cours maths terminale
Les limites (somme, produit, quotient) dans un cours de maths en terminale avec l’étude des formes indéterminées.
Dans cette leçon, nous mènerons une études des asymptotes horizontales, verticales et obliques en terminale pour l’enseignement obligatoire.
Connaissances nécessaires à ce chapitre :
mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique.
mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient
de deux suites.
mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. Utiliser un théorème de comparaison ou d’encadrement
pour déterminer une limite de suite.
mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. Établir (par dérivation ou non) les variations d’une fonction.

I.Limite d’une fonction en l’infini

Dans toute cette partie, mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. désigne la courbe représentative de la fonction f dans un repère quelconque du plan.

1. Limite finie en l’infini

Définition :
Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle de mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. du type mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
La fonction f a pour limite ℓ en mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les
valeurs de f (x) pour x assez grand. On note alors : mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..

Exemple :

Soit f la fonction définie sur mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.par mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.. On a mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
En effet, l’inverse de x se rapproche de 0 à mesure que x augmente.
Soit un intervalle ouvert I tel que mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.. Alors, f (x) sera toujours dans I pour x assez grand.
Graphiquement, aussi étroite que soit une bande parallèle à la droite d’équation y = 1 et qui la
contient, il existe toujours une valeur de x au delà de laquelle mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. ne sort plus de cette bande.

limite-fonctions Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.

Asymptote horizontale.
La droite d’équation y = ℓ est asymptote horizontale à mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. en mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. si mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..

Remarque :

On définit de façon analogue mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. qui caractérise une asymptote horizontale à mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. en mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. d’équation y = ℓ.

Exemple :

On a vu précédemment que mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.. On a aussi mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
Donc, la droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. en mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. et en mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. .

Propriété (admise) : limites finies des fonctions usuelles en ± mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
Soit n un entier naturel non nul.
mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..

II. Limite infinie en l’infini

Définition :
La fonction f a pour limite mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. en mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. si tout intervalle de mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. du type mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. contient
toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note alors : mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..

Exemple :

Soit f la fonction racine carrée. On amimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
En effet, mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. devient aussi grand que l’on veut à mesure que x augmente.
Soit un intervalle ouvert mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.. Alors, f (x) sera toujours dans I pour x assez grand.
Graphiquement, si on considère le demi-plan supérieur de frontière une droite d’équation
y = a, il existe toujours une valeur de a au-delà de laquelle mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. ne sort plus de ce demi-plan.

courbe-racine-carree Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.

Propriété (admise) : limites infinies des fonctions usuelles en ±mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
Soit n un entier naturel non nul.
mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex.cgi?\lim_{x\to\,-\infty}x^n=0\,(+\infty\,\,si\,\,n\,pair\,;\,-\infty\,si\,\,n\,impair\,) Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.

2. Limite infinie en un réel

Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. du type mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. ou mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
La fonction f a pour limite mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. en mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. si tout intervalle de mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. du type mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. contient toutes
les valeurs de f (x) pour x assez proche de mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.. On note alors : mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
Définition : asymptote verticale.
La droite d’équation mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. est asymptote verticale à mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. si mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. ou mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
Propriété (admise) : limites finies des fonctions usuelles en 0.
Soit n un entier naturel non nul.
mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex.cgi?\lim_{x\to\,0^+}\frac{1}{x^n}=0\,(+\infty\,\,si\,\,n\,pair\,;\,-\infty\,si\,\,n\,impair\,) Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.

III. Opérations sur les limites.

Propriété : limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de deux fonctions.

limite-somme-produit-quotient Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.

IV. Limite d’une fonction composée

1. Fonction composée

Définition :
Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F.
La composée de f suivie de g est la fonction notée mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. définie sur E par mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..

Remarque :

Il ne faut pas confondre mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. qui sont, en général, différentes.

2. Théorème de composition des limites

Théorème :
Soit h la composée de la fonction f suivie de g et a, b et c trois réels ou ± mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
Si mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF., alors mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..

V. Limites et comparaison

1. Théorème de comparaison

Théorème :

theoreme-comparaison Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.

2. Théorème d’encadrement dit « des gendarmes » ou « sandwich ».

Théorème :
Soit deux réels a et ℓ et trois fonctions f , g et h telles que, pour x > a, on a mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
Si mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF., alors mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..

Remarque :

On a, comme pour le théorème de comparaison précédent, deux théorèmes
analogues lorsque x tend vers −mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. et lorsque x tend vers un réel mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..

Exemple :

Déterminons la limite en −mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. de mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
La limite de cos x en −mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. est indéterminée. Donc celle de f (x) aussi.
Cependant pour tout x réel strictement négatif, mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. donc mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..
Et en divisant membre à membre par mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. on a :
mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..

Pour mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.,mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..

Or,  mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF. donc  mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.

Donc, d’après le théorème des gendarmes,mimetex Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF..


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