Bac 2023 Sud : sujet de maths en Amérique du Sud (jour 1)

Sommaire

Ensuite, Voici le sujet du jour 1 du bac de spécialité mathématiques 2023 en Amérique du Sud, posé le 26 septembre 2023, avec l’énoncé intégral et un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice étudie la fonction \(1+x^2-2x^2\ln x\), localise son zéro \(\alpha\) par une dichotomie en Python, puis s’en sert pour trouver le maximum de \(\frac{\ln x}{1+x^2}\) et l’intersection de deux tangentes. Le deuxième part des statistiques françaises des naissances gémellaires : loi binomiale sur une journée en maternité, puis arbre pondéré pour distinguer vrais et faux jumeaux. Par ailleurs, le troisième se passe dans l’espace autour d’une sphère et d’un tétraèdre ABCD. De plus, le dernier relie une suite logistique au modèle de Verhulst pour prévoir l’effectif d’une population.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en Amérique du Sud (jour 1).

Ensuite, pour réviser le bac maths 2027, retrouvez sur une seule page l’ensemble des sujets corrigés des dernières sessions.

Bac 2023 Sud : présentation de l’épreuve

Tout d’abord, ce bac 2023 Sud correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en Amérique du Sud (jour 1), reproduit ici avec son énoncé complet. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser la fonction logarithme népérien, l’algorithmique en Python, la loi binomiale et les probabilités conditionnelles. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Jour 1
Amérique du Sud — 26 septembre 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur l’ensemble \(]0\,;\,+\infty[\) par

\[f(x)=1+x^2-2x^2\ln(x).\]

On admet que \(f\) est dérivable sur l’intervalle et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Justifier que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=1\) et, en remarquant que \(f(x)=1+x^2[1-2\ln(x)]\), justifier que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).

2. Montrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), \(f^{\prime}(x)=-4x\ln(x)\).

3. Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), puis dresser le tableau de variations de la fonction sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

4. Démontrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l’intervalle \([1\,;\,+\infty[\) et que \(\alpha\in[1\,;\,\text{e}]\).

On admet dans la suite de l’exercice, que l’équation \(f(x)=0\) n’admet pas de solution sur l’intervalle \(]0\,;\,1]\).

5. On donne la fonction ci-dessous écrit en Python. L’instruction from lycee import * permet d’accéder à la fonction ln.

from lycee import *

def f(x) :
    return 1 + x**2 - 2*x**2*ln(x)

def dichotomie(p)
    a=1
    b=2.7
    while b - a > 10**(-p) :
        if f(a)*f((a+b)/2) < 0 :
            b = (a+b)/2
        else :
            a = (a+b)/2
    return (a,b)

Il écrit dans la console d’exécution :

>>> dichotomie(1)

Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).

Proposition A	Proposition B	Proposition C	Proposition D
(1.75, 1.9031250000000002)	(1.85, 1.9031250000000002)	(2.75, 2.9031250000000002)	(2.85, 2.9031250000000002)

Partie B

On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), par

\[g(x)=\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}.\]

On admet que \(g\) est dérivable sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) et on note \(g^{\prime}\) sa fonction dérivée.

On note \(\mathcal{C}_g\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans le plan rapporté à un repère \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

1. Démontrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), \(g^{\prime}(x)=\dfrac{f(x)}{x(1+x^2)^2}\).

2. Démontrer que la fonction \(g\) admet un maximum en \(x=\alpha\).

On admet que \(g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}\).

3. On note \(T_1\) la tangente à \(\mathcal{C}_g\) au point d’abscisse 1 et on note \(T_\alpha\) la tangente à \(\mathcal{C}_g\) au point d’abscisse \(\alpha\).

Déterminer, en fonction de \(\alpha\), les coordonnées du point d’intersection des droites \(T_1\) et \(T_\alpha\).

Exercice 2 (5 points)

1. Entre 1998 et 2020, en France 18 221 965 accouchements ont été recensés, parmi lesquels 293 898 ont donné naissance à des jumeaux et 4 921 ont donné naissance à au moins trois enfants.

a. Avec une précision de 0,1 % calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.

b. Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à 0,1 %.

