Suites numériques : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
Mis à jour le 29 mai 2025
Exercice 1 – suites arithmétiques et géométriques
1. Soit la suite arithmétique de raison r=-2 et telle que
.
a. Calculer .
b. Calculer .
2. Soit la suite géométrique de raison
et telle que
.
a. Calculer .
b. Calculer .
Exercice 2 – suites du type Un=f(n)
Calculer les limites des suites suivantes :
a.
b.
c.
d.
e.
Exercice 3 – théorème de comparaison
Calculer les limites des suites suivantes :
a.
b.
Exercice 4 – croissances comparées
Calculer les limites des suites suivantes en utilisant le théorème des croissances comparées.
a.
b.
c.
Exercice 5 – croissances comparées
Etudier le sens de variation des suites suivantes :
a.
b.
c.
Exercice 6 – récurrence
Soit la suite définie par
Démontrer par récurrence que :
Exercice 7 – récurrence
Soit la suite définie par
Démontrer par récurrence que :
Exercice 8 – récurrence
On pose :
a. Calculer
b. Exprimer en fonction de
.
c. Démontrer par récurrence que :
Exercice 9 – Limite de suite numériques
Dans chacun des cas, étudier la limite de la suite proposée.
Exercice 10 – Extrait du baccalauréat
Soient et
les suites définies pour tout entier naturel n par :
1.a. Montrer que est une suite géométrique à termes positifs .
b. Calculer la somme en fonction de n et en déduire la somme
en fonction de n .
c. déterminer et
.
2. On définit la suite par
pour tout entier n .
Montrer que la suite est une suite arithmétique .
Calculer en fonction de n et déterminer
3. Calculer le produit en fonction de n.
En déduire .
Exercice 11 – Quelques résultats historiques (R.O.C)
Démontrer que :
1.Toute suite convergente est bornée.
2.Toute suite croissante et non majorée diverge vers .
3.Si une suite converge, alors sa limite est unique.
4.La suite de terme général n’a pas de limite.
5. Si (un) est bornée et (vn) converge vers 0 alors (unvn) converge vers 0.
6.Toute suite convergente d’entiers relatifs est stationnaire et a pour limite un entier relatif.
7.Toute suite divergente vers est minorée.
Exercice 12 – Moyenne arithmético-géométrique
Soient a et b deux réels tels que .
Soient et
les suites définies par :
et
.
Démontrer que et
convergent vers une même limite.
Divergence des suite (cos n) et (sin n)
Démontrer que les suites et
divergent.
Exercice 13 – Comportement asymptotique des suites géométriques
1.Démontrer l’inégalité de Bernoulli :
pour tout réel x positif et tout entier naturel n, on a .
2.Soit (un) une suite définie par avec
.
Démontrer que :
- Si
alors (un) est divergente vers
.
- Si a=1 alors (un) est constante donc converge vers 1.
- Si
alors (un) est convergente vers 0.
- Si
alors (un) n’a pas de limite.
Exercice 14 – Somme des cubes
Soit .
On désigne par la somme des cubes des n premiers entiers naturels impairs :
Par exemple .
1.Démontrer, par récurrence, que pour tout entier positif non nul .
2.Déterminer n tel que .
Exercice 15 – Notion de suite
Soient une suite croissante et majorée
et une suite décroissante et minorée.
Les suites et
ont-elles nécessairement la même limite ?
Exercice 16 – Restitution organisée des connaissances (sujet type Bac )
On suppose connu le résultat suivant :
La suite tend vers
lorsque n tend vers
si tout
intervalle de la forme contient toutes les valeurs de
à partir d’un certain rang.
Soient et
deux suites telles que :
* est inférieur ou égal à
à partir d’un certain rang ;
* tend vers
lorsque n tend vers
.
Démontrer que la suite tend vers
lorsque n tend vers
.
Exercice 17 – Utilisation d’une suite auxiliaire arithmétique
Soit telle que
et pour tout entier naturel n,
.
Soit telle que , pour tout entier naturel n,
.
1. Démontrer que la suite est arithmétique de raison
.
2. Exprimer en fonction de n et en déduire que pour tout entier naturel n,
.
3. Calculer la limite de la suite et celle de la suite
.
Exercice 18 – Etude de la convergence d’une suite
Soit la suite définie par son premier terme
et pour tout entier naturel n, .
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
2. Etudier le sens de variation de la suite
3. Etudier la convergence de la suite
Exercice 19 – Représentation graphique
On note (Un) la suite définie par et
.
1.Calculer les six premiers termes de cette suite.
