Bac maths 2023 Nlle-Calédonie J1 : sujet et corrigé

Retrouvez ici le sujet du jour 1 du bac de spécialité mathématiques 2023 en Nouvelle-Calédonie, passé le 28 août 2023, suivi d’un corrigé détaillé de chacune des questions. On commence par une entreprise qui loue des voiliers et des bateaux à moteur, avec ou sans pilote : arbre pondéré, probabilité conditionnelle inversée, nombre d’avaries attendu sur 1 000 locations et loi binomiale. On étudie ensuite la suite définie par \(u_{n+1}=5u_n-4n-3\), par récurrence puis grâce à une suite géométrique auxiliaire, avant de compléter une boucle while en Python. Un QCM porte sur une primitive et sur des droites, plans et angles de l’espace. Le dernier exercice analyse \(f(x)=5x^2+2x-2x^2\ln(x)\) : limites, convexité, dérivée seconde et encadrement du maximum.

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Jour 1
Nouvelle-Calédonie — 28 août 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
Le sujet propose 4 exercices.

Exercice 1 (5 points)

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.

Par ailleurs, un client peut prendre l’option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu’il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.

On sait que :

60 % des clients choisissent un bateau à voile ; parmi eux, 20 % prennent l’option PILOTE.
42 % des clients prennent l’option PILOTE.

On choisit au hasard un client et on considère les évènements :

\(V\) : « le client choisit un bateau à voile » ;
\(L\) : « le client prend l’option PILOTE ».

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

1. Traduire la situation par un arbre pondéré que l’on complètera au fur et à mesure.

2. Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE.

3. Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à \(0{,}30\).

4. En déduire \(P_{\overline{V}}(L)\), probabilité de \(L\) sachant que \(V\) n’est pas réalisé.

5. Un client a pris l’option PILOTE.

Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un bateau à voile ? Arrondir à 0,01 près.

Partie B

Lorsqu’un client ne prend pas l’option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à \(0{,}12\). Cette probabilité n’est que de \(0{,}005\) si le client prend l’option PILOTE.

On considère un client. On note \(A\) l’évènement : « son bateau subit une avarie ».

1. Déterminer \(P(L\cap A)\) et \(P(\overline{L}\cap A)\).

2. L’entreprise loue 1 000 bateaux.

À combien d’avaries peut-elle s’attendre ?

Partie C

On rappelle que la probabilité qu’un client donné prenne l’option PILOTE est égale à 0,42.

On considère un échantillon aléatoire de 40 clients. On note \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l’échantillon prenant l’option PILOTE.

1. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Donner sans justification ses paramètres.

2. Calculer la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\), qu’au moins 15 clients prennent l’option PILOTE.

Exercice 2 (5 points)

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et, pour tout entier naturel \(n\), par :

\[u_{n+1}=5u_n-4n-3.\]

1. a. Démontrer que \(u_1=12\).

b. Déterminer \(u_2\) en détaillant le calcul.

c. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite \((u_n)\).

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[u_n\geq\, n+1.\]

b. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

3. On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[v_n=u_n-n-1.\]

a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique.

Donner sa raison et son premier terme \(v_0\).

b. En déduire, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(v_n\) en fonction de \(n\).

c. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_n=2\times 5^n+n+1.\]

d. En déduire le sens de variation de la suite \((u_n)\).

4. On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(u_n\geq\,10^7\).

def suite() :
    u = 3
    n = 0
    while ... :
        u = ...
        n = n + 1
    return n

a. Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.

b. Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction ?

Exercice 3 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=(x+1)\text{e}^x\).

Une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est définie par :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(F(x)=1+x\text{e}^x\)	\(F(x)=(1+x)\text{e}^x\)	\(F(x)=(2+x)\text{e}^x\)	\(F(x)=(\dfrac{x^2}{2}+x)\text{e}^x\)

Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

2. On considère les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) dont des représentations paramétriques sont respectivement :

\[(d_1)\ \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\end{cases}\ (r\in\mathbb{R})\qquad\text{et}\qquad(d_2)\ \begin{cases}x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases}\ (s\in\mathbb{R})\]

Les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
sécantes.	strictement parallèles.	confondues.	non coplanaires.

