Sujet Sud 2023 : sujet de maths en Amérique du Sud (jour 2)

Sommaire

En outre, Voici le sujet du bac de spécialité mathématiques 2023 en Amérique du Sud, jour 2, posé le 27 septembre 2023, accompagné d’un corrigé détaillé de chaque question sur une page dédiée. Le premier exercice suit un joueur qui tire trois fois sur une cible mouvante dans une fête foraine : arbre pondéré, loi et espérance du nombre de tirs réussis, puis loi binomiale et recherche d’un effectif minimal par le logarithme. Ensuite, le deuxième travaille dans l’espace avec un plan, un projeté orthogonal, une sphère et un plan tangent. Par ailleurs, le troisième étudie une suite définie par récurrence avec deux fonctions Python, un raisonnement par récurrence et une suite géométrique auxiliaire. De plus, le dernier porte sur la fonction \(x \mapsto \ln(1 + \text{e}^{-x}) + \dfrac{1}{4}x\) : variations, convexité et un parallélogramme construit sur sa courbe.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en Amérique du Sud (jour 2).

Ensuite, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Sujet Sud 2023 : présentation de l’épreuve

Tout d’abord, ce sujet Sud 2023 correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en Amérique du Sud (jour 2), reproduit ici avec son énoncé complet. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, l’espérance d’une variable aléatoire, la loi binomiale et la fonction logarithme népérien. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Jour 2
Amérique du Sud — 27 septembre 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Partie A

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante.

On a constaté que :

Si le joueur atteint la cible lors d’un tir alors il ne l’atteint pas lors du tir suivant dans 65 % des cas ;
Si le joueur n’atteint pas la cible lors d’un tir alors il l’atteint lors du tir suivant dans 50 % des cas.

La probabilité qu’un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de \(0{,}6\).

Pour tout évènement \(A\), on note \(p(A)\) sa probabilité et \(\overline{A}\) l’évènement contraire de \(A\).

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs.

On considère les évènements suivants :

\(A_1\) : « Le joueur atteint la cible lors du 1^er tir »
\(A_2\) : « Le joueur atteint la cible lors du 2^e tir »
\(A_3\) : « Le joueur atteint la cible lors du 3^e tir ».

1. Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.

Soit \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.

Exercice 1 du sujet Sud 2023, partie A : questions 2 à 3

2. Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à \(0{,}4015\).

3. L’objectif de cette question est de calculer l’espérance de la variable aléatoire \(X\), notée \(E(X)\).

a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\).

\(X = x_i\)	0	1	2	3
\(p(X = x_i)\)	0,1			0,0735

b. Calculer \(E(X)\).

c. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.

Partie B

On considère \(N\), un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Un groupe de \(N\) personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes.

Un joueur est déclaré gagnant lorsqu’il atteint trois fois la cible.

On note \(Y\) la variable aléatoire qui compte parmi les \(N\) personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.

1. Dans cette question, \(N = 15\).

a. Justifier que \(Y\) suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

b. Donner la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\), qu’exactement 5 joueurs soient gagnants à ce jeu.

2. Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à \(0{,}98\).

Exercice 2 (5 points)

Dans un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\) on considère les points :

\(\text{A}(1~;~1~;~-4)\), \(\text{B}(2~;~-1~;~-3)\), \(\text{C}(0~;~-1~;~-1)\) et \(\Omega(1~;~1~;~2)\).

1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.

2. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\) de coordonnées \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) est normal au plan (ABC).

b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est \(x + y + z + 2 = 0\).

3. a. Justifier que le point \(\Omega\) n’appartient pas au plan (ABC).

b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point \(\Omega\) sur le plan (ABC).

On admet que \(\Omega\text{H} = 2\sqrt{3}\).

On définit la sphère \(S\) de centre \(\Omega\) et de rayon \(2\sqrt{3}\) comme l’ensemble de tous les points M de l’espace tels que \(\Omega\text{M} = 2\sqrt{3}\).

