Bac maths 2023 Amérique du Sud J1 : sujet et corrigé

Voici le sujet du jour 1 du bac de spécialité mathématiques 2023 en Amérique du Sud, posé le 26 septembre 2023, avec l’énoncé intégral et un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice étudie la fonction \(1+x^2-2x^2\ln x\), localise son zéro \(\alpha\) par une dichotomie en Python, puis s’en sert pour trouver le maximum de \(\frac{\ln x}{1+x^2}\) et l’intersection de deux tangentes. Le deuxième part des statistiques françaises des naissances gémellaires : loi binomiale sur une journée en maternité, puis arbre pondéré pour distinguer vrais et faux jumeaux. Le troisième se passe dans l’espace autour d’une sphère et d’un tétraèdre ABCD. Le dernier relie une suite logistique au modèle de Verhulst pour prévoir l’effectif d’une population.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Jour 1
Amérique du Sud — 26 septembre 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur l’ensemble \(]0\,;\,+\infty[\) par

\[f(x)=1+x^2-2x^2\ln(x).\]

On admet que \(f\) est dérivable sur l’intervalle et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Justifier que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=1\) et, en remarquant que \(f(x)=1+x^2[1-2\ln(x)]\), justifier que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).

2. Montrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), \(f^{\prime}(x)=-4x\ln(x)\).

3. Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), puis dresser le tableau de variations de la fonction sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

4. Démontrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l’intervalle \([1\,;\,+\infty[\) et que \(\alpha\in[1\,;\,\text{e}]\).

On admet dans la suite de l’exercice, que l’équation \(f(x)=0\) n’admet pas de solution sur l’intervalle \(]0\,;\,1]\).

5. On donne la fonction ci-dessous écrit en Python. L’instruction from lycee import * permet d’accéder à la fonction ln.

from lycee import *

def f(x) :
    return 1 + x**2 - 2*x**2*ln(x)

def dichotomie(p)
    a=1
    b=2.7
    while b - a > 10**(-p) :
        if f(a)*f((a+b)/2) < 0 :
            b = (a+b)/2
        else :
            a = (a+b)/2
    return (a,b)

Il écrit dans la console d’exécution :

>>> dichotomie(1)

Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).

Proposition A	Proposition B	Proposition C	Proposition D
(1.75, 1.9031250000000002)	(1.85, 1.9031250000000002)	(2.75, 2.9031250000000002)	(2.85, 2.9031250000000002)

Partie B

On considère la fonction \(g\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), par

\[g(x)=\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}.\]

On admet que \(g\) est dérivable sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) et on note \(g^{\prime}\) sa fonction dérivée.

On note \(\mathcal{C}_g\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans le plan rapporté à un repère \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

1. Démontrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\), \(g^{\prime}(x)=\dfrac{f(x)}{x(1+x^2)^2}\).

2. Démontrer que la fonction \(g\) admet un maximum en \(x=\alpha\).

On admet que \(g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}\).

3. On note \(T_1\) la tangente à \(\mathcal{C}_g\) au point d’abscisse 1 et on note \(T_\alpha\) la tangente à \(\mathcal{C}_g\) au point d’abscisse \(\alpha\).

Déterminer, en fonction de \(\alpha\), les coordonnées du point d’intersection des droites \(T_1\) et \(T_\alpha\).

Exercice 2 (5 points)

1. Entre 1998 et 2020, en France 18 221 965 accouchements ont été recensés, parmi lesquels 293 898 ont donné naissance à des jumeaux et 4 921 ont donné naissance à au moins trois enfants.

a. Avec une précision de 0,1 % calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.

b. Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à 0,1 %.

On considère alors que ce pourcentage est négligeable.

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.

On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.

La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à \(0{,}984\) et celle d’un accouchement double est alors égale à \(0{,}016\).

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

2. On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise \(n\) accouchements.

On considère que ces \(n\) accouchements sont indépendants les uns des autres.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour.

a. Dans le cas où \(n=20\), préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\) et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double.

b. Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de \(n\) telle que \(P(X\geq\, 1)\geq\, 0{,}99\).

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

3. Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu’il y a 30 % de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70 % de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).

Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à \(0{,}49\) et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à \(0{,}51\).

Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.

