Sommaire de cette fiche
Un cours sur les suites de matrices en terminale S spécialité où nous étudierons des suites convergentes vers une autre matrice.
I.Suite de nombres (Un) vérifiant
.
Une telle suite est dite arithmético-géométrique (ou à récurrence affine).
Etudions un exemple.La suite (Un) est définie par et pour tout entier naturel n,
.
1. De la formule de récurrence à la formule explicite.
Observons que si la suite (Un) converge, alors sa limite x est solution de l’équation x=0,2x+4.
Cette équation a pour solution x=5.Cela suggère de poser : pour tout entier naturel n, .
De et
, on déduit par soustraction :
.
Soit .La suite
est géométrique de raison a = 0,2 et de premier terme
.
D’où pour tout entier naturel n, .
Ainsi donc
.
2.Méthode générale : détermination d’une formule explicite.
- On résoud l’équation
: elle a une solution unique c.
- On introduit la suite auxiliaire
définie par
.On prouve qu’elle est géométrique de raison a.; il en résulte que pour tout naturel n,
.
- On revient à la suite initiale : pour tout entier naturel n,
.D’où l’expression :
3.Etude de la convergence
Sur notre exemple, la raison a=0,2 est telle que – 1<a<1 donc .
Ainsi, .
Si on applique cette méthode dans le cas général, on obtient le résultat suivant :
Théorème :
Une suite de nombres (Un) vérifie , avec -1<a<1.
Alors la suite (Un) converge vers le nombre c vérifiant c = ac+b.
Ce résultat découle de la formule explicite et de la condition -1<a<1, car alors, .
Remarque :
On démontre que, si ou a>1, la suite est divergente (hormis le cas particuliers où
, auquel cas elle est constante.
II.Suite de matrices colonnes (Un) vérifiant
.
Etudions un exemple.La suite de matrices colonne (Un) de format (2,1) est définie par :
et pour tout entier naturel n,
où
et
.
1.De la formule de récurrence à la formule explicite.
Inspirons-nous de la méthode précédente.Cherchons une matrice colonne C de format (2,1), telle que C=AC+B.Cette équation d’inconnue C s’écrit C-AC=B, c’est-à-dire (I-A)C=B.
Si I-A est inversible, multiplions à gauche les deux membres par .
Or ,cette matrice est inversible et
donc .
De et C=AC+B, on déduit par soustraction :
.
Poson alors, pour tout entier naturel n, ; on obient
(1).
Démontrons par récurrence que l’égalité (2) est vraie pour tout entier naturel n.
- Pour n=0, l’égalité (2) est vraie car
.
- Si
alors en multipliant à gauche les deux membres par
, on obtient
, c’est-à-dire d’après (1),
.Ainsi, l’égalité (2) est héréditaire.
- On conclut que pour tout entier naturel n,
.
Revenons à la suite : pour tout entier naturel n,
d’où
.
2. Méthode générale : détermination d’une formule explicite.
- On résout l’équation l’équation C=AC+B; elle admet une unique solution
.
- On introduit la suite auxiliaire
définie par
.On prouve qu’elle vérifie, pour tout entier naturel n,
puis par récurrence que
.
- On revient à la suite initiale: pour tout entier naturel n,
.D’où l’expression
.
3. Suites de matrices lignes
Si est une suite de matrices lignes de même format telle que
, où
est une matrice carrée et
une matrice ligne, on obtient des résultats analogues : si
est inversible, l’équation
a une solution unique
.
Alors pour tout naturel n, .
III. Convergence d’une suite de matrice
Définition :
On dit aussi que converge vers L.
Exemple :
converge vers la matrice
.
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