Bac de maths 2022 en France (jour 2) : sujet et corrigé

Tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022
France métropolitaine — 12 mai 2022 — Sujet 2
Épreuve d’enseignement de spécialité Mathématiques — Durée : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 (7 points)

Thème : probabilités

Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.

Dans l’état d’Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.

Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :

• Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.
• Si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.

Partie A

Des vétérinaires capturent un coyote d’Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l’ehrlichiose.

On considère les évènements suivants :

• \(M\) : « le coyote est malade » ;
• \(T\) : « le test du coyote est positif ».

On note \(\overline{M}\) et \(\overline{T}\) respectivement les évènements contraires de \(M\) et \(T\).

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.

2. Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.

3. Démontrer que la probabilité de \(T\) est égale à \(0{,}694\).

4. On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.

Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.

5. a. Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test » et calculer cette valeur en arrondissant au millième.

b. Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu’un coyote capturé au hasard présente un test positif est de \(0{,}694\).

1. Lorsqu’on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.

a. Quelle est la loi de probabilité suivie par \(X\) ? Justifier et préciser ses paramètres.

b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.

c. Un vétérinaire affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.

2. Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d’un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux présente un test positif soit supérieure à \(0{,}99\) ?

Exercice 2 (7 points)

Thèmes : fonctions numériques et suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). La courbe de sa fonction dérivée \(f^{\prime}\) est donnée ci-dessous.

On admet que \(f^{\prime}\) admet un maximum en \(-\dfrac{3}{2}\) et que sa courbe coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées \((-\dfrac{1}{2}\ ;\ 0)\).

On rappelle que la courbe ci-dessous représente la fonction dérivée \(f^{\prime}\) de \(f\).

Question 1

Question 2

Question 3

La dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\) de la fonction \(f\) vérifie :

Question 4

On considère trois suites \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\). On sait que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n \leq\, v_n \leq\, w_n\) et de plus : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 1\) et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = 3\).

On peut alors affirmer que :

Question 5

On considère une suite \((u_n)\) telle que, pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, \dfrac{1}{n}\).

On peut alors affirmer que :

Question 6

On considère \((u_n)\) une suite réelle telle que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(n \lt u_n \lt n+1\).

On peut affirmer que :

Exercice 3 (7 points)

Thème : géométrie dans l’espace

On considère un cube ABCDEFGH et on appelle K le milieu du segment [BC].

On se place dans le repère \((\text{A}\ ;\ \vec{\text{AB}},\ \vec{\text{AD}},\ \vec{\text{AE}})\) et on considère le tétraèdre EFGK.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par :

\[V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h\]

où \(\mathcal{B}\) désigne l’aire d’une base et \(h\) la hauteur relative à cette base.

1. Préciser les coordonnées des points E, F, G et K.

2. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\) est orthogonal au plan (EGK).

3. Démontrer que le plan (EGK) admet pour équation cartésienne : \(2x – 2y + z – 1 = 0\).

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\) orthogonale au plan (EGK) passant par F.

5. Montrer que le projeté orthogonal L de F sur le plan (EGK) a pour coordonnées \((\dfrac{5}{9}\ ;\ \dfrac{4}{9}\ ;\ \dfrac{7}{9})\).

6. Justifier que la longueur LF est égale à \(\dfrac{2}{3}\).

7. Calculer l’aire du triangle EFG. En déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à \(\dfrac{1}{6}\).

8. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle EGK.

9. On considère les points P milieu du segment [EG], M milieu du segment [EK] et N milieu du segment [GK]. Déterminer le volume du tétraèdre FPMN.

Exercice 4 (7 points)

Thèmes : fonctions numériques, fonction exponentielle

Partie A : études de deux fonctions

On considère les deux fonctions \(f\) et \(g\) définies sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\) par :

\[f(x) = 0{,}06(-x^2 + 13{,}7x) \quad \text{et} \quad g(x) = (-0{,}15x + 2{,}2)\text{e}^{0{,}2x} – 2{,}2.\]

On admet que les fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables et on note \(f^{\prime}\) et \(g^{\prime}\) leurs fonctions dérivées respectives.

