Exercices maths terminale S et ES

Exercices sur les suites numériques en terminale S

Des exercices de maths en terminale S sur les suites numériques.Vous avez également le choix de réfléchir sur les exercices corrigés en terminale S en PDF .

Restitution organisée des connaissances (sujet type Bac )

On suppose connu le résultat suivant :

La suite (U_n) tend vers +\infty lorsque n tend vers +\infty si tout

intervalle de la forme ]A;+\infty[ contient toutes les valeurs de U_n

à partir d’un certain rang.

Soient (U_n) et (V_n) deux suites telles que :

*U_n  est inférieur ou égal à V_n  à partir d’un certain rang ;

U_n  tend vers +\infty lorsque n tend vers +\infty .

Démontrer que la suite (V_n) tend vers +\infty lorsque  n tend vers +\infty .

Corrigé de cet exercice

Utilisation d’une suite auxiliaire arithmétique

Soit (U_n) telle que U_0=0 et pour tout entier naturel n, U_{n+1}=\frac{-4}{4+U_n} .

Soit (V_n) telle que , pour tout entier naturel n, V_{n }=\frac{1}{2+U_n}.

1. Démontrer que la suite (V_n) est arithmétique de raison \frac{1}{2} .

2. Exprimer V_n en fonction de n et en déduire que pour tout entier naturel n,

U_n=\frac{2}{n+1}-2 .

3. Calculer la limite de la suite (U_n) et celle de la suite (V_n).

Corrigé de cet exercice

Etude de la convergence d’une suite

Soit (U_n) la suite définie par son premier terme U_0=0

et pour tout entier naturel n, U_{n+1}=\frac{-4}{4+U_n} .

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, -2<U_n\leq\, 0.

2. Etudier le sens de variation de la suite (U_n).

3. Etudier la convergence de la suite (U_n).

Corrigé de cet exercice

Représentation graphique

On note (Un) la suite définie par u_0=0 et u_{n+1}=u_n+2n-11.

1.Calculer les six premiers termes de cette suite.

2.On a représenté ci-dessous les termes de la suite dans un repère et tracé une courbe qui passe par ces points.

Faire une conjecture sur l’expression de la fonction représentée par cette courbe puis sur l’expression de Un en fonction de n.

3.Démontrer la conjecture de la question précédente sur l’expression de Un en fonction de n.

courbe d'une suite

Corrigé de cet exercice

Etude d’une suite récurrente à l’aide d’une suite auxiliaire

Soit (Un) la suite définie par \{\begin{matrix}\,u_0=9e\\u_{n+1}\,=3\sqrt{u_n}\,\end{matrix}. pour tout entier naturel n.

On pose v_n=ln\,(\,\frac{u_n}{9}\,\,) pour tout entier n.

1.Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison q et le premier terme v_0.

2.Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.

3.Etudier la limite de u_n lorsque n tend vers +\infty .

Corrigé de cet exercice

Etude d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2

Considérons la suite (Un) définie pour tout entier n par \{\begin{matrix}\,u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n\\\,u_0=1\,\\\,u_1=2\,\end{matrix}..

Démontrer que pour tout entier n : u_n=2^n.

Corrigé de cet exercice

Série harmonique alternée

Soit (Sn) la suite définie pour tout n non nul par : S_n=\sum_{p=1}^{n}\frac{(-1)^{p-1}}{p}.

Le but de cet exercice est de démontrer que la suite (Sn) converge vers ln2.

1.Calculer S_1,\,S_2,\,S_3\,\,et\,\,S_4..

2.On considère les suites (Un) et (Vn) définies par : u_n=S_{2n} et v_n=S_{2n+1}.

Démontrer que ces deux suites sont adjacentes.

Corrigé de cet exercice


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