Voici le corrigé complet du bac S de mathématiques 2012 aux Antilles-Guyane, épreuve du 19 juin 2012. Le sujet comporte quatre exercices. Le premier, sur 6 points, étudie la fonction \(f(x)=x\mathrm{e}^{x-1}+1\) : limites, dérivée et variations, recherche de la tangente passant par l’origine, puis calcul d’aire par intégration par parties. Le deuxième porte sur les nombres complexes : triangle rectangle isocèle, ensemble de points défini par un module, rotations et orthogonalité. Le troisième étudie une suite définie par récurrence à l’aide d’une suite géométrique auxiliaire et du logarithme. Le quatrième exercice diffère selon l’option : équation diophantienne, congruences et similitude pour la spécialité, probabilités conditionnelles, dénombrement et loi binomiale pour les autres candidats. Chaque réponse est justifiée pas à pas, avec les figures utiles.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Fonction exponentielle, tangente et intégrale – 6 points
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\mathrm{e}^{x-1}+1\) et on note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Partie A : étude de la fonction
1. On cherche la limite de \(f\) en \(-\infty\) et on l’interprète graphiquement.
Pour tout réel \(x\), on peut écrire \(f(x)=\mathrm{e}^{-1}\times x\mathrm{e}^{x}+1\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\mathrm{e}^{x}=0\), donc par produit et somme :
\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=1.\]
La courbe \(\mathcal{C}\) admet donc la droite d’équation \(y=1\) comme asymptote horizontale en \(-\infty\).
2. Limite en \(+\infty\) : on a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x-1}=+\infty\). Il n’y a pas de forme indéterminée : par produit puis somme, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
3. Calcul de la dérivée. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit et somme de fonctions dérivables. Avec la formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\), où \(u(x)=x\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{x-1}\) :
\[f^{\prime}(x)=1\times \mathrm{e}^{x-1}+x\,\mathrm{e}^{x-1}=(x+1)\mathrm{e}^{x-1}.\]
4. Variations de \(f\). Pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{x-1}\gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) est du signe de \(x+1\) : négatif sur \(]-\infty\,;-1]\), positif sur \([-1\,;+\infty[\). Le minimum vaut \(f(-1)=-\mathrm{e}^{-2}+1=1-\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}865\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| variations de \(f\) | 1 | décroissante | \(1-\mathrm{e}^{-2}\) | croissante | \(+\infty\) |
Partie B : recherche d’une tangente particulière
Pour un réel \(a\), on note \(T_a\) la tangente à \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse \(a\). On cherche les tangentes qui passent par l’origine du repère.
1. Une équation de \(T_a\) est \(y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\), c’est-à-dire :
\[T_a :\ y=(a+1)\mathrm{e}^{a-1}(x-a)+a\mathrm{e}^{a-1}+1.\]
2. On montre que \(T_a\) passe par l’origine si et seulement si \(1-a^2\mathrm{e}^{a-1}=0\). Le point \(O(0\,;0)\) appartient à \(T_a\) si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation :
\[0=(a+1)\mathrm{e}^{a-1}(0-a)+a\mathrm{e}^{a-1}+1\iff 0=\mathrm{e}^{a-1}(-a^2-a+a)+1\iff 1-a^2\mathrm{e}^{a-1}=0.\]
3. On montre que cette équation admet \(1\) pour unique solution sur \(]0\,;+\infty[\).
- \(1\) est solution : \(1-1^2\times \mathrm{e}^{0}=1-1=0\).
- Unicité : posons \(g(x)=1-x^2\mathrm{e}^{x-1}\) pour \(x\gt 0\). La fonction \(g\) est dérivable et
\[g^{\prime}(x)=-2x\mathrm{e}^{x-1}-x^2\mathrm{e}^{x-1}=-x(x+2)\mathrm{e}^{x-1}.\]
Pour \(x\gt 0\), on a \(x\gt 0\), \(x+2\gt 0\) et \(\mathrm{e}^{x-1}\gt 0\), donc \(g^{\prime}(x)\lt 0\) : \(g\) est strictement décroissante sur \(]0\,;+\infty[\). - Comme \(g(1)=0\) : si \(0\lt x\lt 1\), alors \(g(x)\gt g(1)=0\) ; si \(x\gt 1\), alors \(g(x)\lt g(1)=0\). La fonction \(g\) ne s’annule donc qu’en \(1\).
Conclusion : sur \(]0\,;+\infty[\), l’équation \(1-a^2\mathrm{e}^{a-1}=0\) a pour unique solution \(a=1\).
