Par ailleurs, Voici le corrigé complet du bac S de mathématiques 2011 passé en France métropolitaine. De plus, l’épreuve comporte quatre exercices. Le premier porte sur les probabilités conditionnelles à partir d’un test de dépistage d’un virus (arbre pondéré, formule des probabilités totales), puis sur une loi binomiale. Ensuite, le deuxième est un questionnaire sur les nombres complexes : rotation, médiatrice, cercle et demi-droite définis par un module ou un argument. Le troisième, le plus long, étudie la famille de fonctions \(f_n(x)=x^n\mathrm{e}^{-x}\) : limites, dérivées, tangentes, puis une suite d’intégrales calculée par intégration par parties et encadrée pour obtenir sa limite. Ainsi, le quatrième exercice propose, en enseignement obligatoire, la distance d’un point à un plan et l’intersection d’une sphère et d’un plan, et, en spécialité, les théorèmes de Bézout et de Gauss appliqués à un système de congruences. Chaque question est rappelée puis résolue pas à pas.
Corrigé bac 2011 : la correction en un coup d’œil
D’abord, précisons que ce corrigé bac 2011 concerne le bac S de mathématiques 2011 en France, avec une rédaction complète des réponses. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, les nombres complexes et la fonction exponentielle. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, chaque étape de calcul reste visible, ce qui permet de repérer précisément l’endroit où un raisonnement a dévié.
Corrigé du sujet
Exercice 1 : réponses détaillées du corrigé bac 2011
Probabilités conditionnelles et loi binomiale
On étudie un test de dépistage d’un virus. Puis on note \(V\) l’événement « la personne est contaminée » et \(T\) l’événement « le test est positif ». On sait que 2 % de la population est contaminée, que le test est positif pour 99 % des personnes contaminées et qu’il est négatif pour 97 % des personnes non contaminées.
Partie A
1. a) On traduit les données de l’énoncé et on construit l’arbre pondéré :
\(P(V)=0{,}02\), \(P_V(T)=0{,}99\) et \(P_{\overline{V}}(\overline{T})=0{,}97\). On en déduit \(P(\overline{V})=0{,}98\), \(P_V(\overline{T})=0{,}01\) et \(P_{\overline{V}}(T)=0{,}03\).
b) On demande la probabilité que la personne soit contaminée et que son test soit positif :
\[P(V\cap T)=P(V)\times P_V(T)=0{,}02\times 0{,}99=0{,}0198.\]
\(P(V\cap T)=0{,}0198\).
2. On calcule la probabilité que le test soit positif. Les événements \(V\) et \(\overline{V}\) forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :
\[P(T)=P(V\cap T)+P(\overline{V}\cap T)=0{,}02\times 0{,}99+0{,}98\times (1-0{,}97)=0{,}0198+0{,}0294=0{,}0492.\]
\(P(T)=0{,}0492\).
3. a) On cherche la probabilité qu’une personne dont le test est positif soit réellement contaminée :
\[P_T(V)=\frac{P(V\cap T)}{P(T)}=\frac{0{,}0198}{0{,}0492}\approx 0{,}4024.\]
\(P_T(V)\approx 0{,}4024\) : moins d’une personne testée positive sur deux est réellement contaminée.
b) On cherche la probabilité qu’une personne dont le test est négatif ne soit pas contaminée :
\[P_{\overline{T}}(\overline{V})=\frac{P(\overline{V}\cap\overline{T})}{P(\overline{T})}=\frac{P(\overline{V})\times P_{\overline{V}}(\overline{T})}{1-P(T)}=\frac{0{,}98\times 0{,}97}{1-0{,}0492}=\frac{0{,}9506}{0{,}9508}\approx 0{,}9998.\]
\(P_{\overline{T}}(\overline{V})\approx 0{,}9998\) : un test négatif est donc très fiable.
Partie B
1. On choisit au hasard 10 personnes dans la population (tirages assimilés à des tirages avec remise) et \(X\) désigne le nombre de personnes contaminées. On justifie la loi de \(X\).
