Cours sur la dérivée et dérivation d’une fonction : cours de maths en terminale S

cours maths terminale
Cours sur la notion de dérivée et dérivation d’une fonction numérique.

I.La notion de dérivée d’une fonction

1.Dérivabilité et fonction dérivée

Définition : le nombre dérivé

On considère une fonction f définie sur un intervalle I de \mathbb{R} ainsi que deux nombres réels a et h tel quea et a+h appartiennent à I.

La fonction f est dérivable en a si et seulement si \lim_{h\,\to\,0}\frac{f(a+h)-f(a))}{h}=l  avec l\in\,\mathbb{R}.

Si c’est le cas, le réel l est appelé le nombre dérivée de f en a et se note f'(a).

Définition :

On considère une fonction f définie sur un intervalle I de \mathbb{R} .La fonction f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout x de I.

La fonction f':x\,\mapsto  \,f'(x) définie sur I est appelée la fonction dérivée de f sur l’intervalle I.

2.Applications à la dérivation

Propriété : tangente en un point à la courbe.

On considère une fonction f dérivable en a et C_f sa courbe dans un repère orthonormé du plan.Une équation de la tangente à la courbe C_f au point d’abscisse a est :

y=f'(a)(x-a)+f(a).

Propriété : passage du signe de f'(x) aux variations de f.

On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}.

  • Si f' est strictement positive sur I alors f est strictement croissante sur I;
  • Si f' est strictement négative sur I alors f est strictement décroissante sur I;
  • Si f' est nulle sur I alors f est constante sur I.

dérivée fonction

Propriété : extremums locaux d’une fonction.

On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R} et a\in\,I.Si f admet un extremum local en a alors f'(a)=0.

Si f' s’annule et change de signe en a alors f admet un extremum local en a.

extremum

3.Calculs de dérivées

Propriétés : dérivée des fonction usuelles.

On note D_f le domaine de définition de la fonction f.Toutes les fonctions du tableau ci-dessous sont dérivables sur D_f à l’exception de la fonction racine carrée qui n’est pas dérivable en 0.

Propriétés : opérations sur les fonctions dérivées.

On considère un nombre réel k et deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I.Les fonction u+v, ku et uv sont dérivables sur I;

Les fonctions \frac{1}{u} et \frac{1}{v} sont dérivables sur I sauf là où v s’annule.

II.Dérivées des fonctions composées

Propriété :
  • Si la fonction u est dérivable et strictement positive sur I alors \sqrt{u} est dérivable sur I.
  • Si c’est le cas, nous avons : (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}.
Propriété :

Soit n un entier naturel non nul.Si u est dérivable sur I alors :

  • La fonction u^n est dérivable sur I et (u^n)'=nu^{n-1}u'.
  • La fonction u^{-n} est dérivable sur I sauf là où u s’annule et (u^{-n})'=-nu^{-n-1}u'.
Propriété :

On considère deux nombres réels a et b.Si u est dérivable sur I alors :

La fonction f:x\,\mapsto  \,u(ax+b) est dérivable là où (ax+b)\in\,I.

Si c’est le cas , f'(x)=au'(ax+b).

Propriété :

Soit u une fonction dérivable sur I et f une fonction dérivable sur un intervalle J telle que  :Pour tout x\in\,I,\,u(x)\in\,J.

La fonction fou composée de u suivie de f  est dérivable sur I, et pour tout x\in\,I :

(fou)'(x)=u'(x)\times  \,(f'ou)(x) ou encore [f(u(x))]'=u'(x)\times  \,f'(u(x)).

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