Bac maths 2026 Asie J2 : sujet et corrigé

Retrouvez ici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2026 en Asie, proposé le 10 juin 2026, avec son énoncé intégral et un corrigé détaillé rédigé question par question. Le premier exercice étudie une fonction homographique puis une suite récurrente qu’elle engendre : récurrence, convergence monotone, programme Python de seuil et formule explicite à conjecturer. Le deuxième s’intéresse aux lancers-francs d’un basketteur, d’abord avec une loi binomiale de paramètres 16 et 0,492, puis avec une probabilité de réussite inconnue et une équation résolue par le théorème des valeurs intermédiaires. Le troisième calcule dans l’espace un projeté orthogonal, un cosinus d’angle, l’aire d’un triangle et le volume d’un tétraèdre. Le dernier est un vrai-faux sur la convexité, le dénombrement de tirages, un arbre pondéré et une équation différentielle.

Pour réviser le bac maths 2027, retrouvez sur une seule page l’ensemble des sujets corrigés des dernières sessions.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2026
Mathématiques — Sujet 2
Asie — 10 juin 2026
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-\infty ; \dfrac{3}{2}[\) par :

\[f(x) = \dfrac{x-2}{2x-3}\]

1. Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous.

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{3}{2}\)
\(f\)	\(\dfrac{1}{2}\)	↗	\(+\infty\)

2. En déduire que pour tout \(x \in [0 ; 1]\), on a :

\[f(x) \in [0 ; 1].\]

Partie B

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[\{\begin{array}{l} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n – 2}{2u_n – 3}, \quad \text{pour tout entier naturel } n \end{array}.\]

1. En utilisant la fonction \(f\), démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :

\[0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 1.\]

2. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.

3. On note \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\).

En admettant que \(\ell\) est solution de l’équation \(f(x) = x\) sur l’intervalle \([0 ; 1]\), montrer que \(\ell = 1\).

4. On donne ci-dessous une fonction seuil écrite en langage Python.

def seuil(h):
    n = 0
    u = 0
    while u < 1-h:
        n = n+1
        u = (u-2)/(2*u-3)
    return n

L’appel seuil(0.0001) renvoie la valeur 5 000.

Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

5. a. Donner les quatre premiers termes de la suite \((u_n)\) sous forme de fractions irréductibles.

b. Conjecturer l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) et démontrer cette conjecture.

Exercice 2 (5 points)

On pourra traiter indépendamment les deux parties de l’exercice.
On arrondira, si nécessaire, les résultats à \(10^{-3}\) près.

Dans cet exercice, on s’intéresse aux lancers-francs effectués par un joueur lors de compétitions de basketball.

Pour modéliser la situation, on considère dans chaque partie du problème que les conditions dans lesquelles s’effectuent ces lancers sont identiques et que ces lancers sont indépendants deux à deux.

Partie A

Les statistiques de réussite des lancers-francs d’un joueur sont de 49,2 % lors d’une saison.

Dans cette partie, on assimilera cette fréquence à sa probabilité de réussite d’un lancer-franc.

Au cours d’un match, ce joueur tente 16 lancers-francs.

On désigne par \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur lors de ce match.

1. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et l’interpréter dans le contexte de cet exercice.

3. Calculer \(P(X=5)\).

4. Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs.

Partie B

On note \(p\) la probabilité que le joueur réussisse un lancer-franc, où \(p\) est un réel tel que

\[0 \leq\, p \leq\, 1\]

On se place dans le cas où le joueur effectue 3 lancers-francs.

On désigne par \(Y\) la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur.

1. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire \(Y\).

2. Exprimer \(P(Y=2)\) en fonction de \(p\).

3. Donner la loi de probabilité de \(Y\).

Présenter la réponse sous forme de tableau.

