De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac S de maths 2020 en Polynésie (septembre).
En outre, tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.
Bac 2020 Polynésie : ce que contient le sujet
Tout d’abord, ce bac 2020 Polynésie correspond à le bac S de mathématiques 2020 en Polynésie (septembre), reproduit ici avec son énoncé complet. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5, 4, 6 et 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser la géométrie dans l’espace, la fonction exponentielle, le calcul intégral et les nombres complexes. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.
BACCALAURÉAT S — SESSION 2020
Polynésie — 2 septembre 2020
Mathématiques — Durée : 4 heures
Exercice 1 (5 points)
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de cinq questions indépendantes.
Pour chaque question, une seule des réponses est exacte.
Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Il sera attribué 1 point si la réponse est exacte, 0 sinon.
1. Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules blanches indiscernables au toucher.
On extrait une boule de l’urne et on note sa couleur.
On répète 4 fois cette expérience, de manière indépendante, en remettant la boule à chaque fois dans l’urne.
La probabilité, arrondie au centième, d’obtenir au moins 1 boule blanche est :
| Réponse A | Réponse B | Réponse C | Réponse D |
|---|---|---|---|
| \(0{,}15\) | \(0{,}63\) | \(0{,}5\) | \(0{,}85\) |
2. Soit \(n\) étant un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Un sac contient \(n\) pièces indiscernables au toucher. Ces pièces comportent toutes un côté « PILE » et un côté « FACE » sauf une qui contient deux côtés « FACE ».
On choisit au hasard une pièce du sac puis on la lance.
La probabilité d’obtenir le côté « FACE » est égale à :
| Réponse A | Réponse B | Réponse C | Réponse D |
|---|---|---|---|
| \(\dfrac{n-1}{n}\) | \(\dfrac{n+1}{2n}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{n-1}{2n}\) |
Exercice 1 du bac 2020 Polynésie : questions 3 à 5
3. On considère \(T\) la variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance \(\mu = 60\) et d’écart-type \(\sigma = 6\).
La probabilité \(P_{(T \gt 60)}(T \gt 72)\) arrondie au millième est :
| Réponse A | Réponse B | Réponse C | Réponse D |
|---|---|---|---|
| \(0{,}954\) | \(1\) | \(0{,}023\) | \(0{,}046\) |
4. La durée de fonctionnement, exprimée en années, d’un moteur jusqu’à ce que survienne la première panne est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) où \(\lambda\) est un réel strictement positif.
La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 3 ans est égale à :
| Réponse A | Réponse B | Réponse C | Réponse D |
|---|---|---|---|
| \(\text{e}^{-3\lambda}\) | \(1 – \text{e}^{-3\lambda}\) | \(\text{e}^{3\lambda} – 1\) | \(\text{e}^{3\lambda}\) |
5. On note \(X\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0\,;\,\dfrac{\pi}{2}]\). La probabilité qu’une valeur prise par la variable aléatoire \(X\) soit solution de l’inéquation \(\cos x \gt \dfrac{1}{2}\) est égale à :
| Réponse A | Réponse B | Réponse C | Réponse D |
|---|---|---|---|
| \(\dfrac{2}{3}\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{1}{\pi}\) |
Exercice 2 (4 points)
Commun à tous les candidats
Soit ABCDEFGH un cube. L’espace est rapporté au repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\).
Pour tout réel \(t\), on considère le point \(M\) de coordonnées \((1 – t\,;\,t\,;\,t)\).
