Bac de maths 2026 en France (jour 2) : sujet et corrigé

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2026
Mathématiques — Sujet 2
France métropolitaine — 17 juin 2026
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Dans le repère orthonormé \((\text{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\), on considère les points :

A\((2 ; 1 ; 1)\), B\((3 ; -2 ; 0)\), C\((0 ; -1 ; 1)\) et D\((0 ; 0 ; 2)\).

1. Montrer que les points A, B et C définissent un plan.

2. a. Montrer que le vecteur \(\vec{n} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) est normal au plan (ABC).

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est :

\[x-y+4z-5=0.\]

3. Vérifier qu’une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par D et orthogonale au plan (ABC) est donnée par :

\[\begin{cases} x=t \\ y=-t \\ z=2+4t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.\]

4. Montrer que le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) est le point H\((-\dfrac{1}{6} ; \dfrac{1}{6} ; \dfrac{4}{3})\).

5. a. Montrer que le triangle ABC est isocèle en B.

b. Montrer que l’aire du triangle ABC est \(3\sqrt{2}\).

6. a. En déduire que le volume du tétraèdre ABCD est égal à 1.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : \(V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}h\), où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur relative à cette base.

b. On admet que la distance du point A au plan (BCD) est égale à \(\sqrt{2}\).

En déduire l’aire du triangle BCD.

7. Dans cette question, on note \(\text{D}_k\) le point ayant pour coordonnées \((0 ; 0 ; k)\), où \(k\) est un réel.

a. Déterminer la valeur de \(k\) pour laquelle les points A, B, C et \(\text{D}_k\) sont coplanaires.

Quel est alors le projeté orthogonal du point \(\text{D}_k\) sur le plan (ABC) ?

b. Peut-on trouver une valeur de \(k\) telle que A soit le projeté orthogonal de \(\text{D}_k\) sur le plan (ABC) ?

Exercice 2 (5 points)

Un bassin destiné à l’élevage des truites contient 30 000 litres d’eau, régulièrement renouvelée.

Pour vérifier la présence éventuelle de substances polluantes dans le bassin, on procède à des analyses régulières.

On étudie dans les deux parties ci-dessous un cas de contamination de l’eau par une substance polluante à l’aide de deux modèles différents.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : modèle discret

On note \(V_n\) le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin, \(n\) heures après le début du phénomène de pollution.

On a ainsi \(V_0=0\).

On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(V_{n+1}=0{,}995V_n+6\).

1. Calculer \(V_1\) et \(V_2\).

2. Recopier et compléter le programme ci-dessous pour qu’il renvoie le volume en litre de substance polluante présente dans le bassin après \(n\) heures.

def volume(n):
    v = ...
    for k in range(n):
        v = ...
    return v

3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(V_n \leq\, V_{n+1} \leq\, 1200\).

4. Justifier que la suite \((V_n)\) converge, et calculer sa limite.

Partie B : modèle continu

On note \(v(t)\) le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin à l’instant \(t\), en heure.

On admet que la fonction \(v\) est définie et dérivable sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\), et on note \(v^{\prime}\) sa fonction dérivée.

On considère que le phénomène de pollution débute au temps \(t=0\) ; ainsi \(v(0)=0\).

On admet que la fonction \(v\) est solution de l’équation différentielle :

\[(E) : \quad y^{\prime}=-0{,}005y+6,\]

où \(y\) est une fonction inconnue et où \(y^{\prime}\) est la fonction dérivée de \(y\).

1. a. Déterminer les solutions de l’équation différentielle \((E)\) sur \([0 ; +\infty[\).

b. Montrer que pour tout réel \(t\) appartenant à l’intervalle \([0 ; +\infty[\) :

\[v(t)=1200(1-\text{e}^{-0{,}005t}).\]

c. Calculer la limite de \(v\) en \(+\infty\).

d. Déterminer le sens de variation de la fonction \(v\) sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\).

