Connaissances nécessaires à ce chapitre
- Calculer l’aire des polygones usuels;
- Effectuer des conversions d’unités d’aire;
- Dériver les fonctions usuelles;
- Représenter et décrire un domaine du plan.
On note I et J les points tels que
L’unité d’aire, que l’on note u.a., est l’aire du rectangle dont O, I et J forment trois sommets.
I. Intégrale d’une fonction continue et positive.
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] de courbe représentative
L’intégrale de a à b de f est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe
Cette aire se note
Remarques :
- a et b s’appellent respectivement « borne inférieure » et « borne supérieure » de l’intégrale.
- La valeur de l’intégrale ne dépend que de a, b et f ; la variable x n’intervenant pas dans le
résultat, on dit qu’elle est muette et l’on peut donc noter indifféremment :
- Pour toute fonction f continue et positive en un réel a,
puisqu’il s’agit de
l’aire d’un segment de hauteur f (a). - Le symbole
est dû à Leibniz, (1646-1716). Il ressemble à un « s » allongé, rappelant
que l’aire peut être calculée comme la somme de petites aires élémentaires.
Théorème : dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale.
La fonction
II. Primitives d’une fonction continue.
Une primitive de f sur I est une fonction F définie et dérivable sur I telle que F′ = f .
Remarques :
On dit que F est une primitive de f et non pas la primitive de f car une fonction
admettant une primitive n’en admet pas une seule, comme le montre l’exemple ci-dessous.
Exemple :
Soit définie sur
. Alors
est une primitive de f sur
.
De même, est aussi une primitive de f sur
. On a
.
Alors f admet une infinité de primitives sur I qui sont toutes de la forme
continue sur I, il en existe une seule qui vérifie la condition
Remarque :
Pour tout et
est donc la primitive de f sur I s’annulant
en .
En effet, F est bien une primitive de f sur I et c’est la seule vérifiant la condition .
Exemple :
On souhaite calculer . Pour cela, posons
, définie sur [0 ; 1].
En remarquant que est une primitive de f sur [0 ; 1], on obtient :
III. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque.
On a vu au paragraphe précédent que, pour une fonction continue et positive sur [a ; b] :
où F est une primitive de f sur [a ; b].
On étend cette propriété aux fonctions de signe quelconque, continues sur un intervalle [a ; b] avec la définition ci-dessous.
de f sur [a ; b]. On pose :
Exemple :
On souhaite calculer . Pour cela, on pose
définie sur
I = [−1 ; 2].
Une primitive de f sur I est et on obtient alors :
.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] et l un réel.Alors :
.
entre
Preuve :
On note D le domaine situé entre Cf et l’axe des abscisses, sur [a ; b].
Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, l’aire de D est égale à l’aire du domaine E , compris entre la courbe de −f et l’axe des abscisses, sur l’intervalle [a; b].
Ainsi :
.
Preuve :
f étant une fonction continue sur I, elle admet une primitive sur cet intervalle.
Notons F une primitive de f sur I.
- Pour démontrer l’égalité annoncée, calculons séparément chaque membre de l’égalité :
par définition.
toujours par définition
puis en réduisant l’expression obtenue.
L’égalité annoncée est donc vraie.
du domaine compris entre les courbes Cf et Cg sur [a ; b] est donnée par
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b]. Alors :
- Si f est positive sur [a ; b], alors
.
- Si pour tout
,
, alors
.
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].La valeur moyenne de f sur [a ; b] est le nombre défini par :
Remarque :
Dans le cas où f est positive et continue sur [a ; b], la valeur moyenne de f entre a et b représente la hauteur du rectangle construit sur l’intervalle [a ; b].
L’aire du rectangle ABCD est égale, en u.a., à l’aire du domaine coloré car d’après la définition :
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