Pour chaque personne choisie, il n’y a que deux issues : « elle est contaminée » (succès, de probabilité \(p=0{,}02\)) ou « elle ne l’est pas ». C’est une épreuve de Bernoulli. On répète cette épreuve 10 fois de façon indépendante et \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0{,}02\). Ainsi, pour tout entier \(k\) compris entre 0 et 10 :
\[P(X=k)=\binom\,{10}{k}\,0{,}02^k\times 0{,}98^{10-k}.\]
2. On calcule la probabilité qu’au moins deux des dix personnes soient contaminées, en passant par l’événement contraire « \(X=0\) ou \(X=1\) » :
\[P(X\geq\, 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0{,}98^{10}-10\times 0{,}02\times 0{,}98^{9}\approx 0{,}0162.\]
\(P(X\geq\, 2)\approx 0{,}0162\).
Exercice 2 :
Nombres complexes, questionnaire (aucune justification n’était exigée)
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\). On considère les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) d’affixes respectives \(1\), \(\mathrm{i}\), \(-1\) et \(-\mathrm{i}\). Les justifications ci-dessous sont données pour comprendre les réponses.
1. On cherche l’affixe du point \(E\), image de \(D\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\frac{\pi}{3}\). L’écriture complexe de cette rotation donne :
\[z_E-z_A=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}(z_D-z_A)\quad\text{soit}\quad z_E=1+(\frac12+\mathrm{i}\frac{\sqrt3}{2})(-1-\mathrm{i}).\]
En développant : \((\frac12+\mathrm{i}\frac{\sqrt3}{2})(-1-\mathrm{i})=\frac{\sqrt3-1}{2}-\mathrm{i}\,\frac{\sqrt3+1}{2}\), d’où
\[z_E=\frac{1+\sqrt3}{2}-\mathrm{i}\,\frac{1+\sqrt3}{2}=\frac{1+\sqrt3}{2}(1-\mathrm{i}).\]
\(z_E=\frac{1+\sqrt3}{2}(1-\mathrm{i})\).
2. On cherche l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|z+\mathrm{i}|=|z-1|\). Or \(|z+\mathrm{i}|=|z-z_D|=DM\) et \(|z-1|=|z-z_A|=AM\). La condition s’écrit \(DM=AM\) : \(M\) est équidistant de \(A\) et de \(D\).
L’ensemble cherché est la médiatrice du segment \([AD]\) (c’est la droite d’équation \(y=-x\)).
3. On cherche l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) (avec \(z\neq -1\)) tels que \(\dfrac{z+\mathrm{i}}{z+1}\) soit un imaginaire pur. On a \(\dfrac{z+\mathrm{i}}{z+1}=\dfrac{z-z_D}{z-z_C}\).
- Si \(M=D\), le quotient vaut 0, qui est un imaginaire pur.
- Si \(M\) est distinct de \(C\) et de \(D\), le quotient est un imaginaire pur non nul si et seulement si son argument vaut \(\frac{\pi}{2}\) à \(\pi\) près, c’est-à-dire \((\vec{MC},\vec{MD})=\frac{\pi}{2}+k\pi\) avec \(k\in\mathbb{Z}\) : le triangle \(MCD\) est rectangle en \(M\).
L’ensemble cherché est le cercle de diamètre \([CD]\) privé du point \(C\).
4. On cherche l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(\arg(z-\mathrm{i})=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)). Comme \(z-\mathrm{i}=z-z_B\), cela signifie \(M\neq B\) et \((\vec{u},\vec{BM})=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\) : le vecteur \(\vec{BM}\) a la direction et le sens de \(-\vec{v}\).
L’ensemble cherché est la demi-droite \([BD)\) d’origine \(B\) passant par \(D\), privée du point \(B\) (en \(B\), \(z-\mathrm{i}=0\) n’a pas d’argument).
Exercice 3 : correction du corrigé bac 2011
Étude des fonctions \(f_n(x)=x^n\mathrm{e}^{-x}\) et d’une suite d’intégrales
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(f_n\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_n(x)=x^n\mathrm{e}^{-x}\) et \(\mathcal{C}_n\) sa courbe représentative. L’énoncé représentait une courbe \(\mathcal{C}_k\) (pour un entier \(k\) non nul inconnu) et sa tangente \(T_k\) au point d’abscisse 1, qui coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse \(\frac45\).
Partie A
1. a) On étudie les limites de \(f_1(x)=x\mathrm{e}^{-x}\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
- En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to-\infty}f_1(x)=-\infty\).