On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :

\(M\) : « les jumeaux sont monozygotes » ;
\(F_1\) : « le premier nouveau-né est une fille » ;
\(F_2\) : « le second nouveau-né est une fille ».

On notera \(P(A)\) la probabilité de l’évènement \(A\) et \(\overline{A}\) l’évènement contraire de \(A\).

a. Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessus.

b. Montrer que la probabilité que les deux nouveaux-nés soient des filles est \(0{,}31507\).

c. Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes.

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), on considère les points

\[\text{A}(0\,;\,4\,;\,16),\quad \text{B}(0\,;\,4\,;\,-10),\quad \text{C}(4\,;\,-8\,;\,0)\quad\text{et}\quad \text{K}(0\,;\,4\,;\,3).\]

On définit la sphère \(S\) de centre K et de rayon 13 comme l’ensemble des points M tels que KM = 13.

1. a. Vérifier que le point C appartient à la sphère \(S\).

b. Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.

2. a. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (ABC).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

3. On admet que la sphère \(S\) coupe l’axe des abscisses en deux points, l’un ayant une abscisse positive et l’autre une abscisse négative.

On note D celui qui a une abscisse positive.

a. Montrer que le point D a pour coordonnées \((12\,;\,0\,;\,0)\).

b. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par D et perpendiculaire au plan (ABC).

c. Déterminer la distance du point D au plan (ABC).

4. Calculer une valeur approchée, à l’unité de volume près, du volume du tétraèdre ABCD.

On rappelle la formule du volume \(V\) d’un tétraèdre

\[V=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h\]

où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur associée.

Exercice 4 (5 points)

Partie A

Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0{,}3\) et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1}=2u_n(1-u_n).\]

Cette relation de récurrence s’écrit \(u_{n+1}=f(u_n)\), où \(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x)=2x(1-x).\]

1. Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([0\,;\,\dfrac{1}{2}]\).

2. On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, u_n\leq\,\dfrac{1}{2}\).

Calculer \(u_1\) puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout rentier naturel \(n\), \(u_n\leq\, u_{n+1}\).

3. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

4. Justifier que la limite de la suite \((u_n)\) est égale à \(\dfrac{1}{2}\).

Partie B

Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population.

En 2022, cette population compte 3 000 individus.

On note \(P_n\) l’effectif en milliers de la population l’année \(2022+n\). Ainsi \(P_0=3\).

Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIX^e siècle, on considère que, pour tout entier naturel \(n\) :

\[P_{n+1}-P_n=P_n(1-b\times P_n),\ \text{où } b \text{ est un réel strictement positif.}\]

Le réel \(b\) est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

1. Dans cette question \(b=0\).

a. Justifier que la suite \((P_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b. Déterminer la limite de \(P_n\).

2. Dans cette question \(b=0{,}2\).

a. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=0{,}1\times P_n\).

Calculer \(v_0\) puis montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=2v_n(1-v_n)\).

b. Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Limite en 0. Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\ln(x)=0\) ; de plus \(\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0\). Par somme, \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=1+0-2\times 0=1\).

Limite en \(+\infty\). Avec l’écriture \(f(x)=1+x^2[1-2\ln(x)]\) : comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\), on a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[1-2\ln(x)]=-\infty\) ; et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\). Par produit, \(x^2[1-2\ln(x)]\) tend vers \(-\infty\), puis en ajoutant 1, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).

2. Le terme \(2x^2\ln(x)\) est un produit : \((x^2\ln x)^{\prime}=2x\ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x}=2x\ln(x)+x\). Donc, pour tout \(x\gt 0\) :

\[f^{\prime}(x)=2x-2(2x\ln(x)+x)=2x-4x\ln(x)-2x=-4x\ln(x).\]

3. Sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(-4x\lt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) est du signe contraire de \(\ln(x)\). Or \(\ln(x)\lt 0\) sur \(]0\,;\,1[\), \(\ln(1)=0\) et \(\ln(x)\gt 0\) sur \(]1\,;\,+\infty[\). Ainsi \(f^{\prime}(x)\gt 0\) sur \(]0\,;\,1[\), \(f^{\prime}(1)=0\) et \(f^{\prime}(x)\lt 0\) sur \(]1\,;\,+\infty[\). Avec \(f(1)=1+1-2\times 1\times 0=2\) :

\(x\)	\(0\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(f^{\prime}(x)\)	\|\|	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f\)	\|\| (limite 1)	croissante ↗	\(2\)	décroissante ↘	\(-\infty\)

\(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,1]\), strictement décroissante sur \([1\,;\,+\infty[\), et atteint son maximum 2 en \(x=1\).