1. On donne le tableau de variations complet de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\).

a. Justifier la limite de \(f\) en \(+\infty\).

b. Justifier les variations de la fonction \(f\).

c. Résoudre l’équation \(f(x) = 0\).

2. a. Déterminer la limite de \(g\) en \(+\infty\).

b. Démontrer que, pour tout réel \(x\) appartenant à \([0\ ;\ +\infty[\) on a : \(g^{\prime}(x) = (-0{,}03x + 0{,}29)\text{e}^{0{,}2x}\).

c. Étudier les variations de la fonction \(g\) et dresser son tableau de variations sur \([0\ ;\ +\infty[\).

Préciser une valeur approchée à \(10^{-2}\) près du maximum de \(g\).

d. Montrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution non nulle et déterminer, à \(10^{-2}\) près, une valeur approchée de cette solution.

Partie B : trajectoires d’une balle de golf

Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club » de golf.

On souhaite exploiter les fonctions \(f\) et \(g\) étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d’une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.

On admettra ici que \(13{,}7\) est la valeur qui annule la fonction \(f\) et une approximation de la valeur qui annule la fonction \(g\).

On donne ci-dessous les représentations graphiques de \(f\) et \(g\) sur l’intervalle \([0\ ;\ 13{,}7]\).

Pour \(x\) représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec \(0 \lt x \lt 13{,}7\)), \(f(x)\) (ou \(g(x)\) selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ \(0{,}914\) mètre).

On appelle « angle de décollage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe (\(\mathcal{C}_f\) ou \(\mathcal{C}_g\) selon le modèle) en son point d’abscisse \(0\). Une mesure de l’angle de décollage de la balle est un nombre réel \(d\) tel que \(\tan(d)\) est égal au coefficient directeur de cette tangente.

De même, on appelle « angle d’atterrissage » de la balle, l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe (\(\mathcal{C}_f\) ou \(\mathcal{C}_g\) selon le modèle) en son point d’abscisse \(13{,}7\). Une mesure de l’angle d’atterrissage de la balle est un nombre réel \(a\) tel que \(\tan(a)\) est égal à l’opposé du coefficient directeur de cette tangente.

Tous les angles sont mesurés en degré.

Le schéma ci-dessous illustre les angles de décollage et d’atterrissage associés à la courbe \(\mathcal{C}_f\) :

Le schéma ci-dessous illustre les angles de décollage et d’atterrissage associés à la courbe \(\mathcal{C}_g\) :

1. Première modélisation : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, \(x\) représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et \(f(x)\) la hauteur correspondante de la balle.

Selon ce modèle :

a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?

b. Vérifier que \(f^{\prime}(0) = 0{,}822\).

c. Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).

d. Quelle propriété graphique de la courbe \(\mathcal{C}_f\) permet de justifier que les angles de décollage et d’atterrissage de la balle sont égaux ?

2. Seconde modélisation : on rappelle qu’ici, l’unité étant la dizaine de yards, \(x\) représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et \(g(x)\) la hauteur correspondante de la balle.

Selon ce modèle :

a. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?

On précise que \(g^{\prime}(0) = 0{,}29\) et \(g^{\prime}(13{,}7) \approx -1{,}87\).

b. Donner une mesure en degré de l’angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).

c. Justifier que \(62\) est une valeur approchée, arrondie à l’unité près, d’une mesure en degré de l’angle d’atterrissage de la balle.

Tableau : extrait d’une feuille de calcul donnant une mesure en degré d’un angle quand on connait sa tangente :

Partie C : interrogation des modèles

À partir d’un grand nombre d’observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants :

Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. L’énoncé donne \(P(M) = 0{,}7\), donc \(P(\overline{M}) = 0{,}3\). Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas : \(P_M(T) = 0{,}97\) et \(P_M(\overline{T}) = 0{,}03\). Si le coyote est sain, le test est négatif dans 95 % des cas : \(P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}95\) et donc \(P_{\overline{M}}(T) = 0{,}05\).

