Corrigé du bac S de maths 2017 aux Antilles-Guyane à télécharger en PDF

Corrigé Antilles 2017 : ce que contient la correction

D’abord, précisons que ce corrigé Antilles 2017 concerne le bac S de mathématiques 2017 aux Antilles-Guyane, avec une rédaction complète des réponses. Puis en effet, l’épreuve se compose de 5 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout les nombres complexes, la loi normale, la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 48 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, chaque étape de calcul reste visible, ce qui permet de repérer précisément l’endroit où un raisonnement a dévié.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Nombres complexes, 3 points, commun à tous les candidats

On étudie dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E)\) : \(z^4+2z^3-z-2=0\).

1. On cherche une solution entière de \((E)\).

Essayons \(z=1\) : \(1^4+2\times 1^3-1-2=1+2-1-2=0\). Le nombre 1 est donc une solution entière de \((E)\).

2. Il faut montrer que \((E)\) équivaut à \((z^2+z-2)(z^2+z+1)=0\).

Développons le produit : pour tout complexe \(z\),

\[(z^2+z-2)(z^2+z+1)=z^4+z^3+z^2+z^3+z^2+z-2z^2-2z-2=z^4+2z^3-z-2.\]

Les deux membres étant égaux pour tout \(z\), on a bien \(z^4+2z^3-z-2=0 \iff (z^2+z-2)(z^2+z+1)=0\).

3. Résolution de \((E)\) dans \(\mathbb{C}\).

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

• \(z^2+z-2=0\) : le discriminant vaut \(\Delta=1+8=9\), d’où \(z=\dfrac{-1-3}{2}=-2\) et \(z=\dfrac{-1+3}{2}=1\).
• \(z^2+z+1=0\) : le discriminant vaut \(\Delta=1-4=-3\lt 0\), d’où deux solutions complexes conjuguées \(z=\dfrac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\) et \(z=\dfrac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\).

L’ensemble des solutions est \(\mathcal{S}=\{1\ ;\ -2\ ;\ \dfrac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\}\).

4. Les quatre solutions sont les affixes des sommets d’un quadrilatère non croisé ABCD. Est-ce un losange ?

Pour que le quadrilatère soit non croisé, on place les points dans l’ordre de parcours autour de l’origine : \(z_A=1\), \(z_B=\dfrac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\), \(z_C=-2\), \(z_D=\dfrac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\).

• \(AB^2=|z_B-z_A|^2=|\dfrac{-3+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}|^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3\) ;
• \(BC^2=|z_C-z_B|^2=|\dfrac{-3-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}|^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3\) ;
• \(CD^2=|z_D-z_C|^2=|\dfrac{3-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}|^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3\) ;
• \(DA^2=|z_A-z_D|^2=|\dfrac{3+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}|^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3\).

Les quatre côtés mesurent \(\sqrt{3}\) : ABCD est un losange (ce n’est pas un carré, puisque ses diagonales \(AC=3\) et \(BD=\sqrt{3}\) n’ont pas la même longueur).

Exercice 2 :

Loi normale et échantillonnage, 4 points, commun à tous les candidats

L’épaisseur \(X\) (en µm) du nickel déposé sur une pièce suit la loi normale \(\mathcal{N}(25\ ;\ \sigma_1^2)\). Ensuite, une pièce est conforme si l’épaisseur est comprise entre 22,8 µm et 27,2 µm, et l’on sait que \(P(X\gt 27{,}2)=0{,}023\).

1. a. Probabilité qu’une pièce soit conforme.

Les bornes \(22{,}8=25-2{,}2\) et \(27{,}2=25+2{,}2\) sont symétriques par rapport à l’espérance 25. Par symétrie de la courbe de densité, \(P(X\lt 22{,}8)=P(X\gt 27{,}2)=0{,}023\). Donc

\[P(22{,}8\leq\, X\leq\, 27{,}2)=1-2\times 0{,}023=0{,}954.\]

La probabilité qu’une pièce soit conforme est 0,954.

1. b. Justifier que \(\sigma_1\approx 1{,}1\) à \(10^{-1}\) près.

On sait que, pour une variable de loi \(\mathcal{N}(\mu\ ;\ \sigma^2)\), \(P(\mu-2\sigma\leq\, X\leq\, \mu+2\sigma)\approx 0{,}954\). Or la question précédente donne exactement \(P(25-2{,}2\leq\, X\leq\, 25+2{,}2)=0{,}954\). Par identification, \(2\sigma_1\approx 2{,}2\), soit \(\sigma_1\approx 1{,}1\).

