Bac 2022 Calédonie : maths en Nouvelle-Calédonie (jour 1)

Sommaire

En outre, Voici le sujet du jour 1 du bac de spécialité mathématiques 2022 en Nouvelle-Calédonie, posé le 26 octobre 2022, suivi de son corrigé détaillé sur une page dédiée. Ensuite, trois exercices sur quatre sont à traiter. Le premier étudie \(f(x)=x^2-6x+4\ln(x)\) : limites, variations, équation \(f(x)=0\), point d’inflexion et position d’une corde par rapport à la courbe. Par ailleurs, le deuxième mêle la fonction \(x\mapsto x^3\text{e}^x\) et la suite qu’elle engendre, avec un petit programme Python et une démonstration par récurrence. De plus, le troisième place une maison surmontée d’un toit en prisme dans un repère : équation de plan, angle au sommet du toit et tranchée électrique qui doit atteindre une arête. En outre, le dernier est un QCM sur la transmission de bits et d’octets, entre arbre pondéré et loi binomiale.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 en Nouvelle-Calédonie (jour 1).

Par ailleurs, vous préparez le bac de maths 2027 ? De plus, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Bac 2022 Calédonie : organisation de l’épreuve

Tout d’abord, ce bac 2022 Calédonie correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 en Nouvelle-Calédonie (jour 1), reproduit ici avec son énoncé complet. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 7 points. De plus, on y mobilise surtout la fonction logarithme népérien, les limites, la convexité et la fonction exponentielle. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Jour 1
Nouvelle-Calédonie — 26 octobre 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 (7 points)

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme ; convexité.

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) par

\[f(x)=x^2-6x+4\ln(x).\]

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).

Par ailleurs, on note \(f^{\prime}\) sa dérivée et \(f^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.

1. a. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\).

Interpréter graphiquement ce résultat.

b. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

2. a. Déterminer \(f^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0~;~+\infty[\).

b. Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).

En déduire le tableau de variations de \(f\).

3. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans l’intervalle \([4~;~5]\).

4. On admet que, pour tout \(x\) de \(]0~;~+\infty[\), on a :

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2x^2-4}{x^2}.\]

a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).

On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\).

b. On note A le point de coordonnées \((\sqrt{2}~;~f(\sqrt{2}))\).

Soit \(t\) un réel strictement positif tel que \(t\neq\sqrt{2}\). Soit \(M\) le point de coordonnées \((t~;~f(t))\).

En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de \(t\), les positions relatives du segment [A\(M\)] et de la courbe \(\mathcal{C}_f\).

Exercice 2 (7 points)

Principaux domaines abordés : suites ; fonctions, fonction exponentielle.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=x^3\text{e}^x.\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0=-1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).

a. Calculer \(u_1\) puis \(u_2\).

On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à \(10^{-3}\).

b. On considère la fonction fonc, écrite en langage Python ci-dessous.

On rappelle qu’en langage Python, « i in range (n) » signifie que i varie de 0 à n – 1.

def  fonc (n):
     u =- 1
     for i in range(n) :
       u=u**3*exp(u)
     return u

Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par fonc (2) arrondie à \(10^{-3}\).

2. a. Démontrer que, pour tout \(x\) réel, on a \(f^{\prime}(x)=x^2\text{e}^x(x+3)\).

b. Justifier que le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est celui représenté ci-dessous :

c. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 0.\]

d. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

e. On note \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\).

On rappelle que \(\ell\) est solution de l’équation \(f(x)=x\).

Déterminer \(\ell\). (Pour cela, on admettra que l’équation \(x^2\text{e}^x-1=0\) possède une seule solution dans \(\mathbb{R}\) et que celle-ci est strictement supérieure à \(\dfrac{1}{2}\)).

Exercice 3 (7 points)

Principaux domaines abordés : géométrie dans l’espace.

Une maison est constituée d’un parallélépipède rectangle ABCDEFGH surmonté d’un prisme EFIHGJ dont une base est le triangle EIF isocèle en I.

Cette maison est représentée ci-dessous.

On a AB \(=3\), AD \(=2\), AE \(=1\).