L’arbre complété porte donc : \(0{,}7\) sur la branche vers \(M\) et \(0{,}3\) vers \(\overline{M}\) ; après \(M\), \(0{,}97\) vers \(T\) et \(0{,}03\) vers \(\overline{T}\) ; après \(\overline{M}\), \(0{,}05\) vers \(T\) et \(0{,}95\) vers \(\overline{T}\). On vérifie que les probabilités issues d’un même nœud ont pour somme 1.

2. On cherche \(P(M \cap T)\). On suit le chemin \(M\) puis \(T\) et on multiplie les probabilités rencontrées :

\[P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0{,}7 \times 0{,}97 = 0{,}679.\]

La probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif est \(0{,}679\).

3. Les évènements \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}679 + 0{,}3 \times 0{,}05 = 0{,}679 + 0{,}015 = 0{,}694.\]

On obtient bien \(P(T) = 0{,}694\).

4. La valeur prédictive positive est la probabilité conditionnelle \(P_T(M)\) :

\[P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}679}{0{,}694} \approx 0{,}97839.\]

La valeur prédictive positive du test vaut environ \(0{,}978\) au millième.

5. a. Par analogie, la « valeur prédictive négative du test » est la probabilité que le coyote ne soit pas malade sachant que son test est négatif, c’est-à-dire \(P_{\overline{T}}(\overline{M})\).

On a \(P(\overline{T}) = 1 – P(T) = 1 – 0{,}694 = 0{,}306\) et, en suivant le chemin \(\overline{M}\) puis \(\overline{T}\), \(P(\overline{M} \cap \overline{T}) = 0{,}3 \times 0{,}95 = 0{,}285\). Donc :

\[P_{\overline{T}}(\overline{M}) = \dfrac{P(\overline{M} \cap \overline{T})}{P(\overline{T})} = \dfrac{0{,}285}{0{,}306} \approx 0{,}93137.\]

La valeur prédictive négative vaut environ \(0{,}931\) au millième.

b. On constate que \(0{,}978 \gt 0{,}931\) : la valeur prédictive positive est plus grande que la valeur prédictive négative. Concrètement, quand le test est positif, le coyote est réellement malade dans environ 97,8 % des cas (on se trompe environ 2 fois sur 100) ; quand le test est négatif, le coyote est réellement sain dans environ 93,1 % des cas seulement (on se trompe environ 7 fois sur 100). Un résultat positif est donc plus fiable qu’un résultat négatif. Cela s’explique en partie par le fait que la maladie est très répandue (70 % des coyotes) : parmi les tests négatifs, la part de malades « ratés » par le test n’est pas négligeable.

Partie B

1. a. Pour chacun des cinq coyotes, on réalise une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le test est positif », de probabilité \(p = 0{,}694\). Le choix étant assimilé à un tirage avec remise, les cinq épreuves sont identiques et indépendantes : on a un schéma de Bernoulli de 5 épreuves. \(X\) compte le nombre de succès, donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 5\) et \(p = 0{,}694\).

b. On cherche \(P(X = 1)\) :

\[P(X = 1) = \binom\,{5}{1} \times 0{,}694^1 \times (1 – 0{,}694)^4 = 5 \times 0{,}694 \times 0{,}306^4 \approx 0{,}0304.\]

La probabilité qu’un seul coyote sur cinq ait un test positif est environ \(0{,}03\) au centième.

c. « Au moins quatre coyotes sur cinq » correspond à l’évènement \(X \geq\, 4\), soit \(X = 4\) ou \(X = 5\) :

\[P(X = 4) = \binom\,{5}{4} \times 0{,}694^4 \times 0{,}306 \approx 0{,}3549 \quad \text{et} \quad P(X = 5) = 0{,}694^5 \approx 0{,}1610.\]

Donc \(P(X \geq\, 4) \approx 0{,}3549 + 0{,}1610 \approx 0{,}516\). Cette probabilité est supérieure à \(0{,}5\) : il y a bien plus d’une chance sur deux qu’au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif. L’affirmation du vétérinaire est vraie.

