Cette série de quinze exercices de terminale fait le tour des fonctions sinus et cosinus, du calcul de dérivées jusqu’à la modélisation d’un phénomène physique. Ensuite, les premiers énoncés entraînent au calcul de dérivées de sommes, de produits, de quotients et de composées faisant intervenir \(\sin\) et \(\cos\). D’autres demandent de résoudre des équations et des inéquations trigonométriques sur un intervalle, en s’appuyant sur le cercle trigonométrique.
Une grande partie de la fiche porte sur les propriétés graphiques : parité, périodicité, symétries de la courbe et prolongement d’un tracé partiel. Puis on y rencontre aussi un algorithme de balayage en Python pour approcher la solution de \(\cos(x)=x\), un écran de calcul formel à interpréter, une étude de variations complète et un problème concret sur l’énergie des vagues, où la vitesse d’un flotteur s’obtient grâce à la dérivée seconde.
Pour progresser, cherche chaque exercice au brouillon en rédigeant tes justifications, puis compare avec le corrigé détaillé placé en bas de la page : toutes les questions y sont traitées, étape par étape. De plus, la fiche peut également être imprimée au format PDF pour travailler hors ligne.
Exercice 1 (exercices sinus cosinus)
Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
a) \(f(x)=x+\cos(x)\)
b) \(g(x)=x\cos(x)\)
Application 2 :
Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
a) \(f(x)=\sin(x)+\cos(x)\)
b) \(g(x)=\sin(x)-\cos(x)\)
Exercice 3 (exercices sinus cosinus)
Résoudre dans l’intervalle \([-\pi\,;\,\pi]\) :
a. \(\cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
b. \(\cos(x)\leq\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Application 4 :
Résoudre dans l’intervalle \([-\pi\,;\,\pi]\) :
a. \(\cos(x)=-\dfrac{1}{2}\)
b. \(\cos(x)\geq\,-\dfrac{1}{2}\)
Exercice 5 (exercices sinus cosinus)
1. Démontrer que l’équation \(\cos(x)=x\) admet une unique solution \(x_0\) dans \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\).
2. Ensuite, on étudie la fonction Balayage ci-dessous, écrite en langage Python.
from math import *
def Balayage(p):
a=0
while cos(a)>a:
a=a+p
return a-p,a
a) Exécuter pas à pas ce programme et compléter un tableau de suivi de la variable a pour p = 0,1.
Faire apparaître également \(\cos(a)\) dans ce tableau.
Arrondir au centième.
Quelles sont les valeurs obtenues ?
b) Expliquer le rôle de ce programme.
c) Saisir ce programme et l’exécuter avec \(p=0{,}0001\).
Interpréter le résultat obtenu.
Application 6 :
f est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=2\sin(x).\)
Laquelle de ces affirmations est exacte ?
(1) La fonction f est paire.
(2) La fonction f est impaire.
(3) La fonction f n’est ni paire ni impaire.
Exercice 7 (exercices sinus cosinus)
Voici la courbe représentative de la fonction sinus sur \([-\pi\,;\,0]\) dans un repère.
Expliquer oralement comment compléter cette courbe pour l’obtenir sur \([-\pi\,;\,2\pi]\).
Application 8 :
Voici la courbe représentative de la fonction g définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=2\sin(2x)\).
1. a) Conjecturer graphiquement la parité de g.
b) Exprimer \(g(-x)\) en fonction de \(x\) et démontrer cette conjecture.
2. Puis exprimer \(g(x+\pi)\) en fonction de \(x\) et démontrer que la fonction g est périodique de période \(\pi\).
Exercice 9 (exercices sinus cosinus)
h est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(h(x)=\sin(x)+\sin(2x).\)
a) Démontrer que la fonction h est impaire.
b) Qu’en déduit-on pour sa courbe représentative \((\varphi)\) dans un repère ?
c) Afficher la courbe \((\varphi)\) à l’écran de la calculatrice et vérifier cette conjecture.
Application 10 :
Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur I.
a) \(g(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}\), \(I=]0\,;+\infty[\)
b) \(h(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}\), \(I=]0\,;\pi[\)
Exercice 11 (exercices sinus cosinus)
f est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=\sin^2(x)+2\sin(x).\)
1. De plus, montrer que pour tout x, \(f^{\prime}(x)=2(\sin(x)+1)\cos(x)\).
2. a) Expliquer pourquoi \(f^{\prime}(x)\) est du signe de \(\cos(x)\) sur \([0\,;\pi].\)
En déduire le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur \([0\,;\pi].\)
b) Dresser le tableau de variations de f sur \([0\,;\pi].\)
Application 12 :
On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction cosinus sur l’intervalle \([0\,;\pi].\)
Expliquer oralement comment compléter cette courbe pour l’obtenir sur \([-\pi\,;2\pi].\)
Exercice 13 (exercices sinus cosinus)
f est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=\cos(2x)+\cos(3x).\)
Voici ci-dessous un écran de calcul formel.
| 1 | \(f(x):=\cos(2x)+\cos(3x)\) \(\to f(x):=\cos(2x)+\cos(3x)\) |
| 2 | \(f(-x)\) \(\to \cos(2x)+\cos(3x)\) |
| 3 | \(f(x+2\pi)\) \(\to \cos(2x)+\cos(3x)\) |
a) Vérifier les résultats.
b) Quelles propriétés de la fonction f observe-t-on ainsi ?
c) Qu’en déduit-on pour la courbe représentative de f ?