3. On considère le plan \((P)\) dont une équation cartésienne est :

\[2x-y+z-1=0.\]

On considère la droite \((\Delta)\) dont une représentation paramétrique est :

\[\begin{cases}x=2+u\\y=4+u\\z=1-u\end{cases}\ (u\in\mathbb{R})\]

La droite \((\Delta)\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
sécante et non orthogonale au plan \((P)\).	incluse dans le plan \((P)\).	strictement parallèle au plan \((P)\).	orthogonale au plan \((P)\).

4. On considère le plan \((P_1)\) dont une équation cartésienne est \(x-2y+z+1=0\), ainsi que le plan \((P_2)\) dont une équation cartésienne est \(2x+y+z-6=0\).

Les plans \((P_1)\) et \((P_2)\) sont :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
sécants et perpendiculaires.	confondus.	sécants et non perpendiculaires.	strictement parallèles.

5. On considère les points \(\text{E}(1\,;\,2\,;\,1)\), \(\text{F}(2\,;\,4\,;\,3)\) et \(\text{G}(-2\,;\,2\,;\,5)\).

On peut affirmer que la mesure \(\alpha\) de l’angle \(\widehat{\text{FEG}}\) vérifie :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\alpha=90^\circ\)	\(\alpha\gt90^\circ\)	\(\alpha=0^\circ\)	\(\alpha\approx71^\circ\)

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x)=5x^2+2x-2x^2\ln(x).\]

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal du plan.

On admet que \(f\) est deux fois dérivable sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

On note \(f^{\prime}\) sa dérivée et \(f^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.

1. a. Démontrer que la limite de la fonction \(f\) en 0 est égale à 0.

b. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

2. Déterminer \(f^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

3. a. Démontrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) :

\[f^{\prime\prime}(x)=4(1-\ln(x)).\]

b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de ses tangentes.

c. Dresser le tableau des variations de la fonction \(f^{\prime}\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

(On admettra que \(\lim\limits_{\substack{x\to0\\x\gt0}}f^{\prime}(x)=2\) et que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f^{\prime}(x)=-\infty\).)

4. a. Montrer que l’équation \(f^{\prime}(x)=0\) admet dans l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) une unique solution \(\alpha\) dont on donnera un encadrement d’amplitude \(10^{-2}\).

b. En déduire le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) ainsi que le tableau des variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

5. a. En utilisant l’égalité \(f^{\prime}(\alpha)=0\), démontrer que :

\[\ln(\alpha)=\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}.\]

En déduire que \(f(\alpha)=\alpha^2+\alpha\).

b. En déduire un encadrement d’amplitude \(10^{-1}\) du maximum de la fonction \(f\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. L’énoncé donne \(P(V)=0{,}6\), donc \(P(\overline{V})=0{,}4\), et \(P_V(L)=0{,}2\), donc \(P_V(\overline{L})=0{,}8\). La probabilité \(P_{\overline{V}}(L)\) n’est pas connue au départ : notons-la \(x\) ; on trouvera \(x=0{,}75\) à la question 4. L’arbre pondéré complet est :

branche \(V\) : \(0{,}6\), puis de \(V\) vers \(L\) : \(0{,}2\) et de \(V\) vers \(\overline{L}\) : \(0{,}8\) ;
branche \(\overline{V}\) : \(0{,}4\), puis de \(\overline{V}\) vers \(L\) : \(x=0{,}75\) et de \(\overline{V}\) vers \(\overline{L}\) : \(1-x=0{,}25\).

La donnée « 42 % des clients prennent l’option PILOTE » ne se place pas sur une branche : c’est la probabilité totale \(P(L)=0{,}42\).

2. On suit le chemin \(V\) puis \(\overline{L}\) : \(P(V\cap\overline{L})=P(V)\times P_V(\overline{L})=0{,}6\times 0{,}8\), donc \(P(V\cap\overline{L})=0{,}48\).

3. Les évènements \(V\) et \(\overline{V}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales, \(P(L)=P(V\cap L)+P(\overline{V}\cap L)\). Or \(P(V\cap L)=0{,}6\times 0{,}2=0{,}12\) et \(P(L)=0{,}42\), donc \(P(\overline{V}\cap L)=0{,}42-0{,}12\), soit \(P(\overline{V}\cap L)=0{,}30\). Choisir un bateau à moteur, c’est réaliser \(\overline{V}\) : c’est bien la probabilité demandée.

