Exercices de maths Terminale : Continuité, dérivation et convexité

Exercice 1Continuité

1. La fonction \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\) si \(x \neq 2\), \(f(2) = 4\) est-elle continue en \(2\) ?
2. Même question avec \(f(2) = 3\).
3. Définir \(g(x) = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\) en \(1\) pour la rendre continue.

Exercice 2Théorème des valeurs intermédiaires

Soit \(f(x) = x^3 + x - 3\).

1. Montrer que \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Encadrer \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
3. Écrire un algorithme de dichotomie.

Exercice 3TVI et exponentielle

Soit \(g(x) = e^x - 2x\).

1. Variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Combien de solutions a l'équation \(g(x) = 0\) ?
3. Encadrer chacune à \(0{,}1\) près.

Exercice 4Dérivée d'une composée

Dériver :

1. \(f(x) = (x^2 + 1)^5\)
2. \(g(x) = \sqrt{x^2 - 3x}\)
3. \(h(x) = e^{x^2 - x}\)
4. \(k(x) = \cos(3x + 1)\)
5. \(m(x) = \dfrac{1}{(2x - 1)^3}\)

Exercice 5Dérivée seconde

Calculer \(f'(x)\) puis \(f''(x)\) :

1. \(f(x) = x^4 - 6x^2 + 1\)
2. \(f(x) = xe^{x}\)
3. \(f(x) = \dfrac{1}{x}\)
4. \(f(x) = \sin x\)

Exercice 6Convexité

Étudier la convexité et déterminer les points d'inflexion :

1. \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)
2. \(g(x) = x^4 - 2x^3\)
3. \(h(x) = e^{-x^2/2}\)

Exercice 7Lecture graphique

La courbe d'une fonction \(f\) est au-dessus de ses tangentes sur \(]-\infty\,;\,1]\) et en dessous sur \([1\,;\,+\infty[\).

1. Que dire de la convexité de \(f\) ? du point d'abscisse \(1\) ?
2. Que dire du signe de \(f''\) ?
3. Que dire des variations de \(f'\) ?

Exercice 8Inégalité de convexité

1. Montrer que \(e^x\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
2. En déduire \(e^x \geq x + 1\) pour tout \(x\) (tangente en 0).
3. Montrer que \(\sqrt{x}\) est concave et en déduire \(\sqrt{x} \leq \dfrac{x + 1}{2}\) pour \(x \geq 0\).

Exercice 9Fonction avec exponentielle

Soit \(f(x) = (2x - 1)e^{x}\).

1. Calculer \(f'\) et \(f''\).
2. Variations et convexité.
3. Point d'inflexion et tangente en ce point.

Exercice 10Problème

Soit \(f(x) = \dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + 1\).

1. Variations sur \(\mathbb{R}\).
2. Convexité et point d'inflexion.
3. Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) a une unique solution, l'encadrer.
4. Tracer la courbe avec ses tangentes aux extremums et au point d'inflexion.