4. Montrer que

\[P(Y \geq\, 2) = -2p^3 + 3p^2\]

5. On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0 ; 1]\) par

\[f(x) = -2x^3 + 3x^2.\]

a. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0 ; 1]\) et dresser son tableau de variation en y faisant figurer les valeurs aux bornes de l’intervalle \([0 ; 1]\).

b. En déduire l’existence d’une unique valeur \(\alpha\) dans l’intervalle \([0 ; 1]\) telle que \(f(\alpha) = 0{,}9\).

c. Donner un encadrement d’amplitude \(10^{-2}\) de cette valeur \(\alpha\).

d. Interpréter la valeur de \(\alpha\) dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((\text{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\), on considère les points

\[\text{A}(1 ; 2 ; 3),\quad \text{B}(-1 ; 3 ; 1),\quad \text{C}(2 ; 1 ; 6) \quad \text{et} \quad \text{D}(3 ; -2 ; -1).\]

1. a. Montrer que les points A, B et C définissent un plan.

b. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) est normal au plan (ABC).

c. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

2. a. Déterminer une équation paramétrique de la droite \((d)\), perpendiculaire au plan (ABC) et passant par le point D.

b. Déterminer les coordonnées du point H qui est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

c. En déduire que la distance du point D au plan (ABC) est égale à \(3\sqrt{2}\).

3. a. Montrer que

\[\cos(\widehat{\text{BAC}}) = -\dfrac{3\sqrt{11}}{11}\]

b. En déduire la valeur exacte de \(\sin(\widehat{\text{BAC}})\).

c. Montrer que l’aire du triangle ABC vaut \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).

4. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

On rappelle que le volume \(\mathcal{V}\) d’un tétraèdre est donné par la formule suivante :

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h, \quad \text{où } \mathcal{B} \text{ est l^{\prime}aire d^{\prime}une base et } h \text{ la hauteur qui lui est associée.}\]

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix.

Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans l’évaluation.

Les quatre questions sont indépendantes.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = (-\dfrac{1}{2}x + 3)^5\]

Affirmation 1 : La fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

2. Une urne contient 32 jetons numérotés de 1 à 32 indiscernables au toucher.

On tire simultanément 5 jetons de cette urne.

On appelle tirage la liste non ordonnée des numéros des cinq jetons tirés.

Affirmation 2 : Le nombre de tirages possibles contenant au moins un multiple de 8 est égal à 103 096.

3. On considère l’arbre de probabilités ci-dessous.

Affirmation 3 : \(P_B(\overline{A}) = \dfrac{9}{50}\).

4. On considère l’équation différentielle

\[(E) : \quad y^{\prime} + y = \text{e}^{-x}\cos(x),\]

où \(y\) est une fonction de la variable \(x\), dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Affirmation 4 : La fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = \text{e}^{-x}\sin(x)\) est solution de \((E)\) sur \(\mathbb{R}\).

Affirmation 5 : Les solutions de \((E)\) sur \(\mathbb{R}\) sont les fonctions \(k\) définies sur \(\mathbb{R}\) par

\[k(x) = C\,\text{e}^{-x}\sin(x) \quad \text{où } C \text{ est une constante réelle.}\]

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Sens de variation. Sur \(]-\infty ; \dfrac{3}{2}[\), le dénominateur \(2x – 3\) ne s’annule pas, donc \(f\) est dérivable comme quotient. Avec \((\dfrac{u}{v})^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^2}\) :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{1\times (2x-3) – (x-2)\times 2}{(2x-3)^2} = \dfrac{2x – 3 – 2x + 4}{(2x-3)^2} = \dfrac{1}{(2x-3)^2}\]

Un carré non nul est strictement positif, donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty ; \dfrac{3}{2}[\).

Limite en \(-\infty\). Pour \(x \lt 0\), on factorise par \(x\) le numérateur et le dénominateur :

\[f(x) = \dfrac{x(1 – \dfrac{2}{x})}{x(2 – \dfrac{3}{x})} = \dfrac{1 – \dfrac{2}{x}}{2 – \dfrac{3}{x}}\]

Comme \(\dfrac{2}{x}\) et \(\dfrac{3}{x}\) tendent vers 0 en \(-\infty\), par quotient, \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \dfrac{1}{2}\).

Limite en \(\dfrac{3}{2}\) à gauche. Quand \(x\) tend vers \(\dfrac{3}{2}\) avec \(x \lt \dfrac{3}{2}\), le numérateur \(x – 2\) tend vers \(-\dfrac{1}{2}\) (négatif) et le dénominateur \(2x – 3\) tend vers 0 en restant strictement négatif. Le quotient d’un nombre négatif par un nombre négatif proche de 0 devient positif et arbitrairement grand : \(\lim\limits_{x \to \frac{3}{2},\, x \lt \frac{3}{2}} f(x) = +\infty\). La double barre du tableau signale que \(\dfrac{3}{2}\) est une valeur interdite.

