Maîtriser les mathématiques requiert une connaissance approfondie des formules fondamentales qui structurent cette discipline depuis des siècles. L'équipe pédagogique de Mathovore, composée de douze enseignants certifiés et titulaires de l'Éducation nationale, a élaboré ce formulaire exhaustif destiné à accompagner efficacement les élèves dans leur parcours scolaire, du début du collège jusqu'aux épreuves du baccalauréat.
Chaque chapitre de ce mémo mathématique présente les notions clés avec une approche progressive et méthodique. Vous y découvrirez les règles de calcul sur les fractions et les puissances, les célèbres identités remarquables, les techniques de résolution d'équations, ainsi que les grands théorèmes de géométrie comme ceux de Pythagore et de Thalès qui ont traversé les âges.
Pour les lycéens, ce recueil propose également les formules avancées indispensables en analyse : limites, dérivation, primitives et intégration, sans oublier les probabilités et les nombres complexes. Chaque formule est accompagnée d'une indication de niveau pour vous permettre de cibler rapidement les connaissances correspondant à votre classe.
Mathovore met gratuitement à votre disposition cette synthèse complète, fruit de l'expérience collective de professionnels passionnés par l'enseignement des mathématiques. N'hésitez pas à explorer nos milliers d'exercices corrigés, nos cours détaillés et nos sujets d'examens pour approfondir chaque notion abordée dans ce formulaire.
🔢 Calcul Numérique
Opérations sur les fractions Collège
Additionner et soustraire
$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \qquad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$
Multiplier et diviser
$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \qquad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$$
Règles des puissances Collège
Calculs avec les racines carrées Collège
Proportionnalité et pourcentages Collège
Règle du produit en croix
Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ alors $a \times d = b \times c$
Variations en pourcentage
$$\text{Hausse de } t\% : \quad V_{finale} = V_{initiale} \times \left(1 + \frac{t}{100}\right)$$
$$\text{Baisse de } t\% : \quad V_{finale} = V_{initiale} \times \left(1 - \frac{t}{100}\right)$$
$$\text{Taux de variation} : \quad t = \frac{V_f - V_i}{V_i} \times 100$$
✖️ Algèbre
Les trois identités remarquables Collège
Formules fondamentales
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$
Développements au cube 2nde
$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$
Factorisation des cubes
$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$
Binôme de Newton Tle
Formule générale
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$
avec le coefficient binomial $\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
⚖️ Équations
Équation du 1er degré Collège
$$ax + b = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = -\frac{b}{a} \quad (a \neq 0)$$
Équation du 2nd degré 1ère
Forme standard
$ax^2 + bx + c = 0$ où $a \neq 0$
Résolution par le discriminant
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
Cas $\Delta > 0$ : deux racines distinctes
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
Cas $\Delta = 0$ : racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$
Cas $\Delta < 0$ : aucune solution réelle
Formules de Viète
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$$
Forme canonique
$$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$$
Systèmes linéaires 2×2 Collège
$$\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases} \implies x = \frac{ed - bf}{ad - bc}, \quad y = \frac{af - ec}{ad - bc}$$
Valeur absolue 2nde
$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$
📈 Fonctions
Fonctions usuelles 2nde
| Nom | Expression | Ensemble | Monotonie |
|---|
| Affine | $f(x) = ax + b$ | $\mathbb{R}$ | ↗ si $a>0$, ↘ si $a<0$ |
| Carré | $f(x) = x^2$ | $\mathbb{R}$ | ↘ sur $]-\infty;0]$, ↗ sur $[0;+\infty[$ |
| Cube | $f(x) = x^3$ | $\mathbb{R}$ | ↗ sur $\mathbb{R}$ |
| Inverse | $f(x) = \frac{1}{x}$ | $\mathbb{R}^*$ | ↘ sur chaque intervalle |
| Racine | $f(x) = \sqrt{x}$ | $\mathbb{R}^+$ | ↗ sur $[0;+\infty[$ |
Droites et fonctions affines Collège
$f(x) = ax + b$ avec $a$ = coefficient directeur, $b$ = ordonnée à l'origine
$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$
Équation passant par A et B
$$y - y_A = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}(x - x_A)$$
Parabole (fonction du 2nd degré) 1ère
Coordonnées du sommet
$$S\left(-\frac{b}{2a} \,;\, -\frac{\Delta}{4a}\right)$$
Axe de symétrie
$$x = -\frac{b}{2a}$$
Fonction exponentielle Tle
Unique fonction $f$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On note $e = \exp(1) \approx 2{,}718$
Comportement aux limites
$$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$
Logarithme népérien Tle
Fonction réciproque de $\exp$, définie sur $]0;+\infty[$
$$\ln(e^x) = x \qquad e^{\ln x} = x$$
Dérivée et limites
$$(\ln x)' = \frac{1}{x} \qquad \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$$
📐 Géométrie
Théorème de Pythagore Collège
Énoncé direct
Dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés.