2. Si les vétérinaires capturent \(n\) coyotes (toujours assimilés à un tirage avec remise), le nombre \(Y\) de tests positifs suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}694\). L’évènement « au moins l’un d’entre eux présente un test positif » est le contraire de « aucun test positif », donc :

\[P(Y \geq\, 1) = 1 – P(Y = 0) = 1 – 0{,}306^n.\]

On résout \(1 – 0{,}306^n \gt 0{,}99\), c’est-à-dire \(0{,}306^n \lt 0{,}01\). La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0\ ;\ +\infty[\), cela équivaut à \(n \ln(0{,}306) \lt \ln(0{,}01)\). Comme \(\ln(0{,}306) \lt 0\), on change le sens de l’inégalité en divisant :

\[n \gt \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}306)} \approx 3{,}89.\]

Le plus petit entier qui convient est 4 (vérification : \(0{,}306^3 \approx 0{,}0287\) est trop grand, \(0{,}306^4 \approx 0{,}0088\) convient). Les vétérinaires doivent capturer au moins 4 coyotes.

Exercice 2 :

Question 1 : réponse b. Sur le graphique, \(f^{\prime}(x) \gt 0\) pour \(x \lt -\dfrac{1}{2}\) et \(f^{\prime}(x) \lt 0\) pour \(x \gt -\dfrac{1}{2}\). La fonction \(f\) est donc croissante puis décroissante : elle admet un maximum en \(-\dfrac{1}{2}\). Il n’y a pas d’extremum en \(-\dfrac{3}{2}\) (c’est \(f^{\prime}\), pas \(f\), qui y est maximale) et \(f^{\prime}(-1) \neq 0\), donc la tangente en \(-1\) n’est pas horizontale.

Question 2 : réponse a. La fonction \(f\) est convexe là où sa dérivée \(f^{\prime}\) est croissante. Or \(f^{\prime}\) est croissante sur \(]-\infty\ ;\ -\dfrac{3}{2}]\) (elle atteint son maximum en \(-\dfrac{3}{2}\)) puis décroissante ensuite. Donc \(f\) est convexe sur \(]-\infty\ ;\ -\dfrac{3}{2}[\) et concave sur \([-\dfrac{3}{2}\ ;\ +\infty[\). Les réponses b et d sont fausses car la convexité change en \(-\dfrac{3}{2}\), à l’intérieur de \(]-\infty\ ;\ -\dfrac{1}{2}[\) ; la réponse c est fausse car ce changement de convexité donne un point d’inflexion.

Question 3 : réponse c. La fonction \(f^{\prime}\) est dérivable et admet un maximum en \(-\dfrac{3}{2}\), intérieur à \(\mathbb{R}\) : sa dérivée \(f^{\prime\prime}\) s’annule donc en ce point, \(f^{\prime\prime}(-\dfrac{3}{2}) = 0\). Les autres réponses sont fausses : \(f^{\prime}\) décroît sur \([-\dfrac{3}{2}\ ;\ -\dfrac{1}{2}[\) et sur \([-1{,}5\ ;\ -1]\), donc \(f^{\prime\prime}\) y est négative (a et b fausses), et \(f^{\prime}\) est strictement croissante autour de \(-3\), donc \(f^{\prime\prime}(-3) \gt 0\) (d fausse).

Question 4 : réponse b. Si \((u_n)\) est croissante, alors pour tout \(n\), \(u_0 \leq\, u_n \leq\, v_n\) : la suite \((v_n)\) est minorée par \(u_0\). Les autres réponses ne sont pas garanties : \((v_n)\) peut osciller entre 1 et 3 sans converger (a fausse), elle peut aussi converger, par exemple vers 2 (d fausse), et l’encadrement \(1 \leq\, v_0 \leq\, 3\) n’a aucune raison d’être vrai au rang 0 puisque seules les limites de \((u_n)\) et \((w_n)\) sont connues (c fausse).

Question 5 : réponse b. L’inégalité \(u_n \leq\, u_{n+1}\) montre que \((u_n)\) est croissante à partir du rang 1. De plus, pour \(n \geq\, 1\), \(u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, \dfrac{1}{n} \leq\, 1\) : la suite est majorée par 1. Croissante et majorée, elle converge. On ne peut pas en dire plus sur sa limite : par exemple la suite constante égale à \(-1\) vérifie les hypothèses et tend vers \(-1\), ce qui élimine c et d.

Question 6 : réponse b. Au rang \(n\), on a \(u_n \lt n+1\) ; au rang \(n+1\), on a \(n + 1 \lt u_{n+1}\). Donc \(u_n \lt n+1 \lt u_{n+1}\) : la suite est (strictement) croissante. Les autres réponses sont fausses : \(u_n\) est strictement compris entre deux entiers consécutifs, donc n’est jamais entier (a) ; et comme \(u_n \gt n\), la suite tend vers \(+\infty\) : elle diverge (c fausse) mais possède une limite (d fausse).

Exercice 3 :

1. Dans le repère \((\text{A}\ ;\ \vec{\text{AB}},\ \vec{\text{AD}},\ \vec{\text{AE}})\), l’arête du cube vaut 1 et A est l’origine. Le point E est l’extrémité du troisième vecteur de base, \(\vec{\text{AF}} = \vec{\text{AB}} + \vec{\text{AE}}\), \(\vec{\text{AG}} = \vec{\text{AB}} + \vec{\text{AD}} + \vec{\text{AE}}\), et K est le milieu de [BC] avec B(1 ; 0 ; 0) et C(1 ; 1 ; 0). D’où :

\[\text{E}(0\ ;\ 0\ ;\ 1), \quad \text{F}(1\ ;\ 0\ ;\ 1), \quad \text{G}(1\ ;\ 1\ ;\ 1), \quad \text{K}(1\ ;\ \dfrac{1}{2}\ ;\ 0).\]

2. Deux vecteurs non colinéaires du plan (EGK) sont :

\[\vec{\text{EG}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{\text{EK}}\begin{pmatrix}1\\ \frac{1}{2}\\-1\end{pmatrix}.\]

Ils ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de \(\vec{\text{EG}}\) est nulle, pas celle de \(\vec{\text{EK}}\)). On calcule les produits scalaires :

\[\vec{n} \cdot \vec{\text{EG}} = 2 \times 1 + (-2) \times 1 + 1 \times 0 = 0 \quad \text{et} \quad \vec{n} \cdot \vec{\text{EK}} = 2 \times 1 + (-2) \times \dfrac{1}{2} + 1 \times (-1) = 2 – 1 – 1 = 0.\]

Le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EGK) : il est orthogonal (normal) au plan (EGK).

3. Puisque \(\vec{n}(2\ ;\ -2\ ;\ 1)\) est normal au plan (EGK), celui-ci a une équation de la forme \(2x – 2y + z + c = 0\). Le point E(0 ; 0 ; 1) appartient au plan, donc \(0 – 0 + 1 + c = 0\), soit \(c = -1\).

Le plan (EGK) a donc pour équation \(2x – 2y + z – 1 = 0\). (On peut vérifier avec G : \(2 – 2 + 1 – 1 = 0\), et avec K : \(2 – 1 + 0 – 1 = 0\).)