De plus, on définit les vecteurs \(\vec{\imath}=\dfrac{1}{3}\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\jmath}=\dfrac{1}{2}\vec{\text{AD}}\), \(\vec{k}=\vec{\text{AE}}\).

On munit ainsi l’espace du repère orthonormé \((\text{A}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

1. Donner les coordonnées du point G.

2. Le vecteur \(\vec{n}\) de coordonnées \((2~;~0~;~-3)\) est vecteur normal au plan (EHI).

Déterminer une équation cartésienne du plan (EHI).

3. Déterminer les coordonnées du point I.

4. Déterminer une mesure au degré près de l’angle \(\widehat{\text{EIF}}\).

5. Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.

Le relais est représenté par le point R de coordonnées \((6~;~-3~;~-1)\).

La tranchée est assimilée à un segment d’une droite \(\Delta\) passant par R et dirigée par le vecteur \(\vec{u}\) de coordonnées \((-3~;~4~;~1)\). On souhaite vérifier que la tranchée atteindra la maison au niveau de l’arête [BC].

a. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\).

b. On admet qu’une équation du plan (BFG) est \(x=3\).

Soit K le point d’intersection de la droite \(\Delta\) avec le plan (BFG).

Déterminer les coordonnées du point K.

c. Le point K appartient-il bien à l’arête [BC] ?

Exercice 4 (7 points)

Principaux domaines abordés : probabilités.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

On considère un système de communication binaire transmettant des 0 et des 1.

Chaque 0 ou 1 est appelé bit.

En raison d’interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission :

un 0 peut être reçu comme un 1 et, de même, un 1 peut être reçu comme un 0.

Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :

\(E_0\) : « le bit envoyé est un 0 » ;
\(E_1\) : « le bit envoyé est un 1 » ;
\(R_0\) : « le bit reçu est un 0 »
\(R_1\) : « le bit reçu est un 1 ».

On sait que :

\(p(E_0)=0{,}4\) ; \(p_{E_0}(R_1)=0{,}01\) ; \(p_{E_1}(R_0)=0{,}02\).

On rappelle que la probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\) est notée \(p_B(A)\).

On peut ainsi représenter la situation par l’arbre de probabilités ci-dessus.

Exercice 4 du bac 2022 Calédonie : questions 1 à 7

1. La probabilité que le bit envoyé soit un 0 et que le bit reçu soit un 0 est égale à :

a.	b.	c.	d.
0,99	0,396	0,01	0,4

2. La probabilité \(p(R_0)\) est égale à :

a.	b.	c.	d.
0,99	0,02	0,408	0,931

3. Une valeur, approchée au millième, de la probabilité \(p_{R_1}(E_0)\) est égale

a.	b.	c.	d.
0,004	0,001	0,007	0,010

4. La probabilité de l’évènement « il y a une erreur de transmission » est égale à :

a.	b.	c.	d.
0,03	0,016	0,16	0,015

Un message de longueur huit bits est appelé un octet.

On admet que la probabilité qu’un octet soit transmis sans erreur est égale à 0,88.

5. On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.

La probabilité, à \(10^{-3}\) près, qu’exactement 7 octets soient transmis sans erreur est égale à :

a.	b.	c.	d.
0,915	0,109	0,976	0,085

6. On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.

La probabilité qu’au moins 1 octet soit transmis sans erreur est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(1-0{,}12^{10}\)	\(0{,}12^{10}\)	\(0{,}88^{10}\)	\(1-0{,}88^{10}\)

7. Soit \(N\) un entier naturel. On transmet successivement \(N\) octets de façon indépendante.

Soit \(N_0\) la plus grande valeur de \(N\) pour laquelle la probabilité que les \(N\) octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à 0,1.

On peut affirmer que :

a.	b.	c.	d.
\(N_0=17\)	\(N_0=18\)	\(N_0=19\)	\(N_0=20\)

Comment réviser avec ce bac 2022 Calédonie

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la fonction logarithme népérien ou les limites, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur fonction logarithme.

Les pièges classiques

Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).
La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.

Bac 2022 Calédonie : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la fonction logarithme népérien, les limites et la convexité, mais aussi la fonction exponentielle.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 en Nouvelle-Calédonie (jour 1)

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