La notion de dérivée et dérivation d’une fonction numérique à travers un cours de maths en terminale.
I. La notion de dérivée d’une fonction
1.Dérivabilité et fonction dérivée
Définition : le nombre dérivé
On considère une fonction f définie sur un intervalle I de ainsi que deux nombres réels et tel que et appartiennent à I.
La fonction f est dérivable en a si et seulement si avec .
Si c’est le cas, le réel est appelé le nombre dérivée de f en a et se note .
Définition :
On considère une fonction f définie sur un intervalle I de .La fonction f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout de I.
La fonction définie sur I est appelée la fonction dérivée de f sur l’intervalle I.
2.Applications à la dérivation
Propriété : tangente en un point à la courbe.
On considère une fonction f dérivable en et sa courbe dans un repère orthonormé du plan.Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse est :
.
Propriété : passage du signe de aux variations de f.
On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de .
Si est strictement positive sur I alors f est strictement croissante sur I;
Si est strictement négative sur I alors f est strictement décroissante sur I;
Si est nulle sur I alors f est constante sur I.
Propriété : extremums locaux d’une fonction.
On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de et .Si admet un extremum local en alors .
Si s’annule et change de signe en alors admet un extremum local en .
3.Calculs de dérivées
Propriétés : dérivée des fonction usuelles.
On note le domaine de définition de la fonction f.Toutes les fonctions du tableau ci-dessous sont dérivables sur à l’exception de la fonction racine carrée qui n’est pas dérivable en .
Propriétés : opérations sur les fonctions dérivées.
On considère un nombre réel k et deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I.Les fonction u+v, ku et uv sont dérivables sur I;
Les fonctions et sont dérivables sur I sauf là où s’annule.
II.Dérivées des fonctions composées
Propriété :
Si la fonction est dérivable et strictement positive sur I alors est dérivable sur I.
Si c’est le cas, nous avons : .
Propriété :
Soit n un entier naturel non nul.Si est dérivable sur I alors :
La fonction est dérivable sur I et .
La fonction est dérivable sur I sauf là où u s’annule et .
Propriété :
On considère deux nombres réels a et b.Si est dérivable sur I alors :
La fonction est dérivable là où .
Si c’est le cas , .
Propriété :
Soit une fonction dérivable sur I et f une fonction dérivable sur un intervalle J telle que :Pour tout .
La fonction composée de u suivie de f est dérivable sur I, et pour tout :
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ainsi que deux nombres réels 
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