Voici le corrigé complet du bac S de mathématiques 2013 en Amérique du Nord, épreuve passée à la fin du mois de mai 2013. Le sujet comporte quatre exercices de 5 points chacun, qui balaient une grande partie du programme de terminale S.
Le premier exercice relève de la géométrie dans l’espace : vecteur normal, équation cartésienne du plan (ABC), représentation paramétrique d’une droite, projeté orthogonal et intersection de deux plans. Le deuxième étudie la suite définie par \(u_{n+1}=\sqrt{2u_n}\) : raisonnement par récurrence, monotonie, convergence, suite géométrique auxiliaire obtenue avec le logarithme et algorithme de seuil. Le troisième, consacré à une boulangerie, mobilise la loi normale, l’intervalle de fluctuation asymptotique et la loi exponentielle. Le dernier porte sur l’étude de la fonction \(x\mapsto \dfrac{1+\ln x}{x^2}\) : limites, asymptotes, dérivée, variations, signe et calcul d’intégrales à l’aide d’une primitive.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Géométrie dans l’espace, 5 points
L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère les points \(A(0\,;4\,;1)\), \(B(1\,;3\,;0)\), \(C(2\,;-1\,;-2)\) et \(D(7\,;-1\,;4)\).
1. Les points A, B et C définissent-ils un plan ?
On calcule \(\vec{AB}(1\,;-1\,;-1)\) et \(\vec{AC}(2\,;-5\,;-3)\). S’ils étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) tel que \(\vec{AC}=k\,\vec{AB}\) ; la première coordonnée impose \(k=2\), mais la deuxième donnerait \(-5=-2\), ce qui est faux.
Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan (ABC).
2. a) Montrer que \(\vec{u}(2\,;-1\,;3)\) est normal au plan (ABC).
\[\vec{u}\cdot\vec{AB}=2\times 1+(-1)\times (-1)+3\times (-1)=2+1-3=0\]
\[\vec{u}\cdot\vec{AC}=2\times 2+(-1)\times (-5)+3\times (-3)=4+5-9=0\]
\(\vec{u}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : \(\vec{u}\) est un vecteur normal au plan (ABC).
b) Équation cartésienne du plan (ABC).
Comme \(\vec{u}\) est normal au plan, celui-ci a une équation de la forme \(2x-y+3z+d=0\). Le point A appartient au plan : \(2\times 0-4+3\times 1+d=0\), d’où \(d=1\).
\((ABC) : 2x-y+3z+1=0\). (Vérification : B donne \(2-3+0+1=0\) et C donne \(4+1-6+1=0\).)
c) Représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par D et orthogonale au plan (ABC).
La droite \(\Delta\) est dirigée par le vecteur normal \(\vec{u}(2\,;-1\,;3)\) et passe par \(D(7\,;-1\,;4)\) :
\[\Delta : \begin{cases} x=2t+7\\ y=-t-1\\ z=3t+4\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\]
d) Coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
H est le point d’intersection de \(\Delta\) et de (ABC). Il existe donc un réel \(t\) tel que \(H(2t+7\,;-t-1\,;3t+4)\), et ses coordonnées vérifient l’équation du plan :
\[2(2t+7)-(-t-1)+3(3t+4)+1=0 \iff 14t+28=0 \iff t=-2.\]
On obtient \(H(3\,;1\,;-2)\). (Contrôle : \(6-1-6+1=0\).)
3. On considère les plans \(P_1 : x+y+z=0\) et \(P_2 : x+4y+2=0\).
a) Montrer que les plans \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants.
Un vecteur normal de \(P_1\) est \(\vec{n_1}(1\,;1\,;1)\) et un vecteur normal de \(P_2\) est \(\vec{n_2}(1\,;4\,;0)\). La troisième coordonnée de \(\vec{n_2}\) est nulle alors que celle de \(\vec{n_1}\) ne l’est pas, et \(\vec{n_2}\) n’est pas nul : ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants selon une droite \(d\).
b) Représentation paramétrique de la droite \(d=P_1\cap P_2\).
Un point \(M(x\,;y\,;z)\) appartient aux deux plans si et seulement si :
\[\begin{cases} x+y+z=0\\ x+4y+2=0\end{cases}\iff\begin{cases} x=-4y-2\\ z=-x-y=3y+2\end{cases}\]
En prenant \(y=t\) comme paramètre :
\[d : \begin{cases} x=-4t-2\\ y=t\\ z=3t+2\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\]
Remarque : le corrigé PDF d’origine avait interverti les expressions de \(x\) et de \(z\) ; la représentation correcte est bien celle ci-dessus (on vérifie par exemple que le point obtenu pour \(t=0\), \((-2\,;0\,;2)\), est sur les deux plans).
c) Position relative de la droite \(d\) et du plan (ABC).