4. La droite \((d)\) est orthogonale au plan (EGK) : elle a pour vecteur directeur le vecteur normal \(\vec{n}\). Elle passe par F(1 ; 0 ; 1). Un point \(M(x\ ;\ y\ ;\ z)\) appartient à \((d)\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{F}M} = t\,\vec{n}\), ce qui donne :

\[(d) : \{\begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = -2t \\ z = 1 + t \end{array}. \quad t \in \mathbb{R}.\]

5. Le projeté orthogonal L de F sur le plan (EGK) est le point d’intersection de la droite \((d)\) (perpendiculaire au plan passant par F) avec ce plan. On remplace \(x\), \(y\), \(z\) par leurs expressions en fonction de \(t\) dans l’équation du plan :

\[2(1 + 2t) – 2(-2t) + (1 + t) – 1 = 0 \iff 2 + 9t = 0 \iff t = -\dfrac{2}{9}.\]

On en déduit \(x = 1 – \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}\), \(y = \dfrac{4}{9}\) et \(z = 1 – \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9}\). Donc \(\text{L}(\dfrac{5}{9}\ ;\ \dfrac{4}{9}\ ;\ \dfrac{7}{9})\).

6. On a \(\vec{\text{LF}}(1 – \dfrac{5}{9}\ ;\ 0 – \dfrac{4}{9}\ ;\ 1 – \dfrac{7}{9})\), soit \(\vec{\text{LF}}(\dfrac{4}{9}\ ;\ -\dfrac{4}{9}\ ;\ \dfrac{2}{9})\). Le repère étant orthonormé (c’est un cube) :

\[\text{LF} = \sqrt{\dfrac{16}{81} + \dfrac{16}{81} + \dfrac{4}{81}} = \sqrt{\dfrac{36}{81}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}.\]

On retrouve \(\text{LF} = \dfrac{2}{3}\). (Remarque : \(\vec{\text{LF}} = \dfrac{2}{9}\vec{n}\) et \(\|\vec{n}\| = 3\).)

7. Le triangle EFG est la moitié de la face carrée EFGH, il est rectangle en F avec EF = FG = 1 :

\[\mathcal{A}(\text{EFG}) = \dfrac{\text{EF} \times \text{FG}}{2} = \dfrac{1}{2}.\]

Prenons EFG comme base du tétraèdre EFGK. La face EFGH est dans le plan \(z = 1\) et K est dans le plan \(z = 0\) : la hauteur relative à cette base est la distance de K au plan (EFG), égale à l’arête du cube, soit 1. Donc :

\[V(\text{EFGK}) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{6}.\]

L’aire du triangle EFG vaut \(\dfrac{1}{2}\) et le volume du tétraèdre EFGK vaut bien \(\dfrac{1}{6}\).

8. On calcule maintenant le même volume en prenant EGK comme base. La hauteur associée est la distance de F au plan (EGK), c’est-à-dire LF \(= \dfrac{2}{3}\) puisque L est le projeté orthogonal de F sur ce plan. Ainsi :

\[\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}(\text{EGK}) \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}\,\mathcal{A}(\text{EGK}) \iff \mathcal{A}(\text{EGK}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{9}{2} = \dfrac{3}{4}.\]

L’aire du triangle EGK vaut \(\dfrac{3}{4}\).

9. Les points P, M et N sont les milieux des côtés du triangle EGK. D’après le théorème des milieux, chaque côté du triangle PMN mesure la moitié d’un côté de EGK : le triangle PMN est une réduction de rapport \(\dfrac{1}{2}\) du triangle EGK, et les aires sont multipliées par \((\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4}\). Donc :

\[\mathcal{A}(\text{PMN}) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{16}.\]

Les points P, M, N sont dans le plan (EGK) : la hauteur du tétraèdre FPMN issue de F est encore LF \(= \dfrac{2}{3}\). Par conséquent :

\[V(\text{FPMN}) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{16} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{24}.\]

Le volume du tétraèdre FPMN est \(\dfrac{1}{24}\) (c’est le quart du volume de EFGK).

