Sujet étrangers 2026 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

De plus, cette page réunit le sujet du jour 2 du bac de spécialité mathématiques 2026 des centres étrangers, passé le 11 juin 2026, et son corrigé détaillé rédigé question par question. En outre, on commence par de la géométrie repérée : plan défini par trois points, vecteur normal, angle de 45° et point situé à distance 6 du plan. Le deuxième exercice s’intéresse aux publications sur un réseau social selon l’âge : probabilités totales, formule de Bayes, loi binomiale sur 100 personnes puis inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur 150 villes. Ensuite, le troisième étudie la suite \(a_{n+1}=\ln(3a_n^2+2a_n)\), encadrée par une seconde suite et approchée par un algorithme Python. Par ailleurs, le dernier associe une fonction à ses dérivées, résout une équation différentielle, calcule une intégrale par deux intégrations par parties et compte les tangentes passant par l’origine.

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2026 aux centres étrangers (jour 2).

En outre, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Sujet étrangers 2026 : ce que contient le sujet

Avant tout, précisons que ce sujet étrangers 2026 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2026 aux centres étrangers (jour 2) dans sa version intégrale. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 4, 4, 6 et 6 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont la géométrie dans l’espace, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2026
Mathématiques — Sujet 2
Centres étrangers — 11 juin 2026
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (4 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\).

On considère :

les points de l’espace \(\text{A}(1 ; 0 ; 3)\), \(\text{B}(2 ; 1 ; -1)\), \(\text{C}(1 ; 1 ; 1)\) et \(\text{H}(0 ; 2 ; 1)\) ;
le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ 2\end{pmatrix}\).

1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan de l’espace.

2. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan (ABC).

3. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

4. Vérifier que le point H appartient au plan (ABC).

5. Déterminer la mesure en degré de l’angle \(\widehat{\text{BAH}}\).

6. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\) orthogonale au plan (ABC) et passant par le point H.

7. Déterminer les coordonnées du point \(\text{S}(x_{\text{S}} ; y_{\text{S}} ; z_{\text{S}})\) de la droite \((d)\) tel que :

la distance entre le point S et le plan (ABC) est 6 ;
son abscisse \(x_{\text{S}}\) est positive.

Exercice 2 (4 points)

Parmi les habitants âgés d’au moins 15 ans vivant en France, on compte :

21 % de personnes de 15 à 29 ans ;
46 % de personnes de 30 à 59 ans ;
33 % de personnes d’au moins 60 ans.

On s’intéresse à l’utilisation d’un réseau social par les habitants âgés d’au moins 15 ans vivant en France. En outre, on a ainsi pu observer que :

70 % des personnes de 15 à 29 ans ont déjà publié sur ce réseau social ;
46 % des personnes de 30 à 59 ans ont déjà publié sur ce réseau social ;
15 % des personnes d’au moins 60 ans ont déjà publié sur ce réseau social.

On interroge une personne âgée d’au moins 15 ans vivant en France et on lui demande si elle a déjà publié sur ce réseau social.

On note :

\(J\) l’événement : « la personne interrogée a entre 15 et 29 ans » ;
\(M\) l’événement : « la personne interrogée a entre 30 et 59 ans » ;
\(S\) l’événement : « la personne interrogée a au moins 60 ans » ;
\(R\) l’événement : « la personne interrogée a déjà publié sur ce réseau social ».

Ensuite, on note \(\overline{R}\) l’événement contraire de l’événement \(R\).

Dans tout l’exercice, les valeurs approchées seront arrondies au millième.

Partie A

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité.

2. Déterminer \(P(M \cap R)\).

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

3. On interroge au hasard une personne âgée d’au moins 15 ans vivant en France.

a. Calculer la probabilité qu’elle ait déjà publié sur ce réseau social.

b. On sait que cette personne a déjà publié sur ce réseau social.

Déterminer la probabilité qu’elle ait au moins 60 ans.

Partie B

Au cours d’un sondage, on interroge successivement, au hasard et de manière indépendante, 100 personnes âgées d’au moins 15 ans vivant en France et on leur demande si elles ont déjà publié sur ce réseau social.

La population du pays est suffisamment grande pour qu’on assimile le choix des personnes sondées à des tirages successifs avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi ces 100 personnes interrogées.

Dans cette partie, on admet que la probabilité qu’une personne âgée d’au moins 15 ans vivant en France ait déjà publié sur ce réseau social est 0,41.

1. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale.

Donner ses paramètres.

2. Calculer la probabilité qu’au moins la moitié des 100 personnes interrogées ait déjà publié sur ce réseau social.

3. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie C

On effectue le sondage décrit dans la partie B dans 150 villes françaises en respectant les mêmes conditions.

Par ailleurs, on note \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_{150}\) les variables aléatoires donnant le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi les 100 personnes interrogées dans chacune des 150 villes.

On considère \(Y\) la variable aléatoire définie par :

\[Y=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_{150}}{150}\]

Démontrer que la probabilité que la variable aléatoire \(Y\) soit strictement comprise entre 37 et 45 est strictement supérieure à 98 %.

Exercice 3 (6 points)

Partie A

On note \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\) par

\[f(x)=\ln(3x^2+2x).\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\).

2. On note \(g\) la fonction définie sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\) par :

\[g(x)=f(x)-x\]

On admet que la fonction \(g\) est strictement décroissante sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\) et que \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty\).

a. Démontrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\).

b. Donner la valeur de \(\alpha\) arrondie au centième.

c. En déduire le tableau de signes de la fonction \(g\) sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\).

Partie B

Dans cette partie, les réponses pourront s’appuyer sur les résultats de la partie A.

On définit une suite \((a_n)\) par son premier terme \(a_0 \gt 0\) et pour tout entier naturel \(n\),

\[a_{n+1}=\ln(3{a_n}^2+2a_n)\]

On étudie le cas où \(2 \leq\, a_0 \leq\, \alpha\), où \(\alpha\) est l’unique solution de l’équation \(g(x)=0\).

1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(2 \leq\, a_n \leq\, \alpha\).

2. Démontrer que la suite \((a_n)\) est croissante.

3. Démontrer que la suite \((a_n)\) converge.

4. Démontrer que la limite de la suite \((a_n)\) est \(\alpha\).

Partie C

Dans cette partie, on prend \(a_0=2\).

La suite \((a_n)\) est ainsi définie par \(a_0=2\) et pour tout entier naturel \(n\),

\[a_{n+1}=\ln(3{a_n}^2+2a_n)\]

On note \((b_n)\) la suite définie par \(b_0=10\) et pour tout entier naturel \(n\),

\[b_{n+1}=\ln(3{b_n}^2+2b_n)\]

On admet que la suite \((b_n)\) est strictement décroissante et qu’elle converge vers \(\alpha\).

1. Justifier que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(a_n \leq\, b_n\).

2. On considère le script ci-dessous écrit en langage Python.

from math import *
def algo(p):
    a = 2
    b = 10
    n = 0
    while b - a > 10**(-p):
        a = log(3*a**2 + 2*a)
        b = log(3*b**2 + 2*b)
        n = n + 1
    return (n,a)

On rappelle qu’en langage Python :

la commande log(c) renvoie la valeur de \(\ln(c)\) ;
la commande a**2 renvoie la valeur de \(a^2\).

a. Donner les valeurs renvoyées par l’instruction algo(2).

On arrondira si besoin les valeurs au millième.

b. Interpréter les valeurs renvoyées dans le contexte de l’exercice.

Exercice 4 (6 points)

Partie A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé trois courbes \(\mathcal{C}_1\), \(\mathcal{C}_2\) et \(\mathcal{C}_3\).

Les courbes correspondent aux représentations graphiques de trois fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) : une fonction \(f\), sa dérivée \(f^{\prime}\) et sa dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\).

Associer chacune des fonctions \(f\), \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime\prime}\) à sa courbe représentative. Aucune justification n’est attendue.

Partie B

On considère l’équation différentielle \((E)\) définie par \(y^{\prime}+y=(2x-3)\text{e}^{-x}\) où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\).

1. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[g(x)=(x^2-3x)\text{e}^{-x}\]

Démontrer que la fonction \(g\) est une solution particulière de l’équation différentielle \((E)\).

2. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \(y^{\prime}+y=0\).

3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \((E)\).

4. Déterminer la solution \(f\) de l’équation différentielle \((E)\) telle que \(f(0)=2\).

Partie C

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=\text{e}^{-x}(x^2-3x+2)\]

et on note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Étudier le signe de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

2. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).

b. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

3. On note I l’intégrale définie par :

\[I=\int_0^1 f(x)\,\text{d}x\]

a. À l’aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que \(I=1-\dfrac{1}{\text{e}}\).

b. Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie D

On considère un réel \(a\).

On note \((T_a)\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(a\).

1. Démontrer que le point d’intersection de la tangente \((T_a)\) et de l’axe des ordonnées a pour ordonnée

\[(a^3-4a^2+2a+2)\text{e}^{-a}\]

2. Déterminer le nombre de tangentes à la courbe \(\mathcal{C}_f\) passant par l’origine du repère.

Le candidat explicitera les étapes de la démarche utilisée.

Bien travailler ce sujet étrangers 2026

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la géométrie dans l’espace ou les probabilités conditionnelles, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à géométrie dans l’espace propose un rappel complet.

Les erreurs fréquentes à éviter

En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.

Questions fréquentes sur ce sujet étrangers 2026

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la géométrie dans l’espace, les probabilités conditionnelles et la loi binomiale, mais aussi l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2026 aux centres étrangers (jour 2)

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