Bac septembre 2023 : maths en France (septembre, jour 1)

Sommaire

Ensuite, Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques de septembre 2023 en France métropolitaine, session de remplacement du 11 septembre 2023 (commune aux Antilles-Guyane), suivi de son corrigé détaillé sur une page dédiée. Par ailleurs, un QCM de quatre questions ouvre l’épreuve : primitive de \(x\,\text{e}^{x^2-3}\), suites géométriques et boucle while d’une fonction Python. Vient ensuite un exercice de géométrie dans l’espace où C se révèle être le projeté orthogonal de D sur un plan, avant le calcul de la distance de D à une droite. Le troisième exercice étudie un test sanguin de détection des allergies avec un arbre pondéré, puis une enquête auprès de 150 habitants modélisée par une loi binomiale. De plus, le dernier, sur 7 points, relie une fonction auxiliaire \(g\) à la convexité de \(f(x)=\text{e}^x\ln x\).

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en France (septembre, jour 1).

Ensuite, pour réviser le bac maths 2027, retrouvez sur une seule page l’ensemble des sujets corrigés des dernières sessions.

Bac septembre 2023 : présentation de l’épreuve

Tout d’abord, ce bac septembre 2023 correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en France (septembre, jour 1), reproduit ici avec son énoncé complet. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 4, 5, 4 et 7 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser la fonction exponentielle, les suites géométriques, l’algorithmique en Python et la géométrie dans l’espace. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 1
France métropolitaine, Antilles-Guyane — 11 septembre 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=x\,\text{e}^{x^2-3}.\]

Une des primitives \(F\) de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est définie par :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(F(x)=2x\,\text{e}^{x^2-3}\)	\(F(x)=(2x^2+1)\text{e}^{x^2-3}\)	\(F(x)=\dfrac12x\,\text{e}^{x^2-3}\)	\(F(x)=\dfrac12\text{e}^{x^2-3}\)

2. On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[u_n=\text{e}^{2n+1}.\]

La suite \((u_n)\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
arithmétique de raison 2 ;	géométrique de raison e ;	géométrique de raison \(\text{e}^2\) ;	convergente vers e.

Pour les questions 3. et 4., on considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par :

\[u_0=15\quad\text{et pour tout entier naturel } n\ :\ u_{n+1}=1{,}2u_n+12.\]

3. La fonction Python suivante, dont la ligne 4 est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l’entier \(n\) telle que \(u_n\gt10\,000\).

def seuil() :
    n=0
    u=15
    while ......:
      n=n+1
      u=1,2*u+12
    return(n)

À la ligne 4, on complète par :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(u\leq\,10\,000\) ;	\(u=10\,000\)	\(u\gt10\,000\) ;	\(n\leq\,10\,000\).

4. On considère la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(v_n=u_n+60\).

La suite \((v_n)\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
une suite décroissante ;	une suite géométrique de raison 1,2 ;	une suite arithmétique de raison 60 ;	une suite ni géométrique ni arithmétique.

Exercice 2 (5 points)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère les points

\(\text{A}(1\,;\,0\,;\,-1)\), \(\text{B}(3\,;\,-1\,;\,2)\), \(\text{C}(2\,;\,-2\,;\,-1)\) et \(\text{D}(4\,;\,-1\,;\,-2)\).

On note \(\Delta\) la droite de représentation paramétrique

\[\{\begin{array}{l}x=0\\y=2+t\\z=-1+t\end{array}.,\quad\text{avec } t\in\mathbb{R}.\]

1. a. Montrer que les points A, B et C définissent un plan que l’on notera \(\mathcal{P}\).

b. Montrer que la droite (CD) est orthogonale au plan \(\mathcal{P}\).

Sur le plan \(\mathcal{P}\), que représente le point C par rapport à D ?

c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) est : \(2x+y-z-3=0\).

2. a. Calculer la distance CD.

b. Existe-t-il un point M du plan \(\mathcal{P}\) différent de C vérifiant \(\text{MD}=\sqrt6\) ? Justifier la réponse.

3. a. Montrer que la droite \(\Delta\) est incluse dans le plan \(\mathcal{P}\).

Soit H le projeté orthogonal du point D sur la droite \(\Delta\).

b. Montrer que H est le point de \(\Delta\) associé à la valeur \(t=-2\) dans la représentation paramétrique de \(\Delta\) donnée ci-dessus.

c. En déduire la distance du point D à la droite \(\Delta\).