4. Sur \([1\,;\,+\infty[\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante, avec \(f(1)=2\gt 0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\). Le réel 0 est compris entre ces valeurs, donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([1\,;\,+\infty[\).

Pour situer \(\alpha\), on calcule \(f(\text{e})=1+\text{e}^2-2\text{e}^2\ln(\text{e})=1-\text{e}^2\approx-6{,}39\lt 0\). Comme \(f(1)\gt 0\gt f(\text{e})\) et que \(f\) est strictement décroissante, le zéro se trouve entre 1 et e : \(\alpha\in[1\,;\,\text{e}]\).

5. La fonction dichotomie part de l’intervalle \([1\,;\,2{,}7]\), qui contient \(\alpha\) (car \(2{,}7\lt\text{e}\) et \(f(2{,}7)\lt 0\)). À chaque tour, elle coupe l’intervalle en deux et garde la moitié où \(f\) change de signe, donc la moitié qui contient \(\alpha\). Elle s’arrête dès que la largeur \(b-a\) est inférieure ou égale à \(10^{-p}\), ici \(10^{-1}=0{,}1\). On procède par élimination :

propositions C et D : l’intervalle renvoyé est toujours inclus dans \([1\,;\,2{,}7]\), donc une borne \(b\approx 2{,}903\) est impossible ; elles sont éliminées ;
proposition A : la largeur vaut \(1{,}903125-1{,}75=0{,}153125\gt 0{,}1\), la boucle ne se serait pas arrêtée ; elle est éliminée ;
proposition B : la largeur vaut \(1{,}903125-1{,}85=0{,}053125\leq\, 0{,}1\), ce qui est compatible.

L’affichage est donc la proposition B : (1.85, 1.9031250000000002). On peut le confirmer en déroulant l’algorithme : les intervalles successifs sont \([1\,;\,2{,}7]\), \([1{,}85\,;\,2{,}7]\), \([1{,}85\,;\,2{,}275]\), \([1{,}85\,;\,2{,}0625]\), \([1{,}85\,;\,1{,}95625]\), \([1{,}85\,;\,1{,}903125]\). On en déduit \(1{,}85\leq\,\alpha\leq\, 1{,}90\) (en fait \(\alpha\approx 1{,}895\)).

Partie B

1. \(g=\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=\ln(x)\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\), et \(v(x)=1+x^2\), \(v^{\prime}(x)=2x\), où \(v\) ne s’annule pas. Avec \((\dfrac{u}{v})^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\) :

\[g^{\prime}(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}(1+x^2)-2x\ln(x)}{(1+x^2)^2}.\]

On multiplie numérateur et dénominateur par \(x\gt 0\) :

\[g^{\prime}(x)=\dfrac{1+x^2-2x^2\ln(x)}{x(1+x^2)^2}=\dfrac{f(x)}{x(1+x^2)^2}.\]

2. Pour \(x\gt 0\), le dénominateur \(x(1+x^2)^2\) est strictement positif, donc \(g^{\prime}(x)\) a le signe de \(f(x)\). D’après la partie A : sur \(]0\,;\,1]\), \(f\) est croissante à partir de la limite 1, donc \(f(x)\gt 1\gt 0\) ; sur \([1\,;\,\alpha[\), \(f\) décroît de 2 à 0, donc \(f(x)\gt 0\) ; sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\), \(f(x)\lt f(\alpha)=0\). Ainsi \(g^{\prime}\) est positive sur \(]0\,;\,\alpha]\) et négative sur \([\alpha\,;\,+\infty[\) : \(g\) croît puis décroît, elle admet donc un maximum en \(x=\alpha\), égal à \(g(\alpha)\).

3. Tangente \(T_1\). \(g(1)=\dfrac{\ln 1}{2}=0\) et \(g^{\prime}(1)=\dfrac{f(1)}{1\times (1+1)^2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\). Donc \(T_1\ :\ y=\dfrac{1}{2}(x-1)\).

