Sujet France 2025 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

De plus, Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2025 de France métropolitaine, donné le 18 juin 2025, reproduit en entier et suivi d’un corrigé détaillé question par question. Le premier exercice se passe dans un centre multisports : chutes lors d’une initiation au roller (arbre pondéré, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale), puis temps d’attente sur un week-end avec somme de variables aléatoires et inégalité de Bienaymé-Tchebychev. En outre, le deuxième relève de la géométrie dans l’espace : droites sécantes, plan (ABC), projeté orthogonal d’un point et recherche d’un triangle rectangle sur un segment. Ensuite, le troisième, en vrai-faux, porte sur la limite d’une suite, une récurrence, la convexité lue sur un graphique et une inégalité avec le logarithme. Par ailleurs, le dernier étudie le freinage d’un chariot de manège : équation différentielle pour la vitesse, valeurs intermédiaires et distance calculée par intégration par parties.

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2025 en France (jour 2).

En outre, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Sujet France 2025 : ce que contient le sujet

D’abord, ce sujet France 2025 vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 en France (jour 2), avec toutes ses questions. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5, 5, 4 et 6 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la géométrie dans l’espace. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 2
France métropolitaine — 18 juin 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Dans cet exercice on s’intéresse à des personnes venues séjourner dans un centre multisports au cours du week-end.

Les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire.

Partie A

Le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d’initiation au roller composée de deux séances de cours.

On choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit à cette formule.

On désigne par \(A\) et \(B\) les évènements suivants :

\(A\) : « La personne chute pendant la première séance » ;
\(B\) : « La personne chute pendant la deuxième séance ».

Pour un évènement \(E\) quelconque, on note \(P(E)\) sa probabilité et \(\overline{E}\) son évènement contraire.

Des observations permettent d’admettre que \(P(A) = 0{,}6\).

De plus on constate que :

Si la personne chute pendant la première séance, la probabilité qu’elle chute pendant la deuxième est de \(0{,}3\) ;
Si la personne ne chute pas pendant la première séance, la probabilité qu’elle chute pendant la deuxième est de \(0{,}4\).

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\) et interpréter le résultat.

3. Montrer que \(P(B) = 0{,}34\).

4. La personne ne chute pas pendant la deuxième séance de cours.

Calculer la probabilité qu’elle n’ait pas chuté lors de la première séance.

Exercice 1 du sujet France 2025, partie A : question 5

5. On appelle \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 personnes ayant souscrit à la formule, associe le nombre d’entre elles n’ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance.

De plus, on assimile le choix d’un échantillon de 100 personnes à un tirage avec remise.

On admet que la probabilité qu’une personne ne chute ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est de \(0{,}24\).

a. Montrer que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Quelle est la probabilité d’avoir, dans un échantillon de 100 personnes ayant souscrit à la formule, au moins 20 personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ?

c. Calculer l’espérance \(E(X)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B

On choisit au hasard une personne venue un week-end au centre multisport. En outre, on note \(T_1\) la variable aléatoire donnant son temps d’attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du samedi et \(T_2\) la variable aléatoire donnant son temps d’attente total en minutes avant les accès aux activités sportives pendant la journée du dimanche.

On admet que :

\(T_1\) suit une loi de probabilité d’espérance \(E(T_1) = 40\) et d’écart-type \(\sigma(T_1) = 10\) ;
\(T_2\) suit une loi de probabilité d’espérance \(E(T_2) = 60\) et d’écart-type \(\sigma(T_2) = 16\) ;
les variables aléatoires \(T_1\) et \(T_2\) sont indépendantes.

On note \(T\) la variable aléatoire donnant le temps total d’attente avant les accès au activités sportives lors des deux jours, exprimé en minute. Ainsi on a \(T = T_1 + T_2\).