2.On a représenté ci-dessous les termes de la suite dans un repère et tracé une courbe qui passe par ces points.
Faire une conjecture sur l’expression de la fonction représentée par cette courbe puis sur l’expression de Un en fonction de n.
3.Démontrer la conjecture de la question précédente sur l’expression de Un en fonction de n.
Exercice 20 – étude d’une suite récurrente à l’aide d’une suite auxiliaire
Soit (Un) la suite définie par pour tout entier naturel n.
On pose pour tout entier n.
1.Montrer que la suite () est une suite géométrique dont on précisera la raison q et le premier terme
.
2.Exprimer puis
en fonction de n.
3.Etudier la limite de lorsque n tend vers
.
Exercice 21 : étude d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2.
Considérons la suite (Un) définie pour tout entier n par .
Démontrer que pour tout entier n : .
Exercice 22 – série harmonique alternée
Soit (Sn) la suite définie pour tout n non nul par : .
Le but de cet exercice est de démontrer que la suite (Sn) converge vers ln2.
1.Calculer ..
2.On considère les suites (Un) et (Vn) définies par : et
.
Démontrer que ces deux suites sont adjacentes.
Exercice 23 :
u est la suite définie par et, pour tout nombre entier naturel n,
.
Avec le tableur, on a obtenu ci-dessous les premières valeurs de et
.
- Conjecturer une expression de
en fonction de n.
- Valider cette conjecture par un raisonnement par récurrence.
Exercice 24 :
V est la suite définie par et pour tout nombre entier naturel n,
.
Démontrer par récurrence que pour tout nombre entier naturel n, .
Exercice 25 :
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, .
Exercice 26 :
Sur cette figure :
- les triangles
sont rectangles.
Démontrer par récurrence, que pour tout nombre entier naturel n, .
Exercice 27 :
Etudier, en justifiant, la limite en l’infini de chacune des suites numériques suivantes :
Exercice 28 :
u est la suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme .
- Pour tout nombre entier naturel n non nul, exprimer
en fonction de n.
- Etudier la limite de la suite
.
Exercice 29 :
On considère la suite définie par
et pour tout
,
.
1)Soit f la fonction définie sur par
.
a)Etudier les variations de f sur .
b) En déduire que si , alors f ‘ (x)
.
2)Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, .
3)Déterminer le sens de variation de la suite .
Exercice 30 :
La suite est définie par
et pour tout
,
.
1)A l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, déterminer les dix premiers
termes de la suite .
2)a)Quelle conjecture peut-on faire sur l’expression de en fonction de n ?
b)Démontrer cette conjecture par récurrence.
Exercice 31 :
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,
.
Exercice 32 :
Déterminer la limite de définie sur
en utilisant les théorèmes généraux.
.
.
.
Exercice 33 :
Soit la suite définie par
et, pour tout
,
.
Soit la suite définie pour tout entier naturel n par :
.
1)Montrer que la suite est géométrique de raison
.
Préciser le premier terme.
2) Déterminer l’expression de en fonction de n et en déduire que,
pour tout entier naturel n :
.
3) Déterminer la limite de la suite .
Exercice 34 :
Etudier si les suites suivantes, définies sur , sont bornées.
.
.
.
Exercice 35 :
est la suite définie sur
par :
On se propose d’étudier la limite de la suite de trois façons différentes.
a) Démontrer que pour tout n,
b) En déduire la limite de la suite .
2. Pour tout , mettre
en facteur dans l’expression de
et conclure pour la limite de (un).
3. a) Démontrer que pour tout ,
b) En déduire la limite de la suite .
Exercice 36 :
Jenny a ouvert un livret A et a déposé 5 000 €.
Les intérêts composés sont de 0,5 % par an et, en chaque fin d’année, Jenny ajoutera 100 € sur son livret.
On désigne par la somme, en euro, sur son livret A après n années, avec
.
a) Démontrer que, pour tout n, .
b) En déduire la limite de la suite ().
c) Tabuler la suite () l’écran de la calculatrice et déterminer après combien d’années Jenny disposera de plus de 7 OOO €.
Exercice 37 :
est la suite définie par
et pour tout entier naturel n,
.
Trois amis émettent des conjectures.
Cyril affirme : « Tous les termes de la suite sont strictement positifs ».
Magali affirme : « La suite diverge vers
quelle que soit la valeur du premier terme
».
Olivier rétorque : « La suite peut converger si on choisit
ni trop grand ni trop proche de 0 ».
a) L’affirmation de Cyril est-elle vraie ? Justifier.
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, .
c) L’une des affirmations de Magali et d’Olivier est-elle vraie ? Justifier.
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