1. c. Sachant qu’une pièce est conforme, probabilité que l’épaisseur soit inférieure à 24 µm (arrondie à \(10^{-3}\)).

On cherche une probabilité conditionnelle :

\[P_{22{,}8\leq\, X\leq\, 27{,}2}(X\lt 24)=\dfrac{P(22{,}8\leq\, X\lt 24)}{P(22{,}8\leq\, X\leq\, 27{,}2)}.\]

À la calculatrice, avec \(\mu=25\) et \(\sigma_1=1{,}1\) : \(P(22{,}8\leq\, X\lt 24)\approx 0{,}158\,90\). D’où

\[P_{22{,}8\leq\, X\leq\, 27{,}2}(X\lt 24)\approx\dfrac{0{,}158\,90}{0{,}954}\approx 0{,}167.\]

La probabilité cherchée vaut environ 0,167 (on trouve 0,166 si l’on garde au dénominateur la valeur non arrondie 0,954 5 donnée par la calculatrice ; les deux réponses sont acceptables).

Exercice 2 du corrigé Antilles 2017 : question 2

2. a. Avec un nouveau procédé, l’épaisseur \(Y\) suit la loi \(\mathcal{N}(25\ ;\ \sigma_2^2)\) et l’on annonce 98 % de pièces conformes. Puis comparer \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\).

Les deux lois ont la même espérance 25 et l’intervalle de conformité est le même. Or \(P(22{,}8\leq\, Y\leq\, 27{,}2)=0{,}98\gt 0{,}954=P(22{,}8\leq\, X\leq\, 27{,}2)\) : la loi de \(Y\) est plus concentrée autour de 25, donc son écart type est plus petit. On a \(\sigma_2\lt \sigma_1\).

Complément (non demandé). La variable \(Z=\dfrac{Y-25}{\sigma_2}\) suit la loi normale centrée réduite. De plus, la condition s’écrit \(P(-\dfrac{2{,}2}{\sigma_2}\leq\, Z\leq\, \dfrac{2{,}2}{\sigma_2})=0{,}98\), soit \(2\Phi(\dfrac{2{,}2}{\sigma_2})-1=0{,}98\), donc \(\Phi(\dfrac{2{,}2}{\sigma_2})=0{,}99\). Ensuite, la calculatrice donne \(\dfrac{2{,}2}{\sigma_2}\approx 2{,}326\), d’où \(\sigma_2\approx 0{,}946\), ce qui confirme \(\sigma_2\lt \sigma_1\).

2. b. Sur 500 pièces testées, 15 ne sont pas conformes. Au seuil de 95 %, peut-on rejeter l’affirmation des ingénieurs ?

La fréquence observée de pièces conformes est \(f=\dfrac{485}{500}=0{,}97\). Par ailleurs, on teste l’hypothèse \(p=0{,}98\).

Conditions d’utilisation : \(n=500\geq\, 30\), \(np=490\geq\, 5\) et \(n(1-p)=10\geq\, 5\). Puis l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est

\[I=[p-1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\ ;\ p+1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}]=[0{,}98-1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}98\times 0{,}02}{500}}\ ;\ 0{,}98+1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}98\times 0{,}02}{500}}].\]

En arrondissant la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès : \(I\approx[0{,}967\ ;\ 0{,}993]\).

Comme \(f=0{,}97\in I\), on ne peut pas rejeter l’affirmation de l’équipe d’ingénieurs au seuil de 95 %.

Exercice 3 :

Fonction exponentielle et tangentes, 3 points, commun à tous les candidats

On considère \(f(x)=\mathrm{e}^{x}\) et \(g(x)=\mathrm{e}^{-x}\). Ensuite, pour un réel \(a\), M est le point de \(\mathcal{C}_f\) d’abscisse \(a\) et N celui de \(\mathcal{C}_g\) d’abscisse \(a\). Puis la tangente en M coupe l’axe des abscisses en P, la tangente en N le coupe en Q.