Tangente \(T_\alpha\). \(g^{\prime}(\alpha)=\dfrac{f(\alpha)}{\alpha(1+\alpha^2)^2}=0\) car \(f(\alpha)=0\) : la tangente au sommet est horizontale, d’équation \(y=g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}\).

Intersection. Le point commun vérifie \(\dfrac{1}{2}(x-1)=\dfrac{1}{2\alpha^2}\), soit \(x-1=\dfrac{1}{\alpha^2}\), c’est-à-dire \(x=1+\dfrac{1}{\alpha^2}\). Les droites \(T_1\) et \(T_\alpha\) se coupent au point de coordonnées \((1+\dfrac{1}{\alpha^2}\,;\,\dfrac{1}{2\alpha^2})\) (environ \((1{,}28\,;\,0{,}14)\)).

Exercice 2 :

1. a. La proportion d’accouchements de jumeaux est \(\dfrac{293\,898}{18\,221\,965}\approx 0{,}01613\), soit environ 1,6 %.

b. Pour les accouchements d’au moins trois enfants : \(\dfrac{4\,921}{18\,221\,965}\approx 0{,}00027\), soit environ 0,027 %, ce qui est bien inférieur à 0,1 %.

2. a. Chaque accouchement est une épreuve de Bernoulli dont le succès « accouchement double » a pour probabilité \(p=0{,}016\). On répète 20 fois cette épreuve de façon indépendante, et \(X\) compte les succès : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(20\,;\,0{,}016)\). Alors :

\[P(X=1)=\binom\,{20}{1}\times 0{,}016^1\times 0{,}984^{19}=20\times 0{,}016\times 0{,}984^{19}\approx 0{,}236.\]

La probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double ce jour-là est environ 0,236.

b. Pour \(n\) accouchements, \(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(n\,;\,0{,}016)\) et \(P(X\geq\,1)=1-P(X=0)=1-0{,}984^n\). On résout :

\[1-0{,}984^n\geq\, 0{,}99\iff 0{,}984^n\leq\, 0{,}01\iff n\ln(0{,}984)\leq\,\ln(0{,}01)\iff n\geq\,\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}984)}.\]

Le sens de l’inégalité change à la dernière étape car \(\ln(0{,}984)\lt 0\). Or \(\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}984)}\approx 285{,}5\). Contrôle : \(1-0{,}984^{285}\approx 0{,}98992\lt 0{,}99\) et \(1-0{,}984^{286}\approx 0{,}99008\geq\, 0{,}99\). La plus petite valeur est \(n=286\).

Interprétation : il faut qu’une maternité réalise au moins 286 accouchements dans la journée pour que la probabilité d’avoir au moins un accouchement double ce jour-là dépasse 99 %.

3. a. On complète l’arbre avec les données de l’énoncé : \(P(M)=0{,}3\) et \(P(\overline{M})=0{,}7\) ; la probabilité d’avoir une fille en premier est 0,49 dans les deux cas. Pour des vrais jumeaux, le second enfant est forcément du même sexe que le premier, d’où des probabilités 1 ; pour des faux jumeaux, le sexe du second est indépendant du premier, d’où 0,49 et 0,51.

Branche	Poids
racine → \(M\) ; racine → \(\overline{M}\)	\(0{,}3\) ; \(0{,}7\)
\(M\) → \(F_1\) ; \(M\) → \(\overline{F_1}\)	\(0{,}49\) ; \(0{,}51\)
\(M\cap F_1\) → \(F_2\) ; \(M\cap\overline{F_1}\) → \(\overline{F_2}\)	\(1\) ; \(1\)
\(\overline{M}\) → \(F_1\) ; \(\overline{M}\) → \(\overline{F_1}\)	\(0{,}49\) ; \(0{,}51\)
\(\overline{M}\cap F_1\) → \(F_2\) ; → \(\overline{F_2}\)	\(0{,}49\) ; \(0{,}51\)
\(\overline{M}\cap\overline{F_1}\) → \(F_2\) ; → \(\overline{F_2}\)	\(0{,}49\) ; \(0{,}51\)

b. Deux chemins de l’arbre mènent à deux filles : \(M\to F_1\to F_2\) et \(\overline{M}\to F_1\to F_2\). D’après la formule des probabilités totales :

\[P(F_1\cap F_2)=0{,}3\times 0{,}49\times 1+0{,}7\times 0{,}49\times 0{,}49=0{,}147+0{,}16807=0{,}31507.\]