On cherche un éventuel point commun : on remplace les coordonnées d’un point de \(d\) dans l’équation de (ABC).
\[2(-4t-2)-t+3(3t+2)+1=0 \iff -8t-4-t+9t+6+1=0 \iff 3=0.\]
Cette équation n’a aucune solution : la droite \(d\) et le plan (ABC) n’ont aucun point commun. La droite \(d\) est strictement parallèle au plan (ABC). On peut le confirmer : un vecteur directeur de \(d\) est \(\vec{w}(-4\,;1\,;3)\) et \(\vec{u}\cdot\vec{w}=-8-1+9=0\).
Exercice 2 :
Suites, 5 points
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\sqrt{2u_n}\).
1. a) Valeur affichée par l’algorithme pour \(n=3\).
L’algorithme calcule les termes successifs de la suite :
| \(k\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(u_k\) | 1 | \(\sqrt{2}\approx1{,}4142\) | \(\approx1{,}6818\) | \(\approx1{,}8340\) |
L’algorithme affiche \(1{,}8340\).
b) Rôle de l’algorithme.
Pour un entier \(n\) saisi par l’utilisateur, l’algorithme calcule et affiche le terme \(u_n\) de la suite.
c) Conjecture.
Les valeurs calculées augmentent en restant inférieures à 2 : on conjecture que la suite \((u_n)\) est croissante et converge vers 2.
2. a) Montrer par récurrence que, pour tout \(n\), \(0\lt u_n\leq\, 2\).
Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(0\lt u_n\leq\, 2\) ».
- Initialisation : \(u_0=1\) et \(0\lt 1\leq\, 2\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
- Hérédité : supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\), c’est-à-dire \(0\lt u_n\leq\, 2\). Alors \(0\lt 2u_n\leq\, 4\) et, la fonction racine carrée étant strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\), \(0\lt\sqrt{2u_n}\leq\,\sqrt{4}\), soit \(0\lt u_{n+1}\leq\, 2\). \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
- Conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(0\lt u_n\leq\, 2\).
b) Sens de variation de la suite.
Les termes étant strictement positifs, on peut comparer le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1 :
\[\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{2u_n}}{\sqrt{u_n}\,\sqrt{u_n}}=\sqrt{\frac{2}{u_n}}.\]
Comme \(0\lt u_n\leq\, 2\), on a \(\dfrac{2}{u_n}\geq\, 1\), donc \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq\, 1\) et \(u_{n+1}\geq\, u_n\). La suite \((u_n)\) est croissante.
c) Convergence.
La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par 2 : d’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.
3. On pose \(v_n=\ln(u_n)-\ln 2\) pour tout \(n\).
a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\).
D’abord \(v_0=\ln 1-\ln 2=-\ln 2\). Ensuite, pour tout \(n\) :
\[v_{n+1}=\ln(\sqrt{2u_n})-\ln 2=\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{2}\ln u_n-\ln 2=\frac{1}{2}(\ln u_n-\ln 2)=\frac{1}{2}v_n.\]
\((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) et de premier terme \(v_0=-\ln 2\).
b) Expression de \(v_n\) puis de \(u_n\) en fonction de \(n\).
\[v_n=-\ln 2\times (\frac{1}{2})^n.\]
Comme \(\ln u_n=v_n+\ln 2=(1-(\frac{1}{2})^n)\ln 2\), on obtient :
\[u_n=\mathrm{e}^{(1-\frac{1}{2^n})\ln 2}=2^{\,1-\frac{1}{2^n}}.\]
c) Limite de la suite \((u_n)\).
Comme \(-1\lt\frac{1}{2}\lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2^n}=0\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(1-\frac{1}{2^n})\ln 2=\ln 2\) et, par continuité de l’exponentielle, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\mathrm{e}^{\ln 2}=2\). La conjecture est confirmée.
d) Algorithme affichant le plus petit \(n\) tel que \(u_n\gt 1{,}999\).
Variables :
n est un entier naturel
u est un réel
Initialisation :
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 1
Traitement :
Tant que u ≤ 1,999
u prend la valeur √(2u)
n prend la valeur n + 1
Fin Tant que
Sortie :
Afficher n
Cet algorithme s’arrête puisque la suite converge vers 2. À titre indicatif, il affiche \(n=11\) (on trouve \(u_{10}\approx1{,}9986\) et \(u_{11}\approx1{,}9993\)).
Exercice 3 :
Probabilités (loi normale, fluctuation, loi exponentielle), 5 points
Une boulangerie industrielle fabrique des pains de campagne dont la masse moyenne visée est de 400 grammes.