Exercice 3 (4 points)

Les parties A et B sont indépendantes.
Les probabilités demandées seront données à \(10^{-3}\) près.

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.

Dans une population, ce test donne les résultats suivants :

Si un individu est allergique, le test est positif dans 97 % des cas ;
Si un individu n’est pas allergique, le test est négatif dans 95,7 % des cas.

Par ailleurs, 20 % des individus de la population concernée présentent un test positif.

On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :

\(A\) l’évènement « l’individu est allergique » ;
\(T\) l’évènement « l’individu présente un test positif ».

En outre, on notera \(\overline{A}\) et \(\overline{T}\) les évènements contraires de \(A\) et \(T\). On appelle par ailleurs \(x\) la probabilité de l’évènement \(A\) : \(x=p(A)\).

Partie A

1. Reproduire et compléter l’arbre ci-contre décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.

2. a. Démontrer l’égalité : \(p(T)=0{,}927x+0{,}043\).

b. En déduire la probabilité que l’individu choisi soit allergique.

3. Justifier par un calcul l’affirmation suivante :

« Si le test d’un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80 % de chances que cet individu soit allergique ».

Partie B

On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant 150 habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

Ensuite, on sait que la probabilité qu’un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à \(0{,}08\).

On note \(X\) la variable aléatoire qui à un échantillon de 150 habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\) ?

Préciser ses paramètres.

2. Déterminer la probabilité que 20 personnes exactement parmi les 150 interrogées soient allergiques.

3. Déterminer la probabilité qu’au moins 10 % des personnes parmi les 150 interrogées soient allergiques.

Exercice 4 (7 points)

PARTIE A

On définit sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) la fonction \(g\) par :

\[g(x)=\dfrac2x-\dfrac{1}{x^2}+\ln x\quad\text{où ln désigne la fonction logarithme népérien.}\]

On admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\,=I\) et on note \(g^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Montrer que pour \(x\gt0\), le signe de \(g^{\prime}(x)\) est celui du trinôme du second degré \((x^2-2x+2)\).

2. En déduire que la fonction \(g\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

3. Montrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution sur l’intervalle \([0{,}5\,;\,1]\), que l’on notera \(\alpha\).

4. On donne le tableau de signes de \(g\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\,=I\) :

\(x\)	0		\(\alpha\)		\(+\infty\)
\(g(x)\)	\|\|	\(-\)	0	\(+\)

Justifier ce tableau de signes à l’aide des résultats obtenus aux questions précédentes.

PARTIE B

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\,=I\) par :

\[f(x)=\text{e}^x\ln x.\]

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.

1. On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\), on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée, \(f^{\prime\prime}\) sa fonction dérivée seconde et on admet que :

pour tout nombre réel \(x\gt0\), \(f^{\prime}(x)=\text{e}^x(\dfrac1x+\ln x)\).

Démontrer que, pour tout nombre réel \(x\gt0\), on a : \(f^{\prime\prime}(x)=\text{e}^x(\dfrac2x-\dfrac{1}{x^2}+\ln x)\).

2. On pourra remarquer que pour tout réel \(x\gt0\), \(f^{\prime\prime}(x)=\text{e}^x\times g(x)\), où \(g\) désigne la fonction étudiée dans la partie A.

3. a. Dresser le tableau de signes de la fonction \(f^{\prime\prime}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). Justifier.

b. Justifier que la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet un unique point d’inflexion A.

c. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\). Justifier.

4. a. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.

b. Montrer que \(f^{\prime}(\alpha)=\dfrac{\text{e}^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)\).

On rappelle que \(\alpha\) est l’unique solution de l’équation \(g(x)=0\).

c. Démontrer que \(f^{\prime}(\alpha)\gt0\) et en déduire le signe de \(f^{\prime}(x)\) pour \(x\) appartenant à \(]0\,;\,+\infty[\).

d. En déduire le tableau de variations complet de la fonction \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Bac septembre 2023 : méthode pour bien s’entraîner

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la fonction exponentielle ou les suites géométriques. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à fonction exponentielle propose un rappel complet.

Les erreurs qui coûtent des points

Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
Avec une suite géométrique, contrôlez l’exposant du terme général : il dépend du rang du premier terme (0 ou 1).
Pour un programme Python, faites tourner la boucle à la main sur deux ou trois tours : la condition d’arrêt du while est souvent le piège.

Bac septembre 2023 : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la fonction exponentielle, les suites géométriques et l’algorithmique en Python, mais aussi la géométrie dans l’espace.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en France (septembre, jour 1)

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