Bac de maths 2021 en France (septembre, jour 2) : sujet et corrigé

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Jour 2 — Candidats libres
France métropolitaine — 13 septembre 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Une entreprise reçoit quotidiennement de nombreux courriels (courriers électroniques).

Parmi ces courriels, 8 % sont du « spam », c’est-à-dire des courriers à intention publicitaire, voire malveillante, qu’il est souhaitable de ne pas ouvrir.

On choisit au hasard un courriel reçu par l’entreprise.

Les propriétés du logiciel de messagerie utilisé dans l’entreprise permettent d’affirmer que :

• La probabilité que le courriel choisi soit classé comme « indésirable » sachant que c’est un spam est égale à \(0{,}9\).
• La probabilité que le courriel choisi soit classé comme « indésirable » sachant que ce n’est pas un spam est égale à \(0{,}01\).

On note :

• \(S\) l’évènement « le courriel choisi est un spam » ;
• \(I\) l’évènement « le courriel choisi est classé comme indésirable par le logiciel de messagerie ».
• \(\overline{S}\) et \(\overline{I}\) les évènements contraires de \(S\) et \(I\) respectivement.

1. Modéliser la situation étudiée par un arbre pondéré, sur lequel on fera apparaître les probabilités associées à chaque branche.

2. a. Démontrer que la probabilité que le courriel choisi soit un message de spam et qu’il soit classé indésirable est égale à \(0{,}072\).

b. Calculer la probabilité que le message choisi soit classé indésirable.

c. Le message choisi est classé comme indésirable. Quelle est la probabilité que ce soit effectivement un message de spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.

3. On choisit au hasard 50 courriels parmi ceux reçus par l’entreprise. On admet que ce choix se ramène à un tirage au hasard avec remise de 50 courriels parmi l’ensemble des courriels reçus par l’entreprise.

On appelle \(Z\) la variable aléatoire dénombrant les courriels de spam parmi les 50 choisis.

a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(Z\), et quels sont ses paramètres ?

b. Quelle est la probabilité que, parmi les 50 courriels choisis, deux au moins soient du spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), on considère les points \(\text{A}(1\,;\,0\,;\,2)\), \(\text{B}(2\,;\,1\,;\,0)\), \(\text{C}(0\,;\,1\,;\,2)\) et la droite \(\Delta\) dont une représentation paramétrique est :

\[\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 4 – t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.\]

1. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite \(\Delta\) ?

2. Le vecteur \(\vec{\text{AB}}\) admet pour coordonnées :

3. Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :

4. Une équation cartésienne du plan passant par le point C et orthogonal à la droite \(\Delta\) est :

5. On considère le point D défini par la relation vectorielle \(\vec{\text{OD}} = 3\vec{\text{OA}} – \vec{\text{OB}} – \vec{\text{OC}}\).

Exercice 3 (6 points)

Commun à tous les candidats

Partie I

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = x – \text{e}^{-2x}.\]

On appelle \(\Gamma\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

1. Déterminer les limites de la fonction \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

2. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et dresser son tableau de variation.

3. Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\), dont on donnera une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.

4. Déduire des questions précédentes le signe de \(f(x)\) suivant les valeurs de \(x\).

Partie II

Dans le repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\), on appelle \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x) = \text{e}^{-x}.\]

La courbe \(\mathcal{C}\) et la courbe \(\Gamma\) (qui représente la fonction \(f\) de la Partie I) sont tracées sur le graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.

(annexe à compléter et à rendre avec la copie)

Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe \(\mathcal{C}\) le plus proche de l’origine O du repère et d’étudier la tangente à \(\mathcal{C}\) en ce point.

1. Pour tout nombre réel \(t\), on note \(M\) le point de coordonnées \((t\,;\,\text{e}^{-t})\) de la courbe \(\mathcal{C}\).

On considère la fonction \(h\) qui, au nombre réel \(t\), associe la distance \(\text{O}M\).

On a donc : \(h(t) = \text{O}M\), c’est-à-dire :

\[h(t) = \sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}\]

a. Montrer que, pour tout nombre réel \(t\),

\[h^{\prime}(t) = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}}.\]

où \(f\) désigne la fonction étudiée dans la Partie I.

b. Démontrer que le point A de coordonnées \((\alpha\,;\,\text{e}^{-\alpha})\) est le point de la courbe \(\mathcal{C}\) pour lequel la longueur \(\text{O}M\) est minimale.

