Bac maths 2023 Polynésie sept. : sujet et corrigé

Retrouvez ici le sujet de la session de septembre du bac de spécialité mathématiques 2023 en Polynésie, posé le 7 septembre 2023, suivi d’un corrigé détaillé rédigé question par question sur cette même page. On commence dans une concession automobile où l’on croise véhicules électriques et thermiques avec la consultation d’un site internet : arbre pondéré, probabilité conditionnelle puis loi binomiale sur 17 clients. Le deuxième exercice étudie \((x+\frac12)\text{e}^{-x}+x\) à l’aide de sa dérivée seconde, puis retrouve ses coefficients grâce à une tangente. Le troisième porte sur une suite définie par un trinôme, avec récurrence, limite, fonction Python de seuil et raisonnement par l’absurde. Le dernier est un QCM de géométrie dans l’espace sur des droites, des vecteurs directeurs et un plan.

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 1
Polynésie — 7 septembre 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.

Exercice 1 (4 points)

Thème : probabilités

Une concession automobile vend des véhicules à moteur électrique et des véhicules à moteur thermique.

Certains clients, avant de se rendre sur le site de la concession, ont consulté la plate-forme numérique de la concession. On a ainsi observé que :

20 % des clients sont intéressés par les véhicules à moteur électrique et 80 % préfèrent s’orienter vers l’achat d’un véhicule à moteur thermique ;
lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de 0,5 ;
lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur thermique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de 0,375.

On considère les évènements suivants :

\(C\) : « un client a consulté la plate-forme numérique » ;
\(E\) : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique » ;
\(T\) : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur thermique ».

Les clients font des choix indépendants les uns des autres.

1. a. Calculer la probabilité qu’un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique.

On pourra utiliser un arbre pondéré.

b. Démontrer que \(P(C)=0{,}4\).

c. On suppose qu’un client a consulté la plate-forme numérique.

Calculer la probabilité que le client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique.

2. La concession accueille quotidiennement 17 clients en moyenne.

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de clients souhaitant acquérir un véhicule à moteur électrique.

a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).

b. Calculer la probabilité qu’au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d’une journée.

Donner le résultat arrondi à \(10^{-2}\) près.

Exercice 2 (6 points)

Thème : fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=(x+\dfrac12)\text{e}^{-x}+x.\]

1. Déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

2. On admet que \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

a. Démontrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\),

\[f^{\prime\prime}(x)=(x-\dfrac32)\text{e}^{-x}.\]

b. En déduire les variations et le minimum de la fonction \(f^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}\).

c. Justifier que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f^{\prime}(x)\gt 0\).

d. En déduire que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\).

e. Donner une valeur arrondie à \(10^{-3}\) de cette solution.

Partie B

On considère une fonction \(h\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), ayant une expression de la forme

\(h(x)=(ax+b)\text{e}^{-x}+x\), où \(a\) et \(b\) sont deux réels.

Dans un repère orthonormé ci-après figurent :

la courbe représentative \(\mathcal{C}_h\) de la fonction \(h\) ;
les points A et B de coordonnées respectives \((-2\,;\,-2{,}5)\) et \((2\,;\,3{,}5)\).

1. Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative de la fonction \(h\).

2. Sachant que la fonction \(h\) admet sur \(\mathbb{R}\) une dérivée seconde d’expression

\[h^{\prime\prime}(x)=-\dfrac32\text{e}^{-x}+x\text{e}^{-x}.\]

valider ou non la conjecture précédente.

3. Déterminer une équation de la droite (AB).

4. Sachant que la droite (AB) est tangente à la courbe représentative de la fonction \(h\) au point d’abscisse 0, en déduire les valeurs de \(a\) et \(b\).

Exercice 3 (5 points)

Thème : suites, algorithmique

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=\dfrac34x^2-2x+3.\]

1. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

2. En déduire, que pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \([\dfrac43\,;\,2]\), \(f(x)\) appartient à l’intervalle \([\dfrac43\,;\,2]\).

