Corrigé du bac S de maths 2013 en Amérique du Nord à télécharger en PDF

Corrigé Nord 2013 : présentation de la correction

Tout d’abord, ce corrigé Nord 2013 porte sur le bac S de mathématiques 2013 en Amérique du Nord, dont chaque question est corrigée et justifiée. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants. Côté programme, il faut notamment maîtriser la géométrie dans l’espace, le raisonnement par récurrence, les suites géométriques et la fonction logarithme népérien. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, chaque étape de calcul reste visible, ce qui permet de repérer précisément l’endroit où un raisonnement a dévié.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Géométrie dans l’espace, 5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère les points \(A(0\,;4\,;1)\), \(B(1\,;3\,;0)\), \(C(2\,;-1\,;-2)\) et \(D(7\,;-1\,;4)\).

1. Les points A, B et C définissent-ils un plan ?

On calcule \(\vec{AB}(1\,;-1\,;-1)\) et \(\vec{AC}(2\,;-5\,;-3)\). S’ils étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) tel que \(\vec{AC}=k\,\vec{AB}\) ; la première coordonnée impose \(k=2\), mais la deuxième donnerait \(-5=-2\), ce qui est faux.

Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan (ABC).

2. a) Montrer que \(\vec{u}(2\,;-1\,;3)\) est normal au plan (ABC).

\[\vec{u}\cdot\vec{AB}=2\times 1+(-1)\times (-1)+3\times (-1)=2+1-3=0\]
\[\vec{u}\cdot\vec{AC}=2\times 2+(-1)\times (-5)+3\times (-3)=4+5-9=0\]

\(\vec{u}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : \(\vec{u}\) est un vecteur normal au plan (ABC).

b) Équation cartésienne du plan (ABC).

Comme \(\vec{u}\) est normal au plan, celui-ci a une équation de la forme \(2x-y+3z+d=0\). Le point A appartient au plan : \(2\times 0-4+3\times 1+d=0\), d’où \(d=1\).

\((ABC) : 2x-y+3z+1=0\). (Vérification : B donne \(2-3+0+1=0\) et C donne \(4+1-6+1=0\).)

c) Représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par D et orthogonale au plan (ABC).

La droite \(\Delta\) est dirigée par le vecteur normal \(\vec{u}(2\,;-1\,;3)\) et passe par \(D(7\,;-1\,;4)\) :

\[\Delta : \begin{cases} x=2t+7\\ y=-t-1\\ z=3t+4\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\]

d) Coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

H est le point d’intersection de \(\Delta\) et de (ABC). Il existe donc un réel \(t\) tel que \(H(2t+7\,;-t-1\,;3t+4)\), et ses coordonnées vérifient l’équation du plan :

Exercice 1 du corrigé Nord 2013 : question 3

\[2(2t+7)-(-t-1)+3(3t+4)+1=0 \iff 14t+28=0 \iff t=-2.\]

On obtient \(H(3\,;1\,;-2)\). (Contrôle : \(6-1-6+1=0\).)

3. On considère les plans \(P_1 : x+y+z=0\) et \(P_2 : x+4y+2=0\).

a) Montrer que les plans \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants.

Un vecteur normal de \(P_1\) est \(\vec{n_1}(1\,;1\,;1)\) et un vecteur normal de \(P_2\) est \(\vec{n_2}(1\,;4\,;0)\). La troisième coordonnée de \(\vec{n_2}\) est nulle alors que celle de \(\vec{n_1}\) ne l’est pas, et \(\vec{n_2}\) n’est pas nul : ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants selon une droite \(d\).

b) Représentation paramétrique de la droite \(d=P_1\cap P_2\).

Un point \(M(x\,;y\,;z)\) appartient aux deux plans si et seulement si :

\[\begin{cases} x+y+z=0\\ x+4y+2=0\end{cases}\iff\begin{cases} x=-4y-2\\ z=-x-y=3y+2\end{cases}\]

En prenant \(y=t\) comme paramètre :

\[d : \begin{cases} x=-4t-2\\ y=t\\ z=3t+2\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\]

Remarque : le corrigé PDF d’origine avait interverti les expressions de \(x\) et de \(z\) ; la représentation correcte est bien celle ci-dessus (on vérifie par exemple que le point obtenu pour \(t=0\), \((-2\,;0\,;2)\), est sur les deux plans).

c) Position relative de la droite \(d\) et du plan (ABC).

On cherche un éventuel point commun : on remplace les coordonnées d’un point de \(d\) dans l’équation de (ABC).

\[2(-4t-2)-t+3(3t+2)+1=0 \iff -8t-4-t+9t+6+1=0 \iff 3=0.\]

Cette équation n’a aucune solution : la droite \(d\) et le plan (ABC) n’ont aucun point commun. La droite \(d\) est strictement parallèle au plan (ABC). On peut le confirmer : un vecteur directeur de \(d\) est \(\vec{w}(-4\,;1\,;3)\) et \(\vec{u}\cdot\vec{w}=-8-1+9=0\).