2. Un taux de substance polluante supérieur à 5 % du volume du bassin nécessite un nettoyage complet.

Selon ce modèle, le propriétaire devra-t-il procéder à ce nettoyage ?

3. Pour pouvoir dépolluer rapidement le bassin et éviter de lourdes conséquences sur l’élevage, il est préconisé que le volume de la substance polluante ne dépasse pas 50 litres.

Déterminer la valeur exacte de l’instant au-delà duquel le volume de la substance dépasse 50 litres dans le bassin.

En donner la valeur en heure et minute, arrondie à la minute.

Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On désigne par « musiciens professionnels » l’ensemble des femmes et hommes pratiquant un instrument de manière professionnelle.

1. Une étude a été réalisée auprès des musiciens professionnels pratiquant différents genres musicaux (Pop, Rap, Rock, Classique, etc.).

Cette étude indique que :

• 52 % des musiciens professionnels jouent de la Pop ;
• parmi les musiciens professionnels jouant de la Pop, 32 % sont des femmes ;
• 20 % des musiciens professionnels sont des femmes.

On choisit au hasard une personne dans l’ensemble des musiciens professionnels.

On note :

• \(O\) l’évènement : « la personne joue de la Pop » ;
• \(F\) l’évènement : « la personne est une femme ».

Affirmation 1 : Si la personne choisie est une femme, alors la probabilité qu’elle joue de la Pop est de 0,832.

2. La proportion de musiciens professionnels au sein de la population active dans le secteur de la culture est estimée à 6,2 %.

On prélève au hasard et de manière indépendante un échantillon de 5 000 personnes au sein de cette population.

La population considérée est assez importante pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On considère la variable aléatoire \(X\) qui, à tout échantillon ainsi défini, associe le nombre de musiciens professionnels dans l’échantillon.

Affirmation 2 : En arrondissant le résultat au dixième, on a \(P(X \leq\, 340) \approx 0{,}4\).

Affirmation 3 : En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut affirmer qu’il y a plus de 95 % de chance que, sur cet échantillon de 5 000 actifs dans le secteur de la culture, le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre 230 et 390.

3. Un jeu sur le thème de la culture de la Pop est proposé à 10 personnes dont 4 sont des musiciens professionnels.

Deux équipes de 5 joueurs s’affrontent.

Elles sont chacune constituées de 2 musiciens professionnels et de 3 personnes qui ne le sont pas.

Affirmation 4 : On peut former ainsi 120 équipes différentes.

Exercice 4 (6 points)

Partie A

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\) dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) dans un repère orthogonal.

On note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

On précise que :

• la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point C d’abscisse 1 ;
• la tangente \(T_{\text{A}}\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point A\((\dfrac{1}{2} ; 0)\) passe par le point B\((1 ; \text{e}^2)\).

1. À l’aide du graphique ci-dessus :

a. Donner \(f^{\prime}(1)\).

b. Donner la solution de l’équation \(f(x)=0\) sur l’intervalle \([0 ; 3]\).

2. Déterminer \(f^{\prime}(\dfrac{1}{2})\).

3. Parmi les trois courbes \(\mathcal{C}_1\), \(\mathcal{C}_2\) et \(\mathcal{C}_3\) ci-dessous, deux représentent des primitives de la fonction \(f\).

Indiquer lesquelles et justifier.

Partie B

Un industriel doit créer un logo représentant la forme ci-contre (Fig. 1).

La dimension de 0,3 cm indiquée sur la figure est une contrainte imposée par le client.

L’industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à l’aide d’une portion de la courbe de la fonction \(f\) vue en partie A, et de l’image de cette portion par la symétrie par rapport à l’axe des abscisses, sur un intervalle \([0{,}5 ; \alpha]\).

Le nombre \(\alpha\) est un réel supérieur à 1 que l’on déterminera dans cette partie.

L’ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé (Fig. 2) d’unité 1 cm.