3. Démontrer que pour tout \(x\) réel, \(x\leq\, f(x)\).

Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel \(x\) :

\[f(x)-x=\dfrac34(x-2)^2.\]

On considère la suite \((u_n)\) définie par un réel \(u_0\) et pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1}=f(u_n).\]

On a donc, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=\dfrac34u_n^2-2u_n+3.\]

4. Étude du cas : \(\dfrac43\leq\, u_0\leq\, 2\).

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 2.\]

b. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

c. Prouver que la limite de la suite est égale à 2.

5. Étude du cas particulier : \(u_0=3\).

On admet que dans ce cas la suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\).

Recopier et compléter la fonction « seuil » suivante écrite en Python, afin qu’elle renvoie la plus petite valeur de \(n\) telle que \(u_n\) soit supérieur ou égal à 100.

def seuil() :
    u = 3
    n = 0
    while ...
        u = ...
        n = ...
    return n

6. Étude du cas : \(u_0\gt 2\).

À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que \((u_n)\) n’est pas convergente.

Exercice 4 (5 points)

Thème : géométrie dans l’espace

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question traitée et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\) dans lequel on considère :

les points \(\text{A}(6\,;\,-6\,;\,6)\), \(\text{B}(-6\,;\,0\,;\,6)\) et \(\text{C}(-2\,;\,-2\,;\,11)\) ;
la droite \((d)\) orthogonale aux deux droites sécantes (AB) et (BC) et passant par le point A ;
la droite \((d^{\prime})\) de représentation paramétrique : \(\begin{cases}x=-6-8t\\y=4t\\z=6+5t\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\).

Question 1

Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur directeur de la droite \((d)\) ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\vec{u_1}\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}\)	\(\vec{u_2}\begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix}\)	\(\vec{u_3}\begin{pmatrix}1\\2\\0{,}2\end{pmatrix}\)	\(\vec{u_4}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\)

Question 2

Parmi les équations suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite (AB) ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\begin{cases}x=2t+6\\y=-6\\z=t+6\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\)	\(\begin{cases}x=2t-6\\y=-6\\z=-t-6\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\)	\(\begin{cases}x=2t+6\\y=-t-6\\z=6\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\)	\(\begin{cases}x=2t+6\\y=t-6\\z=6\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb{R}\)

Question 3

Un vecteur directeur de la droite \((d^{\prime})\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\vec{v_1}\begin{pmatrix}-6\\0\\6\end{pmatrix}\)	\(\vec{v_2}\begin{pmatrix}-14\\4\\11\end{pmatrix}\)	\(\vec{v_3}\begin{pmatrix}8\\-4\\-5\end{pmatrix}\)	\(\vec{v_4}\begin{pmatrix}8\\4\\5\end{pmatrix}\)

Question 4

Lequel des quatre points suivants appartient à la droite \((d^{\prime})\) ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\text{M}_1(50\,;\,-28\,;\,-29)\)	\(\text{M}_2(-14\,;\,-4\,;\,1)\)	\(\text{M}_3(2\,;\,-4\,;\,-1)\)	\(\text{M}_4(-3\,;\,0\,;\,3)\)

Question 5

Le plan d’équation \(x=1\) a pour vecteur normal :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)	\(\vec{n_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\)	\(\vec{n_3}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)	\(\vec{n_4}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\)

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. a. Traduisons l’énoncé en probabilités : \(P(E)=0{,}2\), \(P(T)=0{,}8\), \(P_E(C)=0{,}5\) et \(P_T(C)=0{,}375\). Dans l’arbre pondéré, la première génération de branches mène à \(E\) (0,2) et à \(T\) (0,8) ; de \(E\) partent \(C\) (0,5) et \(\overline{C}\) (0,5), de \(T\) partent \(C\) (0,375) et \(\overline{C}\) (0,625).