Application 14 :
S’aider de ce cercle trigonométrique pour indiquer mentalement
les solutions dans \([-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}]\) de l’équation :
a) \(\cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
b) \(\sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Exercice 15 (exercices sinus cosinus)
L’Université de Manchester a mis au point une plate-forme équipée de flotteurs pour capturer l’énergie des vagues.
Ensuite, L’oscillation de la houle à la surface de l’eau induit l’oscillation verticale des flotteurs.
La distance d du fond marin au centre de flottaison d’un flotteur est donnée en fonction du temps t sur \([0\,;4]\) par :
\(d(t)=1{,}5\cos(\dfrac{\pi}{2}t)+50\)
où d(t) est exprimé en mètre et t en seconde.
1. Par ailleurs, déterminer l’amplitude du mouvement du flotteur.
2. a) Déterminer \(d^{\prime}(t)\) sur \([0\,;4]\).
b) Expliquer pourquoi \(d^{\prime}(t)\) est négatif sur \([0\,;\,2]\) et positif sur \([2\,;\,4]\).
c) Dresser le tableau de variations de d sur \([0\,;4]\).
d) Sur quel intervalle de temps le flotteur monte-t-il ?
3. Puis on se propose de déterminer à quel(s) instant(s) de l’intervalle \([0\,;4]\) la vitesse du flotteur est maximale.
Ensuite, on rappelle que la vitesse à l’instant t est \(v(t)=d^{\prime}(t)\).
a) Déterminer la dérivée seconde \(d^{\prime\prime}(t)\) sur \([0\,;4]\).
b) Donner un encadrement de \(\dfrac{\pi}{2}t\) pour \(t\in[0\,;\,4]\), puis résoudre l’équation \(\cos(\dfrac{\pi}{2}t)=0\) dans cet intervalle.
c) Dresser le tableau de variations de la vitesse du flotteur sur \([0\,;4]\).
En déduire l’instant t de \([0\,;4]\) où la vitesse du flotteur est maximale.
Exercice 16 (exercices sinus cosinus)
1. Résoudre dans l’intervalle \([-\pi\,;\,\pi]\) l’équation \(2\cos^2(x)-\cos(x)-1=0\).
2. En déduire l’ensemble des solutions dans \([-\pi\,;\,\pi]\) de l’inéquation \(2\cos^2(x)-\cos(x)-1\leq\,0\).
Exercice 17 (exercices sinus cosinus)
On a représenté ci-dessous la fonction \(g\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}\), ainsi que les courbes d’équations \(y=\dfrac{1}{x}\) et \(y=-\dfrac{1}{x}\).
1. a) Justifier que, pour tout réel \(x\gt 0\), \(-\dfrac{1}{x}\leq\, g(x)\leq\,\dfrac{1}{x}\).
b) En déduire la limite de \(g\) en \(+\infty\), puis interpréter graphiquement ce résultat.
2. a) Donner la valeur de \(\sin^{\prime}(0)\), puis écrire ce nombre dérivé comme limite d’un taux d’accroissement.
b) En déduire \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(x)}{x}\), puis \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{x}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(x)}{5x}\).
c) Déterminer de la même façon \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\cos(x)-1}{x}\).
Exercice 18 (exercices sinus cosinus)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sin(x)\,(1+\cos(x))\).
1. a) Montrer que \(f\) est impaire et périodique de période \(2\pi\).
b) Pourquoi suffit-il d’étudier \(f\) sur l’intervalle \([0\,;\,\pi]\) ?
2. a) Montrer que, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)=\cos(x)+\cos(2x)\). On rappelle que \(\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=2\cos^2(x)-1\).
b) Vérifier que \(f^{\prime}(x)=(2\cos(x)-1)(\cos(x)+1)\).
c) Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur \([0\,;\,\pi]\), puis dresser le tableau de variations de \(f\) sur cet intervalle.
3. a) Donner la valeur exacte du maximum de \(f\) sur \([0\,;\,\pi]\).
b) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse 0.
Exercice 19 (exercices sinus cosinus)
Dans un port, la hauteur d’eau, en mètre, au-dessus du fond du chenal d’accès est modélisée en fonction de l’heure \(t\) de la journée (\(t\in[0\,;\,24[\), en heure) par :
\(h(t)=5+3\cos(\dfrac{\pi}{6}(t-2))\).
1. a) Montrer que, pour tout réel \(t\), \(h(t+12)=h(t)\). Que signifie ce résultat pour la marée ?
b) Déterminer les hauteurs minimale et maximale de l’eau, ainsi que les instants de \([0\,;\,24[\) où elles sont atteintes.
2. Un navire a besoin d’au moins 6,5 m d’eau pour franchir le chenal. Résoudre dans \([0\,;\,24[\) l’inéquation \(h(t)\geq\,6{,}5\) et en déduire les créneaux horaires pendant lesquels le navire peut passer.
3. a) Calculer \(h^{\prime}(t)\).
b) À quels instants de \([0\,;\,24[\) le niveau de l’eau baisse-t-il le plus vite ? Donner alors la vitesse de variation de la hauteur, arrondie au centième de mètre par heure.
Exercice 20 (exercices sinus cosinus)
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.
1. La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\sin(x)\) est paire.
2. La fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=\cos(x)+\sin(x)\) est paire ou impaire.
3. La fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=\sin(3x)\) est périodique de période \(\dfrac{2\pi}{3}\).
4. L’équation \(\sin(x)=x\) admet 0 pour unique solution dans \(\mathbb{R}\).
Exercices sinus cosinus : nos conseils pour progresser
D’abord, lis l’énoncé en entier avant de commencer. Ensuite, compare ta démarche avec ta leçon, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Puis en outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, pour aller plus loin, l’article Fonction (mathématiques) de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec dérivée d’une fonction : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