On admet que la fonction \(f\) est définie sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\) par :

\[f(x)=(2x-1)\text{e}^{-2x+3}.\]

1. a. Vérifier que pour tout réel \(x\) appartenant à l’intervalle \([0 ; +\infty[\) :

\[f(x)=\text{e}^2 \times \dfrac{2x-1}{\text{e}^{2x-1}}.\]

b. En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).

(On pourra poser \(X=2x-1\).)

2. a. Montrer que, pour tout \(x\) de l’intervalle \([0 ; +\infty[\),

\[f^{\prime}(x)=(-4x+4)\text{e}^{-2x+3}.\]

b. Construire le tableau complet des variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\).

3. Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l’égalité \(f(\alpha)=0{,}15\).

Montrer qu’il existe une unique valeur de \(\alpha\) dans l’intervalle \([1 ; +\infty[\) qui permette de vérifier cette égalité.

En donner une valeur arrondie au dixième.

Partie C

On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d’acier suivant la forme du logo représenté par la surface grisée en figure 2 de la partie B.

On précise que cette plaque a une épaisseur de 0,2 cm.

1. On considère :

\[I=\int_{0{,}5}^{3{,}3} f(x)\,\mathrm{d}x\]

À l’aide d’une intégration par parties, montrer que l’intégrale \(I\) arrondie au dixième est égale à 3,6.

2. On précise que le volume du porte-clé est égal à :

Aire du logo × épaisseur de la plaque

Déterminer le volume du porte-clé en cm³, arrondi au dixième.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Calculons deux vecteurs issus de A : \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Si ces vecteurs étaient colinéaires, il existerait un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{AC}=\lambda\vec{AB}\). La troisième coordonnée donnerait \(0=-\lambda\), donc \(\lambda=0\), ce qui contredit la première : \(-2 \neq 0\). Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent bien un plan.

2. a. Le repère étant orthonormé, on calcule les produits scalaires avec la formule des coordonnées :

\[\vec{n}\cdot\vec{AB}=1\times 1+(-1)\times (-3)+4\times (-1)=1+3-4=0\]

\[\vec{n}\cdot\vec{AC}=1\times (-2)+(-1)\times (-2)+4\times 0=-2+2+0=0\]

Le vecteur \(\vec{n}\) (non nul) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c’est un vecteur normal au plan (ABC).

b. Un plan de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) a une équation de la forme \(x-y+4z+d=0\). Le point A appartient au plan, donc \(2-1+4\times 1+d=0\), soit \(d=-5\).

Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc \(x-y+4z-5=0\).

3. La droite \(\Delta\) est orthogonale au plan (ABC) : elle est donc dirigée par le vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\). Elle passe par D\((0 ; 0 ; 2)\), d’où la représentation paramétrique \(x=0+1\times t\), \(y=0+(-1)\times t\), \(z=2+4t\), avec \(t \in \mathbb{R}\).

On retrouve bien \(x=t\), \(y=-t\), \(z=2+4t\). On peut aussi contrôler : pour \(t=0\) on obtient D, et le vecteur des coefficients de \(t\) est \(\vec{n}\).

4. Le projeté orthogonal H de D sur (ABC) est le point d’intersection de la droite \(\Delta\) (qui passe par D et est orthogonale au plan) avec le plan (ABC). On remplace \(x\), \(y\), \(z\) par la représentation paramétrique dans l’équation du plan :

\[t-(-t)+4(2+4t)-5=0 \iff 18t+3=0 \iff t=-\dfrac{1}{6}.\]

Avec \(t=-\dfrac{1}{6}\) : \(x=-\dfrac{1}{6}\), \(y=\dfrac{1}{6}\) et \(z=2-\dfrac{4}{6}=\dfrac{4}{3}\). Le projeté orthogonal de D sur (ABC) est donc bien H\((-\dfrac{1}{6} ; \dfrac{1}{6} ; \dfrac{4}{3})\).

