Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

✏️Exercices

Terminale • Lycée

Produit scalaire

⏱️ Temps de travail : 20-45 min

🎯 Niveau : Lycée

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

Le produit scalaire à travers des exercices de maths en terminale corrigés. Vous pouvez également travailler avec les énoncés ou consulter la liste ci-dessous avec les corrections détaillées.

Exercice 1 – Calculer la distance d’un point à un plan

Calculer la distance du point M(5; 2; −3) au plan d’équation x + 4y + 8z = −2.

Exercice 2 – Un plan formé par trois points

Soient A(1; −1; 1), B(0; 2; −1) et C(−1; 1; 0).

Montrer que A, B et C forment un plan puis déterminer x aﬁn que $\vec{u}$ (x; 3; 4) soit normal à (ABC).
Exercice 3 – Plans orthogonaux

Les plans P : 2x − y + z + 9 = 0 et Q : x + y − z − 7 = 0 sont-ils orthogonaux ?

Exercice 4 – Equation cartésienne d’un plan

Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A(−2; 1; 3) et orthogonal
à (BC) où B(1; −2; 2) et C(4; 1; −1).

Exercice 5 – Déterminer l’équation cartésienne d’un plan

Déterminer une équation cartésienne du plan contenant A(2; −1; 1) et orthogonal au

vecteur $\vec{n}$ (3; −4; 2).

Exercice 6 – Vecteur normal et plan

Le vecteur $\vec{n}$ (6; −2; 4) est-il normal au plan d’équation −3x + y − 3z = 1 ?

Exercice 7 – Vecteur normal d’un plan

Déterminer un vecteur normal au plan d’équation 31x + 37y + 41z + 43 = 0.

Exercice 8 – Calcul de la mesure d’un angle
On se place dans un repère orthonormal.

Soient A(−1; 1; 2), B(0; 1; 0) et C(2; 0; 3).

Calculer une mesure approchée de l’angle $\widehat{BAC}.$ .

Exercice 9 – Produit scalaire et cube

Soit ABCDEFGH un cube d’arête a.

Calculer :

$1.\,\vec{AE}.\vec{AF}.\\2.\,\vec{AE}.\vec{AG}.\\3.\,\vec{AF}.\vec{HC}.$

Exercice 10 – Tétraèdre régulier

Soit ABCD un tétraèdre régulier d’arête a.

Calculer $\vec{AB}.\vec{AC}.$

Exercice 11 – Etudier un carré

ABCD est un carré de coté 8 unités.

Les points I et J sont définis pas $\vec{BI}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ et $\vec{DJ}=\frac{1}{3}\vec{DC}$ .
1. Exprimer le produit scalaire $\vec{AI}.\vec{AJ}$ de deux façons différentes .

2. Déterminer $cos(\widehat{IAJ})$ , puis la mesure de cet angle en radians .

Exercice 12 – Ensemble de points

ABC est un triangle équilatérale de côté de longueur .

Quel est l’ensemble des point M tels que :

$(\vec{MA}+2\vec{MB}+\vec{MC}).(\vec{MA}-2\vec{MB}+\vec{MC})=2l^2$

Exercice 13 :

Pour calculer le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ de deux vecteurs de l’espace, on choisit trois points O, M, N tels

que $\vec{u}=\,\vec{OM}$ et $\vec{v}=\,\vec{ON}$ , puis on calcule $\vec{OM}.\vec{ON}$ dans un plan (P) contenant les points O, M, N.

On modélise un Rubik’s cube par un cube ABCDEFGH d’arête 1 représenté ci-dessous.

1.a) Dans chaque cas, calculer le produit scalaire.

• $\vec{AD}.\,\vec{AH}$ (utiliser le plan (ADE))

• $\vec{AD}\,.\,\vec{AB}$

• $\vec{AD}\,.\,\vec{AG}$ (utiliser le plan du rectangle AFGD).

b) En déduire que dans l’espace, on a également $\vec{AD\,}.\,(\vec{AH}\,+\,\vec{AB})\,=\vec{AD}\,.\,\vec{AH}\,+\,\vec{AD}\,.\,\vec{AB}$ .

2.Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont tels que $\vec{u}\,=\,\vec{AF}$ et $\vec{v}=\,\vec{BG}$ .

a) Choisir des représentants des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dont les extrémités appartiennent à un même plan.
b) Calculer alors $\vec{u}.\vec{v}$ .

3.Calculer $\vec{EA\,}.\vec{\,DC}$ .