La probabilité cherchée est celle de l’intersection \(E\cap C\) : on multiplie les probabilités le long du chemin \(E\to C\).

\[P(E\cap C)=P(E)\times P_E(C)=0{,}2\times 0{,}5=0{,}1.\]

La probabilité qu’un client veuille un véhicule électrique et ait consulté la plate-forme est 0,1.

b. Un client souhaite soit un véhicule électrique, soit un véhicule thermique : \(E\) et \(T\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(C)=P(E\cap C)+P(T\cap C)=0{,}1+0{,}8\times 0{,}375=0{,}1+0{,}3=0{,}4.\]

On obtient bien \(P(C)=0{,}4\).

c. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_C(E)\) :

\[P_C(E)=\dfrac{P(E\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25.\]

Sachant qu’un client a consulté la plate-forme, la probabilité qu’il souhaite un véhicule électrique est 0,25. Autrement dit, un quart des clients venus par la plate-forme visent l’électrique, contre 20 % de l’ensemble des clients.

2. a. Pour chacun des 17 clients de la journée, on a une épreuve à deux issues : le succès « le client souhaite un véhicule électrique », de probabilité \(p=0{,}2\), ou l’échec. Les clients font leurs choix indépendamment les uns des autres : on répète donc 17 fois la même épreuve de Bernoulli de façon indépendante. \(X\) compte le nombre de succès, donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=17\) et \(p=0{,}2\).

b. On passe par l’évènement contraire : \(P(X\geq\,3)=1-P(X\leq\,2)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]\), avec \(P(X=k)=\binom\,{17}{k}0{,}2^k\,0{,}8^{17-k}\) :

\(P(X=0)=0{,}8^{17}\approx0{,}0225\) ;
\(P(X=1)=17\times 0{,}2\times 0{,}8^{16}\approx0{,}0957\) ;
\(P(X=2)=136\times 0{,}2^2\times 0{,}8^{15}\approx0{,}1914\).

Ainsi \(P(X\leq\,2)\approx0{,}3096\), et la probabilité qu’au moins trois clients souhaitent un véhicule électrique dans la journée est \(P(X\geq\,3)\approx0{,}69\).

Exercice 2 :

Partie A

1. En \(-\infty\). \(\lim\limits_{x\to-\infty}(x+\dfrac12)=-\infty\) et, par composition, \(\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\). Par produit, \((x+\dfrac12)\text{e}^{-x}\) tend vers \(-\infty\), et comme \(x\) tend aussi vers \(-\infty\), par somme \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).

En \(+\infty\). On développe : \(f(x)=x\text{e}^{-x}+\dfrac12\text{e}^{-x}+x\). Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}x\text{e}^{-x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}=0\), et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\). Les deux premiers termes tendent vers 0 et le dernier vers \(+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

2. a. On dérive le produit \((x+\dfrac12)\text{e}^{-x}\) avec \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\), où \(u(x)=x+\dfrac12\), \(u^{\prime}(x)=1\), \(v(x)=\text{e}^{-x}\), \(v^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x}\) :

\[f^{\prime}(x)=\text{e}^{-x}-(x+\dfrac12)\text{e}^{-x}+1=(\dfrac12-x)\text{e}^{-x}+1.\]

On dérive une seconde fois de la même façon, avec cette fois \(u(x)=\dfrac12-x\) et \(u^{\prime}(x)=-1\) ; la constante 1 a une dérivée nulle :

\[f^{\prime\prime}(x)=-\text{e}^{-x}-(\dfrac12-x)\text{e}^{-x}=(-1-\dfrac12+x)\text{e}^{-x}=(x-\dfrac32)\text{e}^{-x}.\]

On a bien, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)=(x-\dfrac32)\text{e}^{-x}\).