4. La tangente cherchée est \(T_1\). Comme \(f(1)=1+1=2\) et \(f^{\prime}(1)=2\), son équation est \(y=2(x-1)+2\), soit \(y=2x\). On la note \(\Delta\).
Partie C : calcul d’aire
1. Tracé de la droite \(\Delta\) sur la figure. Elle est tangente à \(\mathcal{C}\) au point de coordonnées \((1\,;2)\) ; le domaine dont on calcule l’aire à la question 3 est coloré.
2. On calcule \(I=\displaystyle\int_0^1 x\mathrm{e}^{x-1}\,\mathrm{d}x\) par intégration par parties. On pose \(u(x)=x\) et \(v^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x-1}\), d’où \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{x-1}\). Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([0\,;1]\), donc :
\[I=\Big[x\mathrm{e}^{x-1}\Big]_0^1-\int_0^1\mathrm{e}^{x-1}\,\mathrm{d}x=(1-0)-\Big[\mathrm{e}^{x-1}\Big]_0^1=1-(1-\mathrm{e}^{-1})=\mathrm{e}^{-1}.\]
Ainsi \(I=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\).
3. On cherche l’aire \(\mathcal{A}\) du domaine limité par \(\mathcal{C}\), \(\Delta\) et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\). Sur \([0\,;1]\), la courbe \(\mathcal{C}\) est au-dessus de sa tangente \(\Delta\) (voir la figure ; on peut le vérifier : \(f(x)-2x\) vaut 1 en 0, 0 en 1 et sa dérivée \((x+1)\mathrm{e}^{x-1}-2\) est négative sur \([0\,;1]\), donc \(f(x)-2x\geq\, 0\) sur cet intervalle). Par linéarité de l’intégrale :
\[\mathcal{A}=\int_0^1\big(f(x)-2x\big)\,\mathrm{d}x=\int_0^1 x\mathrm{e}^{x-1}\,\mathrm{d}x+\int_0^1(1-2x)\,\mathrm{d}x=I+\Big[x-x^2\Big]_0^1=\frac{1}{\mathrm{e}}+0.\]
L’aire vaut donc \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\approx 0{,}368\) unité d’aire.
Exercice 2 :
Nombres complexes et géométrie – 4 points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\). On considère les points \(A\), \(B\), \(C\) d’affixes \(a=-1+2\mathrm{i}\), \(b=-2-\mathrm{i}\) et \(c=-3+\mathrm{i}\).
1. Les points sont placés sur la figure ci-dessous (ainsi que les points \(J\), \(K\), \(L\) construits à la question 4).
2. On calcule \(\dfrac{b}{a}\) et on en déduit la nature du triangle \(OAB\).
\[\frac{b}{a}=\frac{-2-\mathrm{i}}{-1+2\mathrm{i}}=\frac{(-2-\mathrm{i})(-1-2\mathrm{i})}{(-1)^2+2^2}=\frac{2+4\mathrm{i}+\mathrm{i}+2\mathrm{i}^2}{5}=\frac{5\mathrm{i}}{5}=\mathrm{i}.\]
- \(\dfrac{OB}{OA}=|\dfrac{b}{a}|=|\mathrm{i}|=1\), donc \(OA=OB\) ;
- \((\vec{OA},\vec{OB})=\arg(\dfrac{b}{a})=\arg(\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}\ (2\pi)\).
Le triangle \(OAB\) est donc rectangle et isocèle en \(O\).
3. À tout point \(M\) d’affixe \(z\ne b\), on associe le point \(M^{\prime}\) d’affixe \(z^{\prime}=\dfrac{z-a}{z-b}\).
a. L’affixe de \(C^{\prime}\), image de \(C\), est :
\[c^{\prime}=\frac{c-a}{c-b}=\frac{-3+\mathrm{i}+1-2\mathrm{i}}{-3+\mathrm{i}+2+\mathrm{i}}=\frac{-2-\mathrm{i}}{-1+2\mathrm{i}}=\mathrm{i}\]
(c’est exactement le quotient calculé à la question 2). Donc \(c^{\prime}=\mathrm{i}\).
b. \(E\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(|z^{\prime}|=1\). Pour \(z\ne b\) :
\[|z^{\prime}|=1\iff\frac{|z-a|}{|z-b|}=1\iff |z-a|=|z-b|\iff AM=BM.\]
\(E\) est l’ensemble des points équidistants de \(A\) et \(B\) (le point \(B\) n’y est pas puisque \(AB\ne 0\)) : \(E\) est la médiatrice du segment \([AB]\).
c. \(|c^{\prime}|=|\mathrm{i}|=1\), donc \(C\in E\). De plus \(OA=OB\) d’après la question 2, donc \(O\in E\). Les points \(O\) et \(C\) étant distincts, la médiatrice \(E\) est la droite \((OC)\).