Que peut-on dire des vecteurs $\vec{EA}$ et $\vec{DC}$ ?
On dit alors que les droites (EA) et (DC) sont orthogonales.

Exercice 14 :

ABCDEFGH est un cube d’arête 1.
On se place dans le repère $(D\,;\,\vec{DA},\,\vec{DC},\,\vec{DH})$ .

a) Justifier que les droites (DA), (DC) et (DH) sont perpendiculaires deux à deux et
que DA =DC =DH.
On dit que le repère $(D\,;\,\vec{DA},\,\vec{DC},\,\vec{DH})$ est orthonormé.

b) $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs de coordonnées respectives $(x\,;\,y\,;\,z)$ et $(x'\,;\,y'\,;\,z')$ dans le repère

orthonormé $(D\,;\,\vec{DA},\,\vec{DC},\,\vec{DH})$ .

• Exprimer les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ en fonction des vecteurs $\vec{DA}$ , $\vec{DC}$ et $\vec{DH}$ .

• Développer le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ en utilisant le fait que dans l’espace, le produit scalaire est encore bilinéaire et symétrique.

En déduire que $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$ .

2.a) Utiliser la formule précédente pour démontrer que les vecteurs $\vec{EB}$ et $\vec{DF}$ sont orthogonaux.

b) Démontrer que les vecteurs $\vec{EG}$ et $\vec{DF}$ sont orthogonaux.

On dit alors que la droite (DF) est orthogonale au plan (EBG).

Exercice 15 :

ABCH est un tétraèdre tel que ABC est un triangle équilatéral d’arête a (avec a > 0),
et les autres faces sont des triangles rectangles en H.
a) Déterminer le produit scalaire $\vec{HB}.\vec{HC}$ .
b) Développer et réduire le produit scalaire $(\vec{HA}\,+\,\vec{AB}).\,(\vec{HA}\,+\,\vec{AC})$ .
c) Exprimer la distance du point A au plan (BHC) en fonction de a.

Exercice 16 :

ABCDEFGH est un cube d’arête a et I est le centre de la face EFGH.

a) Donner la nature du triangle DCI.
b) Calculer le produit scalaire $\vec{ID}\,.\,\vec{IC}$ .
c) Exprimer ce produit scalaire en fonction de $cos(\widehat{DIC})$ et en déduire la mesure en degré de l’angle $\widehat{DIC}$ .
Arrondir au dixième.

Exercice 17 :

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle.
Calculer :
$a)\,\vec{AB}.\,\vec{AC}$ .

$b)\,\vec{AB}.\,\vec{AD}$ .
$c)\,\vec{EG}.\vec{BC}$ .

Exercice 18 :

Alix affirme : « Dans un repère orthonormé, les vecteurs $\vec{u}(1;\,1\,;\,1)$ et $\vec{v}(-1;\,-1\,;-\,1)$ sont orthogonaux. ».

A-t-il raison ?

Exercice 19 :
Dans un repère orthonormé, déterminer mentalement celui de ces vecteurs qui est orthogonal au vecteur $\vec{u}(0;\,1\,;\,2)$ .

$(1)\,\,\vec{v}(0;1;-2)\\(2)\,\,\vec{w}(1;2;1)\\(3)\,\,\vec{z}(10;-6;3)\\$

Exercice 20 :
Dans un repère orthonormé de l’espace, étudier mentalement l’orthogonalité de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

$a)\,\,\vec{u}(2;3;-1)\,et\,\vec{v}(1;0;2)$ .

$b)\,\,\vec{u}(-1;0;3)\,et\,\vec{v}(3;2;1)$ .

$c)\,\,\vec{u}(0;-2;5)\,et\,\vec{v}(6;1;1)$ .

$d)\,\,\vec{u}(2;1;1)\,et\,\vec{v}(6;2;-14)$ .

$e)\,\,\vec{u}(1-\sqrt{2};1;-1)\,et\,\vec{v}(1+\sqrt{2};0;-3)$ .

Exercice 21 :

Dans un repère orthonormé de l’espace le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées (1;2;4).

Calculer $||\vec{u}||$ .

Exercice 22 :

Dans un repère orthonormé de l’espace, A et B sont les points de coordonnées respectives

(3;1;0) et (5;0;1).

Calculer $||\vec{AB}||$ .

Exercice 23 :

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs de l’espace tels que $||\vec{u}||=1$ , $||\vec{v}||=2$ et $||\vec{v}-\vec{u}||=\sqrt{5}$ .

Calculer $\vec{u}.\vec{v}$ .

Exercice 24 :

$\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont deux vecteurs de l’espace tels que AB = 5, AC = 8 et $\vec{BAC}=60\,^{\circ}$ .

Calculer $\vec{AB}.\vec{AC}$ .

Exercice 25 :

ABCDEFGH est un cube de côté .

Les points M et N sont les centres des faces BCGF et EFGH.

a) Vérifier que $AM^2=\frac{3}{2}a^2$ .

b) Calculer AN^2 et MN^2 .

c) En déduire la valeur du produit scalaire $\vec{AM}.\vec{AN}$ .

Exercice 26 :

Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne les coordonnées des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Calculer $\vec{u}.\vec{v}$ .

$a)\\,\vec{u}(2;3;-1)\vec{v}(1;0;2)\\b)\vec{u}(0;-2;5)\vec{v}(6;1;1)\\c)\vec{u}(1;-1;2)\vec{v}(3;-1;1)$

Exercice 27 :

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1;-1;0), B(-2,2,6), C(3,1,- 8)

et le vecteur $\vec{n}(3,1,1)$ .

1.Vérifier que les points A,B,C ne sont pas alignés.

2.a) Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan ABC.

b) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Exercice 28 :

Dans un repère orthonormé, A et B sont les points de coordonnées respectives

(3,2,0) et (5,1,-1) .

$\rho$ est le plan passant par A et orthogonal à la droite (AB).

a. Donner un vecteur normal au plan $\rho$ .

b. En déduire une équation cartésienne du plan $\rho$ .

Exercice 29 :

Soit les points de l’espace A(-4;4;0), B(4;0;-4) et C(1;1;1)

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

2. Déterminer la distance entre le point C et son projeté orthogonal H sur la droite (AB).

H est tel que les droites (CH) et (AB) sont perpendiculaires.

Exercice 30 :

Soit P le plan passant par le point A (4; 8;-4) et dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ (2 ; -1 ; 3) et $\vec{v}$ (4; 1; -3).
1. Démontrer que $\vec{n}$ (0 ; 3 ; 1) est un vecteur normal au plan P.
2. Déterminer un vecteur normal $\vec{n_1}$ au plan P, tel que la troisième coordonnée de $\vec{n_1}$ , soit égale 7.
3. Déterminer un vecteur normal $\vec{n_2}$ du plan P, tel que la deuxième coordonnée de $\vec{n_2}$ , soit égale – 1.
4. Est-il possible de trouver un vecteur normal au plan P dont la première coordonnée est égale à 4 ?

Exercice 31 :

Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est :

$\{\begin{matrix} x=3-2t\\ y=1+5t\\z=-7+6t \end{matrix}.$ avec $t\in \mathbb{R}$ .
Déterminer une équation du plan P passant par le point A(8;-5 ;3) et perpendiculaire à la droite (d).
Exercice 32 :

ABCDEFGH est un cube.

Le point I est le milieu de [AB] et le point J est le milieu de [DH].
On se place dans le repère orthonormé $(A ; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ .
1. Déterminer les coordonnées des points I, Jet G.
2. Justifier que les points I, J et G définissent un plan.
3. a. Déterminer des réels a, b et c tels que $\vec{n}(a ; b ; c)$ soit un vecteur normal au plan (IJG).
b. En déduire une équation du plan (IJG).

Exercice 33 :

Soit P le plan d’équation $2x\,-\,5y\,+3z-7=0$ .
Les droites (d_1) et (d_2) sont définies par une représentation paramétrique donnée ci-dessous :

$(d_1):\{\begin{matrix} x=5+4t \\ y=2+t\\z=9-t \end{matrix}.$ et $(d_2):\{\begin{matrix} x=2+3t \\ y=2t\\z=1+5t \end{matrix}.$ avec $t\in \mathbb{R}$ .

1. Le plan P et la droite (d1) sont-ils sécants ?
2. Déterminer l’intersection du plan P et de la droite (d2).

Exercice 34 :

On considère les points A(0;4;1), B(1;3;0), C(2;-1;-2) et D(7;- 1;4).
1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vec{u}$ (2 ; —1 ; 3).
a. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ .
d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
3. Soit P_1 le plan d’équation x + y + z = 0 et P_2 le plan d’équation x +4y +2=0.
a. Démontrer que les plans P_1 et P_2 sont sécants.
b. Vérifier que la droite (d), intersection des plans P_1 et P_2 a pour représentation paramétrique

$\{\begin{matrix} x=-4t-2 \\ y=t\\z=3t+2 \end{matrix}.$

c. La droite (d) et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

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