Sommaire de cette fiche
Connaissances nécessaires à ce chapitre :
de deux suites.
pour déterminer une limite de suite.
I.Limite d’une fonction en l’infini
Dans toute cette partie, désigne la courbe représentative de la fonction f dans un repère quelconque du plan.
1. Limite finie en l’infini
La fonction f a pour limite ℓ en
valeurs de f (x) pour x assez grand. On note alors :
Exemple :
Soit f la fonction définie sur par
. On a
.
En effet, l’inverse de x se rapproche de 0 à mesure que x augmente.
Soit un intervalle ouvert I tel que . Alors, f (x) sera toujours dans I pour x assez grand.
Graphiquement, aussi étroite que soit une bande parallèle à la droite d’équation y = 1 et qui la
contient, il existe toujours une valeur de x au delà de laquelle ne sort plus de cette bande.
Remarque :
On définit de façon analogue qui caractérise une asymptote horizontale à
en
d’équation y = ℓ.
Exemple :
On a vu précédemment que . On a aussi
.
Donc, la droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe en
et en
.
II. Limite infinie en l’infini
toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note alors :
Exemple :
Soit f la fonction racine carrée. On a.
En effet, devient aussi grand que l’on veut à mesure que x augmente.
Soit un intervalle ouvert . Alors, f (x) sera toujours dans I pour x assez grand.
Graphiquement, si on considère le demi-plan supérieur de frontière une droite d’équation
y = a, il existe toujours une valeur de a au-delà de laquelle ne sort plus de ce demi-plan.
2. Limite infinie en un réel
La fonction f a pour limite
les valeurs de f (x) pour x assez proche de
III. Opérations sur les limites.
IV. Limite d’une fonction composée
1. Fonction composée
La composée de f suivie de g est la fonction notée
Remarque :
Il ne faut pas confondre et
qui sont, en général, différentes.
2. Théorème de composition des limites
Si
V. Limites et comparaison
1. Théorème de comparaison
2. Théorème d’encadrement dit « des gendarmes » ou « sandwich ».
Si
Remarque :
On a, comme pour le théorème de comparaison précédent, deux théorèmes
analogues lorsque x tend vers − et lorsque x tend vers un réel
.
Exemple :
Déterminons la limite en − de
.
La limite de cos x en − est indéterminée. Donc celle de f (x) aussi.
Cependant pour tout x réel strictement négatif, donc
.
Et en divisant membre à membre par on a :
.
Pour ,
.
Or, donc
Donc, d’après le théorème des gendarmes,.
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