5. a. On a \(\vec{BA}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{BC}\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), donc dans le repère orthonormé :

\[\text{BA}=\sqrt{(-1)^2+3^2+1^2}=\sqrt{11} \quad \text{et} \quad \text{BC}=\sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}=\sqrt{11}.\]

Comme BA = BC, le triangle ABC est isocèle en B.

b. Dans un triangle isocèle en B, la médiane issue de B est aussi la hauteur relative à la base [AC]. Soit I le milieu de [AC] : I\((\dfrac{2+0}{2} ; \dfrac{1+(-1)}{2} ; \dfrac{1+1}{2})\), c’est-à-dire I\((1 ; 0 ; 1)\).

On calcule \(\vec{BI}\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\), d’où \(\text{BI}=\sqrt{4+4+1}=3\), et \(\text{AC}=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

\[\mathcal{A}_{\text{ABC}}=\dfrac{\text{AC}\times \text{BI}}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}\times 3}{2}=3\sqrt{2}.\]

L’aire du triangle ABC vaut bien \(3\sqrt{2}\) unités d’aire.

6. a. On prend ABC comme base du tétraèdre. La hauteur associée est la distance de D au plan (ABC), c’est-à-dire la longueur DH puisque H est le projeté orthogonal de D sur ce plan.

\[\vec{DH}\begin{pmatrix} -\frac{1}{6} \\ \frac{1}{6} \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad \text{DH}=\sqrt{\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{16}{36}}=\sqrt{\dfrac{18}{36}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\]

\[V_{\text{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\times 3\sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3\times 2}{2}=1.\]

Le volume du tétraèdre ABCD est bien égal à 1 unité de volume.

b. On calcule maintenant ce même volume en prenant BCD comme base : la hauteur associée est la distance de A au plan (BCD), égale à \(\sqrt{2}\). Ainsi :

\[1=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{A}_{\text{BCD}}\times \sqrt{2} \iff \mathcal{A}_{\text{BCD}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.\]

L’aire du triangle BCD est \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) unités d’aire (environ 2,12).

7. a. Les points A, B, C définissent le plan (ABC) ; les quatre points sont coplanaires si et seulement si \(\text{D}_k\) appartient à ce plan, c’est-à-dire si ses coordonnées vérifient l’équation du plan :

\[0-0+4k-5=0 \iff k=\dfrac{5}{4}.\]

Pour \(k=\dfrac{5}{4}\), les points sont coplanaires. Le point \(\text{D}_k\) est alors lui-même dans le plan (ABC), donc son projeté orthogonal sur (ABC) est le point \(\text{D}_k\) lui-même, de coordonnées \((0 ; 0 ; \dfrac{5}{4})\).

b. A est déjà dans le plan (ABC). Pour que A soit le projeté orthogonal de \(\text{D}_k\), il faut que \(\vec{A\text{D}_k}\) soit nul ou colinéaire au vecteur normal \(\vec{n}\). Or \(\vec{A\text{D}_k}\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ k-1 \end{pmatrix}\) n’est jamais nul (abscisse \(-2\)). S’il existait \(\lambda\) tel que \(\vec{A\text{D}_k}=\lambda\vec{n}\), les abscisses donneraient \(\lambda=-2\) et les ordonnées \(-1=-\lambda\), soit \(\lambda=1\) : c’est contradictoire.

Il n’existe donc aucune valeur de \(k\) pour laquelle A est le projeté orthogonal de \(\text{D}_k\) sur (ABC). Autrement dit, la droite passant par A et orthogonale au plan ne rencontre jamais l’axe des cotes.

Exercice 2 :

Partie A : modèle discret

1. On applique la relation de récurrence :

\[V_1=0{,}995\times 0+6=6 \quad \text{et} \quad V_2=0{,}995\times 6+6=5{,}97+6=11{,}97.\]

Donc \(V_1=6\) L et \(V_2=11{,}97\) L.