Exercice 2 :

Suites, 5 points

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\sqrt{2u_n}\).

1. a) Valeur affichée par l’algorithme pour \(n=3\).

L’algorithme calcule les termes successifs de la suite :

\(k\)	0	1	2	3
\(u_k\)	1	\(\sqrt{2}\approx1{,}4142\)	\(\approx1{,}6818\)	\(\approx1{,}8340\)

L’algorithme affiche \(1{,}8340\).

b) Rôle de l’algorithme.

Pour un entier \(n\) saisi par l’utilisateur, l’algorithme calcule et affiche le terme \(u_n\) de la suite.

c) Conjecture.

Les valeurs calculées augmentent en restant inférieures à 2 : on conjecture que la suite \((u_n)\) est croissante et converge vers 2.

2. a) Montrer par récurrence que, pour tout \(n\), \(0\lt u_n\leq\, 2\).

Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(0\lt u_n\leq\, 2\) ».

• Initialisation : \(u_0=1\) et \(0\lt 1\leq\, 2\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
• Hérédité : supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\), c’est-à-dire \(0\lt u_n\leq\, 2\). Alors \(0\lt 2u_n\leq\, 4\) et, la fonction racine carrée étant strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\), \(0\lt\sqrt{2u_n}\leq\,\sqrt{4}\), soit \(0\lt u_{n+1}\leq\, 2\). \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
• Conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(0\lt u_n\leq\, 2\).

b) Sens de variation de la suite.

Les termes étant strictement positifs, on peut comparer le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1 :

\[\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{2u_n}}{\sqrt{u_n}\,\sqrt{u_n}}=\sqrt{\frac{2}{u_n}}.\]

Comme \(0\lt u_n\leq\, 2\), on a \(\dfrac{2}{u_n}\geq\, 1\), donc \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq\, 1\) et \(u_{n+1}\geq\, u_n\). La suite \((u_n)\) est croissante.

c) Convergence.

La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par 2 : d’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.

Exercice 2 du corrigé Nord 2013 : question 3

3. On pose \(v_n=\ln(u_n)-\ln 2\) pour tout \(n\).

a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\).

D’abord \(v_0=\ln 1-\ln 2=-\ln 2\). Ensuite, pour tout \(n\) :

\[v_{n+1}=\ln(\sqrt{2u_n})-\ln 2=\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{2}\ln u_n-\ln 2=\frac{1}{2}(\ln u_n-\ln 2)=\frac{1}{2}v_n.\]

\((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) et de premier terme \(v_0=-\ln 2\).

b) Expression de \(v_n\) puis de \(u_n\) en fonction de \(n\).

\[v_n=-\ln 2\times (\frac{1}{2})^n.\]

Comme \(\ln u_n=v_n+\ln 2=(1-(\frac{1}{2})^n)\ln 2\), on obtient :

\[u_n=\mathrm{e}^{(1-\frac{1}{2^n})\ln 2}=2^{\,1-\frac{1}{2^n}}.\]

c) Limite de la suite \((u_n)\).

Comme \(-1\lt\frac{1}{2}\lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2^n}=0\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(1-\frac{1}{2^n})\ln 2=\ln 2\) et, par continuité de l’exponentielle, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\mathrm{e}^{\ln 2}=2\). La conjecture est confirmée.

d) Algorithme affichant le plus petit \(n\) tel que \(u_n\gt 1{,}999\).

Variables :
    n est un entier naturel
    u est un réel
Initialisation :
    Affecter à n la valeur 0
    Affecter à u la valeur 1
Traitement :
    Tant que u ≤ 1,999
        u prend la valeur √(2u)
        n prend la valeur n + 1
    Fin Tant que
Sortie :
    Afficher n

Cet algorithme s’arrête puisque la suite converge vers 2. À titre indicatif, il affiche \(n=11\) (on trouve \(u_{10}\approx1{,}9986\) et \(u_{11}\approx1{,}9993\)).

Exercice 3 :

Probabilités (loi normale, fluctuation, loi exponentielle), 5 points

Une boulangerie industrielle fabrique des pains de campagne dont la masse moyenne visée est de 400 grammes.

Partie A

La masse \(X\) d’un pain, en grammes, suit la loi normale d’espérance 400 et d’écart-type 11.

1. Calculer \(P(390\leq\, X\leq\, 410)\).

À la calculatrice (loi normale \(\mathcal{N}(400\,;11^2)\)) : \(P(390\leq\, X\leq\, 410)\approx 0{,}637\).