2. L’intervalle \([0 ; 1]\) est contenu dans \(]-\infty ; \dfrac{3}{2}[\), où \(f\) est croissante. Donc pour \(0 \leq\, x \leq\, 1\), on a \(f(0) \leq\, f(x) \leq\, f(1)\) avec :

\[f(0) = \dfrac{-2}{-3} = \dfrac{2}{3} \qquad f(1) = \dfrac{-1}{-1} = 1\]

Ainsi \(\dfrac{2}{3} \leq\, f(x) \leq\, 1\), et comme \(\dfrac{2}{3} \geq\, 0\), \(f(x) \in [0 ; 1]\) pour tout \(x \in [0 ; 1]\).

Partie B

1. Remarquons que \(u_{n+1} = f(u_n)\). Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 1\) ».

Initialisation : \(u_0 = 0\) et \(u_1 = f(0) = \dfrac{2}{3}\). On a bien \(0 \leq\, 0 \leq\, \dfrac{2}{3} \leq\, 1\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : soit \(n\) un entier naturel tel que \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 1\). Les quatre nombres \(0\), \(u_n\), \(u_{n+1}\), \(1\) sont dans \([0 ; 1]\), où \(f\) est croissante : elle conserve donc l’ordre.

\[f(0) \leq\, f(u_n) \leq\, f(u_{n+1}) \leq\, f(1), \quad \text{soit} \quad \dfrac{2}{3} \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 1\]

Comme \(0 \leq\, \dfrac{2}{3}\), on obtient \(0 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 1\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion : par le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 1\).

2. D’après la question précédente, \(u_n \leq\, u_{n+1}\) pour tout \(n\) : la suite \((u_n)\) est croissante. Elle est aussi majorée par 1. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\) qui vérifie \(0 \leq\, \ell \leq\, 1\).

3. On résout \(f(x) = x\) sur \([0 ; 1]\). Comme \(2x – 3 \neq 0\) sur cet intervalle :

\[\dfrac{x-2}{2x-3} = x \iff x – 2 = 2x^2 – 3x \iff 2x^2 – 4x + 2 = 0 \iff 2(x-1)^2 = 0 \iff x = 1\]

L’unique solution est 1, qui appartient bien à \([0 ; 1]\). Donc \(\ell = 1\).

4. La fonction part de \(u_0 = 0\) et calcule les termes successifs tant que \(u_n \lt 1 – h\). Avec \(h = 0{,}0001\), elle s’arrête au premier rang où \(u_n \geq\, 0{,}9999\).

La valeur 5 000 signifie donc que \(u_{5000}\) est le premier terme de la suite supérieur ou égal à 0,9999 : il faut attendre le rang 5 000 pour que la suite soit à moins de \(10^{-4}\) de sa limite 1 (et comme elle est croissante, tous les termes suivants le restent).

5. a. On applique la relation de récurrence :

\[u_0 = 0 = \dfrac{0}{1} \qquad u_1 = \dfrac{0 – 2}{0 – 3} = \dfrac{2}{3}\]

\[u_2 = \dfrac{\dfrac{2}{3} – 2}{\dfrac{4}{3} – 3} = \dfrac{-\dfrac{4}{3}}{-\dfrac{5}{3}} = \dfrac{4}{5} \qquad u_3 = \dfrac{\dfrac{4}{5} – 2}{\dfrac{8}{5} – 3} = \dfrac{-\dfrac{6}{5}}{-\dfrac{7}{5}} = \dfrac{6}{7}\]

Les quatre premiers termes sont \(0\), \(\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{4}{5}\) et \(\dfrac{6}{7}\).

b. Les numérateurs sont les nombres pairs \(0, 2, 4, 6\), et chaque dénominateur vaut le numérateur plus 1. On conjecture que pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_n = \dfrac{2n}{2n+1}\]

Démontrons-le par récurrence.

Initialisation : \(\dfrac{2\times 0}{2\times 0 + 1} = 0 = u_0\).

