Cette fiche rassemble 17 exercices de terminale pour s’entraîner au raisonnement par récurrence et, plus largement, aux grandes méthodes de démonstration. Les premiers énoncés portent sur des suites définies par une relation de récurrence : majorer un terme, retrouver une formule explicite, puis établir des formules de sommes (carrés, cubes, somme géométrique, somme alternée).
D’autres exercices font travailler l’inégalité de Bernoulli, la factorisation de \(x^n-y^n\), le raisonnement par l’absurde avec les nombres rationnels, la contraposée et des questions de divisibilité (multiples de 3 et de 5). Les cinq derniers partent de nombres triangulaires, d’une spirale de triangles rectangles, de programmes Python et d’une feuille de tableur : il faut le plus souvent émettre une conjecture, puis la prouver.
Pour chaque propriété, rédige avec soin l’initialisation et l’hérédité avant de conclure. Cherche d’abord seul, puis compare ta démarche avec le corrigé détaillé de ces exercices ; la fiche peut aussi être imprimée au format PDF pour travailler sur papier.
Exercice 1 (raisonnement par récurrence)
Soit \((U_n) \,\) la suite définie par
\(\begin{cases}U_0=2\\ \forall n \in\,\mathbb{N}\,,\,U_{n+1}=\sqrt{U_n+2}\end{cases}\)
Démontrer par récurrence que :
\(\boxed{\forall n \in\,\mathbb{N}\,,\,U_n\le2 }\,\)
Exercice 2
Soit \((U_n) \,.\) la suite définie par
\(\begin{cases}U_0=2\\ \forall n \in\,\mathbb{N}\,,\,U_{n+1}=2U_n-3\end{cases}\)
Démontrer par récurrence que :
\(\boxed{\forall n \in\,\mathbb{N}\,,\,U_n=3-2^n }\,.\)
Exercice 3 (raisonnement par récurrence)
On pose :
\(\forall n \in\,\mathbb{N^*}\,,\,S_n=1^2+2^2+3^2+….+n^2=\sum_{k=1}^n k^2 \,.\)
a. Calculer \(S_1\,,S_2\,,S_3\,,S_4 \,.\)
b. Exprimer \(S_{n+1}\) en fonction de \(S_n\) .
c. Démontrer par récurrence que :
\(\boxed{ \forall n \in\,\mathbb{N^*}\,\,S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} }\,.\)
Exercice 4 – Démonstration avec deux variables
On note \(x\) et \(y\) deux réels .
1. Démontrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}\) alors \(x^{n+1}-y^{n+1}=y(x^n-y^n)+(x-y)x^n\) .
2. Exprimer \(x^ky^{n-k}\) en fonction de \(x\) , si k = n .
3. Démontrer par récurrence que pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\) alors \(x^n-y^n=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}\) .
Exercice 5 – Raisonnement et démonstration de propriétés
Démontrer les propriétés ci-dessous :
1. Si \(a\in \mathbb{Q}\) et \(x\notin \mathbb{Q}\) alors \(a+x\notin \mathbb{Q}\).
2. Si \(a\in \mathbb{Q}^*\) et \(x\notin \mathbb{Q}\) alors \(a\times x\notin \mathbb{Q}\).
Exercice 6 – Démontrer par récurrence une somme
On note \(x\) un réel différent de 1.
Démontrer par récurrence que pour tout \(n\in \mathbb{N}\) , \(\sum_{k=0}^{n}x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\) .
Exercice 7 – Calcul d’une somme
Démontrer par récurrence que pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\) ,
on a \(\sum_{k=1}^{n}(-1)^kk=\frac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}\) .
Exercice 8 – Raisonnement par récurrence et puissance
On note x un réel positif .
Démontrer par récurrence que pour tout entier \(n\in \mathbb{N}\) , on a \((1+x)^n\geq\,\,\, 1+nx\) .
Exercice 9 – Raisonnement par contraposée
On note \(n\in \mathbb{N}^*\) .
