Calculs d’intégrales : cours de maths en terminale en PDF.

Soit (O; , ) un repère orthogonal du plan.
On note I et J les points tels que  et .
L’unité d’aire, que l’on note u.a., est l’aire du rectangle dont O, I et J forment trois sommets.

I. Intégrale d’une fonction continue et positive.

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] de courbe représentative dans un repère orthogonal (O; , ).
L’intégrale de a à b de f est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.
Cette aire se note  et on prononce « intégrale (ou somme) de a à b de f (x) dx ».

Remarques :

1.  a et b s’appellent respectivement « borne inférieure » et « borne supérieure » de l’intégrale.
2.  La valeur de l’intégrale ne dépend que de a, b et f ; la variable x n’intervenant pas dans le
   résultat, on dit qu’elle est muette et l’on peut donc noter indifféremment :
   
3. Pour toute fonction f continue et positive en un réel a, puisqu’il s’agit de
   l’aire d’un segment de hauteur f (a).
4. Le symbole  est dû à Leibniz, (1646-1716). Il ressemble à un « s » allongé, rappelant
   que l’aire peut être calculée comme la somme de petites aires élémentaires.

Théorème : dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale.

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b].
La fonction  est définie et dérivable sur [a ; b] et on a F′ = f .

II. Primitives d’une fonction continue.

Remarques :

On dit que F est une primitive de f et non pas la primitive de f car une fonction
admettant une primitive n’en admet pas une seule, comme le montre l’exemple ci-dessous.

Exemple :

Soit définie sur . Alors est une primitive de f sur .
De même,  est aussi une primitive de f sur . On a .

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.
Alors f admet une infinité de primitives sur I qui sont toutes de la forme
.

Soient  et  deux réels donnés. Parmi toutes les primitives d’une fonction f définie et
continue sur I, il en existe une seule qui vérifie la condition .

Remarque :
Pour tout  et  est donc la primitive de f sur I s’annulant
en .

En effet, F est bien une primitive de f sur I et c’est la seule vérifiant la condition .

Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b] et F une primitive de f sur [a ; b]. Alors :
 .

Exemple :

On souhaite calculer . Pour cela, posons , définie sur [0 ; 1].
En remarquant que  est une primitive de f sur [0 ; 1], on obtient :

III. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque.

On a vu au paragraphe précédent que, pour une fonction continue et positive sur [a ; b] :
 où F est une primitive de f sur [a ; b].

On étend cette propriété aux fonctions de signe quelconque, continues sur un intervalle [a ; b] avec la définition ci-dessous.

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] et de signe quelconque et F une primitive
de f sur [a ; b]. On pose : .

Exemple :

On souhaite calculer . Pour cela, on pose définie sur
I = [−1 ; 2].

Une primitive de f sur I est   et on obtient alors :

.

Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a ; b]. Alors, l’aire du domaine situé
entre et l’axe des abscisses, sur l’intervalle [a ; b] est .

Preuve :

On note D le domaine situé entre Cf et l’axe des abscisses, sur [a ; b].
Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, l’aire de D est égale à l’aire du domaine E , compris entre la courbe de −f et l’axe des abscisses, sur l’intervalle [a; b].

Ainsi :

.

Soient f une fonction continue sur un intervalle I et a, b, c, trois réels appartenant à I. Alors :
.

Preuve :

f étant une fonction continue sur I, elle admet une primitive sur cet intervalle.
Notons F une primitive de f sur I.

• Pour démontrer l’égalité annoncée, calculons séparément chaque membre de l’égalité :
   par définition.
•   toujours par définition
  puis en réduisant l’expression obtenue.

L’égalité annoncée est donc vraie.

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] telles que f > g. Alors, l’aire
du domaine compris entre les courbes Cf et Cg sur [a ; b] est donnée par .

Remarque :
Dans le cas où f est positive et continue sur [a ; b], la valeur moyenne de f entre a et b représente la hauteur du rectangle construit sur l’intervalle [a ; b].
L’aire du rectangle ABCD est égale, en u.a., à l’aire du domaine coloré car d’après la définition :

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