Hérédité : supposons que \(u_n = \dfrac{2n}{2n+1}\) pour un entier naturel \(n\). On multiplie numérateur et dénominateur de \(u_{n+1}\) par \(2n + 1\) :

\[u_{n+1} = \dfrac{\dfrac{2n}{2n+1} – 2}{\dfrac{4n}{2n+1} – 3} = \dfrac{2n – 2(2n+1)}{4n – 3(2n+1)} = \dfrac{-2n – 2}{-2n – 3} = \dfrac{2n + 2}{2n + 3} = \dfrac{2(n+1)}{2(n+1) + 1}\]

C’est la formule au rang \(n + 1\).

Conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \dfrac{2n}{2n+1}\).

Cette formule permet de retrouver le résultat de la question 4 : \(u_n = 1 – \dfrac{1}{2n+1} \geq\, 0{,}9999 \iff 2n + 1 \geq\, 10\,000 \iff n \geq\, 4\,999{,}5\), donc \(n \geq\, 5\,000\).

Exercice 2 :

Partie A

1. Chaque lancer-franc est une épreuve de Bernoulli : le succès « le lancer est réussi » a pour probabilité \(p = 0{,}492\). Le joueur répète 16 fois cette épreuve, dans des conditions identiques et de façon indépendante. La variable \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(16 ; 0{,}492)\).

2. Pour une loi binomiale, \(E(X) = np = 16\times 0{,}492\), soit \(E(X) = 7{,}872\).

Interprétation : si le joueur tente 16 lancers-francs à chaque match, il en réussit en moyenne environ 7,9 par match, sur un grand nombre de matchs.

3. Avec la formule de la loi binomiale :

\[P(X=5) = \binom\,{16}{5}\times 0{,}492^5\times 0{,}508^{11} = 4\,368\times 0{,}492^5\times 0{,}508^{11}\]

On obtient \(P(X=5) \approx 0{,}073\).

4. On passe par l’évènement contraire :

\[P(X \geq\, 6) = 1 – P(X \leq\, 5) \approx 1 – 0{,}117\]

La probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs est \(P(X \geq\, 6) \approx 0{,}883\).

Partie B

1. Sur 3 lancers, le joueur peut en réussir aucun, un, deux ou trois : \(Y\) prend les valeurs 0, 1, 2 et 3.

2. Comme dans la partie A, les 3 lancers sont des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre \(p\) : \(Y\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(3 ; p)\). Il y a \(\dbinom{3}{2} = 3\) façons de placer les deux réussites parmi les trois lancers, donc :

\[P(Y=2) = 3p^2(1-p) = 3p^2 – 3p^3\]

3. De la même manière, \(P(Y=k) = \dbinom{3}{k}p^k(1-p)^{3-k}\) pour \(k \in \{0 ; 1 ; 2 ; 3\}\) :

\(k\)	0	1	2	3
\(P(Y=k)\)	\((1-p)^3\)	\(3p(1-p)^2\)	\(3p^2(1-p)\)	\(p^3\)

4. Réussir au moins deux lancers, c’est en réussir exactement deux ou exactement trois, et ces évènements sont incompatibles :

\[P(Y \geq\, 2) = P(Y=2) + P(Y=3) = 3p^2 – 3p^3 + p^3 = -2p^3 + 3p^2\]

5. a. La fonction \(f\) est un polynôme, dérivable sur \([0 ; 1]\), avec :

\[f^{\prime}(x) = -6x^2 + 6x = 6x(1-x)\]

Pour \(x \in ]0 ; 1[\), \(6x \gt 0\) et \(1 – x \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\) ; la dérivée ne s’annule qu’en 0 et en 1. Ainsi \(f\) est strictement croissante sur \([0 ; 1]\), avec \(f(0) = 0\) et \(f(1) = -2 + 3 = 1\).

\(x\)	\(0\)		\(1\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	0	+	0
variations de \(f\)	\(0\)	↗	\(1\)

b. Sur \([0 ; 1]\), \(f\) est continue (c’est un polynôme) et strictement croissante, et \(0{,}9\) est compris entre \(f(0) = 0\) et \(f(1) = 1\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel \(\alpha \in [0 ; 1]\) tel que \(f(\alpha) = 0{,}9\).

c. À la calculatrice : \(f(0{,}80) = 0{,}896 \lt 0{,}9\) et \(f(0{,}81) = 0{,}905\,418 \gt 0{,}9\). Comme \(f\) est croissante, \(0{,}80 \lt \alpha \lt 0{,}81\) (en fait \(\alpha \approx 0{,}804\)).

d. D’après la question 4, \(f(p) = P(Y \geq\, 2)\). Comme \(f\) est croissante, \(P(Y \geq\, 2) \geq\, 0{,}9\) équivaut à \(p \geq\, \alpha\). Le nombre \(\alpha\) est donc la probabilité minimale de réussite d’un lancer-franc qu’il faut au joueur pour avoir au moins 90 % de chances de réussir au moins deux lancers sur trois : environ 80,4 %.