4. Par définition d’une probabilité conditionnelle : \(P_{\overline{V}}(L)=\dfrac{P(\overline{V}\cap L)}{P(\overline{V})}=\dfrac{0{,}30}{0{,}4}\), donc \(P_{\overline{V}}(L)=0{,}75\). Trois clients sur quatre qui louent un bateau à moteur prennent un pilote.

5. On cherche \(P_L(V)=\dfrac{P(V\cap L)}{P(L)}=\dfrac{0{,}12}{0{,}42}=\dfrac{2}{7}\), soit \(P_L(V)\approx0{,}29\).

Partie B

1. L’énoncé donne \(P_L(A)=0{,}005\) et \(P_{\overline{L}}(A)=0{,}12\), avec \(P(L)=0{,}42\) et \(P(\overline{L})=0{,}58\). Donc \(P(L\cap A)=P(L)\times P_L(A)=0{,}42\times 0{,}005\), soit \(P(L\cap A)=0{,}0021\), et \(P(\overline{L}\cap A)=P(\overline{L})\times P_{\overline{L}}(A)=0{,}58\times 0{,}12\), soit \(P(\overline{L}\cap A)=0{,}0696\).

2. Par la formule des probabilités totales (partition \(L\), \(\overline{L}\)) : \(P(A)=0{,}0021+0{,}0696=0{,}0717\). Sur 1 000 bateaux loués, le nombre moyen d’avaries est \(1\,000\times 0{,}0717=71{,}7\). L’entreprise peut donc s’attendre à environ 72 avaries.

Partie C

1. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=40\) et \(p=0{,}42\).

2. On cherche \(P(X\geq\,15)=1-P(X\leq\,14)\). La calculatrice donne \(P(X\leq\,14)\approx0{,}2321\), donc \(P(X\geq\,15)\approx0{,}768\).

Exercice 2 :

1. a. Avec \(n=0\) : \(u_1=5u_0-4\times 0-3=15-0-3\), donc \(u_1=12\).

b. Avec \(n=1\) : \(u_2=5u_1-4\times 1-3=60-4-3\), donc \(u_2=53\).

c. La calculatrice donne \(u_3=254\), \(u_4=1\,255\), \(u_5=6\,256\)… Les termes augmentent de plus en plus vite : on conjecture que la suite \((u_n)\) est croissante et tend vers \(+\infty\).

2. a. Notons \(P(n)\) la propriété « \(u_n\geq\, n+1\) ».

Initialisation. \(u_0=3\) et \(0+1=1\) : on a bien \(3\geq\,1\), donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(u_n\geq\, n+1\). En multipliant par 5 (positif) : \(5u_n\geq\,5n+5\). En retranchant \(4n+3\) : \(5u_n-4n-3\geq\,5n+5-4n-3\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\geq\, n+2=(n+1)+1\). Donc \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geq\, n+1\).

b. On a \(\lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)=+\infty\) et \(u_n\geq\, n+1\) pour tout \(n\). D’après le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).

3. a. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)-1=5u_n-4n-3-n-2=5u_n-5n-5=5(u_n-n-1)=5v_n.\]

Donc \((v_n)\) est géométrique de raison 5, et son premier terme est \(v_0=u_0-0-1=2\).

b. D’après le cours, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=v_0\times 5^n=2\times 5^n\).

c. De \(v_n=u_n-n-1\), on tire \(u_n=v_n+n+1\), donc \(u_n=2\times 5^n+n+1\) pour tout entier naturel \(n\).

d. Pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}-u_n=2\times 5^{n+1}+(n+2)-2\times 5^n-(n+1)=2\times 5^n(5-1)+1=8\times 5^n+1\). Ce nombre est strictement positif, donc la suite \((u_n)\) est strictement croissante, ce qui confirme la conjecture.

4. a. La boucle doit tourner tant que le seuil n’est pas atteint, c’est-à-dire tant que \(u\lt10^7\). Dans la boucle, u doit recevoir le terme suivant, calculé avec la valeur de n avant son incrémentation (c’est bien l’ordre des instructions du programme) :

def suite() :
    u = 3
    n = 0
    while u < 10**7 :
        u = 5*u - 4*n - 3
        n = n + 1
    return n

b. D’après la formule \(u_n=2\times 5^n+n+1\) : \(u_9=2\times 1\,953\,125+10=3\,906\,260\lt10^7\) et \(u_{10}=2\times 9\,765\,625+11=19\,531\,261\geq\,10^7\). La suite étant croissante, le plus petit rang cherché est 10 : la fonction renvoie 10.