1. Déterminer l’espérance \(E(T)\) de la variable aléatoire \(T\). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

2. Montrer que la variance \(V(T)\) de la variable aléatoire \(T\) est égale à 356.

3. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour une personne choisie au hasard parmi celles venues un week-end au centre multisports, la probabilité que son temps total d’attente \(T\) soit strictement compris entre 60 et 140 minutes est supérieure à \(0{,}77\).

Exercice 2 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\). On considère :

les points \(\text{A}(-1\,;\,2\,;\,1)\), \(\text{B}(1\,;\,-1\,;\,2)\) et \(\text{C}(1\,;\,1\,;\,1)\) ;
la droite \(d\) dont une représentation paramétrique est donnée par : \(d : \begin{cases} x = \frac{3}{2} + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 3 – t \end{cases}\) avec \(t \in \mathbb{R}\) ;
la droite \(d^{\prime}\) dont une représentation paramétrique est donnée par : \(d^{\prime} : \begin{cases} x = s \\ y = \frac{3}{2} + s \\ z = 3 – 2s \end{cases}\) avec \(s \in \mathbb{R}\).

Partie A

1. Montrer que les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) sont sécantes au point \(\text{S}(-\frac{1}{2}\,;\,1\,;\,4)\).

2. a. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (ABC).

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est :

\[x + 2y + 4z – 7 = 0.\]

3. Démontrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

4. a. Démontrer que le point \(\text{H}(-1\,;\,0\,;\,2)\) est le projeté orthogonal de S sur le plan (ABC).

b. En déduire qu’il n’existe aucun point \(M\) du plan (ABC) tel que \(\text{S}M \lt \dfrac{\sqrt{21}}{2}\).

Partie B

On considère un point \(M\) appartenant au segment [CS]. On a donc \(\vec{\text{C}M} = k\,\vec{\text{CS}}\) avec \(k\) réel de l’intervalle \([0\,;\,1]\).

1. Déterminer les coordonnées du point \(M\) en fonction de \(k\).

2. Existe-t-il un point \(M\) sur le segment [CS] tel que le triangle (\(M\)AB) soit rectangle en \(M\) ?

Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. La suite \((u_n)\) est définie pour tout entier naturel \(n\) par

\[u_n = \dfrac{1 + 5^n}{2 + 3^n}.\]

Affirmation 1 : La suite \((u_n)\) converge vers \(\dfrac{5}{3}\).

2. On considère la suite \((w_n)\) définie par :

\(w_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(w_{n+1} = 3w_n – 2n + 3\).

Affirmation 2 : Pour tout entier naturel \(n\), \(w_n \geq\, n\).

3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) dont la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (Fig. 1) ci-dessous.

On précise que :

\(T\) est la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point A d’abscisse 8 ;
L’axe des abscisses est la tangente horizontale à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 1.

Affirmation 3 : D’après le graphique, la fonction \(f\) est convexe sur son ensemble de définition.

4. Affirmation 4 : Pour tout réel \(x \gt 0\), \(\ln(x) – x + 1 \leq\, 0\), où \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien.

Exercice 4 (6 points)

L’objet de cet exercice est l’étude de l’arrêt d’un chariot sur un manège, à partir du moment où il entre dans la zone de freinage en fin de parcours.

On note \(t\) le temps écoulé, exprimé en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.

Ensuite, on modélise la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage, exprimée en mètre, en fonction de \(t\), à l’aide d’une fonction notée \(d\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\).

On a ainsi \(d(0) = 0\).

Par ailleurs, on admet que cette fonction \(d\) est dérivable sur son ensemble de définition. On note \(d^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Partie A

Sur la figure (Fig. 2) ci-dessous, on a tracé dans un repère orthonormé :

la courbe représentative \(\mathcal{C}_d\) de la fonction \(d\) ;
la tangente \(T\) à la courbe \(\mathcal{C}_d\) au point A d’abscisse 4,7 ;
l’asymptote \(\Delta\) à \(\mathcal{C}_d\) en \(+\infty\).

Dans cette partie, aucune justification n’est attendue.

Avec la précision que permet le graphique, répondre aux questions ci-dessous.

