Suite de matrices colonnes

Un cours sur les suites de matrices en terminale S spécialité où nous étudierons des suites convergentes vers une autre matrice.

I.Suite de nombres (Un) vérifiant .

Une telle suite est dite arithmético-géométrique (ou à récurrence affine).

Etudions un exemple.La suite (Un) est définie par  et pour tout entier naturel n, .

1. De la formule de récurrence à la formule explicite.

Observons que si la suite (Un) converge, alors sa limite x est solution de l’équation x=0,2x+4.

Cette équation a pour solution x=5.Cela suggère de poser : pour tout entier naturel n, .

De  et , on déduit par soustraction  : .

Soit .La suite  est géométrique de raison a = 0,2 et de premier terme .

D’où pour tout entier naturel n, .

Ainsi  donc .

2.Méthode générale : détermination d’une formule explicite.

On considère une suite de nombre (Un) qui vérifie , avec .

1. On résoud l’équation  : elle a une solution unique c.
2. On introduit la suite auxiliaire définie par .On prouve qu’elle est géométrique de raison a.; il en résulte que pour tout naturel n,  .
3. On revient à la suite initiale : pour tout entier naturel n, .D’où l’expression : 

3.Etude de la convergence

Sur notre exemple, la raison a=0,2 est telle que – 1<a<1 donc .

Ainsi, .

Si on applique cette méthode dans le cas général, on obtient le résultat suivant :

Théorème :

Une suite de nombres (Un) vérifie , avec -1<a<1.

Alors la suite (Un)  converge vers le nombre c  vérifiant c = ac+b.

Ce résultat découle de la formule explicite et de la condition -1<a<1, car alors, .

Remarque :

On démontre que, si  ou a>1, la suite est divergente (hormis le cas particuliers où , auquel cas elle est constante.

II.Suite de matrices colonnes (Un) vérifiant .

Etudions un exemple.La suite de matrices colonne (Un) de format (2,1) est définie par :

 et pour tout entier naturel n,  où  et .

1.De la formule de récurrence à la formule explicite.

Inspirons-nous de la méthode précédente.Cherchons une matrice colonne C de format (2,1), telle que C=AC+B.Cette équation d’inconnue C s’écrit C-AC=B, c’est-à-dire (I-A)C=B.

Si I-A est inversible, multiplions à gauche les deux membres par .

Or ,cette matrice est inversible et

donc .

De  et C=AC+B, on déduit par soustraction : .

Poson alors, pour tout entier naturel n, ; on obient  (1).

Démontrons par récurrence que l’égalité  (2) est vraie pour tout entier naturel n.

• Pour n=0, l’égalité (2) est vraie car .
• Si  alors en multipliant à gauche les deux membres par , on obtient , c’est-à-dire d’après (1), .Ainsi, l’égalité  (2) est héréditaire.
• On conclut que pour tout entier naturel n, .

Revenons à la suite  : pour tout entier naturel n,  d’où .

2. Méthode générale : détermination d’une formule explicite.

Une suite de matrices colonnes  vérifie  où  est inversible.

1. On résout l’équation l’équation C=AC+B; elle admet une unique solution .
2. On introduit la suite auxiliaire  définie par .On prouve qu’elle vérifie, pour tout entier naturel n,  puis par récurrence que .
3. On revient à la suite initiale: pour tout entier naturel n, .D’où l’expression .

3. Suites de matrices lignes

Si  est une suite de matrices lignes de même format telle que , où  est une matrice carrée et  une matrice ligne, on obtient des résultats analogues :  si  est inversible, l’équation  a une solution unique .

Alors pour tout naturel n, .

III. Convergence d’une suite de matrice

Définition :

 est une suite de matrices de format donné, L est une matrice de même format.Dire que la suite  a pour limite L, signifie que, pour chaque emplacement, la suite des coefficients de   a pour limite le coefficient de L.

On dit aussi que  converge vers L.

Exemple :

 converge vers la matrice .

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