Bac 2023 Réunion : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2023 à La Réunion, posé le 28 mars 2023, suivi d’un corrigé détaillé de toutes les questions sur une page dédiée. Ensuite, le premier exercice suit une campagne de démarchage téléphonique en deux appels : arbre pondéré, probabilité conditionnelle, loi binomiale et recherche d’une taille d’échantillon. Par ailleurs, le deuxième étudie la fonction \(3x+1-2x\ln(x)\) : limites, variations, équation \(f(x)=0\), primitive et concavité pour aboutir à l’inégalité \(\ln(x)\geq\, 1-\frac{1}{x}\). De plus, le troisième mêle un QCM et un raisonnement par récurrence sur une suite définie par \(u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{1}{2}n+1\). En outre, le dernier se déroule dans un cube : plan normal, projeté orthogonal, triangle rectangle et volume d’un tétraèdre.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 à La Réunion (jour 1).

Par ailleurs, pour réviser le bac maths 2027, retrouvez sur une seule page l’ensemble des sujets corrigés des dernières sessions.

Bac 2023 Réunion : le sujet en un coup d’œil

Tout d’abord, ce bac 2023 Réunion correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 à La Réunion (jour 1), reproduit ici avec son énoncé complet. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la fonction logarithme népérien et les limites. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 1
La Réunion — 28 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit.

L’entreprise appelle chaque personne une première fois :
- la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,6 ;
- si la personne décroche, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à 0,3.
Si la personne n’a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel :
- la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,3 ;
- si la personne décroche, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à 0,2.
Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter.

On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants :

\(D_1\) : « la personne décroche au premier appel » ;
\(D_2\) : « la personne décroche au deuxième appel » ;
\(A\) : « la personne achète le produit ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.

2. En utilisant l’arbre pondéré, montrer que la probabilité de l’évènement \(A\) est \(P(A)=0{,}204\).

3. On sait que la personne a acheté le produit.
Quelle est la probabilité qu’elle ait décroché au premier appel ?

Partie B

On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu’elle achète le produit est égale à 0,204.

1. On considère un échantillon aléatoire de 30 personnes.
On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l’échantillon qui achètent le produit.

a. On admet que \(X\) suit une loi binomiale. Donner, sans justifier, ses paramètres.

b. Déterminer la probabilité qu’exactement 6 personnes de l’échantillon achètent le produit. Arrondir le résultat au millième.

c. Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(X\).

Interpréter le résultat.

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On considère désormais un échantillon de \(n\) personnes.
Déterminer la plus petite valeur de \(n\) telle que la probabilité qu’au moins l’une des personnes de l’échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à 0,99.

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~+\infty[\) par :

\[f(x)=3x+1-2x\ln(x).\]

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0~;~+\infty[\).
De plus, on note \(f^{\prime}\) sa dérivée et \(f^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.
On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

2. a. Démontrer que pour tout réel \(x\) strictement positif : \(f^{\prime}(x)=1-2\ln(x)\).

b. Étudier le signe de \(f^{\prime}\) et dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).
On fera figurer dans ce tableau les limites ainsi que la valeur exacte de l’extremum.

3. a. Démontrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \(]0~;~+\infty[\). On notera \(\alpha\) cette solution.

b. En déduire le signe de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).

4. On considère une primitive quelconque de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\). On la note \(F\).
Peut-on affirmer que la fonction \(F\) est strictement décroissante sur l’intervalle \([\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+\infty[\) ? Justifier.

5. a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).
Quelle est la position de la courbe \(\mathcal{C}_f\) par rapport à ses tangentes ?

b. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 1.

c. Déduire des questions 5. a et 5. b que pour tout réel \(x\) strictement positif :

\[\ln(x)\geq\, 1-\dfrac{1}{x}.\]

Exercice 3 (5 points)

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}n+1.\]

Partie A

Cette partie est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

1. La valeur de \(u_2\) est égale à :

a.	b.	c.	b.
\(\dfrac{11}{4}\)	\(\dfrac{13}{2}\)	\(3{,}5\)	\(2{,}7\)

2. La suite \((v_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n=u_n-n\) est :

a.	b.	c.	d.
arithmétique de raison \(\dfrac{1}{2}\)	géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\)	constante.	ni arithmétique, ni géométrique.

3. On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python.

\(n\) désigne un entier naturel non nul.
On rappelle qu’en langage Python « i in range (n) » signifie que i varie de 0 à \(n-1\).

1  def terme (n)
2      U=3
3      for i in range(n):
4  ......................
5      return U

Pour que terme (n) renvoie la valeur de \(u_n\), on peut compléter la ligne 4 par :

a.	b.	c.	d.
`U = U/2 + (i+1)/2+1`	`U = U/2 + n/2 + 1`	`U = U/2 + (i-1)/2+1`	`U = U/2 + i/2 + 1`

Partie B

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :

\[n\leq\, u_n\leq\, n+3.\]

2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

3. Déterminer la limite de la suite \((\dfrac{u_n}{n})\).

Exercice 4 (5 points)

On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous tel que AB = 1.
En outre, on note M le centre de la face BCGF et N le centre de la face EFGH.

On se place dans le repère orthonormé \((\text{D}~;~\vec{\text{DH}},~\vec{\text{DC}},~\vec{\text{DA}})\).

1. Donner sans justifier les coordonnées des points F et C.

2. Calculer les coordonnées des points M et N.

3. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{\text{AG}}\) est normal au plan (HFC).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (HFC).

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).

5. Démontrer que le point R de coordonnées \((\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3})\) est le projeté orthogonal du point G sur le plan (HFC).

6. On admet qu’une représentation paramétrique de la droite (FG) est :

\[\{\begin{array}{l c l} x = 1\\ y = 1\\ z = t \end{array}.\quad (t\in\mathbb{R}).\]

Démontrer qu’il existe un unique point K sur la droite (FG) tel que le triangle KMN soit rectangle en K.

7. Quelle fraction du volume du cube ABCDEFGH le volume du tétraèdre FNKM représente-t-il ?

Bac 2023 Réunion : conseils de révision

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article probabilités conditionnelles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Points de vigilance

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.

Bac 2023 Réunion : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la fonction logarithme népérien, mais aussi les limites.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 à La Réunion (jour 1)

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