Sujet Calédonie 2022 : maths en Nouvelle-Calédonie (jour 2)

Sommaire

De plus, Voici le sujet de mathématiques du bac 2022 en Nouvelle-Calédonie, deuxième jour de l’épreuve de spécialité, passé le 27 octobre 2022. En outre, le premier exercice suit Stéphanie à l’entraînement de basket : arbre pondéré sur ses tirs à deux et trois points, formule de Bayes, loi binomiale et nombre minimal de tirs pour en réussir au moins un avec une probabilité de 0,99. On étudie ensuite la fonction \(x \ln(x) – x – 2\) (tangente, convexité, limites, théorème des valeurs intermédiaires, script Python de seuil). Ensuite, le troisième exercice modélise une maison surmontée d’une pyramide, avec une antenne sur le toit et un oiseau dont on se demande s’il la percute. Par ailleurs, un QCM sur les suites, les asymptotes et les primitives conclut le sujet. De plus, le corrigé détaillé de chaque question suit l’énoncé.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 en Nouvelle-Calédonie (jour 2).

Ensuite, tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

Sujet Calédonie 2022 : présentation de l’épreuve

Avant tout, précisons que ce sujet Calédonie 2022 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 en Nouvelle-Calédonie (jour 2) dans sa version intégrale. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 7 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la fonction logarithme népérien et la convexité. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022
Nouvelle-Calédonie — 27 octobre 2022 — Jour 2
Épreuve d’enseignement de spécialité mathématiques — Durée : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (7 points)

Principaux domaines abordés : Probabilités

Au basket-ball, il existe deux sortes de tir :

les tirs à deux points.
Ils sont réalisés près du panier et rapportent deux points s’ils sont réussis.
les tirs à trois points.
Ils sont réalisés loin du panier et rapportent trois points s’ils sont réussis.

Stéphanie s’entraîne au tir. On dispose des données suivantes :

Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points. Parmi eux, 60 % sont réussis.
Trois quarts de ses tirs sont des tirs à trois points. Parmi eux, 35 % sont réussis.

1. Stéphanie réalise un tir.

On considère les évènements suivants :

\(D\) : « Il s’agit d’un tir à deux points ».
\(R\) : « le tir est réussi ».

a. Représenter la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.

b. Calculer la probabilité \(p(\overline{D} \cap R)\).

c. Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir est égale à \(0{,}4125\).

d. Stéphanie réussit un tir. Calculer la probabilité qu’il s’agisse d’un tir à trois points. Arrondir le résultat au centième.

2. Stéphanie réalise à présent une série de 10 tirs à trois points.

On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.

En outre, on considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir à trois points est égale à \(0{,}35\).

a. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

b. Calculer l’espérance de \(X\). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

c. Déterminer la probabilité que Stéphanie rate 4 tirs ou plus. Arrondir le résultat au centième.

d. Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus 4 tirs. Arrondir le résultat au centième.

Exercice 1 du sujet Calédonie 2022 : question 3

3. Soit \(n\) un entier naturel non nul.

Stéphanie souhaite réaliser une série de \(n\) tirs à trois points.

On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité qu’elle réussisse un tir à trois points est égale à \(0{,}35\).

Déterminer la valeur minimale de \(n\) pour que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les \(n\) tirs soit supérieure ou égale à \(0{,}99\).

Exercice 2 (7 points)

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme.

Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x) = x \ln (x) – x – 2.\]

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\).

On note \(f^{\prime}\) sa dérivée, \(f^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère.

1. a. Démontrer que, pour tout \(x\) appartenant à \(]0\,;\,+\infty[\), on a \(f^{\prime}(x) = \ln (x)\).

b. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(x = \text{e}\).

c. Justifier que la fonction \(f\) est convexe sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

d. En déduire la position relative de la courbe \(\mathcal{C}_f\) et de la tangente \(T\).

2. a. Calculer la limite de la fonction \(f\) en 0.

b. Démontrer que la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\) est égale à \(+\infty\).

3. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

4. a. Démontrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution dans l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\). On note \(\alpha\) cette solution.

b. Justifier que le réel \(\alpha\) appartient à l’intervalle \(]4{,}3\,;\,4{,}4[\).

c. En déduire le signe de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

Exercice 2 du sujet Calédonie 2022 : question 5

5. On considère la fonction seuil suivante écrite dans le langage Python :

On rappelle que la fonction log du module math (que l’on suppose importé) désigne la fonction logarithme népérien ln.

def seuil(pas) :
    x=4.3
    while x*log (x) - x - 2 < 0:
        x=x+pas
    return x

Quelle est la valeur renvoyée à l’appel de la fonction seuil(0.01) ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3 (7 points)

Principaux domaines abordés : géométrie dans l’espace

Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle ABCDEFGH surmonté d’une pyramide EFGHS.

On a DC = 6, DA = DH = 4.

Soit les points I, J et K tels que \(\vec{\text{DI}} = \dfrac16\vec{\text{DC}}, \quad \vec{\text{DJ}} = \dfrac14\vec{\text{DA}}, \quad \vec{\text{DK}} = \dfrac14\vec{\text{DH}}\).

