Les fonctions sinus et cosinus : exercices de maths en terminale.

Les fonctions sinus et cosinus avec des exercices de maths en terminale corrigés en PDF. Utilisation des propriétés et de la périodicité de ces fonctions.

Exercice 1 :

Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
a) $f(x)\,=\,x\,+\,cos\,(x)$
b) $g(x)=\,x\,cos\,(x)$

Exercice 2 :
Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$a)\,f(x)=\,sin(x)\,+\,cos(x)$

$b)\,g(x)=\,sin\,(x)\,-cos(x)$

Exercice 3 :

Résoudre dans l’intervalle $[-\pi\,;\,\pi]$ :
a. $cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

b. $cos(x)\,\leq\,\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

Exercice 4 :
Résoudre dans l’intervalle $[-\pi\,;\,\pi]$ :
a. $cos(x)=-\frac{1}{2}$

b. $cos(x)\,\geq\,\,-\frac{1}{2}$

Exercice 5 :

1. Démontrer que l’équation $cos(x)\,=\,x$ admet une unique solution dans $[0;\frac{\pi}{2}]$ .
2. On étudie la fonction Balayage ci-dessous, écrite en langage Python.

a) Exécuter pas à pas ce programme et compléter un tableau de suivi de la
de variable a pour p = 0,1.

Faire apparaitre également dans ce tableau.
Arrondir au centième.
Quelles sont les valeurs obtenues ?
b) Expliquer le rôle de ce programme.
c) Saisir ce programme et l’exécuter avec $p\,=\,0,000\,1$ .

Interpréter le résultat obtenu.

Exercice 6 :

f est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

Laquelle de ces affirmations est exacte ?
(1) La fonction f est paire.
(2) La fonction f est impaire.
(3) La fonction f n’est ni paire ni impaire.

Exercice 7 :

Voici la courbe représentative de la fonction sinus sur $[-\pi\,;\,0]$ dans un repère.
Expliquer oralement comment compléter cette courbe pour l’obtenir sur $[-\pi\,;\,2\pi]$ .

Exercice 8 :

Voici la courbe représentative de la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par .

1. a) Conjecturer graphiquement la parité de g.
b) Exprimer en fonction de et démontrer cette conjecture.
2.Exprimer $g(x\,+\,\pi)$ en fonction de et démontrer que la fonction g est périodique de période $\pi$ .

Exercice 9 :

h est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$h(x)=\,sin(x)\,+\,sin(2x).$
a) Démontrer que la fonction h est impaire.
b) Qu’en déduit-on pour sa courbe représentative $(\varphi\,)$ dans un repère ?
c) Afficher la courbe $(\varphi\,)$ à l’écran de la calculatrice et vérifier cette conjecture.

Exercice 10 :

Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur I.

$a)g(x)=\frac{sin(x)}{x}\,\,,\,\,I=]0;+\infty[$

$b)\,h(x)=\frac{1}{sin(x)}\,,\,\,I=]0;+\pi[$

Exercice 11 :

f est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=\,sin^2(x)\,+\,2sin(x).$

1.Montrer que pour tout x, $f'(x)=\,2(sin(x)\,+\,1)cos(x)$ .

2.a) Expliquer pourquoi f'(x) est du signe de cos(x) sur $[0\,;\pi].$

En déduire le signe de f'(x) sur $[0\,;\pi].$

b) Dresser le tableau de variations de f sur $[0\,;\pi].$

Exercice 12 :

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction cosinus sur l’intervalle $[0\,;\pi].$
Expliquer oralement comment compléter cette courbe pour l’obtenir sur $[-\pi\,;2\pi].$

Exercice 13 :

f est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f\,(x)\,=cos(2x)\,+\,cos(3x).$
Voici ci-dessous un écran de calcul formel.

a) Vérifier les résultats.
b) Quelles propriétés de la fonction f observe-t-on ainsi ?
c) Qu’en déduit-on pour la courbe représentative de f ?

Exercice 14 :

S’aider de ce cercle trigonométrique pour indiquer mentalement
les solutions dans $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ de l’équation :
$a)\,cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$b)\,sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Exercice 15 :

L’Université de Manchester a mis au point une plate-forme équipée de flotteurs pour capturer l’énergie des vagues.
L’oscillation de la houle à la surface de l’eau induit l’oscillation verticale des flotteurs.

La distance d du fond marin au centre de flottaison d’un flotteur est donnée en fonction du temps t sur [0;4] par :
$d(t)\,=\,1,5cos\,(\,\frac{\pi}{2}t)\,+\,50$
où d(t) est exprimé en mètre et t en seconde.
1. Déterminer l’amplitude du mouvement du flotteur.

2. a) Déterminer d'(t) sur [0;4] .
b) Expliquer pourquoi d'(t) est négatif sur $[0\,;\,2]$ et positif sur [2 ; 4].
c) Dresser le tableau de variations de d sur [0;4] .
d) Sur quel intervalle de temps le flotteur monte-t-il ?
3. On se propose de déterminer à quel(s) instant(s) de l’intervalle [0;4] , la vitesse du flotteur est maximum.
On rappelle que la vitesse à l’instant t est $v(t)\,=d'(t)$ .
a) Déterminer la dérivée seconde d''(t) sur [0;4] .
b) Donner un encadrement de $\frac{\pi}{2}t$ pour $t\,\in\,[0\,;\,4]$ , puis résoudre l’équation $cos\,(\,\frac{\pi}{2}t)\,=0$ dans cet intervalle.
c) Dresser le tableau de variations de la vitesse du flotteur sur [0;4] .

En déduire l’instant t de [0;4] où la vitesse du flotteur est maximum.

Voir Exercices 11 à 15...

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