2. La variable v doit partir de \(V_0=0\) ; à chaque passage dans la boucle (qui tourne \(n\) fois), on passe du terme d’indice \(k\) au terme suivant en appliquant la relation de récurrence. Le programme complété est :

def volume(n):
    v = 0
    for k in range(n):
        v = 0.995 * v + 6
    return v

3. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(V_n \leq\, V_{n+1} \leq\, 1200\) ».

Initialisation. \(V_0=0\) et \(V_1=6\), et on a bien \(0 \leq\, 6 \leq\, 1200\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier naturel \(n\) donné : \(V_n \leq\, V_{n+1} \leq\, 1200\). On multiplie par \(0{,}995\), nombre positif, ce qui conserve l’ordre : \(0{,}995V_n \leq\, 0{,}995V_{n+1} \leq\, 0{,}995\times 1200\). On ajoute 6 : \(0{,}995V_n+6 \leq\, 0{,}995V_{n+1}+6 \leq\, 1194+6\), c’est-à-dire \(V_{n+1} \leq\, V_{n+2} \leq\, 1200\). La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(V_n \leq\, V_{n+1} \leq\, 1200\).

4. D’après la question précédente, la suite \((V_n)\) est croissante et majorée par 1200. D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\).

La fonction \(g : x \mapsto 0{,}995x+6\) est affine donc continue sur \(\mathbb{R}\) ; en passant à la limite dans \(V_{n+1}=g(V_n)\), la limite \(\ell\) vérifie \(\ell=0{,}995\ell+6\), soit \(0{,}005\ell=6\), donc \(\ell=\dfrac{6}{0{,}005}=1200\).

La suite \((V_n)\) converge vers 1200 : sur le long terme, le volume de polluant se rapproche de 1 200 litres.

Partie B : modèle continu

1. a. L’équation \((E)\) est de la forme \(y^{\prime}=ay+b\) avec \(a=-0{,}005\) et \(b=6\). Ses solutions sont les fonctions \(t \mapsto C\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\), où \(C\) est un réel quelconque. Ici \(-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{6}{-0{,}005}=1200\).

Les solutions de \((E)\) sont donc les fonctions \(t \mapsto C\text{e}^{-0{,}005t}+1200\), avec \(C \in \mathbb{R}\).

b. La fonction \(v\) est l’une de ces solutions : \(v(t)=C\text{e}^{-0{,}005t}+1200\). La condition \(v(0)=0\) donne \(C\times 1+1200=0\), donc \(C=-1200\). Ainsi \(v(t)=-1200\text{e}^{-0{,}005t}+1200\), c’est-à-dire \(v(t)=1200(1-\text{e}^{-0{,}005t})\).

c. Comme \(\lim\limits_{t \to +\infty} -0{,}005t=-\infty\) et \(\lim\limits_{X \to -\infty}\text{e}^{X}=0\), par composition \(\lim\limits_{t \to +\infty}\text{e}^{-0{,}005t}=0\). Donc \(\lim\limits_{t \to +\infty} v(t)=1200\).

d. On dérive : \(v^{\prime}(t)=1200\times (-(-0{,}005)\text{e}^{-0{,}005t})=6\text{e}^{-0{,}005t}\). Une exponentielle est strictement positive, donc \(v^{\prime}(t) \gt 0\) sur \([0 ; +\infty[\) : la fonction \(v\) est strictement croissante sur \([0 ; +\infty[\).

2. Le seuil de nettoyage correspond à 5 % de 30 000 litres, soit \(0{,}05\times 30\,000=1\,500\) litres.

La fonction \(v\) est croissante de limite 1200 : pour tout \(t \geq\, 0\), \(v(t) \lt 1200\) (on le voit aussi directement car \(\text{e}^{-0{,}005t} \gt 0\)). Le volume de polluant reste donc toujours inférieur à 1 200 L, donc à 1 500 L : selon ce modèle, le propriétaire n’aura pas à procéder au nettoyage complet.