Le but de cet exercice est de montrer par contraposée la propriété suivante :
Si l’entier \(n^2-1\) n’est pas divisible par 8 alors l’entier n est pair .
1. Ecrire la contraposée de la proposition précédente .
2. En remarquant qu’un entier impair n s’écrit sous la forme \(n=4k+r\)
avec \(k \in \mathbb{N}\) et \(r \in \{1,2,3 \}\) ( à justifier).Prouver la contraposée .
3. Que peut-on en déduire ?
Exercice 10 – Somme des cubes
1. Montrer que \(\forall n\in \mathbb{N}^*\,,\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) .
2. En déduire la valeur de \(A=1^3+2^3+3^3+4^3+…+10^3\)
Multiples
Montrer que, pour tout entier \(n\geq\,\,\, 0\), \(n^3-n\) est un multiple de 3 .
Exercice 11 – Montrer que c’est un multiple
1. Développer, réduire et ordonner \((n+1)^5\).
2. En déduire que pour tout entier \(n\geq\,\,\, 0\) , \(n^5-n\) est un multiple de 5 .
Exercice 12 – Démonstration par récurrence
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n,on a :
\(\sum_{k=1}^{n}k^3= ( \sum_{k=1}^{n} k )^2\).
Rappel : \(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\)
Exercice 13 :
Voici les quatre premiers nombres triangulaires :
1. Représenter \(T_5\) et \(T_6\).
2.a) Pour tout entier naturel \(n\,\geq\,\,\,\,1\), exprimer \(T_{n+1}\) en fonction de \(T_n\).
b) Conjecturer l’expression de \(2T_n\), puis de \(T_n\) en fonction de n.
c) Valider cette conjecture par récurrence.
Exercice 14 :
Sur cette figure :
- \(OA_0=1\)
- \(A_0A_1\,=A_1A_2=…=2;\)
- les triangles \(OA_0A_1\), \(OA_1A_2\), … sont rectangles.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, \(OA_n=\sqrt{4n+1}\).
Exercice 15 :
Voici deux fonctions écrites en langage Python par des élèves.
Fonction de Paul :
def U(n):
u=7
for i in range(1,n+1):
u=10*u-18
return u
Fonction de Pauline :
def V(n):
v=5*10**n+2
return v
a) Décrire les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) dont ces fonctions permettent de calculer les termes.
b) Les deux élèves remarquent que les valeurs affichées pour un même entier naturel n saisi sont identiques pour les deux programmes.
Émettre alors une conjecture et la démontrer.
Exercice 16 :
Le programme ci-dessous écrit en langage Python permet de comparer les premiers termes de deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies pour tout entier naturel \(n\,\geq\,\,\,\,1\).
n=int(input("n="))
u=1/2
for i in range(1,n+1):
u=(i+1)/(2*i)*u
v=(i+1)/(2**(i+1))
if u==v:
print("Vrai")
else:
print("Faux")
a) Décrire les deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\).
b) Saisir et exécuter ce programme pour n = 15.
c) Émettre alors une conjecture et la démontrer.
d) Comment expliquer les résultats obtenus pour n = 30 ?
Exercice 17:
\((u_n)\) est la suite définie par \(u_0=0\) et pour tout entier naturel n, \(u_{n+1}=4+5u_n\).
Manon a réalisé la feuille de calcul ci-dessous.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | \(n\) | \(u_n\) | \(u_n+1\) |
| 2 | 0 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 4 | 5 |
| 4 | 2 | 24 | 25 |
| 5 | 3 | 124 | 125 |
| 6 | 4 | 624 | 625 |
| 7 | 5 | 3124 | 3125 |
a) Émettre une conjecture sur l’expression de \(u_n\) en fonction de n.
b) Démontrer cette conjecture par récurrence.
Raisonnement par récurrence : nos conseils pour progresser
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur raisonnement par récurrence vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Raisonnement par récurrence sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec barycentre : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
