Bac 2023 étrangers : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

Ensuite, Voici le sujet de mathématiques du bac 2023 des centres étrangers (zone Europe), premier jour de l’épreuve de spécialité, donné le 21 mars 2023. Le premier exercice étudie une fonction auxiliaire \(g(x) = \ln(x^2) + x – 2\) pour obtenir les variations de \(f(x) = \dfrac{x-2}{x}\ln(x)\), puis compare sa courbe à celle du logarithme. Par ailleurs, le deuxième suit Monsieur Durand qui alterne vélo et transports en commun : arbres pondérés, probabilité conditionnelle, suite arithmético-géométrique et récurrence. De plus, le troisième est un QCM (primitive, ensemble de définition, convexité, limites de suites) et le dernier un problème de géométrie dans l’espace avec plan, droite orthogonale, projeté et distance. En outre, le corrigé détaillé de toutes les questions suit l’énoncé.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 aux centres étrangers (jour 1).

Par ailleurs, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Bac 2023 étrangers : le sujet en un coup d’œil

Avant tout, précisons que ce bac 2023 étrangers reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 aux centres étrangers (jour 1) dans sa version intégrale. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser la fonction logarithme népérien, les probabilités conditionnelles, les suites arithmético-géométriques et le raisonnement par récurrence. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2023
Centres étrangers (Europe) — 21 mars 2023 — Sujet 1
Épreuve d’enseignement de spécialité mathématiques — Durée : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\) par

\[g(x) = \ln(x^2) + x – 2\]

1. Déterminer les limites de la fonction \(g\) aux bornes de son ensemble de définition.

2. On admet que la fonction \(g\) est dérivable sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\).

Étudier les variations de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\).

3. a. Démontrer qu’il existe un unique réel strictement positif \(\alpha\) tel que \(g(\alpha) = 0\).

b. Déterminer un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-2}\).

4. En déduire le tableau de signe de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\).

Partie B

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{(x – 2)}{x}\ln(x).\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en 0.

b. Interpréter graphiquement le résultat.

2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

3. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\).

Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif, on a \(f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}\).

4. En déduire les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\).

Partie C

Étudier la position relative de la courbe \(\mathcal{C}_f\) et de la courbe représentative de la fonction \(\ln\) sur l’intervalle \(]0 ; +\infty[\).

Exercice 2 (5 points)

Dans un souci de préservation de l’environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun.

S’il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à 0,8.

S’il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à 0,4.

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note :

\(T_n\) l’évènement « Monsieur Durand utilise les transports en commun le \(n\)-ième jour »
\(V_n\) l’évènement « Monsieur Durand utilise son vélo le \(n\)-ième jour »
On note \(p_n\) la probabilité de l’évènement \(T_n\).

Le premier matin, il décide d’utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de l’évènement \(T_1\) est \(p_1 = 1\).

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les 2^e et 3^e jours.

2. Calculer \(p_3\).

3. Le 3^e jour, M. Durand utilise son vélo.

Calculer la probabilité qu’il ait pris les transports en commun la veille.

4. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les \(n\)-ième et \((n + 1)\)-ième jours.

5. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(p_{n+1} = 0{,}2p_n + 0{,}6\).

6. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a

\[p_n = 0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{n-1}.\]

7. Déterminer la limite de la suite \((p_n)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

Dans tout l’exercice, \(\mathbb{R}\) désigne l’ensemble des nombres réels.

1. Une primitive de la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x\text{e}^x\), est la fonction \(F\), définie sur \(\mathbb{R}\), par :

a.	b.	c.	d.
\(F(x) = \dfrac{x^2}{2}\text{e}^x\)	\(F(x) = (x – 1)\text{e}^x\)	\(F(x) = (x + 1)\text{e}^x\)	\(F(x) = x^2\text{e}^{x^2}\)

2. On considère la fonction \(g\) définie par \(g(x) = \ln(\dfrac{x – 1}{2x + 4})\).

La fonction \(g\) est définie sur :

a.	b. (imprimé « c. » dans le sujet)	c.	d.
\(\mathbb{R}\)	\(]-2 ; +\infty[\)	\(]-\infty ; -2[ \cup ]1 ; +\infty[\)	\(]-2 ; 1[\)

3. La fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = (x + 1)\text{e}^x\) est :

a.	b.	c.	d.
concave sur \(\mathbb{R}\)	convexe sur \(\mathbb{R}\)	convexe sur \(]-\infty ; -3]\) et concave sur \([-3 ; +\infty[\)	concave sur \(]-\infty ; -3]\) et convexe sur \([-3 ; +\infty[\)

Exercice 3 du bac 2023 étrangers : questions 4 à 5

4. Une suite \((u_n)\) est minorée par 3 et converge vers un réel \(\ell\).

On peut affirmer que :

a.	b.	c.	d.
\(\ell = 3\)	\(\ell \geq\, 3\)	La suite \((u_n)\) est décroissante.	La suite \((u_n)\) est constante à partir d’un certain rang.

5. La suite \((w_n)\) est définie par \(w_1 = 2\) et pour tout entier naturel \(n\) strictement positif, \(w_{n+1} = \dfrac{1}{n}w_n\).

a.	b.	c.	d.
La suite \((w_n)\) est géométrique	La suite \((w_n)\) n’admet pas de limite	\(w_5 = \dfrac{1}{15}\)	La suite \((w_n)\) converge vers 0.

Exercice 4 (5 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((\text{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\), on considère les points

\(\text{A}(-1 ; -3 ; 2)\), \(\text{B}(3 ; -2 ; 6)\) et \(\text{C}(1 ; 2 ; -4)\).

1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan que l’on notera \(\mathcal{P}\).

2. a. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}\) est normal au plan \(\mathcal{P}\).

b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan \(P\) est \(13x – 16y – 9z – 17 = 0\).

On note \(\mathcal{D}\) la droite passant par le point \(\text{F}(15 ; -16 ; -8)\) et orthogonale au plan \(\mathcal{P}\).

3. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\mathcal{D}\).

4. On appelle E le point d’intersection de la droite \(\mathcal{D}\) et du plan \(\mathcal{P}\).

Démontrer que le point E a pour coordonnées \((2 ; 0 ; 1)\).

5. Déterminer la valeur exacte de la distance du point F au plan \(\mathcal{P}\).

6. Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite \(\mathcal{D}\) dont la distance au plan \(\mathcal{P}\) est égale à la moitié de la distance du point F au plan \(\mathcal{P}\).

Bac 2023 étrangers : conseils de révision

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la fonction logarithme népérien ou les probabilités conditionnelles, puis reprenez le cours correspondant. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur fonction logarithme.

Points de vigilance

Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Pour une suite arithmético-géométrique, c’est la suite auxiliaire qui est géométrique : calculez sa raison avec soin avant de revenir à la suite de départ.

Bac 2023 étrangers : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la fonction logarithme népérien, les probabilités conditionnelles et les suites arithmético-géométriques, mais aussi le raisonnement par récurrence.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 aux centres étrangers (jour 1)

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