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
Réciproque
Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ alors le triangle ABC est rectangle en A.
Théorème de Thalès Collège
Configuration classique
Lorsque $(BC) \parallel (B'C')$ :
$$\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$$
Aires des figures planes Collège
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|
| Rectangle | $2(L+l)$ | $L \times l$ |
| Carré | $4c$ | $c^2$ |
| Triangle | $a+b+c$ | $\frac{bh}{2}$ |
| Parallélogramme | $2(a+b)$ | $bh$ |
| Trapèze | Somme côtés | $\frac{(B+b)h}{2}$ |
| Losange | $4c$ | $\frac{d_1 d_2}{2}$ |
| Disque | $2\pi r$ | $\pi r^2$ |
Volumes des solides Collège
| Solide | Volume | Surface |
|---|
| Cube | $c^3$ | $6c^2$ |
| Pavé | $Llh$ | $2(Ll+Lh+lh)$ |
| Cylindre | $\pi r^2 h$ | $2\pi r(r+h)$ |
| Cône | $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ | $\pi r(r+g)$ |
| Pyramide | $\frac{1}{3}Bh$ | Base + faces |
| Boule | $\frac{4}{3}\pi r^3$ | $4\pi r^2$ |
Repérage dans le plan 2nde
Distance et milieu
$$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \qquad I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$
Calcul vectoriel 2nde
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \qquad \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
Test de colinéarité
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires $\Leftrightarrow x_u y_v - x_v y_u = 0$
Produit scalaire 1ère
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\vec{u},\vec{v}) = x_u x_v + y_u y_v$$
Orthogonalité
$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
Formule d'Al-Kashi
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos\widehat{A}$$
Équations de droites 2nde
$$y = ax + b \quad \text{ou} \quad ax + by + c = 0$$
Parallélisme : $a = a'$ Perpendicularité : $a \cdot a' = -1$
Cercle 2nde
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \quad \text{centre } \Omega(a;b), \text{ rayon } r$$
🔺 Trigonométrie
Dans le triangle rectangle Collège
Cercle trigonométrique 2nde
Relation fondamentale
$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$
Valeurs remarquables
| Angle | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ |
|---|
| cos | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ |
| sin | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |
Formules d'addition et duplication 1ère
Addition
$$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$
$$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$
Duplication
$$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$$
$$\sin 2a = 2\sin a \cos a$$
Loi des sinus 1ère
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
🎲 Statistiques et Probabilités
Indicateurs statistiques Collège
$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \qquad V = \frac{1}{n}\sum(x_i - \bar{x})^2 \qquad \sigma = \sqrt{V}$$
Calcul de probabilités 2nde
$$P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}} \qquad P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
Probabilités conditionnelles 1ère
$$P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
Probabilités totales
$$P(A) = \sum_i P(B_i) \cdot P_{B_i}(A)$$
Indépendance
A et B indépendants $\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Variables aléatoires 1ère
$$E(X) = \sum_i x_i P(X=x_i) \qquad V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \qquad \sigma = \sqrt{V}$$
$$E(aX+b) = aE(X)+b \qquad V(aX+b) = a^2 V(X)$$
Loi binomiale 1ère
$X \sim \mathcal{B}(n,p)$ :
$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
Loi normale Tle
Loi $\mathcal{N}(0,1)$ centrée réduite :
