Sujet Sud 2024 : sujet de maths en Amérique du Sud (jour 2)

Sommaire

Ensuite, Retrouvez ici le sujet du jour 2 du bac de spécialité mathématiques 2024 en Amérique du Sud, daté du 22 novembre 2024, avec l’énoncé complet et son corrigé détaillé sur une page dédiée. Par ailleurs, le premier exercice part d’un diagramme en barres des groupes sanguins en France : probabilités conditionnelles sur le rhésus, loi binomiale pour compter les donneurs universels et fonction Python qui cumule des probabilités. De plus, le deuxième, en vrai-faux, porte sur une suite arithmético-géométrique et sur l’équation différentielle \(y^{\prime} = \dfrac{3}{2}y + 2\). En outre, le troisième étudie \(f(x) = (x^2 – 4)\text{e}^{-x}\), une suite d’intégrales obtenue par parties et l’aire d’un domaine hachuré. Ensuite, le dernier, dans le tétraèdre trirectangle OABC, démontre une version spatiale du théorème de Pythagore sur les aires des faces.

Par ailleurs, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2024 en Amérique du Sud (jour 2).

De plus, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Sujet Sud 2024 : organisation de l’épreuve

Avant tout, précisons que ce sujet Sud 2024 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2024 en Amérique du Sud (jour 2) dans sa version intégrale. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, l’algorithmique en Python et les suites arithmético-géométriques. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2024
Mathématiques — Jour 2
Amérique du Sud — 22 novembre 2024
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France :

A+, O+, B+, A−, O−, AB+, B− et AB− sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.

Par exemple : A+ est le groupe sanguin A de rhésus +.

Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.

Dans l’exercice, on adopte les notations du type :

\(A+\) est l’évènement « la personne est de groupe sanguin A et de rhésus + »
\(A-\) est l’évènement « la personne est de groupe sanguin A et de rhésus − »
\(A\) est l’évènement « la personne est de groupe sanguin A »

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1

On note \(Rh+\) l’évènement « La personne est de rhésus positif ».

1. Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à 0,849.

2. Démontrer à l’aide des données de l’énoncé que \(P_{Rh+}(A) = 0{,}450\) à 0,001 près.

3. Une personne se souvient que son groupe sanguin est AB mais a oublié son rhésus.

Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif ? Arrondir le résultat à 0,001 près.

Partie 2

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à 0,001 près.

Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif. On rappelle que 6,5 % de la population française est de groupe O−.

1. On considère 50 personnes choisies au hasard dans la population française et on note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.

a. Déterminer la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse.

b. On considère la fonction ci-dessous nommée proba d’argument k écrite en langage Python.

def proba(k):
    p=0
    for i in range(k+1):
        p = p + binomiale(i,50,0.065)
    return p

Cette fonction utilise la fonction binomiale d’argument \(i\), \(n\) et \(p\), créée pour l’occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité \(P(X = i)\) dans le cas où \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\).

Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction proba lorsqu’on saisit proba(8) dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

2. Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu’au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à \(0{,}999\).

Exercice 2 (5 points)

Cet exercice contient 5 affirmations.

Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse.

Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.

Partie 1

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\(u_0 = 10\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2\).

1. Affirmation 1 : La suite \((u_n)\) est décroissante minorée par 0.

2. Affirmation 2 : \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0\).

3. Affirmation 3 : La suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = u_n – 3\) est géométrique.

Partie 2

On considère l’équation différentielle \((E) : y^{\prime} = \dfrac{3}{2}y + 2\) d’inconnue \(y\), fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

1. Affirmation 4 : Il existe une fonction constante solution de l’équation différentielle \((E)\).

2. Dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) on note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) solution de \((E)\) telle que \(f(0) = 0\).

3. Affirmation 5 : La tangente au point d’abscisse 1 de \(\mathcal{C}_f\) a pour coefficient directeur \(2\,\text{e}^{\frac{3}{2}}\).

Exercice 3 (5 points)

Partie 1

On considère la fonction \(f\) définie sur l’ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = (x^2 – 4)\text{e}^{-x}.\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Déterminer les limites de la fonction \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

2. Justifier que pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x) = (-x^2 + 2x + 4)\text{e}^{-x}\).

3. En déduire les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Partie 2

On considère la suite \((I_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(I_n = \displaystyle\int_{-2}^{0} x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x\).

1. Justifier que \(I_0 = \text{e}^2 – 1\).

2. En utilisant une intégration par partie, démontrer l’égalité :

\[I_{n+1} = (-2)^{n+1}\text{e}^2 + (n + 1)I_n.\]

3. En déduire les valeurs exactes de \(I_1\) et de \(I_2\).

Partie 3

1. Déterminer le signe sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) définie dans la partie 1.

2. On a représenté ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

Le domaine \(D\) du plan hachuré ci-dessus est délimité par la courbe \(\mathcal{C}_f\), l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.

Calculer la valeur exacte, en unité d’aire, de l’aire \(S\) du domaine \(D\).

Exercice 4 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère les trois points \(\text{A}(3\,;\,0\,;\,0)\), \(\text{B}(0\,;\,2\,;\,0)\) et \(\text{C}(0\,;\,0\,;\,2)\).

L’objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante :

« Le carré de l’aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre OABC »,

Partie 1 : Distance du point O au plan (ABC)

1. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}(2\,;\,3\,;\,3)\) est normal au plan (ABC).

2. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : \(2x + 3y + 3z – 6 = 0\).

3. Donner une représentation paramétrique de la droite \(d\) passant par O et de vecteur directeur \(\vec{n}\).

4. On note H le point d’intersection de la droite \(d\) et du plan (ABC).

Déterminer les coordonnées du point H.

5. En déduire que la distance du point O au plan (ABC) est égale à \(\dfrac{3\sqrt{22}}{11}\).

Partie 2 : Démonstration de la propriété

1. Démontrer que le volume du tétraèdre OABC est égal à 2.

2. En déduire que l’aire du triangle ABC est égale à \(\sqrt{22}\).

3. Démontrer que pour le tétraèdre OABC, « le carré de l’aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces du tétraèdre ».

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par \(V = \dfrac{1}{3}B \times h\) où \(B\) est l’aire d’une base du tétraèdre et \(h\) est la hauteur relative à cette base.

Comment réviser avec ce sujet Sud 2024

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.

Les pièges classiques

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Pour un programme Python, faites tourner la boucle à la main sur deux ou trois tours : la condition d’arrêt du while est souvent le piège.

Sujet Sud 2024 : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et l’algorithmique en Python, mais aussi les suites arithmético-géométriques.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2024 en Amérique du Sud (jour 2)

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