3. On résout \(v(t) \gt 50\) sur \([0 ; +\infty[\) :

\[1200(1-\text{e}^{-0{,}005t}) \gt 50 \iff 1-\text{e}^{-0{,}005t} \gt \dfrac{1}{24} \iff \text{e}^{-0{,}005t} \lt \dfrac{23}{24}.\]

La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\) :

\[-0{,}005t \lt \ln(\dfrac{23}{24}) \iff t \gt -200\ln(\dfrac{23}{24}) \iff t \gt 200\ln(\dfrac{24}{23}).\]

(On a divisé par \(-0{,}005\), négatif, ce qui change le sens de l’inégalité.)

L’instant cherché vaut exactement \(t_0=200\ln(\dfrac{24}{23})\) heures. On obtient \(t_0 \approx 8{,}512\) h ; or \(0{,}512\times 60 \approx 30{,}7\) min. Le volume dépasse 50 litres au bout d’environ 8 h 31 min.

Exercice 3 :

Affirmation 1 : vraie.

L’énoncé donne \(P(O)=0{,}52\), \(P_O(F)=0{,}32\) et \(P(F)=0{,}2\). On cherche \(P_F(O)\).

\[P(O \cap F)=P(O)\times P_O(F)=0{,}52\times 0{,}32=0{,}1664\]

\[P_F(O)=\dfrac{P(O \cap F)}{P(F)}=\dfrac{0{,}1664}{0{,}2}=0{,}832.\]

La probabilité qu’une femme choisie joue de la Pop est bien 0,832.

Affirmation 2 : fausse.

On répète 5 000 fois, de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve de Bernoulli dont le succès « la personne est un musicien professionnel » a pour probabilité 0,062. Le nombre de succès \(X\) suit donc la loi binomiale \(\mathcal{B}(5000 ; 0{,}062)\).

Son espérance vaut \(\text{E}(X)=5000\times 0{,}062=310\). La valeur 340 est au-dessus de la moyenne, on s’attend donc à une probabilité plutôt grande. La calculatrice (fonction de répartition binomiale) donne \(P(X \leq\, 340) \approx 0{,}96\), soit 1,0 au dixième, et non 0,4.

Affirmation 3 : vraie.

On a \(\text{E}(X)=310\) et \(V(X)=5000\times 0{,}062\times 0{,}938=290{,}78\).

L’évènement « \(230 \lt X \lt 390\) » s’écrit \(-80 \lt X-310 \lt 80\), c’est-à-dire \(|X-310| \lt 80\) : c’est l’évènement contraire de \(|X-310| \geq\, 80\).

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec \(\delta=80\) donne :

\[P(|X-310| \geq\, 80) \leq\, \dfrac{V(X)}{80^2}=\dfrac{290{,}78}{6400} \approx 0{,}0454.\]

Donc \(P(230 \lt X \lt 390) \geq\, 1-0{,}0454 \approx 0{,}9546\), qui dépasse 0,95. On peut bien affirmer qu’il y a plus de 95 % de chance que le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre 230 et 390.

Affirmation 4 : vraie.

Dans une équipe, l’ordre des joueurs ne compte pas : choisir une équipe revient à choisir une partie à 2 éléments parmi les 4 musiciens professionnels, puis une partie à 3 éléments parmi les 6 autres personnes.

Il y a \(\dbinom{4}{2}=6\) façons de choisir les deux musiciens et \(\dbinom{6}{3}=20\) façons de choisir les trois autres joueurs. Par le principe multiplicatif, on obtient \(6\times 20=120\) équipes différentes.

Remarque : chaque équipe détermine son adversaire (les 5 personnes restantes, qui comptent aussi 2 musiciens et 3 non-musiciens), donc il n’y a que 60 matchs possibles, mais la question porte bien sur le nombre d’équipes.

