Bac 2022 Nord : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet de bac de maths spécialité d’Amérique du Nord, jour 1, session 2022 (épreuve du 18 mai 2022), accompagné de son corrigé détaillé sur une page dédiée. Ensuite, le candidat choisissait trois exercices sur quatre. Par ailleurs, le premier suit Paul qui rejoint la gare à vélo ou en voiture : arbre pondéré, formule de Bayes, loi binomiale sur 20 jours et espérance d’un temps de trajet. Le deuxième étudie une suite arithmético-géométrique qui modélise le refroidissement d’un gâteau selon la loi de Newton, avec récurrence, suite géométrique auxiliaire, logarithme et fonction Python. De plus, le troisième, dans l’espace, porte sur un triangle rectangle, un vecteur normal, un projeté orthogonal et le volume d’un tétraèdre. En outre, le dernier propose six affirmations vrai ou faux sur la fonction exponentielle.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 en Amérique du Nord (jour 1).

Par ailleurs, tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

Bac 2022 Nord : le sujet en un coup d’œil

Tout d’abord, ce bac 2022 Nord correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 en Amérique du Nord (jour 1), reproduit ici avec son énoncé complet. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 7 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, l’espérance d’une variable aléatoire et les suites arithmético-géométriques. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022
Amérique du Nord — Jour 1 — 18 mai 2022
Mathématiques, épreuve d’enseignement de spécialité — Durée : 4 heures

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1 (7 points) — Thème : probabilités

Chaque chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, si il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.

1. lorsqu’il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu’une fois sur 50 alors que, lorsqu’il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur 10.

On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul sera à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.

On note :

\(V\) l’évènement « Paul prend son vélo pour rejoindre la gare » ;
\(R\) l’évènement « Paul rate son train ».

a. Faire un arbre pondéré résumant la situation.

b. Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à \(\dfrac{7}{150}\).

c. Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu’il ait pris son vélo pour rejoindre la gare.

2. On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s’est rendu 20 jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites en préambule.

On suppose que, pour chacun de ces 20 jours, le choix entre le vélo et la voiture est indépendant des choix des autres jours.

Exercice 1 du bac 2022 Nord : question 3

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces 20 jours.

a. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire \(X\). Préciser ses paramètres.

b. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo exactement 10 jours sur ces 20 jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à \(10^{-3}\).

c. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo au moins 10 jours sur ces 20 jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à \(10^{-3}\).

d. En moyenne, combien de jours sur une période choisie au hasard de 20 jours pour se rendre à la gare, Paul prend-il son vélo ? On arrondira la réponse à l’entier.

3. Dans le cas où Paul se rend à la gare en voiture, on note \(T\) la variable aléatoire donnant le temps de trajet nécessaire pour se rendre à la gare. La durée du trajet est donnée en minutes, arrondie à la minute. La loi de probabilité de \(T\) est donnée par le tableau ci-dessous :

\(k\) (en minutes)	10	11	12	13	14	15	16	17	18
\(P(T = k)\)	0,14	0,13	0,13	0,12	0,12	0,11	0,10	0,08	0,07

Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(T\) et interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Exercice 2 (7 points) — Thème : suites

Dans cet exercice, on considère la suite \((T_n)\) définie par :

\[T_0 = 180 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n, \quad T_{n+1} = 0{,}955\,T_n + 0{,}9\]

1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(T_n \geq\, 20\).

b. Vérifier que pour tout entier naturel \(n\), \(T_{n+1} – T_n = -0{,}045(T_n – 20)\). En déduire le sens de variation de la suite \((T_n)\).

c. Conclure de ce qui précède que la suite \((T_n)\) est convergente. Justifier.

2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(u_n = T_n – 20\).

a. Montrer que la suite \((u_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(T_n = 20 + 160 \times 0{,}955^n\).

c. Calculer la limite de la suite \((T_n)\).

d. Résoudre l’inéquation \(T_n \leq\, 120\) d’inconnue \(n\) entier naturel.

3. Dans cette partie, on s’intéresse à l’évolution de la température au centre d’un gâteau après sa sortie du four.

On considère qu’à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de 180 °C et celle de l’air ambiant de 20 °C.

La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente \((T_n)\). Plus précisément, \(T_n\) représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, \(n\) minutes après sa sortie du four.

a. Expliquer pourquoi la limite de la suite \((T_n)\) déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l’exercice.

b. On considère la fonction Python ci-dessous :

def temp(x) :
    T = 180
    n = 0
    while T > x :
        T=0.955*T+0.9
        n=n+1
    return n

Donner le résultat obtenu en. exécutant la commande temp(120).

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3 (7 points) — Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\) d’unité 1 cm, on considère les points suivants :

\[\text{J}(2\,;\,0\,;\,1), \quad \text{K}(1\,;\,2\,;\,1) \quad \text{et} \quad \text{L}(-2\,;\,-2\,;\,-2)\]

1. a. Montrer que le triangle JKL est rectangle en J.

b. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle JKL en cm².

c. Déterminer une valeur approchée au dixième près de l’angle géométrique \(\widehat{\text{JKL}}\).

2. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\) de coordonnées \(\begin{pmatrix}6\\3\\-10\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (JKL).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (JKL).

Dans la suite, T désigne le point de coordonnées \((10\,;\,9\,;\,-6)\).

3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) orthogonale au plan (JKL) et passant par T.

b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point T sur le plan (JKL).

c. On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule :

\[V = \dfrac{1}{3}\,\mathcal{B} \times h \quad \text{où } \mathcal{B} \text{ désigne l^{\prime}aire d^{\prime}une base et } h \text{ la hauteur correspondante}\]

Calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre JKLT en cm³.

Exercice 4 (7 points) — Thème : fonction exponentielle

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

1. Affirmation 1 : Pour tout réel \(x\) : \(1 – \dfrac{1 – \text{e}^x}{1 + \text{e}^x} = \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-x}}\).

2. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\).

Affirmation 2 : L’équation \(g(x) = \dfrac{1}{2}\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\).

3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2\text{e}^{-x}\) et on note \(\mathcal{C}\) sa courbe dans un repère orthonormé.

Affirmation 3 : L’axe des abscisses est tangent à la courbe \(\mathcal{C}\) en un seul point.

4. On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = \text{e}^x(1 – x^2)\).

Affirmation 4 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction \(h\) n’admet pas de point d’inflexion.

5. Affirmation 5 : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + x} = 0\).

6. Affirmation 6 : Pour tout réel \(x\), \(1 + \text{e}^{2x} \geq\, 2\text{e}^x\).

Bac 2022 Nord : conseils de révision

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.

Points de vigilance

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Pour une espérance, vérifiez que les probabilités de la loi somment à 1 avant de calculer.

Bac 2022 Nord : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et l’espérance d’une variable aléatoire, mais aussi les suites arithmético-géométriques.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 en Amérique du Nord (jour 1)

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