Corrigé Polynésie 2023 : sujet de maths (septembre) et corrigé

Sommaire

De plus, Retrouvez ici le sujet de la session de septembre du bac de spécialité mathématiques 2023 en Polynésie, posé le 7 septembre 2023, suivi d’un corrigé détaillé rédigé question par question sur une page dédiée. On commence dans une concession automobile où l’on croise véhicules électriques et thermiques avec la consultation d’un site internet : arbre pondéré, probabilité conditionnelle puis loi binomiale sur 17 clients. Le deuxième exercice étudie \((x+\frac12)\text{e}^{-x}+x\) à l’aide de sa dérivée seconde, puis retrouve ses coefficients grâce à une tangente. En outre, le troisième porte sur une suite définie par un trinôme, avec récurrence, limite, fonction Python de seuil et raisonnement par l’absurde. Ensuite, le dernier est un QCM de géométrie dans l’espace sur des droites, des vecteurs directeurs et un plan.

Par ailleurs, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en Polynésie (septembre).

De plus, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Corrigé Polynésie 2023 : organisation de l’épreuve

Avant tout, précisons que ce corrigé Polynésie 2023 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en Polynésie (septembre) dans sa version intégrale. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 4, 6, 5 et 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la fonction exponentielle et la dérivation. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 1
Polynésie — 7 septembre 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.

Exercice 1 (4 points)

Thème : probabilités

Une concession automobile vend des véhicules à moteur électrique et des véhicules à moteur thermique.

Certains clients, avant de se rendre sur le site de la concession, ont consulté la plate-forme numérique de la concession. On a ainsi observé que :

20 % des clients sont intéressés par les véhicules à moteur électrique et 80 % préfèrent s’orienter vers l’achat d’un véhicule à moteur thermique ;
lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de 0,5 ;
lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur thermique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de 0,375.

On considère les évènements suivants :

\(C\) : « un client a consulté la plate-forme numérique » ;
\(E\) : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique » ;
\(T\) : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur thermique ».

Les clients font des choix indépendants les uns des autres.

1. a. Calculer la probabilité qu’un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique.

On pourra utiliser un arbre pondéré.

b. Démontrer que \(P(C)=0{,}4\).

c. On suppose qu’un client a consulté la plate-forme numérique.

Calculer la probabilité que le client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique.

Exercice 1 du corrigé Polynésie 2023 : question 2

2. La concession accueille quotidiennement 17 clients en moyenne.

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de clients souhaitant acquérir un véhicule à moteur électrique.

a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).

b. Calculer la probabilité qu’au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d’une journée.

Donner le résultat arrondi à \(10^{-2}\) près.

Exercice 2 (6 points)

Thème : fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=(x+\dfrac12)\text{e}^{-x}+x.\]

1. Déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

2. On admet que \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

a. Démontrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\),

\[f^{\prime\prime}(x)=(x-\dfrac32)\text{e}^{-x}.\]

b. En déduire les variations et le minimum de la fonction \(f^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}\).

c. Justifier que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f^{\prime}(x)\gt 0\).

d. En déduire que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\).

e. Donner une valeur arrondie à \(10^{-3}\) de cette solution.

Partie B

On considère une fonction \(h\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), ayant une expression de la forme

\(h(x)=(ax+b)\text{e}^{-x}+x\), où \(a\) et \(b\) sont deux réels.

Dans un repère orthonormé ci-après figurent :

la courbe représentative \(\mathcal{C}_h\) de la fonction \(h\) ;
les points A et B de coordonnées respectives \((-2\,;\,-2{,}5)\) et \((2\,;\,3{,}5)\).

1. Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative de la fonction \(h\).

2. Sachant que la fonction \(h\) admet sur \(\mathbb{R}\) une dérivée seconde d’expression

\[h^{\prime\prime}(x)=-\dfrac32\text{e}^{-x}+x\text{e}^{-x}.\]

valider ou non la conjecture précédente.