Placer ce point sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.

2. On appelle \(T\) la tangente en A à la courbe \(\mathcal{C}\).

a. Exprimer en fonction de \(\alpha\) le coefficient directeur de la tangente \(T\).

On rappelle que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à \(\dfrac{\text{e}^{-\alpha}}{\alpha}\).

On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration :

Dans un repère orthonormé du plan, deux droites \(D\) et \(D^{\prime}\) de coefficients directeurs respectifs \(m\) et \(m^{\prime}\) sont perpendiculaires si, et seulement si le produit \(mm^{\prime}\) est égal à \(-1\).

b. Démontrer que la droite (OA) et la tangente \(T\) sont perpendiculaires.

Tracer ces droites sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Suites numériques ; raisonnement par récurrence.

On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par :

\[u_0 = 16 \quad ; \quad v_0 = 5\,;\]

et pour tout entier naturel \(n\) :

\[\begin{cases} u_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} \\ v_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2} \end{cases}\]

1. Calculer \(u_1\) et \(v_1\).

2. On considère la suite \((w_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(w_n = u_n – v_n\).

a. Démontrer que la suite \((w_n)\) est géométrique de raison 0,1.

En déduire, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(w_n\) en fonction de \(n\).

b. Préciser le signe de la suite \((w_n)\) et la limite de cette suite.

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+1} – u_n = -0{,}4\, w_n\).

b. En déduire que la suite \((u_n)\) est décroissante.

On peut démontrer de la même manière que la suite \((v_n)\) est croissante. On admet ce résultat, et on remarque qu’on a alors : pour tout entier naturel \(n\), \(v_n \geq\, v_0 = 5\).

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n \geq\, 5\).

En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente. On appelle \(\ell\) la limite de \((u_n)\).

On peut démontrer de la même manière que la suite \((v_n)\) est convergente. On admet ce résultat, et on appelle \(\ell^{\prime}\) la limite de \((v_n)\).

4. a. Démontrer que \(\ell = \ell^{\prime}\).

b. On considère la suite \((c_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(c_n = 5u_n + 4v_n\).

Démontrer que la suite \((c_n)\) est constante, c’est-à-dire que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(c_{n+1} = c_n\).

En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(c_n = 100\).

c. Déterminer la valeur commune des limites \(\ell\) et \(\ell^{\prime}\).

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme, limites, dérivation.

Partie 1

Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique dans un repère orthonormé de la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{2\ln(x) – 1}{x}.\]

1. Déterminer par le calcul l’unique solution \(\alpha\) de l’équation \(f(x) = 0\).

On donnera la valeur exacte de \(\alpha\) ainsi que la valeur arrondie au centième.

2. Préciser, par lecture graphique, le signe de \(f(x)\) lorsque \(x\) varie dans l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

Partie II

On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[g(x) = [\ln(x)]^2 – \ln(x).\]

1. a. Déterminer la limite de la fonction \(g\) en 0.

b. Déterminer la limite de la fonction \(g\) en \(+\infty\).

2. On note \(g^{\prime}\) la fonction dérivée de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

Démontrer que, pour tout nombre réel \(x\) de \(]0\,;\,+\infty[\), on a : \(g^{\prime}(x) = f(x)\), où \(f\) désigne la fonction définie dans la partie I.

3. Dresser le tableau de variations de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

On fera figurer dans ce tableau les limites de la fonction \(g\) en 0 et en \(+\infty\), ainsi que la valeur du minimum de \(g\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

4. Démontrer que, pour tout nombre réel \(m \gt -0{,}25\), l’équation \(g(x) = m\) admet exactement deux solutions.

5. Déterminer par le calcul les deux solutions de l’équation \(g(x) = 0\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Le premier niveau de l’arbre sépare les spams (\(P(S) = 0{,}08\)) des autres courriels (\(P(\overline{S}) = 1 – 0{,}08 = 0{,}92\)). Le second niveau indique le classement par le logiciel : après \(S\), la branche vers \(I\) porte 0,9 et celle vers \(\overline{I}\) porte \(1 – 0{,}9 = 0{,}1\) ; après \(\overline{S}\), la branche vers \(I\) porte 0,01 et celle vers \(\overline{I}\) porte \(1 – 0{,}01 = 0{,}99\).