1. Montrer que la tangente en M à \(\mathcal{C}_f\) est perpendiculaire à la tangente en N à \(\mathcal{C}_g\).

Les fonctions sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) avec \(f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}\) et \(g^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{-x}\). De plus, la tangente \(T_M\) a pour coefficient directeur \(\mathrm{e}^{a}\), donc pour vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\ \mathrm{e}^{a}\end{pmatrix}\) ; la tangente \(T_N\) a pour coefficient directeur \(-\mathrm{e}^{-a}\), donc pour vecteur directeur \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\ -\mathrm{e}^{-a}\end{pmatrix}\).

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times 1+\mathrm{e}^{a}\times (-\mathrm{e}^{-a})=1-\mathrm{e}^{0}=0.\]

Le produit scalaire est nul : les deux tangentes sont perpendiculaires, quel que soit \(a\). (On peut aussi remarquer que le produit des coefficients directeurs vaut \(-1\).)

2. a. Conjecture sur la longueur PQ.

Les valeurs relevées dans le tableur sont toutes égales à 2 : on conjecture que PQ = 2 pour tout réel \(a\).

2. b. Démonstration de la conjecture.

• La tangente en M a pour équation \(y=\mathrm{e}^{a}(x-a)+\mathrm{e}^{a}\). Le point P vérifie \(y=0\) : \(\mathrm{e}^{a}(x_P-a+1)=0\), et comme \(\mathrm{e}^{a}\neq 0\), \(x_P=a-1\).
• La tangente en N a pour équation \(y=-\mathrm{e}^{-a}(x-a)+\mathrm{e}^{-a}\). Le point Q vérifie \(y=0\) : \(\mathrm{e}^{-a}(-x_Q+a+1)=0\), d’où \(x_Q=a+1\).

P et Q sont sur l’axe des abscisses, donc \(PQ=|x_Q-x_P|=|(a+1)-(a-1)|=2\). La longueur PQ vaut toujours 2.

Exercice 4 :

Fonction logarithme et suites, 5 points, commun à tous les candidats

Pour \(n\) entier strictement positif, on étudie l’équation \((E_n)\) : \(\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1}{n}\), d’inconnue \(x\gt 0\).

Partie A

On pose \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0\ ;\ +\infty[\).

1. Variations de \(f\).

\(f\) est un quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=\ln x\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\), \(v(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=1\). Ensuite, pour tout \(x\gt 0\) :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x\times 1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}.\]

Comme \(x^2\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1-\ln x\). Or \(1-\ln x\gt 0\iff \ln x\lt 1\iff x\lt \mathrm{e}\) (la fonction exponentielle étant strictement croissante), et \(1-\ln x=0\iff x=\mathrm{e}\).

\(x\)	0		\(\mathrm{e}\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		+	0	−
variations de \(f\)		croissante	\(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\)	décroissante

\(f\) est strictement croissante sur \(]0\ ;\ \mathrm{e}]\) et strictement décroissante sur \([\mathrm{e}\ ;\ +\infty[\).

2. Maximum de \(f\).

D’après le tableau, le maximum de \(f\) est atteint en \(x=\mathrm{e}\) et vaut \(f(\mathrm{e})=\dfrac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\).

Partie B

1. Montrer que, pour \(n\geq\, 3\), l’équation \(f(x)=\dfrac{1}{n}\) admet une unique solution \(\alpha_n\) sur \([1\ ;\ \mathrm{e}]\).

• Comme \(\mathrm{e}\approx 2{,}718\lt 3\leq\, n\), la fonction inverse étant décroissante sur \(]0\ ;\ +\infty[\), on obtient \(0\lt \dfrac{1}{n}\leq\, \dfrac{1}{3}\lt \dfrac{1}{\mathrm{e}}\).
• \(f\) est continue et strictement croissante sur \([1\ ;\ \mathrm{e}]\), avec \(f(1)=0\) et \(f(\mathrm{e})=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\).
• \(\dfrac{1}{n}\) est compris entre \(f(1)=0\) et \(f(\mathrm{e})=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\).

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=\dfrac{1}{n}\) admet une unique solution \(\alpha_n\) dans \([1\ ;\ \mathrm{e}]\).

2. a. Conjecture sur le sens de variation de \((\alpha_n)\) à l’aide des droites \(D_3\), \(D_4\), \(D_5\) d’équations \(y=\dfrac{1}{3}\), \(y=\dfrac{1}{4}\), \(y=\dfrac{1}{5}\).

