Produit scalaire : exercices de maths en terminale corrigés.

Le produit scalaire à travers des exercices de maths en terminale corrigés. Vous pouvez également travailler avec les énoncés ou consulter la liste ci-dessous avec les corrections détaillées.

Exercice 1 – Calculer la distance d’un point à un plan

Calculer la distance du point M(5; 2; −3) au plan d’équation x + 4y + 8z = −2.

Exercice 2 – Un plan formé par trois points

Soient A(1; −1; 1), B(0; 2; −1) et C(−1; 1; 0).

Montrer que A, B et C forment un plan puis déterminer x aﬁn que $\vec{u}$ (x; 3; 4) soit normal à (ABC).
Exercice 3 – Plans orthogonaux

Les plans P : 2x − y + z + 9 = 0 et Q : x + y − z − 7 = 0 sont-ils orthogonaux ?

Exercice 4 – Equation cartésienne d’un plan

Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A(−2; 1; 3) et orthogonal
à (BC) où B(1; −2; 2) et C(4; 1; −1).

Exercice 5 – Déterminer l’équation cartésienne d’un plan

Déterminer une équation cartésienne du plan contenant A(2; −1; 1) et orthogonal au

vecteur $\vec{n}$ (3; −4; 2).

Exercice 6 – Vecteur normal et plan

Le vecteur $\vec{n}$ (6; −2; 4) est-il normal au plan d’équation −3x + y − 3z = 1 ?

Exercice 7 – Vecteur normal d’un plan

Déterminer un vecteur normal au plan d’équation 31x + 37y + 41z + 43 = 0.

Exercice 8 – Calcul de la mesure d’un angle
On se place dans un repère orthonormal.

Soient A(−1; 1; 2), B(0; 1; 0) et C(2; 0; 3).

Calculer une mesure approchée de l’angle $\widehat{BAC}.$ .

Exercice 9 – Produit scalaire et cube

Soit ABCDEFGH un cube d’arête a.

Calculer :

$1.\,\vec{AE}.\vec{AF}.\\2.\,\vec{AE}.\vec{AG}.\\3.\,\vec{AF}.\vec{HC}.$

Exercice 10 – Tétraèdre régulier

Soit ABCD un tétraèdre régulier d’arête a.

Calculer $\vec{AB}.\vec{AC}.$

Exercice 11 – Etudier un carré

ABCD est un carré de coté 8 unités.

Les points I et J sont définis pas $\vec{BI}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ et $\vec{DJ}=\frac{1}{3}\vec{DC}$ .
1. Exprimer le produit scalaire $\vec{AI}.\vec{AJ}$ de deux façons différentes .

2. Déterminer $cos(\widehat{IAJ})$ , puis la mesure de cet angle en radians .

Exercice 12 – Ensemble de points

ABC est un triangle équilatérale de côté de longueur .

Quel est l’ensemble des point M tels que :

$(\vec{MA}+2\vec{MB}+\vec{MC}).(\vec{MA}-2\vec{MB}+\vec{MC})=2l^2$

Exercice 13 :

Pour calculer le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ de deux vecteurs de l’espace, on choisit trois points O, M, N tels

que $\vec{u}=\,\vec{OM}$ et $\vec{v}=\,\vec{ON}$ , puis on calcule $\vec{OM}.\vec{ON}$ dans un plan (P) contenant les points O, M, N.

On modélise un Rubik’s cube par un cube ABCDEFGH d’arête 1 représenté ci-dessous.

1.a) Dans chaque cas, calculer le produit scalaire.

• $\vec{AD}.\,\vec{AH}$ (utiliser le plan (ADE))

• $\vec{AD}\,.\,\vec{AB}$

• $\vec{AD}\,.\,\vec{AG}$ (utiliser le plan du rectangle AFGD).

b) En déduire que dans l’espace, on a également $\vec{AD\,}.\,(\vec{AH}\,+\,\vec{AB})\,=\vec{AD}\,.\,\vec{AH}\,+\,\vec{AD}\,.\,\vec{AB}$ .

2.Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont tels que $\vec{u}\,=\,\vec{AF}$ et $\vec{v}=\,\vec{BG}$ .

a) Choisir des représentants des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dont les extrémités appartiennent à un même plan.
b) Calculer alors $\vec{u}.\vec{v}$ .