b. Comme \(\text{e}^{-x}\gt0\), \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(x-\dfrac32\) : négatif sur \(]-\infty\,;\,\dfrac32[\), nul en \(\dfrac32\), positif sur \(]\dfrac32\,;\,+\infty[\). Donc \(f^{\prime}\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,\dfrac32]\) et croissante sur \([\dfrac32\,;\,+\infty[\). Elle admet un minimum en \(\dfrac32\) :

\[f^{\prime}(\dfrac32)=(\dfrac12-\dfrac32)\text{e}^{-\frac32}+1=1-\text{e}^{-\frac32}\approx0{,}777.\]

Le minimum de \(f^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}\) vaut \(1-\text{e}^{-\frac32}\).

c. Comme \(-\dfrac32\lt0\) et que la fonction exponentielle est strictement croissante, \(\text{e}^{-\frac32}\lt\text{e}^0=1\), donc \(1-\text{e}^{-\frac32}\gt0\). Toutes les valeurs de \(f^{\prime}\) sont supérieures ou égales à ce minimum strictement positif : pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)\gt0\).

d. Puisque \(f^{\prime}\gt0\), la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Elle est continue (car dérivable), et ses limites sont \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\) : 0 est une valeur intermédiaire entre ces deux limites. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas d’une fonction strictement monotone), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).

e. On procède par balayage à la calculatrice : \(f(0)=0{,}5\gt0\) et \(f(-1)=-\dfrac12\text{e}-1\lt0\), puis en affinant, \(f(-0{,}2855)\approx-0{,}0001\lt0\) et \(f(-0{,}2845)\approx0{,}0019\gt0\). Donc \(-0{,}2855\lt\alpha\lt-0{,}2845\), et \(\alpha\approx-0{,}285\) à \(10^{-3}\) près.

Partie B

1. Sur le graphique, la courbe \(\mathcal{C}_h\) est d’abord tournée vers le bas (elle monte de moins en moins vite, elle est concave) depuis la gauche jusqu’aux environs de \(x=1{,}5\) ; au-delà, elle semble se redresser légèrement et devenir convexe. On conjecture un seul point d’inflexion, d’abscisse environ 1,5.

2. On factorise : \(h^{\prime\prime}(x)=(x-\dfrac32)\text{e}^{-x}\). L’exponentielle étant strictement positive, \(h^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(x-\dfrac32\) : \(h^{\prime\prime}\lt0\) sur \(]-\infty\,;\,\dfrac32[\) (\(h\) concave), \(h^{\prime\prime}\gt0\) sur \(]\dfrac32\,;\,+\infty[\) (\(h\) convexe). La dérivée seconde s’annule en changeant de signe uniquement en \(\dfrac32\) : la conjecture est validée, \(\mathcal{C}_h\) a un unique point d’inflexion, d’abscisse \(1{,}5\).

3. Le coefficient directeur de (AB) est

\[m=\dfrac{y_\text{B}-y_\text{A}}{x_\text{B}-x_\text{A}}=\dfrac{3{,}5-(-2{,}5)}{2-(-2)}=\dfrac{6}{4}=1{,}5.\]

La droite a une équation \(y=1{,}5x+p\). Elle passe par B, donc \(3{,}5=1{,}5\times 2+p\), soit \(p=0{,}5\). Une équation de (AB) est \(y=1{,}5x+0{,}5\) (contrôle avec A : \(1{,}5\times (-2)+0{,}5=-2{,}5\)).

4. La tangente à \(\mathcal{C}_h\) au point d’abscisse 0 a pour équation \(y=h^{\prime}(0)x+h(0)\). Comme c’est la droite (AB), on identifie : \(h(0)=0{,}5\) et \(h^{\prime}(0)=1{,}5\).

D’une part \(h(0)=(a\times 0+b)\text{e}^{0}+0=b\), donc \(b=0{,}5\).