Partie A
La masse \(X\) d’un pain, en grammes, suit la loi normale d’espérance 400 et d’écart-type 11.
1. Calculer \(P(390\leq\, X\leq\, 410)\).
À la calculatrice (loi normale \(\mathcal{N}(400\,;11^2)\)) : \(P(390\leq\, X\leq\, 410)\approx 0{,}637\).
2. Probabilité \(p\) qu’un pain soit commercialisable, c’est-à-dire pèse au moins 385 g.
Par symétrie de la loi normale autour de 400, \(P(X\geq\, 400)=0{,}5\), donc :
\[p=P(X\geq\, 385)=P(385\leq\, X\leq\, 400)+0{,}5\approx 0{,}914.\]
3. Valeur de l’écart-type \(\sigma\) pour que \(P(X\geq\, 385)=0{,}96\).
On suppose désormais que \(X\) suit la loi \(\mathcal{N}(400\,;\sigma^2)\). La variable \(Z=\dfrac{X-400}{\sigma}\) suit la loi normale centrée réduite et :
\[P(X\geq\, 385)=P(Z\geq\, -\frac{15}{\sigma})=0{,}96 \iff P(Z\lt -\frac{15}{\sigma})=0{,}04.\]
La calculatrice donne le réel \(a\) tel que \(P(Z\lt a)=0{,}04\) : \(a\approx -1{,}7507\). Donc \(-\dfrac{15}{\sigma}\approx -1{,}7507\), soit \(\sigma\approx 8{,}568\) (arrondi au millième ; le PDF d’origine donnait 8,567, simple écart d’arrondi).
Partie B
Après réglage, la proportion de pains commercialisables annoncée est \(p=0{,}96\). On contrôle un échantillon de 300 pains, dont 283 sont commercialisables.
1. Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
Ici \(n=300\geq\, 30\), \(np=288\geq\, 5\) et \(n(1-p)=12\geq\, 5\) : les conditions sont remplies.
\[I=[0{,}96-1{,}96\,\frac{\sqrt{0{,}96\times 0{,}04}}{\sqrt{300}}\,;\,0{,}96+1{,}96\,\frac{\sqrt{0{,}96\times 0{,}04}}{\sqrt{300}}]\approx[0{,}937\,;\,0{,}983].\]
(Bornes arrondies vers l’extérieur au millième : \(0{,}93782\ldots\) et \(0{,}98217\ldots\) ; le PDF donnait \([0{,}938\,;0{,}982]\), ce qui ne change pas la conclusion.)
2. L’objectif est-il atteint ?
La fréquence observée est \(f=\dfrac{283}{300}\approx 0{,}943\). Elle appartient à l’intervalle de fluctuation : on ne remet pas en cause l’affirmation, l’objectif de 96 % peut être considéré comme atteint au vu de cet échantillon.
Partie C
La durée de vie \(T\) d’un four, en jours, suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), et l’on sait que \(P(T\geq\, 30)=0{,}913\).
1. Déterminer \(\lambda\).
Pour une loi exponentielle, \(P(T\geq\, 30)=1-\displaystyle\int_0^{30}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t=1-(1-\mathrm{e}^{-30\lambda})=\mathrm{e}^{-30\lambda}\). On résout :
\[\mathrm{e}^{-30\lambda}=0{,}913\iff\lambda=-\frac{\ln 0{,}913}{30}\approx 0{,}003.\]
2. Calculer \(P_{(T\geq\, 60)}(T\geq\, 90)\).
La loi exponentielle est sans vieillissement : \(P_{(T\geq\, t)}(T\geq\, t+h)=P(T\geq\, h)\). Avec \(t=60\) et \(h=30\) :
\[P_{(T\geq\, 60)}(T\geq\, 90)=P(T\geq\, 30)=\mathbf{0{,}913}.\]
Un four qui a déjà fonctionné 60 jours a la même probabilité de tenir encore 30 jours qu’un four neuf.
3. Durée \(x\) telle que \(P(T\geq\, x)=0{,}5\).
On résout, avec \(\lambda=0{,}003\) :
\[\mathrm{e}^{-0{,}003x}=0{,}5\iff -0{,}003x=\ln 0{,}5\iff x=\frac{\ln 2}{0{,}003}\approx 231.\]
Il y a une chance sur deux que le four fonctionne plus d’environ 231 jours. (Avec la valeur non arrondie \(\lambda\approx0{,}003034\), on trouverait environ 228 jours.)
Exercice 4 :
Fonction logarithme et intégrales, 5 points
On étudie la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x^2}\), de courbe \(\mathcal{C}_f\).
1. a) Limite de \(f\) en 0.