4. Justifier, sans calcul, que tout point N du plan (ABC), distinct de H, n’appartient pas à la sphère \(S\).

On dit qu’un plan \(\mathcal{P}\) est tangent à la sphère \(S\) en un point K lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

\(\text{K} \in \mathcal{P} \cap S\)
\((\Omega\text{K}) \perp \mathcal{P}\)

5. Soit le plan \(\mathcal{P}\) d’équation cartésienne \(x + y – z – 6 = 0\) et le point K de coordonnées \(\text{K}(3~;~3~;~0)\).

Démontrer que le plan \(\mathcal{P}\) est tangent à la sphère \(S\) au point K.

6. On admet que les plans (ABC) et \(\mathcal{P}\) sont sécants selon une droite \((\Delta)\).

Déterminer une équation paramétrique de la droite \((\Delta)\).

Exercice 3 (5 points)

Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\),

\[u_{n+1} = 5u_n – 8n + 6.\]

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).

2. Soit \(n\) un entier naturel.

Recopier et compléter la fonction suite_u d’argument n ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu’elle retourne la valeur de \(u_n\).

def suite_u(n) :
    u = ...
    for i in range(1,n+1) :
        u = ...
    return u

3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geq\, 2n\).

b. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

c. Soit \(p \in \mathbb{N}^*\). Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier \(n_0\) tel que, pour tout entier naturel \(n\) vérifiant \(n \geq\, n_0\), \(u_n \geq\, 10^p\) ?

4. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

5. On considère la suite \((v_n)\), définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\), par \(v_n = u_n – 2n + 1\).

a. En dessous de la fonction suite_u précédente, on a écrit la fonction suite_v ci-dessous :

def suite_v(n):
    L = []
    for i in range(n+1) :
        L.append(suite_u(i) - 2*i + 1)
    return L

La commande « L.append » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste L.

Lorsqu’on saisit suite_v(5) dans la console, on obtient l’affichage suivant :

>>> suite_v(5)
[1, 5, 25, 125, 625, 3125]

Conjecturer, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\).

Démontrer cette conjecture.

b. En déduire, pour tout entier naturel \(n\), la forme explicite de \(u_n\) en fonction de \(n\).

Exercice 4 (5 points)

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = \ln(1 + \text{e}^{-x}) + \dfrac{1}{4}x.\]

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath})\) du plan.

Partie A

1. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).

2. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

a. Montrer que, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^x – 3}{4(\text{e}^x + 1)}\).

b. En déduire les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

c. Montrer que l’équation \(f(x) = 1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l’intervalle \([2~;~5]\).

Partie B

On admettra que la fonction \(f^{\prime}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\),

\[f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^x}{(\text{e}^x + 1)^2}.\]

On note \(\Delta\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 0.

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe \(\mathcal{C}_f\), la tangente \(\Delta\) et le quadrilatère MNPQ tel que M et N sont les deux points de la courbe \(\mathcal{C}_f\) d’abscisses respectives \(\alpha\) et \(-\alpha\), et Q et P sont les deux points de la droite \(\Delta\) d’abscisses respectives \(\alpha\) et \(-\alpha\).

1. a. Justifier le signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) pour \(x \in \mathbb{R}\).

b. En déduire que la portion de la courbe \(\mathcal{C}_f\) sur l’intervalle \([-\alpha~;~\alpha]\) est inscrite dans le quadrilatère MNPQ.

2. a. Montrer que \(f(-\alpha) = \ln(\text{e}^{-\alpha} + 1) + \dfrac{3}{4}\alpha\).

b. Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.

Sujet Sud 2023 : méthode pour bien s’entraîner

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les probabilités conditionnelles et l’espérance d’une variable aléatoire. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article probabilités conditionnelles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs qui coûtent des points

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Pour une espérance, vérifiez que les probabilités de la loi somment à 1 avant de calculer.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.

Sujet Sud 2023 : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, l’espérance d’une variable aléatoire et la loi binomiale, mais aussi la fonction logarithme népérien.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en Amérique du Sud (jour 2)

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