D’autre part, en dérivant comme dans la partie A : \(h^{\prime}(x)=a\text{e}^{-x}-(ax+b)\text{e}^{-x}+1=(a-b-ax)\text{e}^{-x}+1\), donc \(h^{\prime}(0)=a-b+1\). La condition \(a-b+1=1{,}5\) donne \(a-b=0{,}5\), puis \(a=0{,}5+0{,}5=1\).

On trouve \(a=1\) et \(b=\dfrac12\) : la fonction \(h\) n’est autre que la fonction \(f\) de la partie A, ce qui est cohérent avec l’expression de \(h^{\prime\prime}\) donnée, identique à \(f^{\prime\prime}\).

Exercice 3 :

1. \(f\) est une fonction polynôme du second degré, de coefficient dominant \(\dfrac34\gt0\) : elle est décroissante puis croissante, avec un minimum atteint en \(x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{2\times \frac34}=\dfrac43\). Ce minimum vaut

\[f(\dfrac43)=\dfrac34\times \dfrac{16}{9}-\dfrac83+3=\dfrac43-\dfrac83+3=\dfrac53.\]

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac43\)		\(+\infty\)
variations de \(f\)		décroissante \(\searrow\)	\(\dfrac53\)	croissante \(\nearrow\)

2. Sur \([\dfrac43\,;\,2]\), la fonction \(f\) est croissante. Donc si \(\dfrac43\leq\, x\leq\,2\), alors \(f(\dfrac43)\leq\, f(x)\leq\, f(2)\). Or \(f(\dfrac43)=\dfrac53\) et \(f(2)=3-4+3=2\). Ainsi \(\dfrac53\leq\, f(x)\leq\,2\), et comme \(\dfrac43\lt\dfrac53\), on a a fortiori \(f(x)\in[\dfrac43\,;\,2]\).

3. Pour tout réel \(x\) :

\[f(x)-x=\dfrac34x^2-3x+3=\dfrac34(x^2-4x+4)=\dfrac34(x-2)^2.\]

Un carré est positif et \(\dfrac34\gt0\), donc \(f(x)-x\geq\,0\) : pour tout réel \(x\), \(x\leq\, f(x)\), avec égalité seulement pour \(x=2\).

4. a. Pour que l’hérédité fonctionne, on démontre un peu plus : pour tout entier naturel \(n\), la propriété \(\mathcal{P}(n)\) : « \(\dfrac43\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\,2\) ».

Initialisation. Par hypothèse \(\dfrac43\leq\, u_0\leq\,2\). D’après la question 3, \(u_1=f(u_0)\geq\, u_0\), et d’après la question 2, \(u_1=f(u_0)\leq\,2\). Donc \(\dfrac43\leq\, u_0\leq\, u_1\leq\,2\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\) : \(\dfrac43\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\,2\). Les nombres \(u_n\), \(u_{n+1}\) et 2 sont rangés dans l’intervalle \([\dfrac43\,;\,2]\), où \(f\) est croissante : elle conserve l’ordre, donc \(f(u_n)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(2)\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\,2\). De plus \(u_{n+1}\geq\, u_n\geq\,\dfrac43\). Ainsi \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\,2\).

b. D’après a, la suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n\leq\, u_{n+1}\)) et majorée par 2. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\) telle que \(\ell\leq\,2\).

c. La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (c’est un polynôme). En passant à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), on obtient \(\ell=f(\ell)\), soit \(f(\ell)-\ell=0\), c’est-à-dire \(\dfrac34(\ell-2)^2=0\) d’après la question 3. Donc \(\ell=2\) : la suite converge vers 2.

5. On part de \(u=3\) et \(n=0\) ; tant que \(u\) est strictement inférieur à 100, on calcule le terme suivant et on augmente \(n\) de 1. La boucle s’arrête au premier rang où \(u_n\geq\,100\), et c’est ce rang qui est renvoyé.

def seuil() :
    u = 3
    n = 0
    while u < 100 :
        u = 3/4*u**2 - 2*u + 3
        n = n + 1
    return n

Pour information, les termes successifs valent \(u_1=3{,}75\), \(u_2\approx6{,}05\), \(u_3\approx18{,}33\) et \(u_4\approx218{,}33\) : la fonction renvoie 4.