\(\alpha_n\) est l’abscisse du point d’intersection de \(\mathcal{C}\) et de \(D_n\) situé entre 1 et e. Quand \(n\) augmente, la droite \(D_n\) descend et ce point se déplace vers la gauche : la suite \((\alpha_n)\) semble décroissante.

2. b. Comparer \(f(\alpha_n)\) et \(f(\alpha_{n+1})\), puis en déduire le sens de variation de \((\alpha_n)\).

Par définition, \(f(\alpha_n)=\dfrac{1}{n}\) et \(f(\alpha_{n+1})=\dfrac{1}{n+1}\). Comme \(n\lt n+1\), on a \(\dfrac{1}{n}\gt \dfrac{1}{n+1}\), donc \(f(\alpha_n)\gt f(\alpha_{n+1})\).

Exercice 4 du corrigé Antilles 2017, partie B : questions 2 à 3

Les réels \(\alpha_n\) et \(\alpha_{n+1}\) appartiennent à \([1\ ;\ \mathrm{e}]\), intervalle sur lequel \(f\) est strictement croissante. Si l’on avait \(\alpha_n\leq\, \alpha_{n+1}\), on aurait \(f(\alpha_n)\leq\, f(\alpha_{n+1})\), ce qui est faux. Donc \(\alpha_{n+1}\lt \alpha_n\) : la suite \((\alpha_n)\) est strictement décroissante.

2. c. En déduire que \((\alpha_n)\) converge.

La suite \((\alpha_n)\) est décroissante et minorée par 1 (puisque \(\alpha_n\in[1\ ;\ \mathrm{e}]\)). D’après le théorème de convergence monotone, \((\alpha_n)\) converge, vers une limite \(\ell\geq\, 1\).

3. On admet que \((E_n)\) possède, pour \(n\geq\, 3\), une autre solution \(\beta_n\) avec \(1\leq\, \alpha_n\leq\, \mathrm{e}\leq\, \beta_n\).

3. a. On admet que \((\beta_n)\) est croissante. Par ailleurs, montrer que \(\beta_n\geq\, n\,\dfrac{\beta_3}{3}\) pour tout \(n\geq\, 3\).

Comme \(\beta_n\) est solution de \((E_n)\) : \(\dfrac{\ln \beta_n}{\beta_n}=\dfrac{1}{n}\), soit \(\ln\beta_n=\dfrac{\beta_n}{n}\). Puis en particulier \(\ln \beta_3=\dfrac{\beta_3}{3}\).

La suite \((\beta_n)\) étant croissante, \(\beta_n\geq\, \beta_3\) pour tout \(n\geq\, 3\), et comme \(\ln\) est croissante sur \(]0\ ;\ +\infty[\), \(\ln\beta_n\geq\, \ln\beta_3\). Ensuite, on obtient

\[\dfrac{\beta_n}{n}=\ln\beta_n\geq\, \ln\beta_3=\dfrac{\beta_3}{3},\quad\text{donc}\quad \beta_n\geq\, n\,\dfrac{\beta_3}{3}.\]

3. b. Limite de \((\beta_n)\).

Comme \(\beta_3\geq\, \mathrm{e}\gt 0\), on a \(\lim\limits_{n\to+\infty} n\,\dfrac{\beta_3}{3}=+\infty\). Puisque \(\beta_n\geq\, n\,\dfrac{\beta_3}{3}\), le théorème de comparaison donne \(\lim\limits_{n\to+\infty}\beta_n=+\infty\).

Exercice 5 :

Enseignement obligatoire : géométrie dans l’espace, 5 points

Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne \(A(-1\ ;\ 2\ ;\ 0)\), \(B(1\ ;\ 2\ ;\ 4)\) et \(C(-1\ ;\ 1\ ;\ 1)\).

1. a. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés.

On a \(\vec{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\). Si ces vecteurs étaient colinéaires, il existerait \(k\) tel que \(\vec{AB}=k\,\vec{AC}\) ; la première coordonnée donnerait \(2=k\times 0\), ce qui est impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés.

1. b. Produit scalaire \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\).

\[\vec{AB}\cdot\vec{AC}=2\times 0+0\times (-1)+4\times 1=4.\]

1. c. Mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\) arrondie au degré.