3.Calculer $\vec{EA\,}.\vec{\,DC}$ .

Que peut-on dire des vecteurs $\vec{EA}$ et $\vec{DC}$ ?
On dit alors que les droites (EA) et (DC) sont orthogonales.

Exercice 14 :

ABCDEFGH est un cube d’arête 1.
On se place dans le repère $(D\,;\,\vec{DA},\,\vec{DC},\,\vec{DH})$ .

a) Justifier que les droites (DA), (DC) et (DH) sont perpendiculaires deux à deux et
que DA =DC =DH.
On dit que le repère $(D\,;\,\vec{DA},\,\vec{DC},\,\vec{DH})$ est orthonormé.

b) $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs de coordonnées respectives $(x\,;\,y\,;\,z)$ et $(x'\,;\,y'\,;\,z')$ dans le repère

orthonormé $(D\,;\,\vec{DA},\,\vec{DC},\,\vec{DH})$ .

• Exprimer les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ en fonction des vecteurs $\vec{DA}$ , $\vec{DC}$ et $\vec{DH}$ .

• Développer le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ en utilisant le fait que dans l’espace, le produit scalaire est encore bilinéaire et symétrique.

En déduire que $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$ .

2.a) Utiliser la formule précédente pour démontrer que les vecteurs $\vec{EB}$ et $\vec{DF}$ sont orthogonaux.

b) Démontrer que les vecteurs $\vec{EG}$ et $\vec{DF}$ sont orthogonaux.

On dit alors que la droite (DF) est orthogonale au plan (EBG).

Exercice 15 :

ABCH est un tétraèdre tel que ABC est un triangle équilatéral d’arête a (avec a > 0),
et les autres faces sont des triangles rectangles en H.
a) Déterminer le produit scalaire $\vec{HB}.\vec{HC}$ .
b) Développer et réduire le produit scalaire $(\vec{HA}\,+\,\vec{AB}).\,(\vec{HA}\,+\,\vec{AC})$ .
c) Exprimer la distance du point A au plan (BHC) en fonction de a.

Exercice 16 :

ABCDEFGH est un cube d’arête a et I est le centre de la face EFGH.

a) Donner la nature du triangle DCI.
b) Calculer le produit scalaire $\vec{ID}\,.\,\vec{IC}$ .
c) Exprimer ce produit scalaire en fonction de $cos(\widehat{DIC})$ et en déduire la mesure en degré de l’angle $\widehat{DIC}$ .
Arrondir au dixième.

Exercice 17 :

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle.
Calculer :
$a)\,\vec{AB}.\,\vec{AC}$ .

$b)\,\vec{AB}.\,\vec{AD}$ .
$c)\,\vec{EG}.\vec{BC}$ .

Exercice 18 :

Alix affirme : « Dans un repère orthonormé, les vecteurs $\vec{u}(1;\,1\,;\,1)$ et $\vec{v}(-1;\,-1\,;-\,1)$ sont orthogonaux. ».

A-t-il raison ?

Exercice 19 :
Dans un repère orthonormé, déterminer mentalement celui de ces vecteurs qui est orthogonal au vecteur $\vec{u}(0;\,1\,;\,2)$ .

$(1)\,\,\vec{v}(0;1;-2)\\(2)\,\,\vec{w}(1;2;1)\\(3)\,\,\vec{z}(10;-6;3)\\$

Exercice 20 :
Dans un repère orthonormé de l’espace, étudier mentalement l’orthogonalité de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

$a)\,\,\vec{u}(2;3;-1)\,et\,\vec{v}(1;0;2)$ .

$b)\,\,\vec{u}(-1;0;3)\,et\,\vec{v}(3;2;1)$ .

$c)\,\,\vec{u}(0;-2;5)\,et\,\vec{v}(6;1;1)$ .

$d)\,\,\vec{u}(2;1;1)\,et\,\vec{v}(6;2;-14)$ .

$e)\,\,\vec{u}(1-\sqrt{2};1;-1)\,et\,\vec{v}(1+\sqrt{2};0;-3)$ .

Voir Exercices 11 à 20...

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