- En \(+\infty\) : \(f_1(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\) et, par croissance comparée, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f_1(x)=0\).
b) On étudie les variations de \(f_1\). Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables et, pour tout réel \(x\) :
\[f_1^{\prime}(x)=1\times \mathrm{e}^{-x}+x\times (-\mathrm{e}^{-x})=(1-x)\,\mathrm{e}^{-x}.\]
Comme \(\mathrm{e}^{-x}\gt 0\), \(f_1^{\prime}(x)\) est du signe de \(1-x\) : positif sur \(]-\infty;1]\), négatif sur \([1;+\infty[\). Le maximum vaut \(f_1(1)=\mathrm{e}^{-1}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f_1^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f_1\) | \(-\infty\) | croissante | \(\mathrm{e}^{-1}\) | décroissante | \(0\) |
c) On justifie que \(k\geq\, 2\). La fonction \(f_1\) atteint son maximum en \(x=1\) : sa tangente au point d’abscisse 1 est horizontale et ne coupe donc pas l’axe des abscisses. Or la tangente \(T_k\) représentée coupe l’axe des abscisses : la courbe \(\mathcal{C}_k\) ne correspond pas à \(f_1\), donc \(k\neq 1\). Comme \(k\) est un entier naturel non nul, \(k\geq\, 2\).
2. a) On cherche les points communs à toutes les courbes \(\mathcal{C}_n\). Pour tout \(n\geq\, 1\), \(f_n(0)=0\) et \(f_n(1)=1^n\mathrm{e}^{-1}=\mathrm{e}^{-1}\). Toutes les courbes \(\mathcal{C}_n\) passent par l’origine \(O\) et par le point de coordonnées \((1;\mathrm{e}^{-1})\).
b) On calcule la dérivée de \(f_n\). Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables et, pour tout réel \(x\) :
\[f_n^{\prime}(x)=nx^{n-1}\mathrm{e}^{-x}-x^n\mathrm{e}^{-x}=x^{n-1}(n-x)\,\mathrm{e}^{-x}.\]
Exercice 3 du corrigé bac 2011, partie A : questions 3 à 4
3. On montre que \(f_3\) admet un maximum en 3. D’après la question précédente, \(f_3^{\prime}(x)=x^2(3-x)\,\mathrm{e}^{-x}\). Pour tout réel \(x\), \(x^2\mathrm{e}^{-x}\geq\, 0\) (nul seulement en 0), donc \(f_3^{\prime}(x)\) est du signe de \(3-x\) : \(f_3\) est croissante sur \(]-\infty;3]\) et décroissante sur \([3;+\infty[\). \(f_3\) admet donc un maximum en 3, égal à \(f_3(3)=27\,\mathrm{e}^{-3}\).
4. a) On cherche l’abscisse du point d’intersection de \(T_k\) avec l’axe des abscisses. La tangente \(T_k\) a pour équation \(y=f_k^{\prime}(1)(x-1)+f_k(1)\), avec \(f_k(1)=\mathrm{e}^{-1}\) et \(f_k^{\prime}(1)=1\times (k-1)\,\mathrm{e}^{-1}=(k-1)\,\mathrm{e}^{-1}\). Elle coupe l’axe des abscisses lorsque :
\[(k-1)\,\mathrm{e}^{-1}(x-1)+\mathrm{e}^{-1}=0\iff (k-1)(x-1)=-1\iff x=1-\frac{1}{k-1}=\frac{k-2}{k-1},\]
en divisant par \(\mathrm{e}^{-1}\neq 0\) et par \(k-1\neq 0\) (car \(k\geq\, 2\)). \(T_k\) coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse \(\dfrac{k-2}{k-1}\).
b) On détermine \(k\). Sur la figure, cette abscisse vaut \(\frac45\), donc :
\[\frac{k-2}{k-1}=\frac45\iff 5(k-2)=4(k-1)\iff 5k-10=4k-4\iff k=6.\]
La courbe représentée est \(\mathcal{C}_6\) : \(k=6\).
Partie B
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\).
1. On calcule \(I_1\) par une intégration par parties. On pose \(u(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}\), d’où \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v(x)=-\mathrm{e}^{-x}\) ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([0;1]\).
\[I_1=\Big[-x\,\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1-\int_0^1(-\mathrm{e}^{-x})\mathrm{d}x=-\mathrm{e}^{-1}+\Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1=-\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-1}+1.\]
\(I_1=1-\dfrac{2}{\mathrm{e}}\approx 0{,}264\).
2. a) On interprète \(I_n\) et on conjecture le sens de variation de \((I_n)\). Sur \([0;1]\), \(f_n\) est continue et positive, donc \(I_n\) est l’aire (en unités d’aire) du domaine compris entre \(\mathcal{C}_n\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\). Sur \([0;1]\), plus \(n\) est grand, plus la courbe \(\mathcal{C}_n\) est basse (car \(x^{n+1}\leq\, x^n\)) : on conjecture que la suite \((I_n)\) est décroissante.
b) On démontre cette conjecture. Pour tout entier \(n\geq\, 1\), par linéarité de l’intégrale :
\[I_{n+1}-I_n=\int_0^1 x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x-\int_0^1 x^{n}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=\int_0^1 x^n\mathrm{e}^{-x}(x-1)\,\mathrm{d}x.\]
Sur \([0;1]\), \(x^n\geq\, 0\), \(\mathrm{e}^{-x}\gt 0\) et \(x-1\leq\, 0\), donc \(x^n\mathrm{e}^{-x}(x-1)\leq\, 0\). Par positivité de l’intégrale (bornes dans l’ordre croissant), \(I_{n+1}-I_n\leq\, 0\). La suite \((I_n)\) est décroissante.
c) On montre que la suite converge. Pour tout \(x\in[0;1]\), \(f_n(x)\geq\, 0\), donc \(I_n\geq\, 0\) : la suite est minorée par 0. Étant décroissante et minorée, la suite \((I_n)\) est convergente.
d) On détermine sa limite. Pour tout \(x\in[0;1]\), \(-x\leq\, 0\) donc \(0\lt\mathrm{e}^{-x}\leq\, 1\), et en multipliant par \(x^n\geq\, 0\) : \(0\leq\, f_n(x)\leq\, x^n\). En intégrant sur \([0;1]\) :
\[0\leq\, I_n\leq\,\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x=[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1=\frac{1}{n+1}.\]
Comme \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}=0\), le théorème des gendarmes donne \(\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0\).
Exercice 4 :
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité : géométrie dans l’espace
Partie A : distance d’un point à un plan
On considère un plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(ax+by+cz+d=0\) (avec \(a\), \(b\), \(c\) non tous nuls), le vecteur normal \(\vec{n}(a;b;c)\), un point \(M_0(x_0;y_0;z_0)\) et \(H\) son projeté orthogonal sur \(\mathcal{P}\).
1. On montre que \(|\vec{n}\cdot\vec{M_0H}|=M_0H\sqrt{a^2+b^2+c^2}\). Puisque \(H\) est le projeté orthogonal de \(M_0\) sur \(\mathcal{P}\), la droite \((M_0H)\) est orthogonale au plan : les vecteurs \(\vec{n}\) et \(\vec{M_0H}\) sont colinéaires. Le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires vaut, en valeur absolue, le produit de leurs normes :
\[|\vec{n}\cdot\vec{M_0H}|=\|\vec{n}\|\times M_0H=M_0H\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\]
2. On montre que \(\vec{n}\cdot\vec{M_0H}=-(ax_0+by_0+cz_0+d)\). Notons \((\alpha;\beta;\gamma)\) les coordonnées de \(H\). Avec l’expression analytique du produit scalaire :
\[\vec{n}\cdot\vec{M_0H}=a(\alpha-x_0)+b(\beta-y_0)+c(\gamma-z_0)=(a\alpha+b\beta+c\gamma)-ax_0-by_0-cz_0.\]
Comme \(H\) appartient à \(\mathcal{P}\), \(a\alpha+b\beta+c\gamma=-d\), d’où \(\vec{n}\cdot\vec{M_0H}=-ax_0-by_0-cz_0-d\).
3. On en déduit la formule de la distance. En égalant les deux expressions :
\[M_0H\sqrt{a^2+b^2+c^2}=|ax_0+by_0+cz_0+d|,\quad\text{donc}\quad d(M_0,\mathcal{P})=M_0H=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.\]
Partie B
On considère les points \(A(4;1;5)\), \(B(-3;2;0)\), \(C(1;3;6)\) et \(F(-7;0;4)\).
