Le produit scalaire à travers des exercices de maths en terminale corrigés. Vous pouvez également travailler avec les énoncés ou consulter la liste ci-dessous avec les corrections détaillées.
Exercice 1 – Calculer la distance d’un point à un plan
Calculer la distance du point M(5; 2; −3) au plan d’équation x + 4y + 8z = −2.
Exercice 2 – Un plan formé par trois points
Soient A(1; −1; 1), B(0; 2; −1) et C(−1; 1; 0).
Montrer que A, B et C forment un plan puis déterminer x afin que (x; 3; 4) soit normal à (ABC). Exercice 3 – Plans orthogonaux
Les plans P : 2x − y + z + 9 = 0 et Q : x + y − z − 7 = 0 sont-ils orthogonaux ?
Exercice 4 – Equation cartésienne d’un plan
Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A(−2; 1; 3) et orthogonal
à (BC) où B(1; −2; 2) et C(4; 1; −1).
Exercice 5 – Déterminer l’équation cartésienne d’un plan
Déterminer une équation cartésienne du plan contenant A(2; −1; 1) et orthogonal au
vecteur (3; −4; 2).
Exercice 6 – Vecteur normal et plan
Le vecteur (6; −2; 4) est-il normal au plan d’équation −3x + y − 3z = 1 ?
Exercice 7 – Vecteur normal d’un plan
Déterminer un vecteur normal au plan d’équation 31x + 37y + 41z + 43 = 0.
Exercice 8 – Calcul de la mesure d’un angle
On se place dans un repère orthonormal.
Soient A(−1; 1; 2), B(0; 1; 0) et C(2; 0; 3).
Calculer une mesure approchée de l’angle .
Exercice 9 – Produit scalaire et cube
Soit ABCDEFGH un cube d’arête a.
Calculer :
Exercice 10 – Tétraèdre régulier
Soit ABCD un tétraèdre régulier d’arête a.
Calculer
Exercice 11 – Etudier un carré
ABCD est un carré de coté 8 unités.
Les points I et J sont définis pas et .
1. Exprimer le produit scalaire de deux façons différentes .
2. Déterminer , puis la mesure de cet angle en radians .
Exercice 12 – Ensemble de points
ABC est un triangle équilatérale de côté de longueur .
Quel est l’ensemble des point M tels que :
Exercice 13 :
Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace, on choisit trois points O, M, N tels
que et , puis on calcule dans un plan contenant les points O, M, N.
On modélise un Rubik’s cube par un cube ABCDEFGH d’arête 1 représenté ci-dessous.
1.a) Dans chaque cas, calculer le produit scalaire.
• (utiliser le plan (ADE))
•
• (utiliser le plan du rectangle AFGD).
b) En déduire que dans l’espace, on a également .
2.Les vecteurs et sont tels que et .
a) Choisir des représentants des vecteurs et dont les extrémités appartiennent à un même plan.
b) Calculer alors .
3.Calculer .
Que peut-on dire des vecteurs et ?
On dit alors que les droites (EA) et (DC) sont orthogonales.
Exercice 14 :
ABCDEFGH est un cube d’arête 1.
On se place dans le repère .
a) Justifier que les droites (DA), (DC) et (DH) sont perpendiculaires deux à deux et
que DA =DC =DH.
On dit que le repère est orthonormé.
b) et sont deux vecteurs de coordonnées respectives et dans le repère
orthonormé .
• Exprimer les vecteurs et en fonction des vecteurs , et .
• Développer le produit scalaire en utilisant le fait que dans l’espace, le produit scalaire est encore bilinéaire et symétrique.
En déduire que .
2.a) Utiliser la formule précédente pour démontrer que les vecteurs et sont orthogonaux.
b) Démontrer que les vecteurs et sont orthogonaux.
On dit alors que la droite (DF) est orthogonale au plan (EBG).
Exercice 15 :
ABCH est un tétraèdre tel que ABC est un triangle équilatéral d’arête a (avec a > 0),
et les autres faces sont des triangles rectangles en H.
a) Déterminer le produit scalaire .
b) Développer et réduire le produit scalaire .
c) Exprimer la distance du point A au plan (BHC) en fonction de a.
Exercice 16 :
ABCDEFGH est un cube d’arête a et I est le centre de la face EFGH.
a) Donner la nature du triangle DCI.
b) Calculer le produit scalaire .
c) Exprimer ce produit scalaire en fonction de et en déduire la mesure en degré de l’angle . Arrondir au dixième.
Exercice 17 :
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle.
Calculer : .
. .
Exercice 18 :
Alix affirme : « Dans un repère orthonormé, les vecteurs et sont orthogonaux. ».
A-t-il raison ?
Exercice 19 :
Dans un repère orthonormé, déterminer mentalement celui de ces vecteurs qui est orthogonal au vecteur .
Exercice 20 :
Dans un repère orthonormé de l’espace, étudier mentalement l’orthogonalité de et .
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(x; 3; 4) soit normal à (ABC).
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