Exercice 4 :

Partie A

1. a. \(f^{\prime}(1)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 1, c’est-à-dire en C. Cette tangente est parallèle à l’axe des abscisses, son coefficient directeur est nul : \(f^{\prime}(1)=0\).

b. Sur \([0 ; 3]\), la courbe ne coupe l’axe des abscisses qu’au point A d’abscisse \(\dfrac{1}{2}\). La solution de \(f(x)=0\) sur cet intervalle est donc \(x=\dfrac{1}{2}\).

2. \(f^{\prime}(\dfrac{1}{2})\) est le coefficient directeur de la tangente \(T_{\text{A}}\), qui passe par A\((\dfrac{1}{2} ; 0)\) et B\((1 ; \text{e}^2)\) :

\[f^{\prime}(\dfrac{1}{2})=\dfrac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}=\dfrac{\text{e}^2-0}{1-\dfrac{1}{2}}=2\text{e}^2.\]

Donc \(f^{\prime}(\dfrac{1}{2})=2\text{e}^2\) (environ 14,8).

3. Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(F^{\prime}=f\), donc les variations de \(F\) sont données par le signe de \(f\). D’après le graphique, \(f(x) \lt 0\) sur \([0 ; \dfrac{1}{2}[\) et \(f(x) \gt 0\) sur \(]\dfrac{1}{2} ; +\infty[\). Une primitive de \(f\) est donc décroissante sur \([0 ; \dfrac{1}{2}]\), croissante sur \([\dfrac{1}{2} ; +\infty[\), et admet un minimum en \(x=\dfrac{1}{2}\).

• \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) sont décroissantes puis croissantes, avec leur minimum en \(x=0{,}5\) : elles conviennent (on constate d’ailleurs qu’elles se déduisent l’une de l’autre par une translation verticale, comme deux primitives d’une même fonction qui diffèrent d’une constante).
• \(\mathcal{C}_3\) est encore décroissante entre 0,5 et environ 0,9, alors que \(f\) y est strictement positive : elle ne peut pas représenter une primitive de \(f\).

Les courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) représentent des primitives de \(f\).

Partie B

1. a. Pour tout \(x \geq\, 0\), avec la propriété \(\text{e}^a\times \text{e}^{-b}=\text{e}^{a-b}\) :

\[\text{e}^2\times \dfrac{2x-1}{\text{e}^{2x-1}}=(2x-1)\,\text{e}^{2-(2x-1)}=(2x-1)\,\text{e}^{-2x+3}=f(x).\]

L’égalité \(f(x)=\text{e}^2\times \dfrac{2x-1}{\text{e}^{2x-1}}\) est vérifiée.

b. Posons \(X=2x-1\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(X\) tend vers \(+\infty\). Par croissances comparées, \(\lim\limits_{X \to +\infty}\dfrac{X}{\text{e}^X}=0\). Par composition, \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2x-1}{\text{e}^{2x-1}}=0\), puis en multipliant par la constante \(\text{e}^2\) :

\[\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0.\]

La limite de \(f\) en \(+\infty\) est 0 : l’axe des abscisses est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

2. a. On écrit \(f=uv\) avec \(u(x)=2x-1\), \(u^{\prime}(x)=2\), \(v(x)=\text{e}^{-2x+3}\), \(v^{\prime}(x)=-2\text{e}^{-2x+3}\). Alors :

\[f^{\prime}(x)=2\text{e}^{-2x+3}+(2x-1)\times (-2\text{e}^{-2x+3})=(2-4x+2)\,\text{e}^{-2x+3}=(-4x+4)\,\text{e}^{-2x+3}.\]

On obtient bien \(f^{\prime}(x)=(-4x+4)\text{e}^{-2x+3}\).

b. Comme \(\text{e}^{-2x+3} \gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(-4x+4\), qui est positif pour \(x \lt 1\), nul en 1 et négatif pour \(x \gt 1\). On calcule \(f(0)=(0-1)\text{e}^{3}=-\text{e}^3\) et \(f(1)=(2-1)\text{e}^{1}=\text{e}\), et on a vu que \(f\) tend vers 0 en \(+\infty\).

