Sujet étrangers 2023 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

Par ailleurs, Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2023 des centres étrangers (Europe), posé le 22 mars 2023, suivi sur une page dédiée d’un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice étudie la fonction logistique \(x \mapsto \dfrac{1}{1+\text{e}^{-3x}}\) : lecture graphique d’une tangente, dérivée, limites, équation \(f(x)=0{,}99\), point d’inflexion et position de la courbe par rapport à sa tangente. De plus, le deuxième relie la fonction \(x \mapsto x-\ln(1+x)\) à une suite récurrente, avec une démonstration par récurrence et le calcul de la limite. Le troisième se déroule dans l’espace : triangle rectangle, équation de plan, projeté orthogonal puis volume d’un cône. En outre, le dernier est un QCM sur la loi binomiale appliquée aux pièces défectueuses d’une chaîne de fabrication, avec une fonction Python de seuil.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 aux centres étrangers (jour 2).

Par ailleurs, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Sujet étrangers 2023 : le sujet en un coup d’œil

Avant tout, précisons que ce sujet étrangers 2023 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 aux centres étrangers (jour 2) dans sa version intégrale. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser la fonction exponentielle, la dérivation, les limites et la convexité. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
Centres étrangers (Europe) — 22 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-3x}}.\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

De plus, on nomme A le point de coordonnées \((0~;~\dfrac12)\) et B le point de coordonnées \((1~;~\dfrac54)\).

On a tracé ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{T}\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(0\).

Partie A : lectures graphiques

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.

1. Déterminer l’équation réduite de la tangente \(\mathcal{T}\).

2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction \(f\) semble convexe ou concave.

Partie B : étude de la fonction

1. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Déterminer l’expression de sa fonction dérivée \(f^{\prime}\).

2. Justifier que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

3. a. Déterminer la limite en \(+\infty\) de la fonction \(f\).

b. Déterminer la limite en \(-\infty\) de la fonction \(f\).

4. Déterminer la valeur exacte de la solution \(\alpha\) de l’équation \(f(x) = 0{,}99\).

Partie C : Tangente et convexité

1. Déterminer par le calcul une équation de la tangente \(\mathcal{T}\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(0\).

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

En outre, on note \(f^{\prime\prime}\) la fonction dérivée seconde de la fonction \(f\).

On admet que \(f^{\prime\prime}\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{9\text{e}^{-3x}(\text{e}^{-3x} – 1)}{(1 + \text{e}^{-3x})^3}.\]

2. Étudier le signe de la fonction \(f^{\prime\prime}\) sur \(\mathbb{R}\).

3. a. Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction \(f\) est convexe.

b. Que représente le point A pour la courbe \(\mathcal{C}_f\) ?

c. En déduire la position relative de la tangente \(\mathcal{T}\) et de la courbe \(\mathcal{C}_f\).

Justifier la réponse.

Exercice 2 (5 points)

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[f(x) = x – \ln(1 + x).\]

1. Justifier que la fonction \(f\) est définie sur l’intervalle \(]-1~;~+\infty[\).

2. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]-1~;~+\infty[\).

Déterminer l’expression de sa fonction dérivée \(f^{\prime}(x)\).

3. a. En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]-1~;~+\infty[\).

b. En déduire le signe de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]-1~;~0[\).

4. a. Montrer que, pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \(]-1~;~+\infty[\), on a : \(f(x) = \ln(\dfrac{\text{e}^x}{1 + x})\).

b. En déduire la limite en \(+\infty\) de la fonction \(f\).

Partie B

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 10\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1} = u_n – \ln(1 + u_n).\]

On admet que la suite \((u_n)\) est bien définie.

1. Donner la valeur arrondie au millième de \(u_1\).

2. En utilisant la question 3. a. de la partie A, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n \geq\, 0\).

3. Démontrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

4. Déduire des questions précédentes que la suite \((u_n)\) converge.

5. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Exercice 3 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

On considère les points \(\text{A}(3~;~0~;~1)\), \(\text{B}(2~;~1~;~2)\) et \(\text{C}(-2~;~-5~;~1)\).

1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

3. Vérifier que le plan (ABC) a pour équation cartésienne :

\[-x + y – 2z + 5 = 0.\]

4. On considère le point \(\text{S}(1~;~-2~;~4)\).

Déterminer la représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\), passant par S et orthogonale au plan (ABC).

5. On appelle H le point d’intersection de la droite \((\Delta)\) et du plan (ABC).

Montrer que les coordonnées de H sont \((0~;~-1~;~2)\).

6. Calculer la valeur exacte de la distance SH.

7. On considère le cercle \(\mathcal{C}\), inclus dans le plan (ABC), de centre H, passant par le point B. On appelle \(\mathcal{D}\) le disque délimité par le cercle \(\mathcal{C}\).

Déterminer la valeur exacte de l’aire du disque \(\mathcal{D}\).

8. En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet S et de base le disque \(\mathcal{D}\).

Exercice 4 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 4 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

On choisit au hasard \(n\) pièces produites par la chaîne de fabrication.

Le nombre de pièces produites est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses tirées.

Dans les trois questions suivantes, on prend \(n = 50\).

1. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, de tirer au moins une pièce défectueuse ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(1\)	\(0{,}870\)	\(0{,}600\)	\(0{,}599\)

2. La probabilité \(p(3 \lt X \leq\, 7)\) est égale à :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(p(X \leq\, 7) – p(X \gt 3)\)	\(p(X \leq\, 7) – p(X \leq\, 3)\)	\(p(X \lt 7) – p(X \gt 3)\)	\(p(X \lt 7) – p(X \geq\, 3)\)

Exercice 4 du sujet étrangers 2023 : questions 3 à 5

3. Quel est le plus petit entier naturel \(k\) tel que la probabilité de tirer au plus \(k\) pièces défectueuses soit supérieure ou égale à 95 % ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
2	3	4	5

Dans les questions suivantes, \(n\) ne vaut plus nécessairement 50.

4. Quelle est la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}04^n\)	\(0{,}96^n\)	\(1 – 0{,}04^n\)	\(1 – 0{,}96^n\)

5. On considère la fonction Python ci-dessous. Que renvoie-t-elle ?

def seuil(x) :
    n=1
    while 1-0.96**n < x :
        n = n + 1
    return n

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
Le plus petit nombre \(n\) tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.	Le plus petit nombre \(n\) tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.	Le plus grand nombre \(n\) tel que la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses soit supérieure ou égale à x.	Le plus grand nombre \(n\) tel que la probabilité de ne tirer aucune pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x.

Sujet étrangers 2023 : conseils de révision

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la fonction exponentielle ou la dérivation. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article fonction exponentielle de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Points de vigilance

Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.
Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).

Questions fréquentes sur ce sujet étrangers 2023

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, la fonction exponentielle, la dérivation et les limites, mais aussi la convexité.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 aux centres étrangers (jour 2)

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