Bac S de maths 2020 en Nouvelle-Calédonie : sujet et corrigé à télécharger en PDF

En outre, de plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac S de maths 2020 en Nouvelle-Calédonie.

En outre, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Bac 2020 Calédonie : ce que contient le sujet

D’abord, ce bac 2020 Calédonie vous permet de retrouver le bac S de mathématiques 2020 en Nouvelle-Calédonie, avec toutes ses questions. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. De plus, on y mobilise surtout la loi normale, les probabilités conditionnelles, la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT S — SESSION 2020
Nouvelle-Calédonie — 2 décembre 2020
Mathématiques — Durée : 4 heures

L’usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire, type « collège », est autorisé.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

1. On considère l’équation \((E) : z^3 = 4z^2 – 8z + 8\) ayant pour inconnue le nombre complexe \(z\).

a. Démontrer que, pour tout nombre complexe \(z\),

\[z^3 – 4z^2 + 8z – 8 = (z – 2)(z^2 – 2z + 4).\]

b. De même, résoudre l’équation \((E)\).

c. En outre, écrire les solutions de l’équation \((E)\) sous forme exponentielle.

Également, on munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct \((\text{O}\,;\,\vec{u},\,\vec{v})\).

Ainsi, soit A, B, C et D les quatre points d’affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3} \qquad z_{\text{B}} = 2 \qquad z_{\text{C}} = 1 – \text{i}\sqrt{3} \qquad z_{\text{D}} = 1.\]

Ces quatre points sont représentés dans la figure ci-dessous.

2. Quelle est la nature du quadrilatère OABC ? Ensuite, justifier.

3. Soit M le point d’affixe \(z_{\text{M}} = \dfrac{7}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}\).

a. Démontrer que les points A, M et B sont alignés.

b. Démontrer que le triangle DMB est rectangle.

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Le phaéton à bec rouge est un oiseau des régions intertropicales.

1. Lorsque le phaéton à bec rouge vit dans un environnement pollué, sa durée de vie, en année, est modélisée par une variable aléatoire \(X\) suivant une loi normale d’espérance \(\mu\) inconnue et d’écart-type \(\sigma = 0{,}95\).

a. Par ailleurs, on considère la variable aléatoire \(Y\) définie par \(Y = \dfrac{X – \mu}{0{,}95}\).
Donner sans justification la loi suivie par la variable \(Y\).

b. De même, on sait que \(P(X \geq\, 4) = 0{,}146\).
Démontrer que la valeur de \(\mu\) arrondie à l’unité est 3.

2. Lorsque le phaéton à bec rouge vit dans un environnement sain, sa durée de vie, en année, est modélisée par une variable aléatoire \(Z\).
Les courbes des fonctions de densité associées aux lois de \(X\) et de \(Z\) sont représentées sur l’ANNEXE à rendre avec la copie.

a. En outre, quelle est la courbe de la fonction de densité associée à \(X\) ? Également, justifier.

b. Ainsi, sur l’ANNEXE à rendre avec la copie, hachurer la zone du plan correspondant à \(P(Z \geq\, 4)\).
On admettra par la suite que \(P(Z \geq\, 4) = 0{,}677\).

Annexe, exercice 2 question 2 (à rendre avec la copie)

Exercice 2 du bac 2020 Calédonie : question 3

3. Une étude statistique portant sur une région donnée, a permis d’établir que 30 % des phaétons à bec rouge vivent dans un environnement pollué ; les autres vivent dans un environnement sain.

Ensuite, on choisit au hasard un phaéton à bec rouge vivant dans la région donnée.

Par ailleurs, on considère les évènements suivants :

• \(S\) : « le phaéton à bec rouge choisi vit dans un environnement sain » ;
• \(V\) : « le phaéton à bec rouge choisi a une durée de vie d’au moins 4 ans ».

a. De même, compléter l’arbre pondéré illustrant la situation sur l’ANNEXE à rendre avec la copie.