3. Déterminer une équation de la droite (AB).

4. Sachant que la droite (AB) est tangente à la courbe représentative de la fonction \(h\) au point d’abscisse 0, en déduire les valeurs de \(a\) et \(b\).

Exercice 3 (5 points)

Thème : suites, algorithmique

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=\dfrac34x^2-2x+3.\]

1. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

2. En déduire, que pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \([\dfrac43\,;\,2]\), \(f(x)\) appartient à l’intervalle \([\dfrac43\,;\,2]\).

3. Démontrer que pour tout \(x\) réel, \(x\leq\, f(x)\).

Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel \(x\) :

\[f(x)-x=\dfrac34(x-2)^2.\]

On considère la suite \((u_n)\) définie par un réel \(u_0\) et pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1}=f(u_n).\]

On a donc, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=\dfrac34u_n^2-2u_n+3.\]

4. Étude du cas : \(\dfrac43\leq\, u_0\leq\, 2\).

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 2.\]

b. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

c. Prouver que la limite de la suite est égale à 2.

5. Étude du cas particulier : \(u_0=3\).

On admet que dans ce cas la suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\).

Recopier et compléter la fonction « seuil » suivante écrite en Python, afin qu’elle renvoie la plus petite valeur de \(n\) telle que \(u_n\) soit supérieur ou égal à 100.

def seuil() :
    u = 3
    n = 0
    while ...
        u = ...
        n = ...
    return n

6. Étude du cas : \(u_0\gt 2\).

À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que \((u_n)\) n’est pas convergente.

Exercice 4 (5 points)

Thème : géométrie dans l’espace

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question traitée et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\) dans lequel on considère :

les points \(\text{A}(6\,;\,-6\,;\,6)\), \(\text{B}(-6\,;\,0\,;\,6)\) et \(\text{C}(-2\,;\,-2\,;\,11)\) ;
la droite \((d)\) orthogonale aux deux droites sécantes (AB) et (BC) et passant par le point A ;
la droite \((d^{\prime})\) de représentation paramétrique : \(\begin{cases}x=-6-8t\\y=4t\\z=6+5t\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\).

Question 1

Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur directeur de la droite \((d)\) ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\vec{u_1}\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}\)	\(\vec{u_2}\begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix}\)	\(\vec{u_3}\begin{pmatrix}1\\2\\0{,}2\end{pmatrix}\)	\(\vec{u_4}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\)

Question 2

Parmi les équations suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite (AB) ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\begin{cases}x=2t+6\\y=-6\\z=t+6\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\)	\(\begin{cases}x=2t-6\\y=-6\\z=-t-6\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\)	\(\begin{cases}x=2t+6\\y=-t-6\\z=6\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\)	\(\begin{cases}x=2t+6\\y=t-6\\z=6\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\)

Exercice 4 du corrigé Polynésie 2023 : questions 3 à 5

Question 3

Un vecteur directeur de la droite \((d^{\prime})\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\vec{v_1}\begin{pmatrix}-6\\0\\6\end{pmatrix}\)	\(\vec{v_2}\begin{pmatrix}-14\\4\\11\end{pmatrix}\)	\(\vec{v_3}\begin{pmatrix}8\\-4\\-5\end{pmatrix}\)	\(\vec{v_4}\begin{pmatrix}8\\4\\5\end{pmatrix}\)

Question 4

Lequel des quatre points suivants appartient à la droite \((d^{\prime})\) ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\text{M}_1(50\,;\,-28\,;\,-29)\)	\(\text{M}_2(-14\,;\,-4\,;\,1)\)	\(\text{M}_3(2\,;\,-4\,;\,-1)\)	\(\text{M}_4(-3\,;\,0\,;\,3)\)

Question 5

Le plan d’équation \(x=1\) a pour vecteur normal :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)	\(\vec{n_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\)	\(\vec{n_3}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)	\(\vec{n_4}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\)

Comment réviser avec ce corrigé Polynésie 2023

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.

Les pièges classiques

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.

Corrigé Polynésie 2023 : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la fonction exponentielle, mais aussi la dérivation.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en Polynésie (septembre)

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