2. a. L’évènement « spam et classé indésirable » est \(S \cap I\). On multiplie les probabilités le long du chemin de l’arbre :

\[P(S \cap I) = P(S) \times P_S(I) = 0{,}08 \times 0{,}9 = 0{,}072.\]

On retrouve bien \(P(S \cap I) = 0{,}072\).

b. Les évènements \(S\) et \(\overline{S}\) forment une partition de l’univers ; la formule des probabilités totales donne :

\[P(I) = P(S \cap I) + P(\overline{S} \cap I) = 0{,}072 + 0{,}92 \times 0{,}01 = 0{,}072 + 0{,}0092 = 0{,}0812.\]

La probabilité qu’un courriel soit classé indésirable est \(P(I) = 0{,}0812\).

c. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_I(S)\) :

\[P_I(S) = \dfrac{P(S \cap I)}{P(I)} = \dfrac{0{,}072}{0{,}0812} \approx 0{,}8867.\]

Un message classé indésirable est un spam avec une probabilité d’environ 0,89.

3. a. On répète 50 fois, de façon identique et indépendante (tirage avec remise), une épreuve de Bernoulli dont le succès « le courriel est un spam » a pour probabilité 0,08. \(Z\) compte le nombre de succès : \(Z\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 50\) et \(p = 0{,}08\).

b. On passe par l’évènement contraire de \(Z \geq\, 2\), qui est « \(Z = 0\) ou \(Z = 1\) » :

\[P(Z = 0) = 0{,}92^{50} \approx 0{,}01547 \quad \text{et} \quad P(Z = 1) = \binom\,{50}{1} \times 0{,}08 \times 0{,}92^{49} \approx 0{,}06725.\]

\[P(Z \geq\, 2) = 1 – P(Z = 0) – P(Z = 1) \approx 1 – 0{,}01547 – 0{,}06725 \approx 0{,}9173.\]

La probabilité qu’au moins deux des 50 courriels soient du spam est environ 0,92.

Exercice 2 :

1. Réponse B. On cherche \(t\) tel que \(1 + 2t = -3\), soit \(t = -2\). Pour \(t = -2\) : \(y = -2 – 2 = -4\) et \(z = 4 + 2 = 6\). Le point obtenu est \(\text{N}(-3\,;\,-4\,;\,6)\). Le point P a les mêmes deux premières coordonnées mais \(z = 2 \neq 6\) ; pour M il faudrait \(t = 0{,}5\) qui donne \(y = -1{,}5 \neq 1\) ; pour Q il faudrait \(t = -3\) qui donne \(y = -5\) mais \(z = 7 \neq 1\).

2. Réponse C. \(\vec{\text{AB}}\) a pour coordonnées \((x_B – x_A\,;\,y_B – y_A\,;\,z_B – z_A) = (2 – 1\,;\,1 – 0\,;\,0 – 2) = (1\,;\,1\,;\,-2)\).

3. Réponse B. La représentation B donne le point \((2\,;\,1\,;\,0)\), c’est-à-dire B, pour \(t = 0\), et a pour vecteur directeur \((-1\,;\,-1\,;\,2) = -\vec{\text{AB}}\), colinéaire à \(\vec{\text{AB}}\) : c’est bien la droite (AB). On peut vérifier avec \(t = 1\) : on obtient \((1\,;\,0\,;\,2)\), c’est-à-dire A. Les autres propositions échouent : A a pour vecteur directeur \((2\,;\,1\,;\,0)\), non colinéaire à \(\vec{\text{AB}}\) ; C a le vecteur \((1\,;\,1\,;\,2)\), non colinéaire lui non plus ; D a le bon vecteur directeur mais pour \(t = 0\) elle passe par \((1\,;\,1\,;\,2)\), qui n’est pas sur (AB) (dans la représentation B, \(x = 1\) impose \(t = 1\) alors que \(y = 1\) impose \(t = 0\)).

4. Réponse B. Un plan orthogonal à \(\Delta\) admet comme vecteur normal un vecteur directeur de \(\Delta\), ici \(\vec{u}(2\,;\,1\,;\,-1)\). Son équation est donc de la forme \(2x + y – z + d = 0\). Comme \(\text{C}(0\,;\,1\,;\,2)\) appartient au plan : \(0 + 1 – 2 + d = 0\), d’où \(d = 1\). Le plan a pour équation \(2x + y – z + 1 = 0\).

