exercices maths terminale
 Le produit scalaire à travers des exercices de maths en terminale corrigés. Vous pouvez également travailler avec les énoncés ou consulter la liste ci-dessous avec les corrections détaillées.

Exercice 1 – Calculer la distance d’un point à un plan

Calculer la distance du point M(5; 2; −3) au plan d’équation x + 4y + 8z = −2.

Exercice 2 – Un plan formé par trois points

Soient A(1; −1; 1), B(0; 2; −1) et C(−1; 1; 0).

Montrer que A, B et C forment un plan puis déterminer x afin que mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.(x; 3; 4) soit normal à (ABC).
Exercice 3 – Plans orthogonaux

Les plans P : 2x − y + z + 9 = 0 et Q : x + y − z − 7 = 0 sont-ils orthogonaux ?

Exercice 4 – Equation cartésienne d’un plan

Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A(−2; 1; 3) et orthogonal
à (BC) où B(1; −2; 2) et C(4; 1; −1).

Exercice 5 – Déterminer l’équation cartésienne d’un plan

Déterminer une équation cartésienne du plan contenant A(2; −1; 1) et orthogonal au

vecteur mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.(3; −4; 2).

Exercice 6 – Vecteur normal et plan

Le vecteur mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.(6; −2; 4) est-il normal au plan d’équation −3x + y − 3z = 1 ?

Exercice 7 – Vecteur normal d’un plan

Déterminer un vecteur normal au plan d’équation 31x + 37y + 41z + 43 = 0.

Exercice 8 – Calcul de la mesure d’un angle
On se place dans un repère orthonormal.

Soient A(−1; 1; 2), B(0; 1; 0) et C(2; 0; 3).

Calculer une mesure approchée de l’angle mimetex.cgi?\widehat{BAC} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

Exercice 9 – Produit scalaire et cube

Soit ABCDEFGH un cube d’arête a.

Calculer :

mimetex.cgi?1.\,\vec{AE}.\vec{AF}.\\2.\,\vec{AE}.\vec{AG}.\\3.\,\vec{AF}.\vec{HC} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Exercice 10 – Tétraèdre régulier

Soit ABCD un tétraèdre régulier d’arête a.

Calculer mimetex.cgi?\vec{AB}.\vec{AC} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Exercice 11 – Etudier un carré

ABCD est un carré de coté 8 unités.

carre Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Les points I et J sont définis pas  mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et  mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. .
1. Exprimer le produit scalaire  mimetex.cgi?\vec{AI} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. de deux façons différentes .

2. Déterminer  mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. , puis la mesure de cet angle en radians .

Exercice 12 – Ensemble de points

ABC est un triangle équilatérale de côté de longueur mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

Quel est l’ensemble des point M tels que :

mimetex.cgi?(\vec{MA}+2\vec{MB}+\vec{MC}) Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Exercice 13 :

Pour calculer le produit scalaire mimetex.cgi?\vec{u} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. de deux vecteurs de l’espace, on choisit trois points O, M, N tels

que mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF., puis on calcule mimetex.cgi?\vec{OM} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. dans un plan mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. contenant les points O, M, N.

On modélise un Rubik’s cube par un cube ABCDEFGH d’arête 1 représenté ci-dessous.

exercices-produit-scalaire-1 Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

1.a) Dans chaque cas, calculer le produit scalaire.

mimetex.cgi?\vec{AD} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. (utiliser le plan (ADE))

mimetex.cgi?\vec{AD}\, Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

mimetex.cgi?\vec{AD}\, Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. (utiliser le plan du rectangle AFGD).

b) En déduire que dans l’espace, on a également mimetex.cgi?\vec{AD\,}.\,(\vec{AH}\,+\,\vec{AB})\,=\vec{AD}\,.\,\vec{AH}\,+\,\vec{AD}\, Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

2.Les vecteurs mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. sont tels que mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

a) Choisir des représentants des vecteurs mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. dont les extrémités appartiennent à un même plan.
b) Calculer alors mimetex.cgi?\vec{u} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

3.Calculer mimetex.cgi?\vec{EA\,} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

Que peut-on dire des vecteurs mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. ?
On dit alors que les droites (EA) et (DC) sont orthogonales.

Exercice 14 :

ABCDEFGH est un cube d’arête 1.
On se place dans le repère mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

exercices-produit-scalaire-2 Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
a) Justifier que les droites (DA), (DC) et (DH) sont perpendiculaires deux à deux et
que DA =DC =DH.
On dit que le repère mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. est orthonormé.

b) mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. sont deux vecteurs de coordonnées respectives mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. dans le repère

orthonormé mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

•  Exprimer les vecteurs mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. en fonction des vecteurs mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF., mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

• Développer le produit scalaire mimetex.cgi?\vec{u} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. en utilisant le fait que dans l’espace, le produit scalaire est encore bilinéaire et symétrique.

En déduire que mimetex.cgi?\vec{u} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

2.a) Utiliser la formule précédente pour démontrer que les vecteurs mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. sont orthogonaux.

b) Démontrer que les vecteurs mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. sont orthogonaux.

On dit alors que la droite (DF) est orthogonale au plan (EBG).

Exercice 15 :

ABCH est un tétraèdre tel que ABC est un triangle équilatéral d’arête a (avec a > 0),
et les autres faces sont des triangles rectangles en H.
a) Déterminer le produit scalaire mimetex.cgi?\vec{HB} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..
b) Développer et réduire le produit scalaire mimetex.cgi?(\vec{HA}\,+\,\vec{AB}) Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..
c) Exprimer la distance du point A au plan (BHC) en fonction de a.

exercices-produit-scalaire-3 Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Exercice 16 :

ABCDEFGH est un cube d’arête a et I est le centre de la face EFGH.

a) Donner la nature du triangle DCI.
b) Calculer le produit scalaire mimetex.cgi?\vec{ID}\, Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..
c) Exprimer ce produit scalaire en fonction de mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et en déduire la mesure en degré de l’angle mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..
Arrondir au dixième.

exercices-produit-scalaire-4-380x380 Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Exercice 17 :

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle.
Calculer :
mimetex.cgi?a)\,\vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

mimetex.cgi?b)\,\vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..
mimetex.cgi?c)\,\vec{EG} Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

exercices-produit-scalaire-5 Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Exercice 18 :

Alix affirme : « Dans un repère orthonormé, les vecteursmimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.  sont orthogonaux. ».

A-t-il raison ?

Exercice 19 :
Dans un repère orthonormé, déterminer mentalement celui de ces vecteurs qui est orthogonal au vecteur mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Exercice 20 :
Dans un repère orthonormé de l’espace, étudier mentalement l’orthogonalité de mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

mimetex Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF..

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