Exercice 3 :

1. a. On calcule :

\[\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad \vec{\text{AC}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\]

Si ces vecteurs étaient colinéaires, on aurait \(\vec{\text{AC}} = k\,\vec{\text{AB}}\) ; la première coordonnée donne \(k = -\dfrac{1}{2}\) et la deuxième \(k = -1\), ce qui est contradictoire. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan.

b. Le repère est orthonormé, on calcule les produits scalaires :

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{AB}} = 1\times (-2) + 4\times 1 + 1\times (-2) = 0 \qquad \vec{n}\cdot\vec{\text{AC}} = 1\times 1 + 4\times (-1) + 1\times 3 = 0\]

Le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est normal à ce plan.

c. Le plan (ABC) a une équation de la forme \(x + 4y + z + d = 0\). Il passe par A(1 ; 2 ; 3), donc \(1 + 8 + 3 + d = 0\), soit \(d = -12\). Une équation cartésienne du plan (ABC) est \(x + 4y + z – 12 = 0\). (On vérifie avec B : \(-1 + 12 + 1 – 12 = 0\), et avec C : \(2 + 4 + 6 – 12 = 0\).)

2. a. Une droite perpendiculaire au plan (ABC) a pour vecteur directeur le vecteur normal \(\vec{n}(1 ; 4 ; 1)\). Comme \((d)\) passe par D(3 ; −2 ; −1), une représentation paramétrique de \((d)\) est :

\[\{\begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = -2 + 4t \\ z = -1 + t \end{array}. \quad t \in \mathbb{R}\]

b. Le projeté orthogonal H de D sur le plan (ABC) est le point d’intersection de \((d)\) et du plan. On injecte la représentation paramétrique dans l’équation du plan :

\[(3 + t) + 4(-2 + 4t) + (-1 + t) – 12 = 0 \iff 18t – 18 = 0 \iff t = 1\]

On obtient H(4 ; 2 ; 0).

c. La distance du point D au plan (ABC) est la distance DH :

\[\text{DH} = \sqrt{(4-3)^2 + (2+2)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18}\]

Comme \(\sqrt{18} = \sqrt{9\times 2} = 3\sqrt{2}\), la distance de D au plan (ABC) vaut \(3\sqrt{2}\).

3. a. On utilise deux expressions du produit scalaire. D’une part, avec les coordonnées :

\[\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{AC}} = (-2)\times 1 + 1\times (-1) + (-2)\times 3 = -9\]

D’autre part \(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{AC}} = \text{AB}\times \text{AC}\times \cos(\widehat{\text{BAC}})\), avec \(\text{AB} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3\) et \(\text{AC} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}\). Donc :

\[\cos(\widehat{\text{BAC}}) = \dfrac{-9}{3\sqrt{11}} = -\dfrac{3}{\sqrt{11}} = -\dfrac{3\sqrt{11}}{11}\]

b. D’après la relation \(\cos^2 + \sin^2 = 1\) :

\[\sin^2(\widehat{\text{BAC}}) = 1 – \dfrac{9}{11} = \dfrac{2}{11}\]

Un angle géométrique est compris entre 0 et \(\pi\), donc son sinus est positif : \(\sin(\widehat{\text{BAC}}) = \sqrt{\dfrac{2}{11}} = \dfrac{\sqrt{22}}{11}\).

c. La hauteur du triangle ABC issue de C a pour longueur \(\text{AC}\times \sin(\widehat{\text{BAC}})\), d’où l’aire :

\[\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\times \text{AB}\times \text{AC}\times \sin(\widehat{\text{BAC}}) = \dfrac{1}{2}\times 3\times \sqrt{11}\times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\]

L’aire du triangle ABC vaut bien \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).