Annexe, exercice 2 question 3 (à rendre avec la copie)

b. En outre, déterminer \(P(V)\). Arrondir le résultat au millième.

c. Également, sachant que le phaéton à bec rouge a une durée de vie d’au moins 4 ans, quelle est la probabilité qu’il vive dans un environnement sain ? Arrondir le résultat au millième.

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit \(g\) la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\), par

\[g(x) = x^2 + x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{4}{(1 + \text{e}^x)^2}.\]

On admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(g^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Déterminer les limites de \(g\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

2. On admet que la fonction \(g^{\prime}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et que \(g^{\prime}(0) = 0\).
Déterminer le signe de la fonction \(g^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Dresser le tableau de variations de la fonction \(g\) et calculer le minimum de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\).

Partie B

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = 3 – \dfrac{2}{1 + \text{e}^x}.\]

On désigne par \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\), représentée dans la figure ci-dessous.

Ainsi, soit A le point de coordonnées \((-\dfrac{1}{2}\,;\,3)\).

1. Démontrer que le point B(0 ; 2) appartient à \(\mathcal{C}_f\).

2. Soit \(x\) un réel quelconque.
On note \(M\) le point de la courbe \(\mathcal{C}_f\) de coordonnées \((x\,;\,f(x))\).
Démontrer que \(\text{A}M^2 = g(x)\).

3. On admet que la distance \(\text{A}M\) est minimale si et seulement si \(\text{A}M^2\) est minimal.
Déterminer les coordonnées du point de la courbe \(\mathcal{C}_f\) tel que la distance \(\text{A}M\) est minimale.

4. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

a. Ensuite, calculer \(f^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\).

b. Par ailleurs, soit \(T\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point B.
Démontrer que l’équation réduite de \(T\) est \(y = \dfrac{x}{2} + 2\).

5. Démontrer que la droite \(T\) est perpendiculaire à la droite (AB).

Exercice 4 (5 points) — Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. De même, une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. En outre, une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. Affirmation 1 : L’équation \((3\ln x – 5)(\text{e}^x + 4) = 0\) admet exactement deux solutions réelles.

2. On considère la suite \((u_n)\) définie par

\[u_0 = 2 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n,\ u_{n+1} = 2u_n – 5n + 6.\]

Affirmation 2 : Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 3 \times 2^n + 5n – 1\).

3. On considère la suite \((u_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(u_n = n^2 + \dfrac{1}{2}\).

Affirmation 3 : La suite \((u_n)\) est géométrique.

4. Dans un repère de l’espace, soit \(d\) la droite passant par le point A\((-3\,;\,7\,;\,-12)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(1\,;\,-2\,;\,5)\).

Également, soit \(d^{\prime}\) la droite ayant pour représentation paramétrique \(\begin{cases} x = 2t – 1 \\ y = -4t + 3 \\ z = 10t – 2 \end{cases}, \ t \in \mathbb{R}\).

Affirmation 4 : Les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) sont confondues.

5. On considère un cube ABCDEFGH, L’espace est muni du repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\).

Ainsi, une représentation paramétrique de la droite (AG) est \(\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases} \ t \in \mathbb{R}\).

Ensuite, on considère un point \(M\) de la droite (AG).

Affirmation 5 : Il y a exactement deux positions du point \(M\) sur la droite (AG) telles que les droites (\(M\)B) et (\(M\)D) soient orthogonales.

Exercice 4 (5 points) — Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Par ailleurs, une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. De même, une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. Affirmation 1 : Les solutions de l’équation \(7x – 12y = 5\), où \(x\) et \(y\) sont des entiers relatifs, sont les couples \((-1 + 12k\,;\,-1 + 7k)\) où \(k\) décrit l’ensemble des entiers relatifs.

2. Affirmation 2 : Pour tout entier naturel \(n\), le reste de la division euclidienne de \(4 + 3 \times 15^n\) par 3 est égal à 1.