1. Montrer que pour tout réel \(t\), le point \(M\) appartient à la droite (BH).
On admet que les droites (BH) et (FC) ont respectivement pour représentation paramétrique :
\[\begin{cases} x = 1 – t \\ y = t \\ z = t \end{cases} \ \text{où } t \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad \begin{cases} x = 1 \\ y = t^{\prime} \\ z = 1 – t^{\prime} \end{cases} \ \text{où } t^{\prime} \in \mathbb{R}.\]
2. Montrer que les droites (BH) et (FC) sont orthogonales et non coplanaires.
3. Pour tout réel \(t^{\prime}\), on considère le point \(M^{\prime}(1\,;\,t^{\prime}\,;\,1 – t^{\prime})\).
a. Montrer que pour tous réels \(t\) et \(t^{\prime}\), \(MM^{\prime}^2 = 3(t – \frac{1}{3})^2 + 2(t^{\prime} – \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{6}\).
b. Pour quelles valeurs de \(t\) et de \(t^{\prime}\) la distance \(MM^{\prime}\) est-elle minimale ? Justifier.
c. On nomme P le point de coordonnées \((\frac{2}{3}\,;\,\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{3})\) et Q celui de coordonnées \((1\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2})\).
Justifier que la droite (PQ) est perpendiculaire aux deux droites (BH) et (FC).
Exercice 3 (6 points)
Commun à tous les candidats
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = x\text{e}^{-x^2+1}.\]
On note \((\mathcal{C})\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).
1. a. Montrer que pour tout \(x\) réel, \(f(x) = \dfrac{\text{e}}{x} \times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}\).
b. En déduire la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
2. Pour tout réel \(x\), on considère les points \(M\) et \(N\) de la courbe \((\mathcal{C})\) d’abscisses respectives \(x\) et \(-x\).
a. Montrer que le point O est le milieu du segment \([MN]\).
b. Que peut-on en déduire pour la courbe \((\mathcal{C})\) ?
3. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\).
4. a. Montrer que l’équation \(f(x) = 0{,}5\) admet sur \([0\,;\,+\infty[\) exactement deux solutions notées \(\alpha\) et \(\beta\) (avec \(\alpha \lt \beta\)).
b. En déduire les solutions sur \([0\,;\,+\infty[\) de l’inéquation \(f(x) \geq\, 0{,}5\).
c. Donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de \(\alpha\) et \(\beta\).
5. Soit \(A\) un réel strictement positif. On pose \(I_A = \displaystyle\int_0^A f(x)\,\text{d}x\).
a. Justifier que \(I_A = \dfrac{1}{2}(\text{e} – \text{e}^{-A^2+1})\).
b. Calculer la limite de \(I_A\) lorsque \(A\) tend vers \(+\infty\).
On admet que cette limite est l’aire en unités d’aire située entre la partie de la courbe \((\mathcal{C})\) sur \([0\,;\,+\infty[\) et l’axe des abscisses.
Exercice 3 du bac 2020 Polynésie : question 6
6. Comme illustré sur le graphique ci-dessous, on s’intéresse à la partie grisée du plan qui est délimitée par :
- la courbe \((\mathcal{C})\) sur \(\mathbb{R}\) et la courbe \((\mathcal{C}^{\prime})\) symétrique de \((\mathcal{C})\) par rapport à l’axe des abscisses ;
- le cercle de centre \(\Omega(\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\,0)\) et de rayon 0,5 et son symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
On admet que le disque de centre \(\Omega(\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\,0)\) et de rayon 0,5 et son symétrique par rapport à l’axe des ordonnées sont situés entièrement entre la courbe \((\mathcal{C})\) et la courbe \((\mathcal{C}^{\prime})\).
Déterminer une valeur approchée en unité d’aire au centième près de l’aire de cette partie grisée du plan.
Exercice 4 (5 points) : candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((\text{O}\,;\,\vec{u},\,\vec{v})\).
On considère la suite de nombres complexes \((z_n)\) définie par :
\[z_0 = 0 \ \text{ et pour tout entier naturel } n,\ z_{n+1} = (1 + \text{i})z_n – \text{i}.\]
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(A_n\) le point d’affixe \(z_n\).
On note B le point d’affixe 1.
1. a. Montrer que \(z_1 = -\text{i}\) et que \(z_2 = 1 – 2\text{i}\).
b. Calculer \(z_3\).
c. Sur la copie, placer les points B, \(A_1\), \(A_2\) et \(A_3\) dans le repère orthonormé direct \((\text{O}\,;\,\vec{u},\,\vec{v})\).
d. Démontrer que le triangle B\(A_1A_2\) est isocèle rectangle.