1. a) On montre que \(A\), \(B\), \(C\) définissent un plan d’équation \(x+2y-z-1=0\). On a \(\vec{AB}(-7;1;-5)\) et \(\vec{AC}(-3;2;1)\). Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles (\(\frac{-7}{-3}\neq\frac12\)), donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires : les points \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés et définissent un plan.
On vérifie ensuite que leurs coordonnées satisfont l’équation proposée :
- \(A\) : \(4+2\times 1-5-1=0\) ;
- \(B\) : \(-3+2\times 2-0-1=0\) ;
- \(C\) : \(1+2\times 3-6-1=0\).
Comme \(x+2y-z-1=0\) est l’équation d’un plan et que ce plan contient les trois points non alignés, c’est une équation du plan \((ABC)\). (On pouvait aussi vérifier que \(\vec{n}(1;2;-1)\) est orthogonal à \(\vec{AB}\) et à \(\vec{AC}\) : \(-7+2+5=0\) et \(-3+4-1=0\).)
b) On calcule la distance \(d\) du point \(F\) au plan \((ABC)\) avec la formule de la partie A :
\[d=\frac{|-7+2\times 0-4-1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}=\frac{12}{\sqrt6}=2\sqrt6.\]
\(d=2\sqrt6\).
2. a) On cherche une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(F\) et perpendiculaire au plan \((ABC)\). Elle est dirigée par le vecteur normal \(\vec{n}(1;2;-1)\) :
\[\Delta :\ \begin{cases}x=-7+t\\ y=2t\\ z=4-t\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\]
b) On détermine les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(F\) sur le plan, c’est-à-dire l’intersection de \(\Delta\) et du plan. On remplace dans l’équation du plan :
\[(-7+t)+2(2t)-(4-t)-1=0\iff 6t-12=0\iff t=2.\]
D’où \(H(-5;4;2)\).
c) On retrouve la distance \(d\) :
\[FH=\sqrt{(-5+7)^2+(4-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt6.\]
On retrouve bien \(d=FH=2\sqrt6\).
Exercice 4 du corrigé bac 2011, partie B : question 3
3. a) On considère la sphère \(\mathcal{S}\) de centre \(F\) et de rayon 6. Son équation est \((x+7)^2+y^2+(z-4)^2=36\). Pour \(B(-3;2;0)\) : \((4)^2+2^2+(-4)^2=16+4+16=36\). Le point \(B\) appartient à la sphère \(\mathcal{S}\).
b) On détermine l’intersection de \(\mathcal{S}\) et du plan \((ABC)\). Comme \(d=2\sqrt6\lt 6\), cette intersection est un cercle ; son centre est le projeté orthogonal de \(F\) sur le plan, c’est-à-dire \(H\). Le point \(B\) est sur la sphère et dans le plan, donc sur ce cercle, et le triangle \(FHB\) est rectangle en \(H\). Par le théorème de Pythagore :
\[BH=\sqrt{FB^2-FH^2}=\sqrt{36-(2\sqrt6)^2}=\sqrt{36-24}=\sqrt{12}=2\sqrt3.\]
L’intersection est le cercle de centre \(H(-5;4;2)\) et de rayon \(2\sqrt3\).
Exercice 4 :
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité : arithmétique
Partie A : restitution organisée de connaissances
1. On démontre le théorème de Gauss à partir du théorème de Bézout : si \(a\) divise \(bc\) et si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, alors \(a\) divise \(c\).
Comme \(a\) divise \(bc\), il existe un entier relatif \(k\) tel que \(bc=ka\). Comme \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, le théorème de Bézout fournit deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(au+bv=1\). En multipliant par \(c\) :
\[c=acu+bcv=acu+kav=a(cu+kv).\]
Comme \(cu+kv\) est un entier relatif, \(a\) divise \(c\).
2. On montre que si \(p\) et \(q\) sont deux entiers naturels premiers entre eux et si \(a\equiv 0\ [p]\) et \(a\equiv 0\ [q]\), alors \(a\equiv 0\ [pq]\).
Il existe deux entiers relatifs \(k\) et \(t\) tels que \(a=kp=tq\). Ainsi \(p\) divise \(tq\) ; comme \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux, le théorème de Gauss donne que \(p\) divise \(t\) : il existe un entier relatif \(u\) tel que \(t=pu\). Donc \(a=pqu\), c’est-à-dire \(a\equiv 0\ [pq]\).
Partie B
On note \(\mathcal{S}\) l’ensemble des entiers relatifs \(n\) vérifiant simultanément \(n\equiv 9\ [17]\) et \(n\equiv 3\ [5]\).
1. a) On justifie l’existence de deux entiers \(u\) et \(v\) tels que \(17u+5v=1\). Les nombres 17 et 5 sont premiers (et distincts), donc premiers entre eux. D’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(17u+5v=1\).
b) On pose \(n_0=3\times 17u+9\times 5v\) et on vérifie que \(n_0\in\mathcal{S}\).
- Comme \(17u=1-5v\), on a \(n_0=3(1-5v)+45v=3+30v\equiv 3\ [5]\).
- Comme \(5v=1-17u\), on a \(n_0=51u+9(1-17u)=9-102u=9-17\times 6u\equiv 9\ [17]\).
Donc \(n_0\) appartient à \(\mathcal{S}\).
c) On donne un exemple de tel entier \(n_0\). Le couple \((u;v)=(-2;7)\) convient car \(17\times (-2)+5\times 7=-34+35=1\). On obtient :
\[n_0=3\times 17\times (-2)+9\times 5\times 7=-102+315=213.\]
\(n_0=213\) (vérification : \(213=12\times 17+9\) et \(213=42\times 5+3\)).
2. a) Soit \(n\) un élément de \(\mathcal{S}\) ; on montre que \(n-n_0\equiv 0\ [85]\). Comme \(n\) et \(n_0\) sont dans \(\mathcal{S}\), \(n\equiv n_0\equiv 9\ [17]\) et \(n\equiv n_0\equiv 3\ [5]\), donc \(n-n_0\equiv 0\ [17]\) et \(n-n_0\equiv 0\ [5]\). Puisque 17 et 5 sont premiers entre eux, la question A.2 donne \(n-n_0\equiv 0\ [85]\).
b) On démontre l’équivalence : \(n\in\mathcal{S}\) si et seulement s’il existe un entier relatif \(k\) tel que \(n=43+85k\).
- Sens direct. Si \(n\in\mathcal{S}\), d’après 2. a), il existe un entier relatif \(t\) tel que \(n=213+85t=43+85(t+2)\). En posant \(k=t+2\), on a bien \(n=43+85k\).
- Réciproque. Si \(n=43+85k\) avec \(k\in\mathbb{Z}\), alors, comme \(85=5\times 17\), \(n\equiv 43\ [17]\) et \(n\equiv 43\ [5]\). Or \(43=2\times 17+9\) et \(43=8\times 5+3\), donc \(n\equiv 9\ [17]\) et \(n\equiv 3\ [5]\) : \(n\in\mathcal{S}\).
Exercice 4 du corrigé bac 2011, partie B : question 3
\(\mathcal{S}\) est l’ensemble des entiers de la forme \(43+85k\), \(k\in\mathbb{Z}\).
3. On cherche le nombre \(n\) de jetons de Zoé. Les données de l’énoncé se traduisent par \(300\leq\, n\leq\, 400\), \(n\equiv 9\ [17]\) et \(n\equiv 3\ [5]\).
Ainsi \(n\in\mathcal{S}\) et \(n=43+85k\) avec \(k\) entier. De plus :
\[300\leq\, 43+85k\leq\, 400\iff 257\leq\, 85k\leq\, 357\iff 3{,}02\ldots\leq\, k\leq\, 4{,}2\ldots\]
d’où \(k=4\) et \(n=43+85\times 4=383\). Zoé possède 383 jetons.
Corrigé bac 2011 : conseils de révision
Pour commencer, reprenez l’énoncé du sujet et cherchez chaque exercice seul, au brouillon puis au propre. Puis confrontez votre travail à la correction en vérifiant chaque argument, car une bonne valeur sans justification rapporte peu de points. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.
Points de vigilance
- En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
- Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
- Avec les nombres complexes, ne confondez pas module et argument, et donnez l’argument dans l’intervalle demandé.
Questions fréquentes sur ce corrigé bac 2011
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et les nombres complexes, mais aussi la fonction exponentielle.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