Exercice 3 :

1. Réponse a. Il suffit de dériver chaque proposition. Pour \(F(x)=1+x\text{e}^x\), la dérivée du produit \(x\text{e}^x\) est \(1\times \text{e}^x+x\text{e}^x\), donc \(F^{\prime}(x)=(1+x)\text{e}^x=f(x)\). (Pour b, on trouverait \((2+x)\text{e}^x\), pour c, \((3+x)\text{e}^x\) : ce ne sont pas des primitives de \(f\).)

2. Réponse a. Les vecteurs directeurs \(\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{u_2}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\) ne sont pas colinéaires (premières coordonnées opposées, deuxièmes égales), donc les droites ne sont ni parallèles ni confondues. On cherche un point commun : \(2+r=1-s\) et \(1+r=-1+s\) donnent \(r+s=-1\) et \(r-s=-2\), d’où \(r=-\dfrac32\) et \(s=\dfrac12\). La troisième équation, \(-r=2-s\), donne \(\dfrac32=\dfrac32\) : elle est vérifiée. Les droites sont sécantes, au point \((\dfrac12\,;\,-\dfrac12\,;\,\dfrac32)\).

3. Réponse b. Un vecteur normal à \((P)\) est \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) et un vecteur directeur de \((\Delta)\) est \(\vec{w}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\). Comme \(\vec{n}\cdot\vec{w}=2-1-1=0\), la droite est parallèle au plan (ou incluse dedans). Le point \((2\,;\,4\,;\,1)\) de \((\Delta)\) vérifie \(2\times 2-4+1-1=0\) : il est dans \((P)\). Donc \((\Delta)\) est incluse dans \((P)\).

4. Réponse c. Les vecteurs normaux \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\) ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée est la même mais pas la première), donc les plans sont sécants. De plus \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=2-2+1=1\neq0\) : les plans ne sont pas perpendiculaires. Ils sont sécants et non perpendiculaires.

5. Réponse d. On a \(\vec{\text{EF}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{EG}}\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}\), donc \(\text{EF}=\sqrt{1+4+4}=3\), \(\text{EG}=\sqrt{9+0+16}=5\) et \(\vec{\text{EF}}\cdot\vec{\text{EG}}=-3+0+8=5\). Comme \(\vec{\text{EF}}\cdot\vec{\text{EG}}=\text{EF}\times \text{EG}\times \cos\alpha\), on obtient \(\cos\alpha=\dfrac{5}{15}=\dfrac13\), d’où \(\alpha\approx70{,}5^\circ\approx71^\circ\).

Exercice 4 :

1. a. On a \(\lim\limits_{x\to0}(5x^2+2x)=0\) et, par croissances comparées, \(\lim\limits_{\substack{x\to0\\x\gt0}}x^2\ln(x)=0\). Par somme, \(\lim\limits_{\substack{x\to0\\x\gt0}}f(x)=0\).

b. En \(+\infty\), on a une forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ». On factorise par \(x^2\) : \(f(x)=x^2(5+\dfrac2x-2\ln(x))\). Or \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac2x=0\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\), donc la parenthèse tend vers \(-\infty\), et \(x^2\) tend vers \(+\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).

2. La dérivée de \(x^2\ln(x)\) s’obtient avec la formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) : \(2x\ln(x)+x^2\times \dfrac1x=2x\ln(x)+x\). Donc \(f^{\prime}(x)=10x+2-2(2x\ln(x)+x)=10x+2-4x\ln(x)-2x\), soit \(f^{\prime}(x)=8x+2-4x\ln(x)\).