4. On note \(J\) l’image de \(A\) par la rotation \(r\) de centre \(O\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\), \(K\) l’image de \(C\) par la rotation \(r^{\prime}\) de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(L\) le milieu de \([JK]\). On montre que la médiane issue de \(O\) du triangle \(OJK\) est la hauteur issue de \(O\) du triangle \(OAC\).
- L’écriture complexe de \(r\) est \(z^{\prime}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}z=-\mathrm{i}z\), donc \(j=-\mathrm{i}(-1+2\mathrm{i})=\mathrm{i}-2\mathrm{i}^2=2+\mathrm{i}\).
- L’écriture complexe de \(r^{\prime}\) est \(z^{\prime}=\mathrm{i}z\), donc \(k=\mathrm{i}(-3+\mathrm{i})=-1-3\mathrm{i}\).
- \(L\) est le milieu de \([JK]\) : \(\ell=\dfrac{j+k}{2}=\dfrac{1-2\mathrm{i}}{2}=\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\).
La médiane issue de \(O\) du triangle \(OJK\) est la droite \((OL)\), dirigée par \(\vec{OL}(\dfrac{1}{2}\,;-1)\). Par ailleurs \(\vec{AC}\) a pour affixe \(c-a=-2-\mathrm{i}\), soit \(\vec{AC}(-2\,;-1)\). Alors :
\[\vec{AC}\cdot\vec{OL}=-2\times \frac{1}{2}+(-1)\times (-1)=-1+1=0.\]
Donc \((OL)\perp(AC)\) : la droite \((OL)\) passe par \(O\) et est perpendiculaire à \((AC)\), c’est la hauteur issue de \(O\) du triangle \(OAC\).
Exercice 3 :
Suite définie par récurrence, suite géométrique et logarithme – 5 points
On considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}^*\) par \(u_1=\dfrac{1}{2}\) et, pour tout \(n\geq\, 1\), \(u_{n+1}=\dfrac{n+1}{2n}\,u_n\).
1. Calcul des premiers termes :
\[u_2=\frac{2}{2\times 1}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2},\qquad u_3=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{8},\qquad u_4=\frac{4}{6}\times \frac{3}{8}=\frac{1}{4}.\]
2. a. On démontre par récurrence que, pour tout \(n\geq\, 1\), \(u_n\gt 0\).
- Initialisation : \(u_1=\dfrac{1}{2}\gt 0\).
- Hérédité : supposons \(u_k\gt 0\) pour un entier \(k\geq\, 1\). Comme \(\dfrac{k+1}{2k}\gt 0\), le produit \(u_{k+1}=\dfrac{k+1}{2k}u_k\) est strictement positif.
- Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(u_n\gt 0\).
b. Sens de variation. Pour \(n\geq\, 1\), les termes étant strictement positifs :
\[\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{2n}=\frac{n+1}{n+n}\leq\, 1\quad\text{car } 1\leq\, n.\]
Donc \(u_{n+1}\leq\, u_n\) : la suite \((u_n)\) est décroissante.
c. La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 0 : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\geq\, 0\).
3. On pose, pour \(n\geq\, 1\), \(v_n=\dfrac{u_n}{n}\).
a. Pour tout \(n\geq\, 1\) :
\[v_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{n+1}=\frac{1}{n+1}\times \frac{n+1}{2n}\,u_n=\frac{1}{2}\times \frac{u_n}{n}=\frac{1}{2}v_n.\]
La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), de premier terme \(v_1=\dfrac{u_1}{1}=\dfrac{1}{2}\).
b. On en déduit, pour tout \(n\geq\, 1\) : \(v_n=v_1(\dfrac{1}{2})^{n-1}=\dfrac{1}{2^n}\), puis, comme \(u_n=n\,v_n\) :
\[u_n=\frac{n}{2^n}.\]
4. On considère la fonction \(f\) définie sur \([1\,;+\infty[\) par \(f(x)=\ln x-x\ln 2\).
a. Pour \(x\geq\, 1\), on factorise par \(x\) : \(f(x)=x(\dfrac{\ln x}{x}-\ln 2)\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\), donc la parenthèse tend vers \(-\ln 2\lt 0\) et, par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).
b. Pour tout \(n\geq\, 1\) :
\[\ln u_n=\ln(\frac{n}{2^n})=\ln n-\ln(2^n)=\ln n-n\ln 2=f(n).\]
D’après la question précédente, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\ln u_n=-\infty\). Comme \(u_n=\mathrm{e}^{\ln u_n}\) et \(\displaystyle\lim_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0\), par composition : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).
