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Mise à jour le 25 février 2021

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Sommaire de cette fiche

1 I.La notion de dérivée d’une fonction
2 II.Dérivées des fonctions composées

Cours sur la notion de dérivée et dérivation d’une fonction numérique.

I.La notion de dérivée d’une fonction

1.Dérivabilité et fonction dérivée

Définition : le nombre dérivé

On considère une fonction f définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ ainsi que deux nombres réels $a$ et $h$ tel que $a$ et $a+h$ appartiennent à I.

La fonction f est dérivable en a si et seulement si $\lim_{h\,\to\,0}\frac{f(a+h)-f(a))}{h}=l$ avec $l\in\,\mathbb{R}$ .

Si c’est le cas, le réel $l$ est appelé le nombre dérivée de f en a et se note $f'(a)$ .

Définition :

On considère une fonction f définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ .La fonction f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout $x$ de I.

La fonction $f':x\,\mapsto \,f'(x)$ définie sur I est appelée la fonction dérivée de f sur l’intervalle I.

2.Applications à la dérivation

Propriété : tangente en un point à la courbe.

On considère une fonction f dérivable en $a$ et $C_f$ sa courbe dans un repère orthonormé du plan.Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $a$ est :

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Propriété : passage du signe de $f'(x)$ aux variations de f.

On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ .

Si $f'$ est strictement positive sur I alors f est strictement croissante sur I;
Si $f'$ est strictement négative sur I alors f est strictement décroissante sur I;
Si $f'$ est nulle sur I alors f est constante sur I.

Propriété : extremums locaux d’une fonction.

On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $a\in\,I$ .Si $f$ admet un extremum local en $a$ alors $f'(a)=0$ .

Si $f'$ s’annule et change de signe en $a$ alors $f$ admet un extremum local en $a$ .

3.Calculs de dérivées

Propriétés : dérivée des fonction usuelles.

On note $D_f$ le domaine de définition de la fonction f.Toutes les fonctions du tableau ci-dessous sont dérivables sur $D_f$ à l’exception de la fonction racine carrée qui n’est pas dérivable en $0$ .

Propriétés : opérations sur les fonctions dérivées.

On considère un nombre réel k et deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I.Les fonction u+v, ku et uv sont dérivables sur I;

Les fonctions $\frac{1}{u}$ et $\frac{1}{v}$ sont dérivables sur I sauf là où $v$ s’annule.

II.Dérivées des fonctions composées

Propriété :

Si la fonction $u$ est dérivable et strictement positive sur I alors $\sqrt{u}$ est dérivable sur I.
Si c’est le cas, nous avons : $(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ .

Propriété :

Soit n un entier naturel non nul.Si $u$ est dérivable sur I alors :

La fonction $u^n$ est dérivable sur I et $(u^n)'=nu^{n-1}u'$ .
La fonction $u^{-n}$ est dérivable sur I sauf là où u s’annule et $(u^{-n})'=-nu^{-n-1}u'$ .

Propriété :

On considère deux nombres réels a et b.Si $u$ est dérivable sur I alors :

La fonction $f:x\,\mapsto \,u(ax+b)$ est dérivable là où $(ax+b)\in\,I$ .

Si c’est le cas , $f'(x)=au'(ax+b)$ .

Propriété :

Soit $u$ une fonction dérivable sur I et f une fonction dérivable sur un intervalle J telle que :Pour tout $x\in\,I,\,u(x)\in\,J$ .

La fonction $fou$ composée de u suivie de f est dérivable sur I, et pour tout $x\in\,I$ :

$(fou)'(x)=u'(x)\times \,(f'ou)(x)$ ou encore $[f(u(x))]'=u'(x)\times \,f'(u(x))$ .

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Cours sur la dérivée et dérivation d’une fonction : cours de maths en terminale S

I.La notion de dérivée d’une fonction

1.Dérivabilité et fonction dérivée

2.Applications à la dérivation

3.Calculs de dérivées

II.Dérivées des fonctions composées

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