5. Réponse A. Calculons les coordonnées de D : \(x_D = 3 \times 1 – 2 – 0 = 1\), \(y_D = 3 \times 0 – 1 – 1 = -2\), \(z_D = 3 \times 2 – 0 – 2 = 4\), donc \(\text{D}(1\,;\,-2\,;\,4)\), ce qui élimine C. Alors \(\vec{\text{AD}}(0\,;\,-2\,;\,2)\), \(\vec{\text{AB}}(1\,;\,1\,;\,-2)\) et \(\vec{\text{AC}}(-1\,;\,1\,;\,0)\). On remarque que \(-\vec{\text{AB}} – \vec{\text{AC}}\) a pour coordonnées \((-1 + 1\,;\,-1 – 1\,;\,2 – 0) = (0\,;\,-2\,;\,2)\) : ainsi \(\vec{\text{AD}} = -\vec{\text{AB}} – \vec{\text{AC}}\). Le vecteur \(\vec{\text{AD}}\) s’écrit comme combinaison linéaire de \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) : les trois vecteurs sont coplanaires. (B est fausse car \(\vec{\text{BC}}(-2\,;\,0\,;\,2)\) ; D est fausse car \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires.)

Exercice 3 :

Partie I

1. En \(-\infty\) : quand \(x \to -\infty\), \(-2x \to +\infty\), donc \(\text{e}^{-2x} \to +\infty\) (composition), et \(-\text{e}^{-2x} \to -\infty\). Comme \(x \to -\infty\) aussi, par somme \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

En \(+\infty\) : \(-2x \to -\infty\), donc \(\text{e}^{-2x} \to 0\) ; comme \(x \to +\infty\), par somme \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

2. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, puisque la dérivée de \(\text{e}^{-2x}\) est \(-2\text{e}^{-2x}\) :

\[f^{\prime}(x) = 1 – (-2\text{e}^{-2x}) = 1 + 2\text{e}^{-2x}.\]

Une exponentielle est strictement positive, donc \(f^{\prime}(x) \gt 1 \gt 0\) pour tout réel \(x\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

3. \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et elle prend ses valeurs entre \(-\infty\) et \(+\infty\) ; 0 est compris entre ces limites. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\).

Par balayage à la calculatrice : \(f(0) = -1 \lt 0\) et \(f(1) \approx 0{,}86 \gt 0\), puis \(f(0{,}42) \approx -0{,}0117 \lt 0\) et \(f(0{,}43) \approx 0{,}0068 \gt 0\). Donc \(0{,}42 \lt \alpha \lt 0{,}43\), et \(\alpha \approx 0{,}43\) à \(10^{-2}\) près (plus précisément \(\alpha \approx 0{,}4263\)).

4. Comme \(f\) est strictement croissante et s’annule en \(\alpha\) : \(f(x) \lt 0\) pour \(x \lt \alpha\), \(f(\alpha) = 0\), et \(f(x) \gt 0\) pour \(x \gt \alpha\).

Partie II

1. a. Posons \(u(t) = t^2 + \text{e}^{-2t}\). La fonction \(u\) est dérivable et strictement positive sur \(\mathbb{R}\) (somme d’un carré et d’une exponentielle), donc \(h = \sqrt{u}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(h^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}\). Or \(u^{\prime}(t) = 2t – 2\text{e}^{-2t}\), d’où :

\[h^{\prime}(t) = \dfrac{2t – 2\text{e}^{-2t}}{2\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}} = \dfrac{t – \text{e}^{-2t}}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}} = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}}.\]

b. Le dénominateur de \(h^{\prime}(t)\) est strictement positif, donc \(h^{\prime}(t)\) a le signe de \(f(t)\), étudié à la question I.4 : \(h^{\prime}(t) \lt 0\) sur \(]-\infty\,;\,\alpha[\) et \(h^{\prime}(t) \gt 0\) sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\). La fonction \(h\) est donc décroissante puis croissante : elle atteint son minimum en \(t = \alpha\). La distance \(\text{O}M\) est minimale lorsque \(M\) a pour abscisse \(\alpha\), c’est-à-dire lorsque \(M\) est le point \(\text{A}(\alpha\,;\,\text{e}^{-\alpha})\). Numériquement, \(\text{A} \approx (0{,}43\,;\,0{,}65)\) et \(\text{OA} \approx 0{,}78\).