Remarque : on pouvait aussi obtenir la limite dès la question 2 c. En passant à la limite dans \(u_{n+1}=\dfrac{n+1}{2n}u_n\), avec \(\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac{1}{2}\), on obtient \(\ell=\dfrac{1}{2}\ell\), donc \(\ell=0\).
Exercice 4 :
Arithmétique et similitude – 5 points, candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
1. On étudie l’équation \((E)\) : \(11x-5y=14\), où \(x\) et \(y\) sont des entiers relatifs.
a. \(11\times 4-5\times 6=44-30=14\), donc le couple \((4\,;6)\) est une solution particulière de \((E)\).
b. Résolution de \((E)\).
- Soit \((x\,;y)\) une solution. En soustrayant \(11\times 4-5\times 6=14\), on obtient \(11(x-4)=5(y-6)\). Ainsi 5 divise \(11(x-4)\) ; comme 5 et 11 sont premiers entre eux, le théorème de Gauss montre que 5 divise \(x-4\) : il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(x=4+5k\). En reportant, \(11\times 5k=5(y-6)\), d’où \(y-6=11k\), soit \(y=6+11k\).
- Réciproquement, pour tout \(k\in\mathbb{Z}\) : \(11(4+5k)-5(6+11k)=44+55k-30-55k=14\).
Les solutions de \((E)\) sont les couples \((4+5k\,;6+11k)\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).
2. a. On montre que \(2^{3n}\equiv 1\ [7]\) pour tout entier naturel \(n\). On a \(2^3=8=7+1\), donc \(2^3\equiv 1\ [7]\). Les congruences étant compatibles avec les puissances, \((2^3)^n\equiv 1^n\ [7]\), soit \(2^{3n}\equiv 1\ [7]\).
b. Reste de la division euclidienne de \(2011^{2012}\) par 7. On a \(2011=7\times 287+2\), donc \(2011\equiv 2\ [7]\) et \(2011^{2012}\equiv 2^{2012}\ [7]\). Or \(2012=3\times 670+2\), donc :
\[2^{2012}=(2^{3})^{670}\times 2^2\equiv 1\times 4\ [7].\]
Comme \(0\leq\, 4\lt 7\), le reste de la division de \(2011^{2012}\) par 7 est 4.
3. On considère la transformation \(f\) d’écriture complexe \(z^{\prime}=\dfrac{3}{2}(1-\mathrm{i})z+4-2\mathrm{i}\) et on en cherche les éléments caractéristiques.
L’écriture est de la forme \(z^{\prime}=\alpha z+\beta\) avec \(\alpha=\dfrac{3}{2}(1-\mathrm{i})\) non nul et différent de 1, et \(\beta=4-2\mathrm{i}\) : \(f\) est une similitude directe.
- Rapport : \(|\alpha|=\dfrac{3}{2}|1-\mathrm{i}|=\dfrac{3}{2}\sqrt{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).
- Angle : \(\arg(\alpha)=\arg(\dfrac{3}{2})+\arg(1-\mathrm{i})=0-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{4}\ (2\pi)\).
- Centre \(\Omega\) d’affixe \(\omega\), point fixe : \(\omega=\alpha\omega+\beta\iff\omega=\dfrac{\beta}{1-\alpha}\). Avec \(1-\alpha=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\mathrm{i}\) :
\[\omega=\frac{4-2\mathrm{i}}{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\mathrm{i}}=\frac{8-4\mathrm{i}}{-1+3\mathrm{i}}=\frac{(8-4\mathrm{i})(-1-3\mathrm{i})}{(-1)^2+3^2}=\frac{-8-24\mathrm{i}+4\mathrm{i}-12}{10}=\frac{-20-20\mathrm{i}}{10}=-2-2\mathrm{i}.\]
\(f\) est la similitude directe de centre \(\Omega(-2-2\mathrm{i})\), de rapport \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{4}\).