4. On prend pour base le triangle ABC. La hauteur associée est la distance de D au plan (ABC), c’est-à-dire \(\text{DH} = 3\sqrt{2}\) :

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2} = \dfrac{1}{3}\times \dfrac{9\times 2}{2} = 3\]

Le volume du tétraèdre ABCD est égal à 3 (en unités de volume).

Exercice 4 :

1. Affirmation 1 : fausse.

La fonction \(f\) est de la forme \(u^5\) avec \(u(x) = -\dfrac{1}{2}x + 3\) et \(u^{\prime}(x) = -\dfrac{1}{2}\). Avec \((u^n)^{\prime} = nu^{\prime}u^{n-1}\) :

\[f^{\prime}(x) = 5\times (-\dfrac{1}{2})(-\dfrac{1}{2}x + 3)^4 = -\dfrac{5}{2}(-\dfrac{1}{2}x + 3)^4\]

\[f^{\prime\prime}(x) = -\dfrac{5}{2}\times 4\times (-\dfrac{1}{2})(-\dfrac{1}{2}x + 3)^3 = 5(-\dfrac{1}{2}x + 3)^3\]

\(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(-\dfrac{1}{2}x + 3\) : elle est strictement négative pour \(x \gt 6\) (par exemple \(f^{\prime\prime}(10) = 5\times (-2)^3 = -40\)). La fonction \(f\) est donc concave sur \([6 ; +\infty[\) : elle n’est pas convexe sur \(\mathbb{R}\).

2. Affirmation 2 : vraie.

Un tirage est une combinaison de 5 jetons parmi 32 : il y en a \(\dbinom{32}{5} = 201\,376\). Parmi les numéros de 1 à 32, les multiples de 8 sont 8, 16, 24 et 32 ; il reste 28 jetons qui ne sont pas des multiples de 8. Les tirages sans aucun multiple de 8 sont les combinaisons de 5 jetons parmi ces 28 : il y en a \(\dbinom{28}{5} = 98\,280\).

On passe au complémentaire : le nombre de tirages contenant au moins un multiple de 8 est \(201\,376 – 98\,280 = 103\,096\).

3. Affirmation 3 : fausse.

On complète l’arbre : \(P(\overline{A}) = 1 – \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\) et \(P_{\overline{A}}(B) = 1 – \dfrac{7}{10} = \dfrac{3}{10}\). D’après la formule des probabilités totales :

\[P(B) = \dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{10} = \dfrac{5}{50} + \dfrac{9}{50} = \dfrac{14}{50}\]

Par définition d’une probabilité conditionnelle :

\[P_B(\overline{A}) = \dfrac{P(\overline{A}\cap B)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{9}{50}}{\dfrac{14}{50}} = \dfrac{9}{14}\]

Or \(\dfrac{9}{14} \neq \dfrac{9}{50}\) : le nombre \(\dfrac{9}{50}\) est en réalité \(P(\overline{A}\cap B)\), et non la probabilité conditionnelle demandée.

4. Affirmation 4 : vraie.

La fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit, et :

\[h^{\prime}(x) = -\text{e}^{-x}\sin(x) + \text{e}^{-x}\cos(x)\]

Donc \(h^{\prime}(x) + h(x) = -\text{e}^{-x}\sin(x) + \text{e}^{-x}\cos(x) + \text{e}^{-x}\sin(x) = \text{e}^{-x}\cos(x)\) : \(h\) est bien solution de \((E)\).

5. Affirmation 5 : fausse.

L’équation homogène \(y^{\prime} + y = 0\) a pour solutions les fonctions \(x \mapsto C\,\text{e}^{-x}\), \(C \in \mathbb{R}\). Les solutions de \((E)\) s’obtiennent en ajoutant la solution particulière \(h\) : ce sont les fonctions \(x \mapsto C\,\text{e}^{-x} + \text{e}^{-x}\sin(x)\).

On peut aussi le voir directement : pour \(C = 2\), la fonction \(k = 2h\) vérifie \(k^{\prime} + k = 2\,\text{e}^{-x}\cos(x)\), qui n’est pas égal à \(\text{e}^{-x}\cos(x)\) (par exemple en \(x = 0\), on obtient 2 au lieu de 1). La fonction \(k\) n’est solution que pour \(C = 1\) : l’affirmation est fausse.

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