Placement sur l’annexe : \(\alpha\) est l’abscisse du point où \(\Gamma\) coupe l’axe des abscisses. On trace la verticale passant par ce point : elle rencontre \(\mathcal{C}\) en A.

2. a. \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(g^{\prime}(x) = -\text{e}^{-x}\). Le coefficient directeur de la tangente \(T\) en A est donc \(g^{\prime}(\alpha) = -\text{e}^{-\alpha}\).

b. Le produit des coefficients directeurs de (OA) et de \(T\) vaut :

\[\dfrac{\text{e}^{-\alpha}}{\alpha} \times (-\text{e}^{-\alpha}) = -\dfrac{\text{e}^{-2\alpha}}{\alpha}.\]

Or \(\alpha\) est solution de \(f(x) = 0\), donc \(\alpha – \text{e}^{-2\alpha} = 0\), soit \(\text{e}^{-2\alpha} = \alpha\) (et \(\alpha \neq 0\) puisque \(f(0) = -1\)). Le produit vaut donc \(-\dfrac{\alpha}{\alpha} = -1\). D’après le rappel, la droite (OA) et la tangente \(T\) sont perpendiculaires : le point de \(\mathcal{C}\) le plus proche de O est celui où le « rayon » OA est perpendiculaire à la courbe.

Tracés : la droite (OA) passe par l’origine et par A ; la tangente \(T\) passe par A avec une pente \(-\text{e}^{-\alpha} \approx -0{,}65\) ; elle coupe l’axe des ordonnées en \(\text{e}^{-\alpha}(1 + \alpha) \approx 0{,}93\) et l’axe des abscisses en \(1 + \alpha \approx 1{,}43\).

Exercice A :

1. \(u_1 = \dfrac{3 \times 16 + 2 \times 5}{5} = \dfrac{58}{5} = 11{,}6\) et \(v_1 = \dfrac{16 + 5}{2} = \dfrac{21}{2} = 10{,}5\). Donc \(u_1 = 11{,}6\) et \(v_1 = 10{,}5\).

2. a. Pour tout entier naturel \(n\), en mettant au dénominateur commun 10 :

\[w_{n+1} = u_{n+1} – v_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} – \dfrac{u_n + v_n}{2} = \dfrac{6u_n + 4v_n – 5u_n – 5v_n}{10} = \dfrac{u_n – v_n}{10} = 0{,}1\, w_n.\]

La suite \((w_n)\) est donc géométrique de raison 0,1, de premier terme \(w_0 = 16 – 5 = 11\). Pour tout entier naturel \(n\) : \(w_n = 11 \times 0{,}1^n\).

b. Comme \(11 \gt 0\) et \(0{,}1^n \gt 0\), on a \(w_n \gt 0\) pour tout \(n\). De plus \(0 \lt 0{,}1 \lt 1\), donc \(0{,}1^n \to 0\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} w_n = 0\).

3. a. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1} – u_n = \dfrac{3u_n + 2v_n – 5u_n}{5} = \dfrac{-2u_n + 2v_n}{5} = -\dfrac{2}{5}(u_n – v_n) = -0{,}4\, w_n.\]

b. D’après 2.b, \(w_n \gt 0\), donc \(u_{n+1} – u_n = -0{,}4\, w_n \lt 0\) pour tout \(n\) : la suite \((u_n)\) est (strictement) décroissante.

c. Notons \(P(n)\) la propriété « \(u_n \geq\, 5\) ».

Initialisation : \(u_0 = 16 \geq\, 5\), donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité : soit \(n\) un entier naturel tel que \(u_n \geq\, 5\). On sait aussi (résultat admis) que \(v_n \geq\, 5\). Alors \(3u_n \geq\, 15\) et \(2v_n \geq\, 10\), donc \(3u_n + 2v_n \geq\, 25\) ; en divisant par 5 (nombre positif), \(u_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} \geq\, 5\). \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion : par récurrence, \(u_n \geq\, 5\) pour tout entier naturel \(n\).

La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 5 : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\) (avec \(\ell \geq\, 5\)).

4. a. Les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers \(\ell\) et \(\ell^{\prime}\), donc \(w_n = u_n – v_n\) converge vers \(\ell – \ell^{\prime}\). Or on a vu que \(w_n \to 0\). Par unicité de la limite, \(\ell – \ell^{\prime} = 0\), soit \(\ell = \ell^{\prime}\).

b. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[c_{n+1} = 5u_{n+1} + 4v_{n+1} = 5 \times \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} + 4 \times \dfrac{u_n + v_n}{2} = 3u_n + 2v_n + 2u_n + 2v_n = 5u_n + 4v_n = c_n.\]

La suite \((c_n)\) est constante, donc égale à son premier terme : \(c_n = c_0 = 5 \times 16 + 4 \times 5 = 80 + 20\), soit \(c_n = 100\) pour tout \(n\).

c. En passant à la limite dans \(5u_n + 4v_n = 100\), avec \(u_n \to \ell\) et \(v_n \to \ell^{\prime} = \ell\), on obtient \(5\ell + 4\ell = 100\), soit \(9\ell = 100\). La limite commune est \(\ell = \ell^{\prime} = \dfrac{100}{9} \approx 11{,}11\).

Exercice B :

Partie I

1. Pour \(x \gt 0\), le dénominateur ne s’annule pas, donc \(f(x) = 0 \iff 2\ln(x) – 1 = 0 \iff \ln(x) = \dfrac{1}{2} \iff x = \text{e}^{1/2}\). L’unique solution est \(\alpha = \text{e}^{1/2} = \sqrt{\text{e}} \approx 1{,}65\).

2. Sur le graphique, la courbe est sous l’axe des abscisses avant le point d’abscisse \(\alpha\) et au-dessus ensuite : \(f(x) \lt 0\) sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}[\), \(f(\sqrt{\text{e}}) = 0\) et \(f(x) \gt 0\) sur \(]\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\).

Partie II

1. a. Quand \(x \to 0\) (avec \(x \gt 0\)), \(\ln(x) \to -\infty\), donc \([\ln(x)]^2 \to +\infty\) et \(-\ln(x) \to +\infty\). Par somme, \(\lim\limits_{x \to 0} g(x) = +\infty\).

b. En \(+\infty\), la somme donne une forme indéterminée « \(+\infty – \infty\) ». On factorise : \(g(x) = \ln(x)[\ln(x) – 1]\). Comme \(\ln(x) \to +\infty\) et \(\ln(x) – 1 \to +\infty\), par produit \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\).

2. La dérivée de \(u^2\) est \(2uu^{\prime}\) ; avec \(u = \ln\), la dérivée de \([\ln(x)]^2\) est \(2\ln(x) \times \dfrac{1}{x}\). Donc, pour tout \(x \gt 0\) :

\[g^{\prime}(x) = \dfrac{2\ln(x)}{x} – \dfrac{1}{x} = \dfrac{2\ln(x) – 1}{x} = f(x).\]

3. Le signe de \(g^{\prime}(x) = f(x)\) est donné par la partie I : \(g\) est décroissante sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}]\) et croissante sur \([\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\). Son minimum vaut \(g(\text{e}^{1/2}) = (\dfrac{1}{2})^2 – \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}\).

4. Soit \(m \gt -0{,}25 = -\dfrac{1}{4}\).

Sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}]\), \(g\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de \(+\infty\) à \(-\dfrac{1}{4}\) : comme \(m\) est dans \(]-\dfrac{1}{4}\,;\,+\infty[\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires donne une unique solution de \(g(x) = m\) dans cet intervalle (et elle est différente de \(\sqrt{\text{e}}\) puisque \(g(\sqrt{\text{e}}) = -\dfrac{1}{4} \neq m\)).

Sur \([\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\), \(g\) est continue et strictement croissante de \(-\dfrac{1}{4}\) à \(+\infty\) : pour la même raison, l’équation y admet une unique solution.

Au total, l’équation \(g(x) = m\) admet exactement deux solutions sur \(]0\,;\,+\infty[\).

5. \(g(x) = 0 \iff \ln(x)[\ln(x) – 1] = 0 \iff \ln(x) = 0 \text{ ou } \ln(x) = 1 \iff x = 1 \text{ ou } x = \text{e}\). Les deux solutions sont \(x = 1\) et \(x = \text{e}\) (ce qui illustre la question 4 avec \(m = 0 \gt -0{,}25\) : l’une est dans \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}[\), l’autre dans \(]\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\)).

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