\(AB=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) et \(AC=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}\). Or \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AC\times \cos\widehat{BAC}\), donc

\[\cos\widehat{BAC}=\dfrac{4}{2\sqrt{5}\times \sqrt{2}}=\dfrac{4}{2\sqrt{10}}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\approx 0{,}632.\]

\(\widehat{BAC}\approx 51^\circ\).

2. a. Montrer que \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\) est normal au plan (ABC).

\(\vec{n}\cdot\vec{AB}=4+0-4=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{AC}=0+1-1=0\). Puis le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c’est un vecteur normal à ce plan.

2. b. Équation cartésienne du plan (ABC).

Le plan admet une équation de la forme \(2x-y-z+d=0\). De plus, il passe par \(A(-1\ ;\ 2\ ;\ 0)\), donc \(-2-2-0+d=0\), soit \(d=4\). (ABC) : \(2x-y-z+4=0\). (Vérification avec B : \(2-2-4+4=0\) ; avec C : \(-2-1-1+4=0\).)

Exercice 5 du corrigé Antilles 2017 : question 3

3. Soit \(\mathcal{P}_1\) le plan d’équation \(3x+y-2z+3=0\) et \(\mathcal{P}_2\) le plan passant par O et parallèle au plan d’équation \(x-2z+6=0\).

3. a. Montrer que \(\mathcal{P}_2\) a pour équation \(x=2z\).

Deux plans parallèles ont les mêmes vecteurs normaux : \(\mathcal{P}_2\) admet une équation de la forme \(x-2z+d=0\). Comme O appartient à \(\mathcal{P}_2\), \(0-0+d=0\), donc \(d=0\). \(\mathcal{P}_2\) : \(x-2z=0\), c’est-à-dire \(x=2z\).

3. b. Montrer que \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont sécants.

Des vecteurs normaux sont \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\). S’il existait \(k\) tel que \(\vec{n_1}=k\,\vec{n_2}\), la deuxième coordonnée donnerait \(1=k\times 0\), ce qui est impossible : ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants (selon une droite).

3. c. Montrer que la droite \(d\) de représentation paramétrique \(x=2t\), \(y=-4t-3\), \(z=t\) (\(t\in\mathbb{R}\)) est l’intersection de \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\).

Soit \(M(x\ ;\ y\ ;\ z)\). Ensuite, en posant \(z=t\), la condition \(M\in\mathcal{P}_2\) s’écrit \(x=2t\). Alors \(M\in\mathcal{P}_1\) s’écrit \(3\times 2t+y-2t+3=0\), soit \(y=-4t-3\). Ainsi

\[M\in\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\iff \text{il existe } t\in\mathbb{R} \text{ tel que } \begin{cases}x=2t\\ y=-4t-3\\ z=t\end{cases}\]

La droite \(d\) est donc l’intersection des plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\).

3. d. Montrer que \(d\) coupe (ABC) en un point I dont on donnera les coordonnées.

Un point de \(d\) de paramètre \(t\) appartient à (ABC) si et seulement si

\[2\times 2t-(-4t-3)-t+4=0\iff 4t+4t+3-t+4=0\iff 7t+7=0\iff t=-1.\]

L’équation a une unique solution, donc \(d\) coupe le plan (ABC) en un seul point, obtenu pour \(t=-1\) : \(I(-2\ ;\ 1\ ;\ -1)\). (Vérification : \(2\times (-2)-1-(-1)+4=0\).)

Exercice 5 :

Enseignement de spécialité : arithmétique et suites, 5 points

On considère la suite définie par \(u_0=3\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=2u_n+6\).

1. Montrer par récurrence que \(u_n=9\times 2^n-6\) pour tout entier naturel \(n\).

• Initialisation. \(9\times 2^0-6=9-6=3=u_0\) : la propriété est vraie au rang 0.
• Hérédité. Supposons \(u_n=9\times 2^n-6\) pour un entier \(n\) fixé. Alors \(u_{n+1}=2(9\times 2^n-6)+6=9\times 2^{n+1}-12+6=9\times 2^{n+1}-6\) : la propriété est vraie au rang \(n+1\).
• Conclusion. Par récurrence, \(u_n=9\times 2^n-6\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

2. Montrer que \(u_n\) est divisible par 6 pour tout \(n\geq\, 1\).

Pour \(n\geq\, 1\), \(2^n=2\times 2^{n-1}\) avec \(2^{n-1}\) entier, donc

\[u_n=18\times 2^{n-1}-6=6(3\times 2^{n-1}-1).\]

Le facteur \(3\times 2^{n-1}-1\) est un entier naturel (il vaut au moins 2), donc \(u_n\) est divisible par 6. Par ailleurs, on pose alors \(v_n=\dfrac{u_n}{6}=3\times 2^{n-1}-1\) pour \(n\geq\, 1\).