\(\displaystyle\lim_{x\to0^+}(1+\ln x)=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^2}=+\infty\). Par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\).
b) Limite de \(f\) en \(+\infty\).
On écrit \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{1}{x}\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) (croissances comparées) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).
c) Interprétation graphique.
L’axe des ordonnées (droite d’équation \(x=0\)) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\), et l’axe des abscisses (droite d’équation \(y=0\)) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).
2. a) Calcul de la dérivée.
\(f\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas. Avec \(u(x)=1+\ln x\), \(u^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\), \(v(x)=x^2\), \(v^{\prime}(x)=2x\) :
\[f^{\prime}(x)=\frac{\frac{1}{x}\times x^2-2x(1+\ln x)}{x^4}=\frac{x(1-2-2\ln x)}{x^4}=\frac{-1-2\ln x}{x^3}.\]
b) Signe de \(f^{\prime}(x)\).
Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x^3\gt 0\) : \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(-1-2\ln x\).
\[-1-2\ln x\gt 0\iff \ln x\lt -\frac{1}{2}\iff x\lt \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}.\]
Donc \(f^{\prime}(x)\gt 0\) sur \(]0\,;\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}[\), \(f^{\prime}(x)\lt 0\) sur \(]\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\,;+\infty[\) et \(f^{\prime}(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}})=0\).
c) Tableau de variations.
Le maximum vaut \(f(\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}})=\dfrac{1-\frac{1}{2}}{\mathrm{e}^{-1}}=\dfrac{\mathrm{e}}{2}\approx1{,}36\).
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f^{\prime}(x)\) | || | \(+\) | \(0\) | \(-\) | |
| \(f(x)\) | ||\(\;-\infty\) | croissante | \(\frac{\mathrm{e}}{2}\) | décroissante | \(0\) |
3. a) Point d’intersection de \(\mathcal{C}_f\) avec l’axe des abscisses.
\[f(x)=0\iff 1+\ln x=0\iff \ln x=-1\iff x=\mathrm{e}^{-1}.\]
\(\mathcal{C}_f\) coupe l’axe des abscisses en un unique point, de coordonnées \((\frac{1}{\mathrm{e}}\,;0)\).
b) Signe de \(f\).
\(f(x)\) a le signe de \(1+\ln x\), qui est positif si et seulement si \(x\geq\,\frac{1}{\mathrm{e}}\). Donc \(f(x)\leq\, 0\) sur \(]0\,;\frac{1}{\mathrm{e}}]\) et \(f(x)\geq\, 0\) sur \([\frac{1}{\mathrm{e}}\,;+\infty[\).
4. Pour tout entier \(n\geq\, 1\), on pose \(I_n=\displaystyle\int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{n}f(x)\,\mathrm{d}x\).
a) Montrer que \(0\leq\, I_2\leq\, \mathrm{e}-\frac{1}{2}\).
Sur \([\frac{1}{\mathrm{e}}\,;2]\), on a \(0\leq\, f(x)\leq\,\frac{\mathrm{e}}{2}\) (positivité d’après la question 3.b, majoration par le maximum de \(f\)). Par positivité et croissance de l’intégrale :
\[0\leq\, I_2\leq\,(2-\frac{1}{\mathrm{e}})\times \frac{\mathrm{e}}{2}=\mathrm{e}-\frac{1}{2}.\]
b) Calcul de \(I_n\) à l’aide de la primitive \(F(x)=\dfrac{-2-\ln x}{x}\).
On vérifie que \(F\) est une primitive de \(f\) : \(F^{\prime}(x)=\dfrac{-\frac{1}{x}\times x-(-2-\ln x)\times 1}{x^2}=\dfrac{-1+2+\ln x}{x^2}=\dfrac{1+\ln x}{x^2}=f(x)\).
\[I_n=F(n)-F(\frac{1}{\mathrm{e}})=\frac{-2-\ln n}{n}-\frac{-2+1}{\frac{1}{\mathrm{e}}}=\mathrm{e}-\frac{2+\ln n}{n}.\]
Ainsi \(I_n=\mathrm{e}-\dfrac{2}{n}-\dfrac{\ln n}{n}\). Par exemple \(I_2=\mathrm{e}-1-\frac{\ln 2}{2}\approx1{,}37\), qui respecte bien l’encadrement du 4.a.
c) Limite de \(I_n\).
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{2}{n}=0\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n}{n}=0\) (croissances comparées), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=\mathrm{e}\). Géométriquement, l’aire du domaine situé entre \(\mathcal{C}_f\), l’axe des abscisses et la droite \(x=\frac{1}{\mathrm{e}}\), à droite de cette droite, vaut \(\mathrm{e}\) unités d’aire.
