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d’une fonction positive et continue et la dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale puis la primitive d’une fonction continue.Une synthèse des primitives des fonctions usuelles et la linéarité de l’intégrale ainsi que la relation de Chasles et l’aire entre deux courbes.
- Calculer l’aire des polygones usuels;
- Effectuer des conversions d’unités d’aire;
- Dériver les fonctions usuelles;
- Représenter et décrire un domaine du plan.
On note I et J les points tels que
L’unité d’aire, que l’on note u.a., est l’aire du rectangle dont O, I et J forment trois sommets.
I. Intégrale d’une fonction continue et positive.
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] de courbe représentative
L’intégrale de a à b de f est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe
Cette aire se note
Remarques :
- a et b s’appellent respectivement « borne inférieure » et « borne supérieure » de l’intégrale.
- La valeur de l’intégrale ne dépend que de a, b et f ; la variable x n’intervenant pas dans le
résultat, on dit qu’elle est muette et l’on peut donc noter indifféremment :
- Pour toute fonction f continue et positive en un réel a,
puisqu’il s’agit de
l’aire d’un segment de hauteur f (a). - Le symbole
est dû à Leibniz, (1646-1716). Il ressemble à un « s » allongé, rappelant
que l’aire peut être calculée comme la somme de petites aires élémentaires.
Théorème : dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale.
La fonction
II. Primitives d’une fonction continue.
Une primitive de f sur I est une fonction F définie et dérivable sur I telle que F′ = f .
Remarques :
On dit que F est une primitive de f et non pas la primitive de f car une fonction
admettant une primitive n’en admet pas une seule, comme le montre l’exemple ci-dessous.
Exemple :
Soit définie sur
. Alors
est une primitive de f sur
.
De même, est aussi une primitive de f sur
. On a
.
Alors f admet une infinité de primitives sur I qui sont toutes de la forme
continue sur I, il en existe une seule qui vérifie la condition
Remarque :
Pour tout et
est donc la primitive de f sur I s’annulant
en .
En effet, F est bien une primitive de f sur I et c’est la seule vérifiant la condition .
Exemple :
On souhaite calculer . Pour cela, posons
, définie sur [0 ; 1].
En remarquant que est une primitive de f sur [0 ; 1], on obtient :
III. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque.
On a vu au paragraphe précédent que, pour une fonction continue et positive sur [a ; b] :
où F est une primitive de f sur [a ; b].
On étend cette propriété aux fonctions de signe quelconque, continues sur un intervalle [a ; b] avec la définition ci-dessous.
de f sur [a ; b]. On pose :
Exemple :
On souhaite calculer . Pour cela, on pose
définie sur
I = [−1 ; 2].
Une primitive de f sur I est et on obtient alors :
.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] et l un réel.Alors :
.
entre
Preuve :
On note D le domaine situé entre Cf et l’axe des abscisses, sur [a ; b].
Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, l’aire de D est égale à l’aire du domaine E , compris entre la courbe de −f et l’axe des abscisses, sur l’intervalle [a; b].
Ainsi :
.
Preuve :
f étant une fonction continue sur I, elle admet une primitive sur cet intervalle.
Notons F une primitive de f sur I.
- Pour démontrer l’égalité annoncée, calculons séparément chaque membre de l’égalité :
par définition.
toujours par définition
puis en réduisant l’expression obtenue.
L’égalité annoncée est donc vraie.
du domaine compris entre les courbes Cf et Cg sur [a ; b] est donnée par
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b]. Alors :
- Si f est positive sur [a ; b], alors
.
- Si pour tout
,
, alors
.
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].La valeur moyenne de f sur [a ; b] est le nombre défini par :
Remarque :
Dans le cas où f est positive et continue sur [a ; b], la valeur moyenne de f entre a et b représente la hauteur du rectangle construit sur l’intervalle [a ; b].
L’aire du rectangle ABCD est égale, en u.a., à l’aire du domaine coloré car d’après la définition :