cours maths terminale
 La notion de dérivée et dérivation d’une fonction numérique à travers un cours de maths en terminale.

I. La notion de dérivée d’une fonction

1.Dérivabilité et fonction dérivée

Définition : le nombre dérivé

On considère une fonction f définie sur un intervalle I de mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. ainsi que deux nombres réels mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. tel quemimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. appartiennent à I.

La fonction f est dérivable en a si et seulement si mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF.  avec mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..

Si c’est le cas, le réel mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. est appelé le nombre dérivée de f en a et se note mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..

Définition :

On considère une fonction f définie sur un intervalle I de mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. .La fonction f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. de I.

La fonction mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. définie sur I est appelée la fonction dérivée de f sur l’intervalle I.

2.Applications à la dérivation

Propriété : tangente en un point à la courbe.

On considère une fonction f dérivable en mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. sa courbe dans un repère orthonormé du plan.Une équation de la tangente à la courbe mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. au point d’abscisse mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. est :

mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..

Propriété : passage du signe de mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. aux variations de f.

On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..

  • Si mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. est strictement positive sur I alors f est strictement croissante sur I;
  • Si mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. est strictement négative sur I alors f est strictement décroissante sur I;
  • Si mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. est nulle sur I alors f est constante sur I.

derivee-fonction La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF.

Propriété : extremums locaux d’une fonction.

On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..Si mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. admet un extremum local en mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. alors mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..

Si mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. s’annule et change de signe en mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. alors mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. admet un extremum local en mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..

extremum La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF.

3.Calculs de dérivées

Propriétés : dérivée des fonction usuelles.

On note mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. le domaine de définition de la fonction f.Toutes les fonctions du tableau ci-dessous sont dérivables sur mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. à l’exception de la fonction racine carrée qui n’est pas dérivable en mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..

derivee La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF.

Propriétés : opérations sur les fonctions dérivées.

On considère un nombre réel k et deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I.Les fonction u+v, ku et uv sont dérivables sur I;

Les fonctions mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. sont dérivables sur I sauf là où mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. s’annule.

operations-derivee-1 La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF.

II.Dérivées des fonctions composées

Propriété :
  • Si la fonction mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. est dérivable et strictement positive sur I alors mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. est dérivable sur I.
  • Si c’est le cas, nous avons : mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..
Propriété :

Soit n un entier naturel non nul.Si mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. est dérivable sur I alors :

  • La fonction mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. est dérivable sur I et mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..
  • La fonction mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. est dérivable sur I sauf là où u s’annule et mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..
Propriété :

On considère deux nombres réels a et b.Si mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. est dérivable sur I alors :

La fonction mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. est dérivable là où mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..

Si c’est le cas , mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..

Propriété :

Soit mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. une fonction dérivable sur I et f une fonction dérivable sur un intervalle J telle que  :Pour tout mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..

La fonction mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. composée de u suivie de f  est dérivable sur I, et pour tout mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. :

mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF. ou encore mimetex La dérivée d'une fonction : cours de maths en terminale en PDF..


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