Exercice 4 :

Partie A

1. a. Pour \(x \gt 0\), on factorise par le terme de plus haut degré : \(f(x) = 0{,}06\,x^2(-1 + \dfrac{13{,}7}{x})\). Or \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{13{,}7}{x} = 0\), donc la parenthèse tend vers \(-1\), et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 0{,}06\,x^2 = +\infty\). Par produit, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

b. La fonction \(f\) est un polynôme du second degré : \(f(x) = -0{,}06x^2 + 0{,}822x\). Sa dérivée est \(f^{\prime}(x) = -0{,}12x + 0{,}822\). On a \(f^{\prime}(x) \gt 0 \iff 0{,}822 \gt 0{,}12x \iff x \lt \dfrac{0{,}822}{0{,}12} = 6{,}85\), et de même \(f^{\prime}(x) \lt 0 \iff x \gt 6{,}85\). La fonction \(f\) est croissante sur \([0\ ;\ 6{,}85]\) et décroissante sur \([6{,}85\ ;\ +\infty[\), ce qui confirme le tableau.

c. \(f(x) = 0 \iff -x^2 + 13{,}7x = 0 \iff x(13{,}7 – x) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = 13{,}7\). Les deux valeurs sont dans \([0\ ;\ +\infty[\) : \(S = \{0\ ;\ 13{,}7\}\).

2. a. On a \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-0{,}15x + 2{,}2) = -\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^{0{,}2x} = +\infty\) (par composition, car \(0{,}2x \to +\infty\)). Par produit, \((-0{,}15x + 2{,}2)\text{e}^{0{,}2x} \to -\infty\), et en retranchant 2,2 : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty\).

b. On dérive le produit \(u \times v\) avec \(u(x) = -0{,}15x + 2{,}2\), \(u^{\prime}(x) = -0{,}15\), \(v(x) = \text{e}^{0{,}2x}\), \(v^{\prime}(x) = 0{,}2\,\text{e}^{0{,}2x}\) ; la constante \(-2{,}2\) a une dérivée nulle :

\[g^{\prime}(x) = -0{,}15\,\text{e}^{0{,}2x} + (-0{,}15x + 2{,}2) \times 0{,}2\,\text{e}^{0{,}2x} = \text{e}^{0{,}2x}(-0{,}15 – 0{,}03x + 0{,}44) = (-0{,}03x + 0{,}29)\text{e}^{0{,}2x}.\]

c. Comme \(\text{e}^{0{,}2x} \gt 0\) pour tout réel \(x\), \(g^{\prime}(x)\) a le signe de \(-0{,}03x + 0{,}29\), qui est positif si et seulement si \(x \lt \dfrac{0{,}29}{0{,}03} = \dfrac{29}{3} \approx 9{,}67\). Donc \(g\) est croissante sur \([0\ ;\ \dfrac{29}{3}]\) et décroissante sur \([\dfrac{29}{3}\ ;\ +\infty[\). On a \(g(0) = 2{,}2 \times 1 – 2{,}2 = 0\) et

\[g(\dfrac{29}{3}) = (-0{,}15 \times \dfrac{29}{3} + 2{,}2)\text{e}^{\frac{29}{15}} – 2{,}2 = 0{,}75\,\text{e}^{\frac{29}{15}} – 2{,}2 \approx 2{,}984.\]

Le maximum de \(g\) vaut environ \(2{,}98\) à \(10^{-2}\) près, atteint en \(x = \dfrac{29}{3}\).

d. Sur \(]0\ ;\ \dfrac{29}{3}]\), \(g\) est strictement croissante et \(g(0) = 0\), donc \(g(x) \gt 0\) : l’équation \(g(x) = 0\) n’y a aucune solution (la seule solution sur \([0\ ;\ \dfrac{29}{3}]\) est \(x = 0\)). Sur \([\dfrac{29}{3}\ ;\ +\infty[\), \(g\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de \(g(\dfrac{29}{3}) \approx 2{,}98 \gt 0\) vers \(-\infty\). Comme 0 est compris entre ces valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle. Finalement, l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution non nulle \(\alpha\).