On considère alors que ce pourcentage est négligeable.

De plus, on appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.

On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.

La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à \(0{,}984\) et celle d’un accouchement double est alors égale à \(0{,}016\).

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

2. On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise \(n\) accouchements.

En outre, on considère que ces \(n\) accouchements sont indépendants les uns des autres.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour.

a. Dans le cas où \(n=20\), préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\) et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double.

b. Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de \(n\) telle que \(P(X\geq\, 1)\geq\, 0{,}99\).

Exercice 2 du bac 2023 Sud : question 3

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

3. Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu’il y a 30 % de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70 % de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).

Ensuite, dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à \(0{,}49\) et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à \(0{,}51\).

Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.

On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :

\(M\) : « les jumeaux sont monozygotes » ;
\(F_1\) : « le premier nouveau-né est une fille » ;
\(F_2\) : « le second nouveau-né est une fille ».

On notera \(P(A)\) la probabilité de l’évènement \(A\) et \(\overline{A}\) l’évènement contraire de \(A\).

a. Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessus.

b. Montrer que la probabilité que les deux nouveaux-nés soient des filles est \(0{,}31507\).

c. Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes.

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), on considère les points

\[\text{A}(0\,;\,4\,;\,16),\quad \text{B}(0\,;\,4\,;\,-10),\quad \text{C}(4\,;\,-8\,;\,0)\quad\text{et}\quad \text{K}(0\,;\,4\,;\,3).\]

On définit la sphère \(S\) de centre K et de rayon 13 comme l’ensemble des points M tels que KM = 13.

1. a. Vérifier que le point C appartient à la sphère \(S\).

b. Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.

2. a. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (ABC).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

3. On admet que la sphère \(S\) coupe l’axe des abscisses en deux points, l’un ayant une abscisse positive et l’autre une abscisse négative.

On note D celui qui a une abscisse positive.

a. Montrer que le point D a pour coordonnées \((12\,;\,0\,;\,0)\).

b. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par D et perpendiculaire au plan (ABC).

c. Déterminer la distance du point D au plan (ABC).

4. Calculer une valeur approchée, à l’unité de volume près, du volume du tétraèdre ABCD.

On rappelle la formule du volume \(V\) d’un tétraèdre

\[V=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h\]

où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur associée.

Exercice 4 (5 points)

Partie A

Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0{,}3\) et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1}=2u_n(1-u_n).\]

Cette relation de récurrence s’écrit \(u_{n+1}=f(u_n)\), où \(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x)=2x(1-x).\]

1. Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([0\,;\,\dfrac{1}{2}]\).

2. On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, u_n\leq\,\dfrac{1}{2}\).

Calculer \(u_1\) puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout rentier naturel \(n\), \(u_n\leq\, u_{n+1}\).

3. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

4. Justifier que la limite de la suite \((u_n)\) est égale à \(\dfrac{1}{2}\).

Partie B

Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population.

En 2022, cette population compte 3 000 individus.

On note \(P_n\) l’effectif en milliers de la population l’année \(2022+n\). Ainsi \(P_0=3\).

Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIX^e siècle, on considère que, pour tout entier naturel \(n\) :

\[P_{n+1}-P_n=P_n(1-b\times P_n),\ \text{où } b \text{ est un réel strictement positif.}\]

Le réel \(b\) est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

1. Dans cette question \(b=0\).

a. Justifier que la suite \((P_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b. Déterminer la limite de \(P_n\).

2. Dans cette question \(b=0{,}2\).

a. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=0{,}1\times P_n\).

Calculer \(v_0\) puis montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=2v_n(1-v_n)\).

b. Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera.

Bac 2023 Sud : méthode pour bien s’entraîner

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la fonction logarithme népérien ou l’algorithmique en Python. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à fonction logarithme propose un rappel complet.

Les erreurs qui coûtent des points

Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
Pour un programme Python, faites tourner la boucle à la main sur deux ou trois tours : la condition d’arrêt du while est souvent le piège.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.

Bac 2023 Sud : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la fonction logarithme népérien, l’algorithmique en Python et la loi binomiale, mais aussi les probabilités conditionnelles.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en Amérique du Sud (jour 1)

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