3. L’affirmation « pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(v_n\) est un nombre premier » est-elle vraie ?

\(n\)	1	2	3	4	5	6
\(u_n\)	12	30	66	138	282	570
\(v_n\)	2	5	11	23	47	95

Les cinq premiers termes sont premiers, mais \(v_6=95=5\times 19\) ne l’est pas. L’affirmation est fausse (contre-exemple \(n=6\)).

Exercice 5 : questions 4 à 5

4. a. Montrer que \(v_{n+1}-2v_n=1\) pour tout \(n\geq\, 1\).

\[v_{n+1}-2v_n=(3\times 2^{n}-1)-2(3\times 2^{n-1}-1)=3\times 2^{n}-1-3\times 2^{n}+2=1.\]

4. b. En déduire que \(v_n\) et \(v_{n+1}\) sont premiers entre eux.

L’égalité précédente s’écrit \(1\times v_{n+1}+(-2)\times v_n=1\). Puis il existe donc deux entiers relatifs \(1\) et \(-2\) réalisant une combinaison égale à 1 : d’après le théorème de Bézout, \(v_n\) et \(v_{n+1}\) sont premiers entre eux.

4. c. En déduire le PGCD de \(u_n\) et \(u_{n+1}\).

On a \(u_n=6v_n\) et \(u_{n+1}=6v_{n+1}\), donc \(\mathrm{PGCD}(u_n\ ;\ u_{n+1})=6\times \mathrm{PGCD}(v_n\ ;\ v_{n+1})=6\times 1\). Pour tout \(n\geq\, 1\), \(\mathrm{PGCD}(u_n\ ;\ u_{n+1})=6\).

5. a. Vérifier que \(2^4\equiv 1\ [5]\).

\(2^4=16=3\times 5+1\), donc \(2^4\equiv 1\ [5]\).

5. b. Montrer que si \(n=4k+2\) (\(k\in\mathbb{N}\)), alors \(u_n\) est divisible par 5.

\(u_{4k+2}=9\times (2^4)^k\times 2^2-6\equiv 9\times 1^k\times 4-6\equiv 30\equiv 0\ [5]\). Donc \(u_n\) est divisible par 5.

5. c. \(u_n\) est-il divisible par 5 pour les autres valeurs de \(n\) ?

On raisonne sur le reste de \(n\) dans la division par 4, en utilisant \((2^4)^k\equiv 1\ [5]\) :

• \(n=4k\) : \(u_n=9\times (2^4)^k-6\equiv 9-6\equiv 3\ [5]\) ;
• \(n=4k+1\) : \(u_n=18\times (2^4)^k-6\equiv 18-6=12\equiv 2\ [5]\) ;
• \(n=4k+3\) : \(u_n=72\times (2^4)^k-6\equiv 72-6=66\equiv 1\ [5]\).

Dans ces trois cas le reste est non nul : \(u_n\) est divisible par 5 si et seulement si \(n\) est de la forme \(4k+2\). (Contrôle : \(u_0=3\), \(u_1=12\), \(u_3=66\) ne sont pas multiples de 5, tandis que \(u_2=30\) et \(u_6=570\) le sont.)

Corrigé Antilles 2017 : méthode pour bien s’entraîner

Tout d’abord, travaillez l’énoncé du sujet en temps limité, sans ouvrir la correction. Ensuite, relisez la correction question par question et soulignez les arguments qui manquaient dans votre copie. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les nombres complexes ou la loi normale. Ensuite, pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à nombres complexes propose un rappel complet.

Les erreurs qui coûtent des points

• Avec les nombres complexes, ne confondez pas module et argument, et donnez l’argument dans l’intervalle demandé.
• Avec une loi normale, vérifiez à la calculatrice que vous avez bien saisi l’écart-type et non la variance.
• Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.

Corrigé Antilles 2017 : vos questions

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les nombres complexes, la loi normale et la fonction exponentielle, mais aussi la fonction logarithme népérien.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.