4. L’algorithme étudié fait varier un entier \(N\) à partir de 1 tant que \(N\leq\,\sqrt{A}\) et, lorsque \(\dfrac{A}{N}-\mathrm{Ent}(\dfrac{A}{N})=0\), affiche \(N\) et \(\dfrac{A}{N}\). Pour \(A=12\), comme \(\sqrt{12}\approx 3{,}46\), la boucle est parcourue pour \(N=1\), 2 et 3 :
| \(N\) | \(A/N\) | \(\mathrm{Ent}(A/N)\) | \(A/N-\mathrm{Ent}(A/N)=0\) ? | Affichage |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 12 | 12 | oui | 1 et 12 |
| 2 | 6 | 6 | oui | 2 et 6 |
| 3 | 4 | 4 | oui | 3 et 4 |
Le test vérifie si le quotient \(\dfrac{A}{N}\) est entier, c’est-à-dire si \(N\) divise \(A\). Dans ce cas, \(N\) et \(\dfrac{A}{N}\) sont deux diviseurs de \(A\), l’un inférieur ou égal à \(\sqrt{A}\), l’autre supérieur ou égal à \(\sqrt{A}\). Tout diviseur de \(A\) étant associé de cette façon à un diviseur au plus égal à \(\sqrt{A}\), l’algorithme affiche tous les diviseurs de \(A\) (pour 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12).
Exercice 4 :
Probabilités et dénombrement – 5 points, candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
L’exercice est formé de cinq questions indépendantes.
1. Dans un lycée, 55 % des élèves sont des filles ; 35 % des filles et 30 % des garçons déjeunent à la cantine. On cherche la probabilité qu’un élève choisi au hasard ne déjeune pas à la cantine. On note \(F\) l’événement « l’élève est une fille » et \(C\) l’événement « l’élève déjeune à la cantine ». On a \(p(F)=0{,}55\), \(p_F(C)=0{,}35\) et \(p_{\overline{F}}(C)=0{,}30\).
D’après la formule des probabilités totales :
\[p(C)=p(F)\,p_F(C)+p(\overline{F})p_{\overline{F}}(C)=0{,}55\times 0{,}35+0{,}45\times 0{,}30=0{,}1925+0{,}135=0{,}3275.\]
Donc \(p(\overline{C})=1-0{,}3275=0{,}6725\).
2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10 ; on en tire simultanément 3 et on compte les tirages comportant au moins un numéro pair. Un tirage simultané est une combinaison : il y a \(\dbinom{10}{3}=120\) tirages possibles. Les tirages sans aucun numéro pair sont formés de 3 des 5 numéros impairs : il y en a \(\dbinom{5}{3}=10\). Par passage au contraire, il y a \(120-10=110\) tirages contenant au moins un jeton pair.
3. La variable aléatoire \(Y\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(20\,;\dfrac{1}{5})\) ; on calcule \(p(Y\geq\, 2)\) en passant par l’événement contraire :
\[p(Y\geq\, 2)=1-p(Y=0)-p(Y=1)=1-(\frac{4}{5})^{20}-20\times \frac{1}{5}\times (\frac{4}{5})^{19}=1-\frac{4^{20}+20\times 4^{19}}{5^{20}}.\]
On obtient \(p(Y\geq\, 2)\approx 0{,}931\) à \(10^{-3}\) près.
4. Un appareil peut présenter deux défauts, notés \(A\) et \(F\), indépendants, avec \(p(A)=0{,}02\) ; la probabilité qu’il présente au moins l’un des deux défauts est \(0{,}069\). On cherche \(p(F)\). L’événement « au moins un défaut » est \(A\cup F\) :
\[p(A\cup F)=p(A)+p(F)-p(A\cap F)=p(A)+p(F)-p(A)\,p(F)\]
par indépendance. D’où :
\[0{,}069=0{,}02+p(F)-0{,}02\,p(F)\iff 0{,}049=0{,}98\,p(F)\iff p(F)=\frac{0{,}049}{0{,}98}=0{,}05.\]
Donc \(p(F)=0{,}05\).
5. L’algorithme effectue 9 tirages d’un entier au hasard entre 1 et 7 et compte, dans \(X\), le nombre de résultats strictement supérieurs à 5. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli dont le succès « le nombre obtenu vaut 6 ou 7 » a pour probabilité \(\dfrac{2}{7}\) ; les 9 tirages sont identiques et indépendants. Par conséquent, \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=9\) et \(p=\dfrac{2}{7}\).