\(f\) est strictement croissante sur \([0 ; 1]\) et strictement décroissante sur \([1 ; +\infty[\), avec un maximum égal à \(\text{e}\) en \(x=1\).

3. Le repère est orthonormé d’unité 1 cm. À l’abscisse \(\alpha\), le contour du logo passe par le point \((\alpha ; f(\alpha))\) de \(\mathcal{C}_f\) et par son symétrique \((\alpha ; -f(\alpha))\) par rapport à l’axe des abscisses. Comme \(f(\alpha) \gt 0\) (car \(\alpha \gt 1\)), le segment vertical qui les joint mesure \(f(\alpha)-(-f(\alpha))=2f(\alpha)\) cm. La contrainte du client s’écrit donc \(2f(\alpha)=0{,}3\), c’est-à-dire \(f(\alpha)=0{,}15\).

Sur \([1 ; +\infty[\), la fonction \(f\) est continue (elle est dérivable) et strictement décroissante ; elle part de \(f(1)=\text{e} \approx 2{,}72\) et tend vers 0 en \(+\infty\). Le nombre 0,15 est compris strictement entre 0 et \(\text{e}\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas d’une fonction strictement monotone), l’équation \(f(x)=0{,}15\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([1 ; +\infty[\).

Par balayage à la calculatrice : \(f(3{,}25) \approx 0{,}166 \gt 0{,}15\) et \(f(3{,}35) \approx 0{,}141 \lt 0{,}15\), donc \(3{,}25 \lt \alpha \lt 3{,}35\), d’où \(\alpha \approx 3{,}3\) au dixième (plus précisément \(\alpha \approx 3{,}31\)).

Partie C

1. On intègre par parties en posant \(u(x)=2x-1\) et \(v^{\prime}(x)=\text{e}^{-2x+3}\). Alors \(u^{\prime}(x)=2\) et on peut prendre \(v(x)=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x+3}\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([0{,}5 ; 3{,}3]\), donc :

\[I=[-\dfrac{1}{2}(2x-1)\text{e}^{-2x+3}]_{0{,}5}^{3{,}3}-\int_{0{,}5}^{3{,}3} 2\times (-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x+3})\mathrm{d}x=[-\dfrac{1}{2}(2x-1)\text{e}^{-2x+3}]_{0{,}5}^{3{,}3}+\int_{0{,}5}^{3{,}3}\text{e}^{-2x+3}\,\mathrm{d}x.\]

Une primitive de \(x \mapsto \text{e}^{-2x+3}\) est \(x \mapsto -\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x+3}\). En regroupant :

\[I=[-\dfrac{1}{2}(2x-1)\text{e}^{-2x+3}-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x+3}]_{0{,}5}^{3{,}3}=[-x\,\text{e}^{-2x+3}]_{0{,}5}^{3{,}3}.\]

\[I=-3{,}3\,\text{e}^{-3{,}6}+0{,}5\,\text{e}^{2}\approx-0{,}090+3{,}695 \approx 3{,}604.\]

Arrondie au dixième, \(I \approx 3{,}6\).

2. Sur \([0{,}5 ; 3{,}3]\), \(f\) est continue et positive, donc \(I\) est l’aire (en cm², l’unité étant 1 cm) du domaine compris entre \(\mathcal{C}_f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0{,}5\) et \(x=3{,}3\). Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, la partie située sous l’axe a la même aire. En prenant \(\alpha \approx 3{,}3\), l’aire du logo vaut donc environ \(2I\).

\[V \approx 2I\times 0{,}2 \approx 2\times 3{,}604\times 0{,}2 \approx 1{,}44.\]

Le volume du porte-clé est d’environ 1,4 cm³.

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