6. Supposons par l’absurde que \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\).

D’une part, d’après la question 3, \(u_{n+1}=f(u_n)\geq\, u_n\) pour tout \(n\) : la suite est croissante, donc \(u_n\geq\, u_0\) pour tout \(n\). En passant à la limite dans cette inégalité, \(\ell\geq\, u_0\gt2\).

D’autre part, comme à la question 4.c, \(f\) est continue, donc \(\ell=f(\ell)\), ce qui impose \(\dfrac34(\ell-2)^2=0\), c’est-à-dire \(\ell=2\).

On aurait à la fois \(\ell\gt2\) et \(\ell=2\) : c’est absurde. La suite \((u_n)\) n’est donc pas convergente lorsque \(u_0\gt2\) (croissante et non majorée, elle tend en fait vers \(+\infty\)).

Exercice 4 :

Question 1 : réponse d. On a \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{BC}}\begin{pmatrix}4\\-2\\5\end{pmatrix}\). Un vecteur directeur de \((d)\) doit être orthogonal à ces deux vecteurs. Pour \(\vec{u_4}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) : \(\vec{u_4}\cdot\vec{\text{AB}}=-12+12+0=0\) et \(\vec{u_4}\cdot\vec{\text{BC}}=4-4+0=0\). Les autres échouent : \(\vec{u_1}\cdot\vec{\text{AB}}=72+18=90\neq0\), \(\vec{u_2}\cdot\vec{\text{BC}}=4-4+30=30\neq0\) et \(\vec{u_3}\cdot\vec{\text{BC}}=4-4+1=1\neq0\).

Question 2 : réponse c. Le vecteur \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}=-6\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\) : la droite (AB) est dirigée par \(\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\). La représentation c a exactement ce vecteur directeur (coefficients de \(t\)) et passe par \(\text{A}(6\,;\,-6\,;\,6)\) pour \(t=0\) ; on vérifie aussi que \(t=-6\) donne \((-6\,;\,0\,;\,6)\), c’est-à-dire B. Les vecteurs directeurs de a \(\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\), b \(\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\) et d \(\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\) ne sont pas colinéaires à \(\vec{\text{AB}}\).

Question 3 : réponse c. Les coefficients de \(t\) dans la représentation de \((d^{\prime})\) donnent le vecteur directeur \(\begin{pmatrix}-8\\4\\5\end{pmatrix}\). Son opposé \(\vec{v_3}\begin{pmatrix}8\\-4\\-5\end{pmatrix}\) lui est colinéaire, donc dirige aussi \((d^{\prime})\). Aucun des trois autres vecteurs n’est proportionnel à \(\begin{pmatrix}-8\\4\\5\end{pmatrix}\) (par exemple \(\vec{v_4}\) a les deux premières coordonnées de même signe).

Question 4 : réponse a. Pour \(\text{M}_1(50\,;\,-28\,;\,-29)\), l’équation \(-6-8t=50\) donne \(t=-7\) ; on vérifie alors \(y=4\times (-7)=-28\) et \(z=6+5\times (-7)=-29\) : les trois coordonnées concordent. Pour les autres, la deuxième équation fixe \(t\) (\(t=-1\) pour \(\text{M}_2\) et \(\text{M}_3\), \(t=0\) pour \(\text{M}_4\)), mais la première coordonnée obtenue (2, 2 et \(-6\)) ne correspond pas.

Question 5 : réponse a. Un plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\) admet \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) comme vecteur normal. L’équation \(x=1\) s’écrit \(1\times x+0\times y+0\times z-1=0\), d’où le vecteur normal \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\).

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