Bac 2022 Polynésie : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

De plus, Retrouvez ici l’énoncé complet du bac de spécialité mathématiques de Polynésie du 4 mai 2022 (sujet 1), accompagné d’un corrigé détaillé de chaque question. En outre, le premier exercice est un QCM de six questions : dérivée d’un logarithme, primitive de ln, limite d’une suite quotient, convexité lue sur un tableau de variations de f’, lecture de la courbe d’une dérivée et fonction Python de seuil pour une action boursière. Ensuite, le deuxième porte sur un test de dépistage : arbre pondéré, probabilité conditionnelle, loi binomiale et nombre minimal de personnes à tester. Par ailleurs, le troisième étudie la suite définie par \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}\) jusqu’à sa formule explicite prouvée par récurrence. De plus, le dernier, en géométrie dans l’espace, conduit au projeté orthogonal d’un point sur un plan et au volume d’une pyramide.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 en Polynésie (jour 1).

Ensuite, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Bac 2022 Polynésie : présentation de l’épreuve

D’abord, ce bac 2022 Polynésie vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 en Polynésie (jour 1), avec toutes ses questions. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 7 points. De plus, on y mobilise surtout la dérivation, la fonction logarithme népérien, les limites et la convexité. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Sujet 1
Polynésie — 4 mai 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 (7 points)

Thèmes : fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la fonction \(g\) définie et dérivable sur \(]0~;~+\infty[\) par :

\[g(x) = \ln(x^2 + x + 1).\]

Pour tout nombre réel \(x\) strictement positif :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(g^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2x + 1}\)	\(g^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x^2 + x + 1}\)	\(g^{\prime}(x) = \ln(2x + 1)\)	\(g^{\prime}(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\)

2. La fonction \(x \longmapsto \ln(x)\) admet pour primitive sur \(]0~;~+\infty[\) la fonction :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(x \longmapsto \ln(x)\)	\(x \longmapsto \dfrac{1}{x}\)	\(x \longmapsto x\ln(x) – x\)	\(x \longmapsto \dfrac{\ln(x)}{x}\)

3. On considère la suite \((a_n)\) définie pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}\) par :

\[a_n = \dfrac{1 – 3^n}{1 + 2^n}.\]

La limite de la suite \((a_n)\) est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(-\infty\)	\(-1\)	\(1\)	\(+\infty\)

Exercice 1 du bac 2022 Polynésie : questions 4 à 6

4. On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \([-2~;~2]\). Le tableau de variations de la fonction \(f^{\prime}\) dérivée de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([-2~;~2]\) est donné par :

\(x\)	\(-2\)		\(-1\)		\(0\)		\(2\)
variations de \(f^{\prime}\)	\(1\)	\(\searrow\)	\(0\)	\(\searrow\)	\(-2\)	\(\nearrow\)	\(-1\)

La fonction \(f\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
convexe sur \([-2~;~-1]\)	concave sur \([0~;~1]\)	convexe sur \([-1~;~2]\)	concave sur \([-2~;~0]\)

5. On donne ci-dessus la courbe représentative de la dérivée \(f^{\prime}\) d’une fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([-2~;~4]\).

Par lecture graphique de la courbe de \(f^{\prime}\), déterminer l’affirmation correcte pour \(f\) :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(f\) est décroissante sur \([0~;~2]\)	\(f\) est décroissante sur \([-1~;~0]\)	\(f\) admet un maximum en 1 sur \([0~;~2]\)	\(f\) admet un maximum en 3 sur \([2~;~4]\)

6. Une action est cotée à 57 €. Sa valeur augmente de 3 % tous les mois.

La fonction python seuil() qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse 200 € est :

Réponse a.

def seuil() :
    m=0
    v=57
    while v < 200 :
        m=m+1
        v = v*1.03
    return m

Ensuite, Réponse b.

def seuil() :
    m=0
    v=57
    while v > 200 :
        m=m+1
        v = v*1.03
    return m

Réponse c.

def seuil() :
    v=57
    for i in range (200) :
        v = v*1.03
    return v

Réponse d.

def seuil() :
    m=0
    v=57
    if v < 200 :
        m=m+1
    else :
        v = v*1.03
    return m

Exercice 2 (7 points)

Thèmes : probabilités

Selon les autorités sanitaires d’un pays, 7 % des habitants sont affectés par une certaine maladie.

Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :

Pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans 20 % des cas ;
Pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans 1 % des cas.

Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.

On considère les évènements suivants :

\(M\) « la personne est malade » ;
\(T\) « le test est positif ».

1. Calculer la probabilité de l’évènement \(M \cap T\). On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

2. Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, est de \(0{,}0653\).

3. Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître \(P_M(T)\) ou \(P_T(M)\) ?

4. On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif.

Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ? On arrondira le résultat à \(10^{-2}\) près.

Exercice 2 : questions 5 à 6

5. On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre d’individus ayant un test positif parmi les 10 personnes.

a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).

b. Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à \(10^{-2}\) près.

6. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre elle ait un test positif, soit supérieur à 99 %.

Exercice 3 (7 points)

Thèmes : suites

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 1\) et pour tout entier naturel \(n\)

\[u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}\]

1. a. Calculer les termes \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

b. Recopier le script python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que liste(\(k\)) prenne en paramètre un entier naturel \(k\) et renvoie la liste des premières valeurs de la suite \((u_n)\) de \(u_0\) à \(u_k\).

1.  def liste(k) :
2.      L = []
3.      u = ...
4.      for i in range(0, k+1) :
5.          L.append(u)
6.          u = ...
7.      return(L)

2. On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) est strictement positif.

Déterminer le sens de variation de la suite \((u_n)\).

3. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.

4. Déterminer la valeur de sa limite.

5. a. Conjecturer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

b. Démontrer par récurrence la conjecture précédente.

Exercice 4 (7 points)

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

L’espace est rapporté un repère orthonormal où l’on considère :

les points \(\text{A}(2~;~-1~;~0)\), \(\text{B}(1~;~0~;~-3)\), \(\text{C}(6~;~6~;~1)\) et \(\text{E}(1~;~2~;~4)\) ;
Le plan \(\mathcal{P}\) d’équation cartésienne \(2x – y – z + 4 = 0\).

1. a. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

b. Calculer le produit scalaire \(\vec{\text{BA}} \cdot \vec{\text{BC}}\) puis les longueurs BA et BC.

c. En déduire la mesure en degrés de l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\) arrondie au degré.

2. a. Démontrer que le plan \(\mathcal{P}\) est parallèle au plan ABC.

b. En déduire une équation cartésienne du plan ABC.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\mathcal{D}\) orthogonale au plan ABC et passant par le point E.

d. Démontrer que le projeté orthogonal H du point E sur le plan ABC a pour coordonnées \((4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2})\).

3. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par \(\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h\) où \(\mathcal{B}\) désigne l’aire d’une base et \(h\) la hauteur de la pyramide associée à cette base.

Calculer l’aire du triangle ABC puis démontrer que le volume de la pyramide ABCE est égal à \(16{,}5\) unités de volume.

Bac 2022 Polynésie : méthode pour bien s’entraîner

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la dérivation ou la fonction logarithme népérien, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article dérivation de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs qui coûtent des points

Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.
Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).

Bac 2022 Polynésie : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, la dérivation, la fonction logarithme népérien et les limites, mais aussi la convexité.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 en Polynésie (jour 1)

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