3. Affirmation 3 : L’équation \(n(2n^2 – 3n + 5) = 3\), où \(n\) est un entier naturel, admet au moins une solution.

4. Soit \(t\) un nombre réel. En outre, on pose \(A = \begin{pmatrix} t 3 \\ 2t -t \end{pmatrix}\).

Affirmation 4 : Il n’existe aucune valeur du réel \(t\) pour laquelle \(A^2 = \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 1 \end{pmatrix}\).

5. On considère les matrices \(A = \begin{pmatrix} 0 1 -1 \\ -1 2 -1 \\ 1 -1 2 \end{pmatrix}\) et \(I_3 = \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{pmatrix}\).

Affirmation 5 : Pour tout entier \(n \geq\, 2\), \(A^n = (2^n – 1)A + (2 – 2^n)I_3\).

Bien travailler ce bac 2020 Calédonie

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la loi normale ou les probabilités conditionnelles. Puis pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Ensuite, pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur loi normale.

Les erreurs fréquentes à éviter

• Avec une loi normale, vérifiez à la calculatrice que vous avez bien saisi l’écart-type et non la variance.
• En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
• Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.

Questions fréquentes sur ce bac 2020 Calédonie

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la loi normale, les probabilités conditionnelles et la fonction exponentielle, mais aussi la fonction logarithme népérien.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac S de maths 2020 en Nouvelle-Calédonie

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• Bac S de maths 2020 en France (septembre) : sujet et corrigé
• Bac S de maths 2020 en Polynésie (septembre) : sujet et corrigé

Comment progresser sur ce sujet

Donc, distingue bien ce qui est demandé et ce qui sert seulement au calcul intermédiaire. En effet, commence par lire l’énoncé en entier avant de te lancer dans les calculs. Pour cela, repère d’abord les données utiles de chaque exercice sur ton brouillon. De même, vérifie l’unité demandée avant de recopier un résultat. Également, compare ta rédaction avec le corrigé, étape par étape. Donc, chronomètre-toi une première fois pour connaître ton rythme réel.

Méthode de travail

Pour cela, refais les questions ratées deux ou trois jours plus tard. De même, note dans un cahier les erreurs qui reviennent d’un sujet à l’autre. Également, révise les théorèmes cités dans ce sujet si un point te manque. Donc, entraîne-toi sur un autre sujet de 2020 pour progresser en vitesse de calcul. En effet, garde toujours une trace écrite propre de chaque étape de calcul. Pour cela, relis la consigne une seconde fois avant de rendre ta copie.

Conseils pour bien travailler bac 2020 Calédonie

Également, distingue bien ce qui est demandé et ce qui sert seulement au calcul intermédiaire. Donc, commence par lire l’énoncé en entier avant de te lancer dans les calculs. En effet, repère d’abord les données utiles de chaque exercice sur ton brouillon. Pour cela, vérifie l’unité demandée avant de recopier un résultat. De même, compare ta rédaction avec le corrigé, étape par étape. Également, chronomètre-toi une première fois pour connaître ton rythme réel.

Conseils pour bien travailler bac 2020 Calédonie

En effet, refais les questions ratées deux ou trois jours plus tard. Pour cela, note dans un cahier les erreurs qui reviennent d’un sujet à l’autre. De même, révise les théorèmes cités dans ce sujet si un point te manque. Également, entraîne-toi sur un autre sujet de 2020 pour progresser en vitesse de calcul. Donc, garde toujours une trace écrite propre de chaque étape de calcul. En effet, relis la consigne une seconde fois avant de rendre ta copie.

Méthode de travail

De même, distingue bien ce qui est demandé et ce qui sert seulement au calcul intermédiaire. Également, commence par lire l’énoncé en entier avant de te lancer dans les calculs. Donc, repère d’abord les données utiles de chaque exercice sur ton brouillon. En effet, vérifie l’unité demandée avant de recopier un résultat. Pour cela, compare ta rédaction avec le corrigé, étape par étape. De même, chronomètre-toi une première fois pour connaître ton rythme réel.