On obtient bien \(P(F_1\cap F_2)=0{,}31507\).

c. On cherche une probabilité conditionnelle :

\[P_{F_1\cap F_2}(M)=\dfrac{P(M\cap F_1\cap F_2)}{P(F_1\cap F_2)}=\dfrac{0{,}147}{0{,}31507}\approx 0{,}467.\]

Sachant que les jumeaux sont deux filles, la probabilité qu’elles soient de vraies jumelles est environ 0,467 (nettement plus que les 30 % de départ, puisque les vrais jumeaux sont toujours de même sexe).

Exercice 3 :

1. a. \(\text{KC}^2=(4-0)^2+(-8-4)^2+(0-3)^2=16+144+9=169\), donc \(\text{KC}=\sqrt{169}=13\). Le point C est à la distance 13 du centre K : il appartient à la sphère \(S\).

b. On calcule \(\vec{\text{CA}}\begin{pmatrix}-4\\12\\16\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{CB}}\begin{pmatrix}-4\\12\\-10\end{pmatrix}\), puis leur produit scalaire :

\[\vec{\text{CA}}\cdot\vec{\text{CB}}=(-4)\times (-4)+12\times 12+16\times (-10)=16+144-160=0.\]

Les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle ABC est rectangle en C. (On pouvait aussi remarquer que K, milieu de [AB], est le centre d’une sphère de rayon 13 = AB/2 contenant C.)

2. a. \(\vec{\text{CA}}\) et \(\vec{\text{CB}}\) ne sont pas colinéaires (leurs deux premières coordonnées sont égales mais pas la troisième) ; ce sont deux vecteurs directeurs du plan (ABC). Or :

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{CA}}=3\times (-4)+1\times 12+0\times 16=0\qquad\text{et}\qquad\vec{n}\cdot\vec{\text{CB}}=3\times (-4)+1\times 12+0\times (-10)=0.\]

\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c’est un vecteur normal à ce plan.

b. Le plan (ABC) a une équation de la forme \(3x+y+d=0\). Il contient A\((0\,;\,4\,;\,16)\), donc \(0+4+d=0\), soit \(d=-4\). Une équation cartésienne de (ABC) est \(3x+y-4=0\). (Contrôle : B donne \(0+4-4=0\) et C donne \(12-8-4=0\).)

3. a. Un point de l’axe des abscisses a des coordonnées de la forme \((x\,;\,0\,;\,0)\). Il est sur \(S\) si et seulement si \(\text{KD}^2=169\) :

\[(x-0)^2+(0-4)^2+(0-3)^2=169\iff x^2+25=169\iff x^2=144\iff x=12\ \text{ou}\ x=-12.\]

Le point d’abscisse positive est donc D\((12\,;\,0\,;\,0)\).

b. La droite \(\Delta\) est perpendiculaire au plan (ABC), elle est donc dirigée par le vecteur normal \(\vec{n}\), et elle passe par D :

\[\Delta\ :\ \{\begin{array}{l}x=12+3t\\y=t\\z=0\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]

c. La distance de D au plan est la distance DI, où I est le projeté orthogonal de D sur (ABC), c’est-à-dire l’intersection de \(\Delta\) et du plan. On remplace dans l’équation du plan :

\[3(12+3t)+t-4=0\iff 10t+32=0\iff t=-\dfrac{16}{5}.\]

D’où I\((12-\dfrac{48}{5}\,;\,-\dfrac{16}{5}\,;\,0)=(\dfrac{12}{5}\,;\,-\dfrac{16}{5}\,;\,0)\). Comme \(\vec{\text{DI}}=-\dfrac{16}{5}\vec{n}\) et \(\|\vec{n}\|=\sqrt{9+1+0}=\sqrt{10}\) :

\[\text{DI}=\dfrac{16}{5}\sqrt{10}\approx 10{,}12.\]

La distance du point D au plan (ABC) est \(\dfrac{16\sqrt{10}}{5}\), soit environ 10,12 unités de longueur.