2. Probabilité \(p\) qu’un pain soit commercialisable, c’est-à-dire pèse au moins 385 g.

Par symétrie de la loi normale autour de 400, \(P(X\geq\, 400)=0{,}5\), donc :

\[p=P(X\geq\, 385)=P(385\leq\, X\leq\, 400)+0{,}5\approx 0{,}914.\]

3. Valeur de l’écart-type \(\sigma\) pour que \(P(X\geq\, 385)=0{,}96\).

On suppose désormais que \(X\) suit la loi \(\mathcal{N}(400\,;\sigma^2)\). La variable \(Z=\dfrac{X-400}{\sigma}\) suit la loi normale centrée réduite et :

\[P(X\geq\, 385)=P(Z\geq\, -\frac{15}{\sigma})=0{,}96 \iff P(Z\lt -\frac{15}{\sigma})=0{,}04.\]

La calculatrice donne le réel \(a\) tel que \(P(Z\lt a)=0{,}04\) : \(a\approx -1{,}7507\). Donc \(-\dfrac{15}{\sigma}\approx -1{,}7507\), soit \(\sigma\approx 8{,}568\) (arrondi au millième ; le PDF d’origine donnait 8,567, simple écart d’arrondi).

Partie B

Après réglage, la proportion de pains commercialisables annoncée est \(p=0{,}96\). On contrôle un échantillon de 300 pains, dont 283 sont commercialisables.

1. Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

Ici \(n=300\geq\, 30\), \(np=288\geq\, 5\) et \(n(1-p)=12\geq\, 5\) : les conditions sont remplies.

\[I=[0{,}96-1{,}96\,\frac{\sqrt{0{,}96\times 0{,}04}}{\sqrt{300}}\,;\,0{,}96+1{,}96\,\frac{\sqrt{0{,}96\times 0{,}04}}{\sqrt{300}}]\approx[0{,}937\,;\,0{,}983].\]

(Bornes arrondies vers l’extérieur au millième : \(0{,}93782\ldots\) et \(0{,}98217\ldots\) ; le PDF donnait \([0{,}938\,;0{,}982]\), ce qui ne change pas la conclusion.)

2. L’objectif est-il atteint ?

La fréquence observée est \(f=\dfrac{283}{300}\approx 0{,}943\). Elle appartient à l’intervalle de fluctuation : on ne remet pas en cause l’affirmation, l’objectif de 96 % peut être considéré comme atteint au vu de cet échantillon.

Partie C

La durée de vie \(T\) d’un four, en jours, suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), et l’on sait que \(P(T\geq\, 30)=0{,}913\).

1. Déterminer \(\lambda\).

Pour une loi exponentielle, \(P(T\geq\, 30)=1-\displaystyle\int_0^{30}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t=1-(1-\mathrm{e}^{-30\lambda})=\mathrm{e}^{-30\lambda}\). On résout :

\[\mathrm{e}^{-30\lambda}=0{,}913\iff\lambda=-\frac{\ln 0{,}913}{30}\approx 0{,}003.\]

2. Calculer \(P_{(T\geq\, 60)}(T\geq\, 90)\).

La loi exponentielle est sans vieillissement : \(P_{(T\geq\, t)}(T\geq\, t+h)=P(T\geq\, h)\). Avec \(t=60\) et \(h=30\) :

\[P_{(T\geq\, 60)}(T\geq\, 90)=P(T\geq\, 30)=\mathbf{0{,}913}.\]

Un four qui a déjà fonctionné 60 jours a la même probabilité de tenir encore 30 jours qu’un four neuf.

3. Durée \(x\) telle que \(P(T\geq\, x)=0{,}5\).

On résout, avec \(\lambda=0{,}003\) :

\[\mathrm{e}^{-0{,}003x}=0{,}5\iff -0{,}003x=\ln 0{,}5\iff x=\frac{\ln 2}{0{,}003}\approx 231.\]

Il y a une chance sur deux que le four fonctionne plus d’environ 231 jours. (Avec la valeur non arrondie \(\lambda\approx0{,}003034\), on trouverait environ 228 jours.)

Exercice 4 :

Fonction logarithme et intégrales, 5 points

On étudie la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x^2}\), de courbe \(\mathcal{C}_f\).

1. a) Limite de \(f\) en 0.

\(\displaystyle\lim_{x\to0^+}(1+\ln x)=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^2}=+\infty\). Par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\).

b) Limite de \(f\) en \(+\infty\).

On écrit \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{1}{x}\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) (croissances comparées) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).

c) Interprétation graphique.

L’axe des ordonnées (droite d’équation \(x=0\)) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\), et l’axe des abscisses (droite d’équation \(y=0\)) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

2. a) Calcul de la dérivée.

\(f\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas. Avec \(u(x)=1+\ln x\), \(u^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\), \(v(x)=x^2\), \(v^{\prime}(x)=2x\) :

\[f^{\prime}(x)=\frac{\frac{1}{x}\times x^2-2x(1+\ln x)}{x^4}=\frac{x(1-2-2\ln x)}{x^4}=\frac{-1-2\ln x}{x^3}.\]

b) Signe de \(f^{\prime}(x)\).

Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x^3\gt 0\) : \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(-1-2\ln x\).

\[-1-2\ln x\gt 0\iff \ln x\lt -\frac{1}{2}\iff x\lt \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}.\]

Donc \(f^{\prime}(x)\gt 0\) sur \(]0\,;\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}[\), \(f^{\prime}(x)\lt 0\) sur \(]\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\,;+\infty[\) et \(f^{\prime}(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}})=0\).

c) Tableau de variations.

Le maximum vaut \(f(\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}})=\dfrac{1-\frac{1}{2}}{\mathrm{e}^{-1}}=\dfrac{\mathrm{e}}{2}\approx1{,}36\).

\(x\)	\(0\)		\(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\)		\(+\infty\)
\(f^{\prime}(x)\)	||	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f(x)\)	||\(\;-\infty\)	croissante	\(\frac{\mathrm{e}}{2}\)	décroissante	\(0\)

3. a) Point d’intersection de \(\mathcal{C}_f\) avec l’axe des abscisses.

\[f(x)=0\iff 1+\ln x=0\iff \ln x=-1\iff x=\mathrm{e}^{-1}.\]

\(\mathcal{C}_f\) coupe l’axe des abscisses en un unique point, de coordonnées \((\frac{1}{\mathrm{e}}\,;0)\).

b) Signe de \(f\).

\(f(x)\) a le signe de \(1+\ln x\), qui est positif si et seulement si \(x\geq\,\frac{1}{\mathrm{e}}\). Donc \(f(x)\leq\, 0\) sur \(]0\,;\frac{1}{\mathrm{e}}]\) et \(f(x)\geq\, 0\) sur \([\frac{1}{\mathrm{e}}\,;+\infty[\).

Exercice 4 du corrigé Nord 2013 : question 4

4. Pour tout entier \(n\geq\, 1\), on pose \(I_n=\displaystyle\int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{n}f(x)\,\mathrm{d}x\).

a) Montrer que \(0\leq\, I_2\leq\, \mathrm{e}-\frac{1}{2}\).

Sur \([\frac{1}{\mathrm{e}}\,;2]\), on a \(0\leq\, f(x)\leq\,\frac{\mathrm{e}}{2}\) (positivité d’après la question 3.b, majoration par le maximum de \(f\)). Par positivité et croissance de l’intégrale :

\[0\leq\, I_2\leq\,(2-\frac{1}{\mathrm{e}})\times \frac{\mathrm{e}}{2}=\mathrm{e}-\frac{1}{2}.\]

b) Calcul de \(I_n\) à l’aide de la primitive \(F(x)=\dfrac{-2-\ln x}{x}\).

On vérifie que \(F\) est une primitive de \(f\) : \(F^{\prime}(x)=\dfrac{-\frac{1}{x}\times x-(-2-\ln x)\times 1}{x^2}=\dfrac{-1+2+\ln x}{x^2}=\dfrac{1+\ln x}{x^2}=f(x)\).

\[I_n=F(n)-F(\frac{1}{\mathrm{e}})=\frac{-2-\ln n}{n}-\frac{-2+1}{\frac{1}{\mathrm{e}}}=\mathrm{e}-\frac{2+\ln n}{n}.\]

Ainsi \(I_n=\mathrm{e}-\dfrac{2}{n}-\dfrac{\ln n}{n}\). Par exemple \(I_2=\mathrm{e}-1-\frac{\ln 2}{2}\approx1{,}37\), qui respecte bien l’encadrement du 4.a.

c) Limite de \(I_n\).

\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{2}{n}=0\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n}{n}=0\) (croissances comparées), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=\mathrm{e}\). Géométriquement, l’aire du domaine situé entre \(\mathcal{C}_f\), l’axe des abscisses et la droite \(x=\frac{1}{\mathrm{e}}\), à droite de cette droite, vaut \(\mathrm{e}\) unités d’aire.

Bien travailler ce corrigé Nord 2013

D’abord, ouvrez l’énoncé du sujet et traitez un exercice entier sans aide, comme le jour de l’épreuve. Ensuite, relisez la correction question par question et soulignez les arguments qui manquaient dans votre copie. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent la géométrie dans l’espace et le raisonnement par récurrence. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur géométrie dans l’espace.

Les erreurs fréquentes à éviter

• En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
• Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.
• Avec une suite géométrique, contrôlez l’exposant du terme général : il dépend du rang du premier terme (0 ou 1).

Corrigé Nord 2013 : questions fréquentes

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la géométrie dans l’espace, le raisonnement par récurrence et les suites géométriques, mais aussi la fonction logarithme népérien.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.