3. a. On dérive \(f^{\prime}\) : la dérivée de \(4x\ln(x)\) est \(4\ln(x)+4x\times \dfrac1x=4\ln(x)+4\). Donc \(f^{\prime\prime}(x)=8-4\ln(x)-4=4-4\ln(x)\), soit \(f^{\prime\prime}(x)=4(1-\ln(x))\).

b. La courbe est au-dessus de ses tangentes sur les intervalles où \(f\) est convexe, c’est-à-dire où \(f^{\prime\prime}(x)\geq\,0\). Or \(4(1-\ln(x))\geq\,0\iff\ln(x)\leq\,1\iff x\leq\,\text{e}\) (la fonction \(\ln\) est strictement croissante). Le plus grand intervalle cherché est \(]0\,;\,\text{e}]\).

c. D’après la question précédente, \(f^{\prime\prime}(x)\gt0\) sur \(]0\,;\,\text{e}[\) et \(f^{\prime\prime}(x)\lt0\) sur \(]\text{e}\,;\,+\infty[\) : \(f^{\prime}\) est croissante puis décroissante, avec un maximum \(f^{\prime}(\text{e})=8\text{e}+2-4\text{e}\ln(\text{e})=4\text{e}+2\approx12{,}87\).

\(x\)	0		\(\text{e}\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime\prime}(x)\)		\(+\)	0	\(-\)
variations de \(f^{\prime}\)	2	↗	\(4\text{e}+2\)	↘	\(-\infty\)

4. a. Sur \(]0\,;\,\text{e}]\) : \(f^{\prime}\) est strictement croissante et sa limite en 0 vaut 2, donc \(f^{\prime}(x)\gt2\gt0\) : l’équation \(f^{\prime}(x)=0\) n’a pas de solution sur cet intervalle.

Sur \([\text{e}\,;\,+\infty[\) : \(f^{\prime}\) est continue (car dérivable), strictement décroissante, avec \(f^{\prime}(\text{e})=4\text{e}+2\gt0\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f^{\prime}(x)=-\infty\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(f^{\prime}(x)=0\) a une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle.

Au total, l’équation \(f^{\prime}(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;\,+\infty[\). À la calculatrice, \(f^{\prime}(7{,}87)\approx0{,}015\gt0\) et \(f^{\prime}(7{,}88)\approx-0{,}028\lt0\), donc \(7{,}87\lt\alpha\lt7{,}88\).

b. D’après ce qui précède, \(f^{\prime}(x)\gt0\) sur \(]0\,;\,\alpha[\), \(f^{\prime}(\alpha)=0\) et \(f^{\prime}(x)\lt0\) sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\) (car \(f^{\prime}\) décroît après \(\alpha\) sur \([\text{e}\,;\,+\infty[\)). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,\alpha]\) et strictement décroissante sur \([\alpha\,;\,+\infty[\) :

\(x\)	0		\(\alpha\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(+\)	0	\(-\)
variations de \(f\)	0	↗	\(f(\alpha)\)	↘	\(-\infty\)

5. a. On a \(f^{\prime}(\alpha)=0\), c’est-à-dire \(8\alpha+2-4\alpha\ln(\alpha)=0\), donc \(4\alpha\ln(\alpha)=8\alpha+2\). Comme \(\alpha\neq0\), on divise par \(4\alpha\) : \(\ln(\alpha)=\dfrac{8\alpha+2}{4\alpha}\), puis en simplifiant par 2, \(\ln(\alpha)=\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}\).

On remplace alors \(\ln(\alpha)\) dans l’expression de \(f(\alpha)\) :

\[f(\alpha)=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\times \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}=5\alpha^2+2\alpha-\alpha(4\alpha+1)=5\alpha^2+2\alpha-4\alpha^2-\alpha.\]

Donc \(f(\alpha)=\alpha^2+\alpha\).

b. D’après le tableau de variations, le maximum de \(f\) est \(f(\alpha)=\alpha^2+\alpha\). La fonction \(x\mapsto x^2+x\) est croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\). L’encadrement \(7{,}87\lt\alpha\lt7{,}88\) donne \(69{,}806\lt f(\alpha)\lt69{,}975\), d’amplitude un peu supérieure à \(10^{-1}\). On l’affine à la calculatrice : \(f^{\prime}(7{,}873)\approx0{,}002\gt0\) et \(f^{\prime}(7{,}874)\approx-0{,}002\lt0\), donc \(7{,}873\lt\alpha\lt7{,}874\), d’où \(7{,}873^2+7{,}873\lt f(\alpha)\lt7{,}874^2+7{,}874\), soit \(69{,}857\lt f(\alpha)\lt69{,}874\).

On obtient ainsi l’encadrement d’amplitude \(10^{-1}\) : \(69{,}8\lt\max f\lt69{,}9\) (le maximum vaut environ 69,87).

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