Suite de matrices colonnes

cours maths terminale

Un cours sur les suites de matrices en terminale S spécialité où nous étudierons des suites convergentes vers une autre matrice.

I.Suite de nombres (Un) vérifiant U_{n+1}=aUn+b.

Une telle suite est dite arithmético-géométrique (ou à récurrence affine).

Etudions un exemple.La suite (Un) est définie par U_0=12 et pour tout entier naturel n, U_{n+1}=0,2U_n+4.

1. De la formule de récurrence à la formule explicite.

Observons que si la suite (Un) converge, alors sa limite x est solution de l’équation x=0,2x+4.

Cette équation a pour solution x=5.Cela suggère de poser : pour tout entier naturel n, x_n=u_n-5.

De U_{n+1}=0,2U_n+4 et 5=0,2,\times  ,5+4, on déduit par soustraction  : U_{n+1}-5=0,2(U_n-5).

Soit x_{n+1}=0,2x_n.La suite (x_n) est géométrique de raison a = 0,2 et de premier terme x_0=u_0-5=7.

D’où pour tout entier naturel n, x_{n}=,x_0\times  ,0,2^n=,7\times  ,0,2^n.

Ainsi u_n-5=,7\times  ,0,2^n donc u_n,=,7\times  ,0,2^n+5.

2.Méthode générale : détermination d’une formule explicite.

On considère une suite de nombre (Un) qui vérifie U_{n+1}=aUn+b, avec a\neq1.

  1. On résoud l’équation x=ax+b : elle a une solution unique c.
  2. On introduit la suite auxiliaire (x_n)définie par x_n=u_n-c.On prouve qu’elle est géométrique de raison a.; il en résulte que pour tout naturel n, x_n=x_0a^n .
  3. On revient à la suite initiale : pour tout entier naturel n, u_n=x_n+c.D’où l’expression : u_n=a^n(u_0-c)+c

3.Etude de la convergence

Sur notre exemple, la raison a=0,2 est telle que – 1<a<1 donc \lim_{n,\mapsto  ,+\infty,}0,2^n=0.

Ainsi, \lim_{n,\mapsto  ,+\infty,}u_n=5.

Si on applique cette méthode dans le cas général, on obtient le résultat suivant :

Théorème :

Une suite de nombres (Un) vérifie U_{n+1}=aUn+b, avec -1<a<1.

Alors la suite (Un)  converge vers le nombre c  vérifiant c = ac+b.

Ce résultat découle de la formule explicite et de la condition -1<a<1, car alors, \lim_{n,\mapsto  ,+\infty,}a^n=0.

Remarque :

On démontre que, si a\leq\,,-1 ou a>1, la suite est divergente (hormis le cas particuliers où u_0=c, auquel cas elle est constante.

II.Suite de matrices colonnes (Un) vérifiant U_{n+1}=AU_n+B.

Etudions un exemple.La suite de matrices colonne (Un) de format (2,1) est définie par :

U_0=\begin{pmatrix},3\\,-2,\end{pmatrix} et pour tout entier naturel n, U_{n+1}=AU_n+B où A=\begin{pmatrix},1,4,\\1,,2,\end{pmatrix} et B=\begin{pmatrix},12\\-2,\end{pmatrix}.

1.De la formule de récurrence à la formule explicite.

Inspirons-nous de la méthode précédente.Cherchons une matrice colonne C de format (2,1), telle que C=AC+B.Cette équation d’inconnue C s’écrit C-AC=B, c’est-à-dire (I-A)C=B.

Si I-A est inversible, multiplions à gauche les deux membres par (I-A)^{-1}:C=(I-A)^{-1})B.

Or I-A=\begin{pmatrix},0,-4,\\,-1,-1,\end{pmatrix},cette matrice est inversible et (I-A)^{-1}=\begin{pmatrix},0,25,-1,\\,-0,25,0,\end{pmatrix}

donc C=\begin{pmatrix},5\\-3,\end{pmatrix}.

De U_{n+1}=AU_n+B et C=AC+B, on déduit par soustraction : U_{n+1}-C=A(U_n-C).

Poson alors, pour tout entier naturel n, X_n=U_n-C; on obient X_{n+1}=AX_n (1).

Démontrons par récurrence que l’égalité X_{n}=A^nX_0 (2) est vraie pour tout entier naturel n.

  • Pour n=0, l’égalité (2) est vraie car A^0=I.
  • Si X_{n}=A^nX_0 alors en multipliant à gauche les deux membres par A, on obtient AX_{n}=A^{n+1}X_0, c’est-à-dire d’après (1), X_{n+1}=A^{n+1}X_0.Ainsi, l’égalité  (2) est héréditaire.
  • On conclut que pour tout entier naturel n, X_{n}=A^nX_0.

Revenons à la suite (U_n) : pour tout entier naturel n, U_{n}-C=A^n(U_0-C) d’où U_{n}=A^n(U_0-C)+C.

2. Méthode générale : détermination d’une formule explicite.

Une suite de matrices colonnes (U_n) vérifie U_{n+1}=AU_n+B où I-A est inversible.

  1. On résout l’équation l’équation C=AC+B; elle admet une unique solution C=(I-A)^{-1})B.
  2. On introduit la suite auxiliaire (X_n) définie par X_n=U_n-C.On prouve qu’elle vérifie, pour tout entier naturel n, X_{n+1}=AX_n puis par récurrence que X_{n}=A^nX_0.
  3. On revient à la suite initiale: pour tout entier naturel n, U_n=X_n+C.D’où l’expression U_{n}=A^n(U_0-C)+C.

3. Suites de matrices lignes

Si (U_n) est une suite de matrices lignes de même format telle que V_{n+1}=V_nA+B, où A est une matrice carrée et B une matrice ligne, on obtient des résultats analogues :  si I-A est inversible, l’équation C=CA+B a une solution unique C=B(I-A)^{-1}.

Alors pour tout naturel n, V_{n}=(V_0-C)A^n+C.

III. Convergence d’une suite de matrice

Définition :

(U_n) est une suite de matrices de format donné, L est une matrice de même format.Dire que la suite (U_n) a pour limite L, signifie que, pour chaque emplacement, la suite des coefficients de (U_n)  a pour limite le coefficient de L.

On dit aussi que (U_n) converge vers L.

Exemple :

U_n=\begin{pmatrix},3+0,2^n\\2-0,5^n,\\,7+0,3^n,\end{pmatrix} converge vers la matrice \begin{pmatrix},3\\2,\\,7,\end{pmatrix}.

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