2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n = |z_n – 1|\).
a. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n+1} = \sqrt{2}u_n\).
b. Déterminer à partir de quel entier naturel \(n\), la distance B\(A_n\) est strictement supérieure à 1 000. On détaillera la démarche choisie.
3. a. Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe \(1 + \text{i}\).
b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(z_n = 1 – (\sqrt{2})^n \text{e}^{\text{i}\frac{n\pi}{4}}\).
c. Le point \(A_{2020}\) appartient-il à l’axe des abscisses ? Justifier.
Exercice 4 (5 points) : candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
On considère la matrice \(M = \begin{pmatrix}0 1 1\\1 0 1\\1 1 0\end{pmatrix}\).
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites de nombres entiers définies par :
\[a_1 = 1,\ b_1 = 0 \ \text{ et pour tout entier naturel } n \text{ non nul } \begin{cases} a_{n+1} = a_n + b_n \\ b_{n+1} = 2a_n \end{cases}.\]
1. Calculer \(a_2\), \(b_2\), \(a_3\) et \(b_3\).
2. Donner \(M^2\).
Montrer que \(M^2 = M + 2I\) où \(I = \begin{pmatrix}1 0 0\\0 1 0\\0 0 1\end{pmatrix}\) désigne la matrice identité d’ordre 3.
On admet que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(M^n = a_n M + b_n I\), où \((a_n)\) et \((b_n)\) sont les suites précédemment définies.
3. On note \(A = \begin{pmatrix}1 1\\2 0\end{pmatrix}\) et pour tout entier naturel non nul \(n\), \(X_n\) la matrice \(\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}\).
On pose \(P = \begin{pmatrix}1 1\\1 -2\end{pmatrix}\).
a. Vérifier que, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(X_{n+1} = AX_n\).
b. Sans justifier, exprimer, pour tout entier \(n \geq\, 2\), \(X_n\) en fonction de \(A^{n-1}\) et de \(X_1\).
c. Justifier que \(P\) est inversible d’inverse \(\begin{pmatrix}\frac{2}{3} \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} -\frac{1}{3}\end{pmatrix}\).
On note \(P^{-1}\) cette matrice.
d. Vérifier que \(P^{-1}AP\) est une matrice diagonale \(D\) que l’on précisera.
e. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(A^n = PD^nP^{-1}\).
f. On admet que pour tout entier \(n \geq\, 1\) :
\[A^{n-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{3} \times 2^n + \frac{1}{3} \times (-1)^{n-1} \frac{1}{3} \times 2^{n-1} + \frac{1}{3} \times (-1)^{n}\\ \frac{1}{3} \times 2^n – \frac{2}{3} \times (-1)^{n-1} \frac{1}{3} \times 2^{n-1} – \frac{2}{3} \times (-1)^{n}\end{pmatrix}.\]
En déduire que pour tout entier \(n \geq\, 1\), \(a_n = \frac{1}{3} \times (2^n + (-1)^{n-1})\).
4. Démontrer que, pour tout entier naturel \(k\), \(2^{4k} – 1 \equiv 0\) modulo 5.
5. Soit \(n\) un entier naturel non nul et multiple de 4.
a. Montrer que \(3a_n\) est divisible par 5.
b. En déduire que \(a_n\) est divisible par 5.
Bien travailler ce bac 2020 Polynésie
Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la géométrie dans l’espace ou la fonction exponentielle. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à géométrie dans l’espace propose un rappel complet.
Les erreurs fréquentes à éviter
- En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- Une intégrale ne mesure une aire que si la fonction est positive sur l’intervalle : vérifiez le signe avant de conclure en unités d’aire.
Bac 2020 Polynésie : vos questions
Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la géométrie dans l’espace, la fonction exponentielle et le calcul intégral, mais aussi les nombres complexes.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac S de maths 2020 en Polynésie (septembre)