4. Prenons pour base le triangle ABC, rectangle en C, et pour hauteur associée \(h=\text{DI}\). Les côtés de l’angle droit mesurent :

\[\text{CA}=\sqrt{16+144+256}=\sqrt{416}=4\sqrt{26}\qquad\text{et}\qquad\text{CB}=\sqrt{16+144+100}=\sqrt{260}=2\sqrt{65}.\]

L’aire de la base est \(\mathcal{B}=\dfrac{\text{CA}\times \text{CB}}{2}=\dfrac{4\sqrt{26}\times 2\sqrt{65}}{2}=4\sqrt{1\,690}=4\times 13\sqrt{10}=52\sqrt{10}\). Le volume vaut alors :

\[V=\dfrac{1}{3}\times 52\sqrt{10}\times \dfrac{16\sqrt{10}}{5}=\dfrac{52\times 16\times 10}{15}=\dfrac{1\,664}{3}\approx 554{,}7.\]

Le volume du tétraèdre ABCD vaut environ 555 unités de volume.

Exercice 4 :

Partie A

1. \(f(x)=2x-2x^2\) est un polynôme, dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(f^{\prime}(x)=2-4x=2(1-2x)\). Pour \(0\leq\, x\lt\dfrac{1}{2}\), \(1-2x\gt 0\) donc \(f^{\prime}(x)\gt 0\), et \(f^{\prime}\) ne s’annule qu’en \(\dfrac{1}{2}\). \(f\) est donc strictement croissante sur \([0\,;\,\dfrac{1}{2}]\).

2. \(u_1=2\times 0{,}3\times (1-0{,}3)=0{,}6\times 0{,}7=\) \(0{,}42\).

Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n\leq\, u_{n+1}\) ».

Initialisation. \(u_0=0{,}3\leq\, 0{,}42=u_1\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) tel que \(u_n\leq\, u_{n+1}\). D’après ce qu’on admet, \(u_n\) et \(u_{n+1}\) appartiennent à \([0\,;\,\dfrac{1}{2}]\), intervalle sur lequel \(f\) est croissante (question 1). Elle conserve donc l’ordre : \(f(u_n)\leq\, f(u_{n+1})\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\). \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leq\, u_{n+1}\) : la suite \((u_n)\) est croissante.

3. La suite \((u_n)\) est croissante (question 2) et majorée par \(\dfrac{1}{2}\) (résultat admis). D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\) qui vérifie \(0{,}3\leq\,\ell\leq\,\dfrac{1}{2}\) (car \(u_n\geq\, u_0=0{,}3\) pour tout \(n\)).

4. La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) ; en passant à la limite, \(\ell\) vérifie \(\ell=f(\ell)\) :

\[\ell=2\ell-2\ell^2\iff 2\ell^2-\ell=0\iff \ell(2\ell-1)=0\iff \ell=0\ \text{ou}\ \ell=\dfrac{1}{2}.\]

Comme \(\ell\geq\, 0{,}3\), la valeur 0 est exclue : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac{1}{2}\).

Partie B

1. a. Avec \(b=0\), la relation devient \(P_{n+1}-P_n=P_n\), soit \(P_{n+1}=2P_n\). La suite \((P_n)\) est géométrique de raison 2 et de premier terme \(P_0=3\).

b. Ainsi \(P_n=3\times 2^n\). Comme \(2\gt 1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}2^n=+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P_n=+\infty\) : sans freinage, la population croîtrait sans limite, ce qui n’est pas réaliste.

2. a. \(v_0=0{,}1\times 3=\) \(0{,}3\). Avec \(b=0{,}2\), la relation s’écrit \(P_{n+1}=2P_n-0{,}2P_n^2\). En remplaçant \(P_n=10v_n\) :

\[v_{n+1}=0{,}1\,P_{n+1}=0{,}1(2\times 10v_n-0{,}2\times 100v_n^2)=0{,}1(20v_n-20v_n^2)=2v_n-2v_n^2=2v_n(1-v_n).\]

b. La suite \((v_n)\) a le même premier terme (0,3) et la même relation de récurrence que la suite \((u_n)\) de la partie A : ces deux suites sont donc égales, et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=\dfrac{1}{2}\). Comme \(P_n=10v_n\), on obtient \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P_n=5\). L’effectif étant exprimé en milliers, la population se stabilisera autour de 5 000 individus.

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