À la calculatrice, \(g(13{,}72) \approx 0{,}008 \gt 0\) et \(g(13{,}73) \approx -0{,}011 \lt 0\), donc \(13{,}72 \lt \alpha \lt 13{,}73\) : \(\alpha \approx 13{,}72\) à \(10^{-2}\) près. C’est pourquoi l’énoncé de la partie B assimile ce zéro à \(13{,}7\).

Partie B

1. a. D’après la partie A, le maximum de \(f\) est atteint en \(6{,}85\) et vaut \(f(6{,}85) = 0{,}06(-6{,}85^2 + 13{,}7 \times 6{,}85) = 0{,}06 \times 46{,}9225 = 2{,}81535\) dizaines de yards. La hauteur maximale est d’environ 28,2 yards (28,15 yards).

b. On a vu que \(f^{\prime}(x) = -0{,}12x + 0{,}822\), donc \(f^{\prime}(0) = 0{,}822\).

c. Le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 0 est \(f^{\prime}(0) = 0{,}822\), donc \(\tan(d) = 0{,}822\). Le tableau (colonne I, lignes 1 et 2) donne \(d \approx 39{,}42\). Arrondi au dixième, l’angle de décollage mesure environ \(39{,}4\) degrés.

d. La courbe \(\mathcal{C}_f\) est une parabole dont l’axe de symétrie est la droite d’équation \(x = 6{,}85\), milieu de \([0\ ;\ 13{,}7]\). La symétrie par rapport à cet axe échange les points d’abscisses 0 et 13,7 et transforme la tangente en 0 en la tangente en 13,7 : les deux tangentes font le même angle avec l’axe des abscisses. On le vérifie par le calcul : \(f^{\prime}(13{,}7) = -0{,}12 \times 13{,}7 + 0{,}822 = -0{,}822\), opposé de \(f^{\prime}(0)\). C’est la symétrie de la parabole par rapport à la droite \(x = 6{,}85\) qui rend les deux angles égaux.

2. a. D’après la partie A, le maximum de \(g\) vaut environ \(2{,}98\) dizaines de yards. La hauteur maximale est d’environ 29,8 yards.

b. Le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}_g\) en 0 est \(g^{\prime}(0) = 0{,}29\), donc \(\tan(d) = 0{,}29\). Le tableau (colonne G, lignes 4 et 5) donne \(d \approx 16{,}17\). Arrondi au dixième, l’angle de décollage mesure environ \(16{,}2\) degrés.

c. Le coefficient directeur de la tangente en \(13{,}7\) est \(g^{\prime}(13{,}7) \approx -1{,}87\). Par définition, \(\tan(a)\) est l’opposé de ce coefficient : \(\tan(a) \approx 1{,}87\). À la calculatrice (touche \(\tan^{-1}\) en mode degré), \(a \approx 61{,}9\). Arrondie à l’unité, une mesure de l’angle d’atterrissage est bien 62 degrés.

Partie C

Rassemblons les résultats des deux modèles et les mesures observées (angles en degrés, longueurs en yards) :

Les deux modèles donnent la bonne distance de chute (137 yards), ce critère ne permet donc pas de les départager. Sur les trois autres critères, le modèle \(g\) est à chaque fois plus proche des observations : écart de 7,8° contre 15,4° pour l’angle de décollage, de 2,2 yards contre 3,8 yards pour la hauteur maximale, de 10° contre 12,6° pour l’angle d’atterrissage. Surtout, les professionnels ont un angle d’atterrissage (52°) nettement plus grand que l’angle de décollage (24°) : la trajectoire réelle est dissymétrique, ce que la parabole, symétrique, ne peut pas reproduire, alors que la courbe \(\mathcal{C}_g\) l’est. Le second modèle (fonction \(g\)) semble donc le plus adapté, même s’il reste imparfait : il sous-estime l’angle de décollage et la hauteur maximale et surestime l’angle d’atterrissage. Aucun des deux modèles ne reproduit donc fidèlement la frappe d’un professionnel.

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