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$$
Si $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ alors $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$
Dénombrement 1ère
$$n! = n(n-1)\cdots 1 \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
🔁 Suites Numériques
Suite arithmétique 1ère
$(u_n)$ arithmétique de raison $r$ : $u_{n+1} = u_n + r$
$$u_n = u_0 + nr \qquad S_n = (n+1)\frac{u_0+u_n}{2} \qquad 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$$
Suite géométrique 1ère
$(u_n)$ géométrique de raison $q$ : $u_{n+1} = u_n \times q$
$$u_n = u_0 q^n \qquad S_n = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \quad (q \neq 1)$$
Limites usuelles Tle
Théorème d'encadrement
Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim u_n = \lim w_n = \ell$ alors $\lim v_n = \ell$
📉 Dérivation
Nombre dérivé 1ère
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Tangente au point d'abscisse $a$
$$y = f'(a)(x-a) + f(a)$$
Dérivées des fonctions de base 1ère
| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|
| $k$ | $0$ | $e^x$ | $e^x$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\sin x$ | $\cos x$ |
Règles de dérivation 1ère
| Fonction | Dérivée |
|---|
| $u + v$ | $u' + v'$ |
| $ku$ | $ku'$ |
| $uv$ | $u'v + uv'$ |
| $\frac{u}{v}$ | $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ |
| $u^n$ | $nu'u^{n-1}$ |
| $e^u$ | $u'e^u$ |
| $\ln u$ | $\frac{u'}{u}$ |
Étude des variations 1ère
• $f' > 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ croissante sur $I$
• $f' < 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ décroissante sur $I$
• $f' = 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ constante sur $I$
Convexité Tle
• $f$ convexe $\Leftrightarrow$ $f'' \geq 0$ $\Leftrightarrow$ $f'$ croissante
• $f$ concave $\Leftrightarrow$ $f'' \leq 0$ $\Leftrightarrow$ $f'$ décroissante
• Point d'inflexion : $f''$ change de signe
∫ Intégration
Primitives usuelles Tle
| $f(x)$ | $F(x)$ | $f(x)$ | $F(x)$ |
|---|
| $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ | $e^x$ | $e^x$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | $e^{ax}$ | $\frac{1}{a}e^{ax}$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | $\frac{u'}{u}$ | $\ln|u|$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | $u'e^u$ | $e^u$ |
Intégrale définie Tle
$$\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$
$$\int_a^b f = -\int_b^a f \qquad \int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$$
Intégration par parties Tle
$$\int_a^b u v' = [uv]_a^b - \int_a^b u' v$$
Valeur moyenne Tle
$$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
ℂ Nombres Complexes
Écriture algébrique Tle
$z = a + ib$ avec $a = \text{Re}(z)$, $b = \text{Im}(z)$ et $i^2 = -1$
$$\bar{z} = a - ib \qquad |z| = \sqrt{a^2+b^2} \qquad z\bar{z} = |z|^2$$
Forme exponentielle Tle
Formule d'Euler
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \qquad z = re^{i\theta}$$
$$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)} \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} \qquad z^n = r^n e^{in\theta}$$
Formule de Moivre
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$$
Résolution d'équations Tle
Second degré avec $\Delta < 0$
$$z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$$
Racines n-ièmes de l'unité
$$z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)$$
Applications géométriques Tle
$$AB = |z_B - z_A| \qquad z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$$
Transformations du plan
Translation : $z' = z + t$
Rotation : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$
Homothétie : $z' - \omega = k(z - \omega)$