On note \(\vec{\imath} = \vec{\text{DI}},\ \vec{\jmath} = \vec{\text{DJ}},\ \vec{k} = \vec{\text{DK}}\).

Ensuite, on se place dans le repère orthonormé \((\text{D}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On admet que le point S a pour coordonnées \((3\,;\,2\,;\,6)\).

1. Donner, sans justifier, les coordonnées des points B, E, F et G.

2. Démontrer que le volume de la pyramide EFGHS représente le septième du volume total de la maison.

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule :

\[V = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.\]

3. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\) de coordonnées \(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) est normal au plan (EFS).

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (EFS) est \(y + z – 8 = 0\).

4. On installe une antenne sur le toit, représentée par le segment [PQ]. On dispose des données suivantes :

le point P appartient au plan (EFS) ;
le point Q a pour coordonnées \((2\,;\,3\,;\,5{,}5)\) ;
la droite (PQ) est dirigée par le vecteur \(\vec{k}\).

a. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite (PQ) est :

\[\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 5{,}5 + t \end{array}. \quad (t \in \mathbb{R})\]

b. En déduire les coordonnées du point P.

c. En déduire la longueur PQ de l’antenne.

5. Un oiseau vole en suivant une trajectoire modélisée par la droite \(\Delta\) dont une représentation paramétrique est :

\[\{\begin{array}{l} x = -4 + 6s \\ y = 7 – 4s \\ z = 2 + 4s \end{array}. \quad (s \in \mathbb{R})\]

Déterminer la position relative des droites (PQ) et \(\Delta\).

L’oiseau va-t-il percuter l’antenne représentée par le segment [PQ] ?

Exercice 4 (7 points)

Principaux domaines abordés : suites, fonctions, primitives

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par

\[u_n = \dfrac{(-1)^n}{n + 1}.\]

On peut affirmer que :

a.	b.	c.	d.
la suite \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\).	la suite \((u_n)\) diverge vers \(-\infty\).	la suite \((u_n)\) n’a pas de limite.	la suite \((u_n)\) converge.

Dans les questions 2 et 3, on considère deux suites \((v_n)\) et \((w_n)\) vérifiant la relation :

\[w_n = \text{e}^{-2v_n} + 2.\]

2. Soit \(a\) un nombre réel strictement positif. On a \(v_0 = \ln (a)\).

a.	b.	c.	d.
\(w_0 = \dfrac{1}{a^2} + 2\)	\(w_0 = \dfrac{1}{a^2 + 2}\)	\(w_0 = -2a + 2\)	\(w_0 = \dfrac{1}{-2a} + 2\)

3. On sait que la suite \((v_n)\) est croissante. On peut affirmer que la suite \((w_n)\) est :

a.	b.	c.	d.
décroissante et majorée par 3.	décroissante et minorée par 2.	croissante et majorée par 3.	croissante et minorée par 2.

Exercice 4 : questions 4 à 7

4. On considère la suite \((a_n)\) ainsi définie :

\[a_0 = 2 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n, \quad a_{n+1} = \dfrac13 a_n + \dfrac83.\]

Pour tout entier naturel \(n\), on a :

a.	b.	c.	d.
\(a_n = 4 \times (\dfrac13)^n – 2\)	\(a_n = -\dfrac{2}{3^n} + 4\)	\(a_n = 4 – (\dfrac13)^n\)	\(a_n = 2 \times (\dfrac13)^n + \dfrac{8n}{3}\)

5. On considère une suite \((b_n)\) telle que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[b_{n+1} = b_n + \ln (\dfrac{2}{(b_n)^2 + 3}).\]

On peut affirmer que :

a.	b.	c.	d.
la suite \((b_n)\) est croissante.	la suite \((b_n)\) est décroissante.	la suite \((b_n)\) n’est pas monotone.	le sens de variation de la suite \((b_n)\) dépend de \(b_0\).

6. On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}.\]

On note \(\mathcal{C}_g\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthogonal.

La courbe \(\mathcal{C}_g\) admet :

a.	b.	c.	d.
une asymptote verticale et une asymptote horizontale.	une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.	aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.	aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.

7. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = x\text{e}^{x^2+1}.\]

Soit \(F\) une primitive sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\). Pour tout réel \(x\), on a :

a.	b.	c.	d.
\(F(x) = \dfrac12 x^2\text{e}^{x^2+1}\)	\(F(x) = (1 + 2x^2)\text{e}^{x^2+1}\)	\(F(x) = \text{e}^{x^2+1}\)	\(F(x) = \dfrac12\text{e}^{x^2+1}\)

Sujet Calédonie 2022 : méthode pour bien s’entraîner

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.

Les erreurs qui coûtent des points

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.

Questions fréquentes sur ce sujet Calédonie 2022

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la fonction logarithme népérien, mais aussi la convexité.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 en Nouvelle-Calédonie (jour 2)

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