Exercice 1
Soit 
la suite définie par
Démontrer par récurrence que :
Exercice 2
Soit la suite définie par
Démontrer par récurrence que :
Exercice 3
On pose :
a. Calculer
b. Exprimer en fonction de .
c. Démontrer par récurrence que :
Exercice 4 – Démonstration avec deux variables
On note et deux réels .
1. Démontrer que pour tout alors .
2. Exprimer en fonction de , si k = n .
3. Démontrer par récurrence que pour tout alors .
Exercice 5 – Raisonnement et démonstration de propriétés
Démontrer les propriétés ci-dessous :
1. Si et alors .
2. Si et alors .
Exercice 6 – Démontrer par récurrence une somme
On note un réel différent de 1.
Démontrer par récurrence que pour tout , .
Exercice 7 – Calcul d’une somme
Démontrer par récurrence que pour tout ,
on a .
Exercice 8 – Raisonnement par récurrence et puissance
On note x un réel positif .
Démontrer par récurrence que pour tout entier , on a .
Exercice 9 – Raisonnement par contraposée
On note .
Le but de cet exercice est de montrer par contraposée la propriété suivante :
Si l’entier n’est pas divisible par 8 alors l’entier n est pair .
1. Ecrire la contraposée de la proposition précédente .
2. En remarquant qu’un entier impair n s’écrit sous la forme
avec et ( à justifier).Prouver la contraposée .
3. Que peut-on en déduire ?
Exercice 10 – Somme des cubes
1. Montrer que .
2. En déduire la valeur de
Multiples
Montrer que, pour tout entier , est un multiple de 3 .
Exercice 11 – Montrer que c’est un multiple
1. Développer, réduire et ordonner .
2. En déduire que pour tout entier , est un multiple de 5 .
Exercice 12 – Démonstration par récurrence
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n,on a :
.
Rappel :
Exercice 13 :
Voici les quatre premiers nombres triangulaires :
1. Représenter et .
2.a) Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de .
b) Conjecturer l’expression de , puis de en fonction de n.
c) Valider cette conjecture par récurrence.
Exercice 14 :
Sur cette figure :
- les triangles , , … sont rectangles.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, .
Exercice 15 :
Voici deux fonctions écrites en langage Python par des élèves.
a) Décrire les suites et dont ces fonctions permettent de calculer les termes.
b) Les deux élèves remarquent que les valeurs affichées pour un même entier naturel n saisi sont identiques pour les deux programmes.
Émettre alors une conjecture et la démontrer.
Exercice 16 :
Le programme ci-dessous écrit en langage Python permet de comparer les premiers termes de deux suites et définies pour tout entier naturel .
a) Décrire les deux suites et .
b) Saisir et exécuter ce programme pour n = 15.
c) Émettre alors une conjecture et la démontrer.
d) Comment expliquer les résultats obtenus pour n = 30 ?
Exercice 17:
est la suite définie par et pour tout entier naturel n, .
Manon a réalisé la feuille de calcul ci-dessous.
a) Émettre une conjecture sur l’expression de en fonction de n.
b) Démontrer cette conjecture par récurrence.
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