Bac 2023 Calédonie : maths en Nouvelle-Calédonie (jour 1)

Sommaire

De plus, Retrouvez ici le sujet du jour 1 du bac de spécialité mathématiques 2023 en Nouvelle-Calédonie, passé le 28 août 2023, suivi d’un corrigé détaillé de chacune des questions. En outre, on commence par une entreprise qui loue des voiliers et des bateaux à moteur, avec ou sans pilote : arbre pondéré, probabilité conditionnelle inversée, nombre d’avaries attendu sur 1 000 locations et loi binomiale. On étudie ensuite la suite définie par \(u_{n+1}=5u_n-4n-3\), par récurrence puis grâce à une suite géométrique auxiliaire, avant de compléter une boucle while en Python. Ensuite, un QCM porte sur une primitive et sur des droites, plans et angles de l’espace. Par ailleurs, le dernier exercice analyse \(f(x)=5x^2+2x-2x^2\ln(x)\) : limites, convexité, dérivée seconde et encadrement du maximum.

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en Nouvelle-Calédonie (jour 1).

En outre, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Bac 2023 Calédonie : ce que contient le sujet

Tout d’abord, ce bac 2023 Calédonie correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en Nouvelle-Calédonie (jour 1), reproduit ici avec son énoncé complet. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, le raisonnement par récurrence et les suites géométriques. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Jour 1
Nouvelle-Calédonie — 28 août 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
Le sujet propose 4 exercices.

Exercice 1 (5 points)

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.

Par ailleurs, un client peut prendre l’option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu’il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.

On sait que :

60 % des clients choisissent un bateau à voile ; parmi eux, 20 % prennent l’option PILOTE.
42 % des clients prennent l’option PILOTE.

On choisit au hasard un client et on considère les évènements :

\(V\) : « le client choisit un bateau à voile » ;
\(L\) : « le client prend l’option PILOTE ».

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

1. Traduire la situation par un arbre pondéré que l’on complètera au fur et à mesure.

2. Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE.

3. Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à \(0{,}30\).

4. En déduire \(P_{\overline{V}}(L)\), probabilité de \(L\) sachant que \(V\) n’est pas réalisé.

5. Un client a pris l’option PILOTE.

Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un bateau à voile ? Arrondir à 0,01 près.

Partie B

Lorsqu’un client ne prend pas l’option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à \(0{,}12\). Cette probabilité n’est que de \(0{,}005\) si le client prend l’option PILOTE.

On considère un client. On note \(A\) l’évènement : « son bateau subit une avarie ».

1. Déterminer \(P(L\cap A)\) et \(P(\overline{L}\cap A)\).

2. L’entreprise loue 1 000 bateaux.

À combien d’avaries peut-elle s’attendre ?

Partie C

On rappelle que la probabilité qu’un client donné prenne l’option PILOTE est égale à 0,42.

Ensuite, on considère un échantillon aléatoire de 40 clients. On note \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l’échantillon prenant l’option PILOTE.

1. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Donner sans justification ses paramètres.

2. Calculer la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\), qu’au moins 15 clients prennent l’option PILOTE.

Exercice 2 (5 points)

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et, pour tout entier naturel \(n\), par :

\[u_{n+1}=5u_n-4n-3.\]

1. a. Démontrer que \(u_1=12\).

b. Déterminer \(u_2\) en détaillant le calcul.

c. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite \((u_n)\).

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[u_n\geq\, n+1.\]

b. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

3. On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[v_n=u_n-n-1.\]

a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique.

Donner sa raison et son premier terme \(v_0\).

b. En déduire, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(v_n\) en fonction de \(n\).

c. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_n=2\times 5^n+n+1.\]

d. En déduire le sens de variation de la suite \((u_n)\).

4. On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(u_n\geq\,10^7\).

def suite() :
    u = 3
    n = 0
    while ... :
        u = ...
        n = n + 1
    return n

a. Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.

b. Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction ?

Exercice 3 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=(x+1)\text{e}^x\).

Une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est définie par :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(F(x)=1+x\text{e}^x\)	\(F(x)=(1+x)\text{e}^x\)	\(F(x)=(2+x)\text{e}^x\)	\(F(x)=(\dfrac{x^2}{2}+x)\text{e}^x\)

Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

2. On considère les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) dont des représentations paramétriques sont respectivement :

\[(d_1)\ \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\end{cases}\ (r\in\mathbb{R})\qquad\text{et}\qquad(d_2)\ \begin{cases}x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases}\ (s\in\mathbb{R})\]

Les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
sécantes.	strictement parallèles.	confondues.	non coplanaires.

3. On considère le plan \((P)\) dont une équation cartésienne est :

\[2x-y+z-1=0.\]

On considère la droite \((\Delta)\) dont une représentation paramétrique est :

\[\begin{cases}x=2+u\\y=4+u\\z=1-u\end{cases}\ (u\in\mathbb{R})\]

La droite \((\Delta)\) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
sécante et non orthogonale au plan \((P)\).	incluse dans le plan \((P)\).	strictement parallèle au plan \((P)\).	orthogonale au plan \((P)\).

Exercice 3 du bac 2023 Calédonie : questions 4 à 5

4. On considère le plan \((P_1)\) dont une équation cartésienne est \(x-2y+z+1=0\), ainsi que le plan \((P_2)\) dont une équation cartésienne est \(2x+y+z-6=0\).

Les plans \((P_1)\) et \((P_2)\) sont :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
sécants et perpendiculaires.	confondus.	sécants et non perpendiculaires.	strictement parallèles.

5. On considère les points \(\text{E}(1\,;\,2\,;\,1)\), \(\text{F}(2\,;\,4\,;\,3)\) et \(\text{G}(-2\,;\,2\,;\,5)\).

On peut affirmer que la mesure \(\alpha\) de l’angle \(\widehat{\text{FEG}}\) vérifie :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\alpha=90^\circ\)	\(\alpha\gt90^\circ\)	\(\alpha=0^\circ\)	\(\alpha\approx71^\circ\)

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x)=5x^2+2x-2x^2\ln(x).\]

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal du plan.

Par ailleurs, on admet que \(f\) est deux fois dérivable sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

On note \(f^{\prime}\) sa dérivée et \(f^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.

1. a. Démontrer que la limite de la fonction \(f\) en 0 est égale à 0.

b. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

2. Déterminer \(f^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

3. a. Démontrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) :

\[f^{\prime\prime}(x)=4(1-\ln(x)).\]

b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de ses tangentes.

c. Dresser le tableau des variations de la fonction \(f^{\prime}\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

(On admettra que \(\lim\limits_{\substack{x\to0\\x\gt0}}f^{\prime}(x)=2\) et que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f^{\prime}(x)=-\infty\).)

4. a. Montrer que l’équation \(f^{\prime}(x)=0\) admet dans l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) une unique solution \(\alpha\) dont on donnera un encadrement d’amplitude \(10^{-2}\).

b. En déduire le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) ainsi que le tableau des variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

5. a. En utilisant l’égalité \(f^{\prime}(\alpha)=0\), démontrer que :

\[\ln(\alpha)=\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}.\]

En déduire que \(f(\alpha)=\alpha^2+\alpha\).

b. En déduire un encadrement d’amplitude \(10^{-1}\) du maximum de la fonction \(f\).

Bien travailler ce bac 2023 Calédonie

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.

Les erreurs fréquentes à éviter

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.

Bac 2023 Calédonie : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et le raisonnement par récurrence, mais aussi les suites géométriques.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en Nouvelle-Calédonie (jour 1)

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