D’après ce modèle :

1. Au bout de combien de temps le chariot aura-t-il parcouru 15 m dans la zone de freinage ?

2. Quelle longueur minimale doit-être prévue pour la zone de freinage ?

3. Que vaut \(d^{\prime}(4{,}7)\) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B

On rappelle que \(t\) désigne le temps écoulé, en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.

Par ailleurs, on modélise la vitesse instantanée du chariot, en mètre par seconde \((\text{m.s}^{-1})\), en fonction de \(t\), par une fonction \(v\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\).

On admet que :

la fonction \(v\) est dérivable sur son ensemble de définition, et on note \(v^{\prime}\) sa fonction dérivée ;
la fonction \(v\) est une solution de l’équation différentielle \((E) : \quad y^{\prime} + 0{,}6y = \text{e}^{-0{,}6t}\), où \(y\) est une fonction inconnue et où \(y^{\prime}\) est la fonction dérivée de \(y\). On précise de plus que, lors de son arrivée sur la zone de freinage, la vitesse du chariot est égale à 12 m.s^-1, c’est-à-dire \(v(0) = 12\).

1. a. On considère l’équation différentielle

\[(E^{\prime}) : \quad y^{\prime} + 0{,}6y = 0.\]

Déterminer les solutions de l’équation différentielle \((E^{\prime})\) sur \([0\,;\,+\infty[\).

b. Soit \(g\) la fonction définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(g(t) = t\text{e}^{-0{,}6t}\).

Vérifier que la fonction \(g\) est une solution de l’équation différentielle \((E)\).

c. En déduire les solutions de l’équation différentielle \((E)\) sur \([0\,;\,+\infty[\).

d. En déduire que pour tout réel \(t\) appartenant à l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\), on a :

\[v(t) = (12 + t)\text{e}^{-0{,}6t}.\]

Exercice 4 du sujet France 2025, partie B : questions 2 à 3

2. Dans cette question, on étudie la fonction \(v\) sur \([0\,;\,+\infty[\).

a. Montrer que pour tout réel \(t \in [0\,;\,+\infty[\), \(v^{\prime}(t) = (-6{,}2 – 0{,}6t)\text{e}^{-0{,}6t}\).

b. En admettant que :

\[v(t) = 12\text{e}^{-0{,}6t} + \dfrac{1}{0{,}6} \times \dfrac{0{,}6t}{\text{e}^{0{,}6t}},\]

déterminer la limite de \(v\) en \(+\infty\).

c. Étudier le sens de variation de la fonction \(v\) et dresser son tableau de variation complet. Justifier.

d. Montrer que l’équation \(v(t) = 1\) admet une solution unique \(\alpha\), dont on donnera une valeur approchée au dixième.

3. Lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 1 mètre par seconde, un système mécanique se déclenche permettant son arrêt complet.

Déterminer au bout de combien de temps ce système entre en action. Justifier.

Partie C

On rappelle que pour tout réel \(t\) appartenant à l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) :

\[v(t) = (12 + t)\text{e}^{-0{,}6t}.\]

On admet que pour tout réel \(t\) dans l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) :

\[d(t) = \displaystyle\int_0^t v(x)\,\text{d}x.\]

1. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que la distance parcourue par le chariot entre les instants 0 et \(t\) est donnée par :

\[d(t) = \text{e}^{-0{,}6t}(-\dfrac{5}{3}t – \dfrac{205}{9}) + \dfrac{205}{9}.\]

2. On rappelle que le dispositif d’arrêt se déclenche lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 1 mètre par seconde.

Déterminer, selon ce modèle, une valeur approchée au centième de la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage avant le déclenchement de ce dispositif.

Bien travailler ce sujet France 2025

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.

Les erreurs fréquentes à éviter

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Pour l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifiez d’abord que l’intervalle est bien centré sur l’espérance, sinon la majoration ne s’applique pas telle quelle.

Sujet France 2025 : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, mais aussi la géométrie dans l’espace.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2025 en France (jour 2)

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