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to\,+\infty}\frac{1}{x^n}=0$

et $\lim_{x\to\,-\infty}\frac{1}{x^n}=0$ .

II. Limite infinie en l’infini

Définition :

La fonction f a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si tout intervalle de $\mathbb{R}$ du type $]a\,;\,+\infty[$ contient
toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note alors : $\lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\,+\infty$ .

Exemple :

Soit f la fonction racine carrée. On a $\lim_{x\to\,+\infty}\,\sqrt{x}\,=\,+\infty$ .
En effet, $\sqrt{x}$ devient aussi grand que l’on veut à mesure que x augmente.
Soit un intervalle ouvert $I\,=]a\,;\,+\infty[$ . Alors, f (x) sera toujours dans I pour x assez grand.
Graphiquement, si on considère le demi-plan supérieur de frontière une droite d’équation
y = a, il existe toujours une valeur de a au-delà de laquelle C_f ne sort plus de ce demi-plan.

Propriété (admise) : limites infinies des fonctions usuelles en ± $\infty$ .

Soit n un entier naturel non nul.
$\lim_{x\to\,+\infty}\sqrt{x}=\lim_{x\to\,+\infty}x^n=+\infty$

et $\lim_{x\to\,-\infty}x^n=0\,(+\infty\,\,si\,\,n\,pair\,;\,-\infty\,si\,\,n\,impair\,).$

2. Limite infinie en un réel

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ du type $]x_0\,-\varepsilon\,;\,x_0[$ ou $]x_0\,;\,x_0+\varepsilon[$ .
La fonction f a pour limite $+\infty$ en x_0

si tout intervalle de $\mathbb{R}$ du type $]A\,;\,+\infty[$ contient toutes
les valeurs de f (x) pour x assez proche de x_0

. On note alors : $\lim_{x\to\,x_0}f\,(x)\,=\,+\infty$ .

Définition : asymptote verticale.

La droite d’équation x=x_0

est asymptote verticale à C_f

si $\lim_{x\to\,x_0}f\,(x)\,=\,+\infty$ ou $\lim_{x\to\,x_0}f\,(x)\,=\,-\infty$ .

Propriété (admise) : limites finies des fonctions usuelles en 0.

Soit n un entier naturel non nul.
$\lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{x^n}=+\infty$

et $\lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{x^n}=0\,(+\infty\,\,si\,\,n\,pair\,;\,-\infty\,si\,\,n\,impair\,).$

III. Opérations sur les limites.

Propriété : limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de deux fonctions.

IV. Limite d’une fonction composée

1. Fonction composée

Définition :

Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F.
La composée de f suivie de g est la fonction notée $g\,o\,f$ définie sur E par $g\,o\,f\,(x)\,=\,g(\,f\,(x))$ .

Remarque :

Il ne faut pas confondre $g\,o\,f$ et $fo\,g$ qui sont, en général, différentes.

2. Théorème de composition des limites

Théorème :

Soit h la composée de la fonction f suivie de g et a, b et c trois réels ou ± $\infty$ .
Si $\lim_{x\to\,a}f\,(x)\,=\,b$ et $\lim_{x\to\,b}g\,(x)\,=\,c$ , alors $\lim_{x\to\,a}h\,(x)\,=\,c$ .

V. Limites et comparaison

1. Théorème de comparaison

Théorème :

2. Théorème d’encadrement dit « des gendarmes » ou « sandwich ».

Théorème :

Soit deux réels a et ℓ et trois fonctions f , g et h telles que, pour x > a, on a $f\,(x)\,\leq\,\,g(x)\,\leq\,\,h(x)$ .
Si $\lim_{x\to\,+\infty}f\,(x)\,=\lim_{x\to\,+\infty}h\,(x)\,=\,l$

, alors $\lim_{x\to\,+\infty}g\,(x)\,=l$ .

Remarque :

On a, comme pour le théorème de comparaison précédent, deux théorèmes
analogues lorsque x tend vers − $\infty$ et lorsque x tend vers un réel x_0 .

Exemple :

Déterminons la limite en − $\infty$ de $f\,(x)\,=\,\frac{x\,cos\,x\,}{x^2\,+\,1}$ .
La limite de cos x en − $\infty$ est indéterminée. Donc celle de f (x) aussi.
Cependant pour tout x réel strictement négatif, $-1\,\leq\,\,cos\,x\,\leq\,\,1$ donc $x\,\leq\,\,x\,cos\,x\,\leq\,\,-x$ .
Et en divisant membre à membre par $x^2\,+\,1\,>\,0$ on a :
$\frac{x}{x^2+1}\leq\,\,\frac{x\,cos\,x}{x^2+1}\leq\,\,\frac{-x}{x^2+1}$ .

Pour $x\,\in\,R\,^*$ , $\frac{x}{x^2\,+\,1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$ .

Or, $\lim_{x\to\,-\infty}x+\frac{1}{x}=-\infty$ donc $\lim_{x\to\,-\infty}\frac{x}{x^2\,+\,1}=\lim_{x\to\,-\infty}\frac{-x}{x^2\,+\,1}=0$

Donc, d’après le théorème des gendarmes, $\lim_{x\to\,-\infty}\frac{x\,cos\,x\,}{x^2\,+\,1}=0$ .

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