Dérivée : cours de maths en terminale à télécharger en PDF

Sommaire de cette fiche

1 I. La notion de dérivée d’une fonction
2 II.Dérivées des fonctions composées

La notion de dérivée et dérivation d’une fonction numérique à travers un cours de maths en terminale.

I. La notion de dérivée d’une fonction

1.Dérivabilité et fonction dérivée

Définition : le nombre dérivé

On considère une fonction f définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$

ainsi que deux nombres réels

tel que

appartiennent à I.

La fonction f est dérivable en a si et seulement si $\lim_{h\,\to\,0}\frac{f(a+h)-f(a))}{h}=l$ avec $l\in\,\mathbb{R}$ .

Si c’est le cas, le réel est appelé le nombre dérivée de f en a et se note .

Définition :

On considère une fonction f définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ .La fonction f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout de I.

La fonction $f':x\,\mapsto \,f'(x)$ définie sur I est appelée la fonction dérivée de f sur l’intervalle I.

2.Applications à la dérivation

Propriété : tangente en un point à la courbe.

On considère une fonction f dérivable en et sa courbe dans un repère orthonormé du plan.Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse est :

Propriété : passage du signe de

aux variations de f.

On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ .

Si est strictement positive sur I alors f est strictement croissante sur I;
Si est strictement négative sur I alors f est strictement décroissante sur I;
Si est nulle sur I alors f est constante sur I.

Propriété : extremums locaux d’une fonction.

On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $a\in\,I$ .Si admet un extremum local en alors .

Si s’annule et change de signe en alors admet un extremum local en .

3.Calculs de dérivées

Propriétés : dérivée des fonction usuelles.

On note le domaine de définition de la fonction f.Toutes les fonctions du tableau ci-dessous sont dérivables sur à l’exception de la fonction racine carrée qui n’est pas dérivable en .

Propriétés : opérations sur les fonctions dérivées.

On considère un nombre réel k et deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I.Les fonction u+v, ku et uv sont dérivables sur I;

Les fonctions $\frac{1}{u}$ et $\frac{1}{v}$ sont dérivables sur I sauf là où s’annule.

II.Dérivées des fonctions composées

Propriété :

Si la fonction est dérivable et strictement positive sur I alors $\sqrt{u}$ est dérivable sur I.
Si c’est le cas, nous avons : $(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ .