Corrigé du bac S de maths 2017 aux Antilles-Guyane

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Nombres complexes, 3 points, commun à tous les candidats

On étudie dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E)\) : \(z^4+2z^3-z-2=0\).

1. On cherche une solution entière de \((E)\).

Essayons \(z=1\) : \(1^4+2\times 1^3-1-2=1+2-1-2=0\). Le nombre 1 est donc une solution entière de \((E)\).

2. Il faut montrer que \((E)\) équivaut à \((z^2+z-2)(z^2+z+1)=0\).

Développons le produit : pour tout complexe \(z\),

\[(z^2+z-2)(z^2+z+1)=z^4+z^3+z^2+z^3+z^2+z-2z^2-2z-2=z^4+2z^3-z-2.\]

Les deux membres étant égaux pour tout \(z\), on a bien \(z^4+2z^3-z-2=0 \iff (z^2+z-2)(z^2+z+1)=0\).

3. Résolution de \((E)\) dans \(\mathbb{C}\).

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

• \(z^2+z-2=0\) : le discriminant vaut \(\Delta=1+8=9\), d’où \(z=\dfrac{-1-3}{2}=-2\) et \(z=\dfrac{-1+3}{2}=1\).
• \(z^2+z+1=0\) : le discriminant vaut \(\Delta=1-4=-3\lt 0\), d’où deux solutions complexes conjuguées \(z=\dfrac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\) et \(z=\dfrac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\).

L’ensemble des solutions est \(\mathcal{S}=\{1\ ;\ -2\ ;\ \dfrac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\}\).

4. Les quatre solutions sont les affixes des sommets d’un quadrilatère non croisé ABCD. Est-ce un losange ?

Pour que le quadrilatère soit non croisé, on place les points dans l’ordre de parcours autour de l’origine : \(z_A=1\), \(z_B=\dfrac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\), \(z_C=-2\), \(z_D=\dfrac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\).

• \(AB^2=|z_B-z_A|^2=|\dfrac{-3+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}|^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3\) ;
• \(BC^2=|z_C-z_B|^2=|\dfrac{-3-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}|^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3\) ;
• \(CD^2=|z_D-z_C|^2=|\dfrac{3-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}|^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3\) ;
• \(DA^2=|z_A-z_D|^2=|\dfrac{3+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}|^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3\).

Les quatre côtés mesurent \(\sqrt{3}\) : ABCD est un losange (ce n’est pas un carré, puisque ses diagonales \(AC=3\) et \(BD=\sqrt{3}\) n’ont pas la même longueur).

Exercice 2 :

Loi normale et échantillonnage, 4 points, commun à tous les candidats

L’épaisseur \(X\) (en µm) du nickel déposé sur une pièce suit la loi normale \(\mathcal{N}(25\ ;\ \sigma_1^2)\). Une pièce est conforme si l’épaisseur est comprise entre 22,8 µm et 27,2 µm, et l’on sait que \(P(X\gt 27{,}2)=0{,}023\).

1. a. Probabilité qu’une pièce soit conforme.

Les bornes \(22{,}8=25-2{,}2\) et \(27{,}2=25+2{,}2\) sont symétriques par rapport à l’espérance 25. Par symétrie de la courbe de densité, \(P(X\lt 22{,}8)=P(X\gt 27{,}2)=0{,}023\). Donc

\[P(22{,}8\leq\, X\leq\, 27{,}2)=1-2\times 0{,}023=0{,}954.\]

La probabilité qu’une pièce soit conforme est 0,954.

1. b. Justifier que \(\sigma_1\approx 1{,}1\) à \(10^{-1}\) près.

On sait que, pour une variable de loi \(\mathcal{N}(\mu\ ;\ \sigma^2)\), \(P(\mu-2\sigma\leq\, X\leq\, \mu+2\sigma)\approx 0{,}954\). Or la question précédente donne exactement \(P(25-2{,}2\leq\, X\leq\, 25+2{,}2)=0{,}954\). Par identification, \(2\sigma_1\approx 2{,}2\), soit \(\sigma_1\approx 1{,}1\).

1. c. Sachant qu’une pièce est conforme, probabilité que l’épaisseur soit inférieure à 24 µm (arrondie à \(10^{-3}\)).

On cherche une probabilité conditionnelle :

\[P_{22{,}8\leq\, X\leq\, 27{,}2}(X\lt 24)=\dfrac{P(22{,}8\leq\, X\lt 24)}{P(22{,}8\leq\, X\leq\, 27{,}2)}.\]

À la calculatrice, avec \(\mu=25\) et \(\sigma_1=1{,}1\) : \(P(22{,}8\leq\, X\lt 24)\approx 0{,}158\,90\). D’où

\[P_{22{,}8\leq\, X\leq\, 27{,}2}(X\lt 24)\approx\dfrac{0{,}158\,90}{0{,}954}\approx 0{,}167.\]

La probabilité cherchée vaut environ 0,167 (on trouve 0,166 si l’on garde au dénominateur la valeur non arrondie 0,954 5 donnée par la calculatrice ; les deux réponses sont acceptables).

2. a. Avec un nouveau procédé, l’épaisseur \(Y\) suit la loi \(\mathcal{N}(25\ ;\ \sigma_2^2)\) et l’on annonce 98 % de pièces conformes. Comparer \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\).

Les deux lois ont la même espérance 25 et l’intervalle de conformité est le même. Or \(P(22{,}8\leq\, Y\leq\, 27{,}2)=0{,}98\gt 0{,}954=P(22{,}8\leq\, X\leq\, 27{,}2)\) : la loi de \(Y\) est plus concentrée autour de 25, donc son écart type est plus petit. On a \(\sigma_2\lt \sigma_1\).

Complément (non demandé). La variable \(Z=\dfrac{Y-25}{\sigma_2}\) suit la loi normale centrée réduite. La condition s’écrit \(P(-\dfrac{2{,}2}{\sigma_2}\leq\, Z\leq\, \dfrac{2{,}2}{\sigma_2})=0{,}98\), soit \(2\Phi(\dfrac{2{,}2}{\sigma_2})-1=0{,}98\), donc \(\Phi(\dfrac{2{,}2}{\sigma_2})=0{,}99\). La calculatrice donne \(\dfrac{2{,}2}{\sigma_2}\approx 2{,}326\), d’où \(\sigma_2\approx 0{,}946\), ce qui confirme \(\sigma_2\lt \sigma_1\).

2. b. Sur 500 pièces testées, 15 ne sont pas conformes. Au seuil de 95 %, peut-on rejeter l’affirmation des ingénieurs ?

La fréquence observée de pièces conformes est \(f=\dfrac{485}{500}=0{,}97\). On teste l’hypothèse \(p=0{,}98\).

Conditions d’utilisation : \(n=500\geq\, 30\), \(np=490\geq\, 5\) et \(n(1-p)=10\geq\, 5\). L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est

\[I=[p-1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\ ;\ p+1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}]=[0{,}98-1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}98\times 0{,}02}{500}}\ ;\ 0{,}98+1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}98\times 0{,}02}{500}}].\]

En arrondissant la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès : \(I\approx[0{,}967\ ;\ 0{,}993]\).

Comme \(f=0{,}97\in I\), on ne peut pas rejeter l’affirmation de l’équipe d’ingénieurs au seuil de 95 %.

Exercice 3 :

Fonction exponentielle et tangentes, 3 points, commun à tous les candidats

On considère \(f(x)=\mathrm{e}^{x}\) et \(g(x)=\mathrm{e}^{-x}\). Pour un réel \(a\), M est le point de \(\mathcal{C}_f\) d’abscisse \(a\) et N celui de \(\mathcal{C}_g\) d’abscisse \(a\). La tangente en M coupe l’axe des abscisses en P, la tangente en N le coupe en Q.

1. Montrer que la tangente en M à \(\mathcal{C}_f\) est perpendiculaire à la tangente en N à \(\mathcal{C}_g\).

Les fonctions sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) avec \(f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}\) et \(g^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{-x}\). La tangente \(T_M\) a pour coefficient directeur \(\mathrm{e}^{a}\), donc pour vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\ \mathrm{e}^{a}\end{pmatrix}\) ; la tangente \(T_N\) a pour coefficient directeur \(-\mathrm{e}^{-a}\), donc pour vecteur directeur \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\ -\mathrm{e}^{-a}\end{pmatrix}\).

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times 1+\mathrm{e}^{a}\times (-\mathrm{e}^{-a})=1-\mathrm{e}^{0}=0.\]

Le produit scalaire est nul : les deux tangentes sont perpendiculaires, quel que soit \(a\). (On peut aussi remarquer que le produit des coefficients directeurs vaut \(-1\).)

2. a. Conjecture sur la longueur PQ.

Les valeurs relevées dans le tableur sont toutes égales à 2 : on conjecture que PQ = 2 pour tout réel \(a\).

2. b. Démonstration de la conjecture.

• La tangente en M a pour équation \(y=\mathrm{e}^{a}(x-a)+\mathrm{e}^{a}\). Le point P vérifie \(y=0\) : \(\mathrm{e}^{a}(x_P-a+1)=0\), et comme \(\mathrm{e}^{a}\neq 0\), \(x_P=a-1\).
• La tangente en N a pour équation \(y=-\mathrm{e}^{-a}(x-a)+\mathrm{e}^{-a}\). Le point Q vérifie \(y=0\) : \(\mathrm{e}^{-a}(-x_Q+a+1)=0\), d’où \(x_Q=a+1\).

P et Q sont sur l’axe des abscisses, donc \(PQ=|x_Q-x_P|=|(a+1)-(a-1)|=2\). La longueur PQ vaut toujours 2.

Exercice 4 :

Fonction logarithme et suites, 5 points, commun à tous les candidats

Pour \(n\) entier strictement positif, on étudie l’équation \((E_n)\) : \(\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1}{n}\), d’inconnue \(x\gt 0\).

Partie A

On pose \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0\ ;\ +\infty[\).

1. Variations de \(f\).

\(f\) est un quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=\ln x\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\), \(v(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=1\). Pour tout \(x\gt 0\) :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x\times 1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}.\]

Comme \(x^2\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1-\ln x\). Or \(1-\ln x\gt 0\iff \ln x\lt 1\iff x\lt \mathrm{e}\) (la fonction exponentielle étant strictement croissante), et \(1-\ln x=0\iff x=\mathrm{e}\).

\(x\)	0		\(\mathrm{e}\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		+	0	−
variations de \(f\)		croissante	\(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\)	décroissante

\(f\) est strictement croissante sur \(]0\ ;\ \mathrm{e}]\) et strictement décroissante sur \([\mathrm{e}\ ;\ +\infty[\).

2. Maximum de \(f\).

D’après le tableau, le maximum de \(f\) est atteint en \(x=\mathrm{e}\) et vaut \(f(\mathrm{e})=\dfrac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\).

Partie B

1. Montrer que, pour \(n\geq\, 3\), l’équation \(f(x)=\dfrac{1}{n}\) admet une unique solution \(\alpha_n\) sur \([1\ ;\ \mathrm{e}]\).

• Comme \(\mathrm{e}\approx 2{,}718\lt 3\leq\, n\), la fonction inverse étant décroissante sur \(]0\ ;\ +\infty[\), on obtient \(0\lt \dfrac{1}{n}\leq\, \dfrac{1}{3}\lt \dfrac{1}{\mathrm{e}}\).
• \(f\) est continue et strictement croissante sur \([1\ ;\ \mathrm{e}]\), avec \(f(1)=0\) et \(f(\mathrm{e})=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\).
• \(\dfrac{1}{n}\) est compris entre \(f(1)=0\) et \(f(\mathrm{e})=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\).

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=\dfrac{1}{n}\) admet une unique solution \(\alpha_n\) dans \([1\ ;\ \mathrm{e}]\).

2. a. Conjecture sur le sens de variation de \((\alpha_n)\) à l’aide des droites \(D_3\), \(D_4\), \(D_5\) d’équations \(y=\dfrac{1}{3}\), \(y=\dfrac{1}{4}\), \(y=\dfrac{1}{5}\).

\(\alpha_n\) est l’abscisse du point d’intersection de \(\mathcal{C}\) et de \(D_n\) situé entre 1 et e. Quand \(n\) augmente, la droite \(D_n\) descend et ce point se déplace vers la gauche : la suite \((\alpha_n)\) semble décroissante.

2. b. Comparer \(f(\alpha_n)\) et \(f(\alpha_{n+1})\), puis en déduire le sens de variation de \((\alpha_n)\).

Par définition, \(f(\alpha_n)=\dfrac{1}{n}\) et \(f(\alpha_{n+1})=\dfrac{1}{n+1}\). Comme \(n\lt n+1\), on a \(\dfrac{1}{n}\gt \dfrac{1}{n+1}\), donc \(f(\alpha_n)\gt f(\alpha_{n+1})\).

Les réels \(\alpha_n\) et \(\alpha_{n+1}\) appartiennent à \([1\ ;\ \mathrm{e}]\), intervalle sur lequel \(f\) est strictement croissante. Si l’on avait \(\alpha_n\leq\, \alpha_{n+1}\), on aurait \(f(\alpha_n)\leq\, f(\alpha_{n+1})\), ce qui est faux. Donc \(\alpha_{n+1}\lt \alpha_n\) : la suite \((\alpha_n)\) est strictement décroissante.

2. c. En déduire que \((\alpha_n)\) converge.

La suite \((\alpha_n)\) est décroissante et minorée par 1 (puisque \(\alpha_n\in[1\ ;\ \mathrm{e}]\)). D’après le théorème de convergence monotone, \((\alpha_n)\) converge, vers une limite \(\ell\geq\, 1\).

3. On admet que \((E_n)\) possède, pour \(n\geq\, 3\), une autre solution \(\beta_n\) avec \(1\leq\, \alpha_n\leq\, \mathrm{e}\leq\, \beta_n\).

3. a. On admet que \((\beta_n)\) est croissante. Montrer que \(\beta_n\geq\, n\,\dfrac{\beta_3}{3}\) pour tout \(n\geq\, 3\).

Comme \(\beta_n\) est solution de \((E_n)\) : \(\dfrac{\ln \beta_n}{\beta_n}=\dfrac{1}{n}\), soit \(\ln\beta_n=\dfrac{\beta_n}{n}\). En particulier \(\ln \beta_3=\dfrac{\beta_3}{3}\).

La suite \((\beta_n)\) étant croissante, \(\beta_n\geq\, \beta_3\) pour tout \(n\geq\, 3\), et comme \(\ln\) est croissante sur \(]0\ ;\ +\infty[\), \(\ln\beta_n\geq\, \ln\beta_3\). On obtient

\[\dfrac{\beta_n}{n}=\ln\beta_n\geq\, \ln\beta_3=\dfrac{\beta_3}{3},\quad\text{donc}\quad \beta_n\geq\, n\,\dfrac{\beta_3}{3}.\]

3. b. Limite de \((\beta_n)\).

Comme \(\beta_3\geq\, \mathrm{e}\gt 0\), on a \(\lim\limits_{n\to+\infty} n\,\dfrac{\beta_3}{3}=+\infty\). Puisque \(\beta_n\geq\, n\,\dfrac{\beta_3}{3}\), le théorème de comparaison donne \(\lim\limits_{n\to+\infty}\beta_n=+\infty\).

Exercice 5 :

Enseignement obligatoire : géométrie dans l’espace, 5 points

Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne \(A(-1\ ;\ 2\ ;\ 0)\), \(B(1\ ;\ 2\ ;\ 4)\) et \(C(-1\ ;\ 1\ ;\ 1)\).

1. a. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés.

On a \(\vec{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\). Si ces vecteurs étaient colinéaires, il existerait \(k\) tel que \(\vec{AB}=k\,\vec{AC}\) ; la première coordonnée donnerait \(2=k\times 0\), ce qui est impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés.

1. b. Produit scalaire \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\).

\[\vec{AB}\cdot\vec{AC}=2\times 0+0\times (-1)+4\times 1=4.\]

1. c. Mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\) arrondie au degré.

\(AB=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) et \(AC=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}\). Or \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AC\times \cos\widehat{BAC}\), donc

\[\cos\widehat{BAC}=\dfrac{4}{2\sqrt{5}\times \sqrt{2}}=\dfrac{4}{2\sqrt{10}}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\approx 0{,}632.\]

\(\widehat{BAC}\approx 51^\circ\).

2. a. Montrer que \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\) est normal au plan (ABC).

\(\vec{n}\cdot\vec{AB}=4+0-4=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{AC}=0+1-1=0\). Le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c’est un vecteur normal à ce plan.

2. b. Équation cartésienne du plan (ABC).

Le plan admet une équation de la forme \(2x-y-z+d=0\). Il passe par \(A(-1\ ;\ 2\ ;\ 0)\), donc \(-2-2-0+d=0\), soit \(d=4\). (ABC) : \(2x-y-z+4=0\). (Vérification avec B : \(2-2-4+4=0\) ; avec C : \(-2-1-1+4=0\).)

3. Soit \(\mathcal{P}_1\) le plan d’équation \(3x+y-2z+3=0\) et \(\mathcal{P}_2\) le plan passant par O et parallèle au plan d’équation \(x-2z+6=0\).

3. a. Montrer que \(\mathcal{P}_2\) a pour équation \(x=2z\).

Deux plans parallèles ont les mêmes vecteurs normaux : \(\mathcal{P}_2\) admet une équation de la forme \(x-2z+d=0\). Comme O appartient à \(\mathcal{P}_2\), \(0-0+d=0\), donc \(d=0\). \(\mathcal{P}_2\) : \(x-2z=0\), c’est-à-dire \(x=2z\).

3. b. Montrer que \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont sécants.

Des vecteurs normaux sont \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\). S’il existait \(k\) tel que \(\vec{n_1}=k\,\vec{n_2}\), la deuxième coordonnée donnerait \(1=k\times 0\), ce qui est impossible : ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants (selon une droite).

3. c. Montrer que la droite \(d\) de représentation paramétrique \(x=2t\), \(y=-4t-3\), \(z=t\) (\(t\in\mathbb{R}\)) est l’intersection de \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\).

Soit \(M(x\ ;\ y\ ;\ z)\). En posant \(z=t\), la condition \(M\in\mathcal{P}_2\) s’écrit \(x=2t\). Alors \(M\in\mathcal{P}_1\) s’écrit \(3\times 2t+y-2t+3=0\), soit \(y=-4t-3\). Ainsi

\[M\in\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\iff \text{il existe } t\in\mathbb{R} \text{ tel que } \begin{cases}x=2t\\ y=-4t-3\\ z=t\end{cases}\]

La droite \(d\) est donc l’intersection des plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\).

3. d. Montrer que \(d\) coupe (ABC) en un point I dont on donnera les coordonnées.

Un point de \(d\) de paramètre \(t\) appartient à (ABC) si et seulement si

\[2\times 2t-(-4t-3)-t+4=0\iff 4t+4t+3-t+4=0\iff 7t+7=0\iff t=-1.\]

L’équation a une unique solution, donc \(d\) coupe le plan (ABC) en un seul point, obtenu pour \(t=-1\) : \(I(-2\ ;\ 1\ ;\ -1)\). (Vérification : \(2\times (-2)-1-(-1)+4=0\).)

Exercice 5 :

Enseignement de spécialité : arithmétique et suites, 5 points

On considère la suite définie par \(u_0=3\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=2u_n+6\).

1. Montrer par récurrence que \(u_n=9\times 2^n-6\) pour tout entier naturel \(n\).

• Initialisation. \(9\times 2^0-6=9-6=3=u_0\) : la propriété est vraie au rang 0.
• Hérédité. Supposons \(u_n=9\times 2^n-6\) pour un entier \(n\) fixé. Alors \(u_{n+1}=2(9\times 2^n-6)+6=9\times 2^{n+1}-12+6=9\times 2^{n+1}-6\) : la propriété est vraie au rang \(n+1\).
• Conclusion. Par récurrence, \(u_n=9\times 2^n-6\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

2. Montrer que \(u_n\) est divisible par 6 pour tout \(n\geq\, 1\).

Pour \(n\geq\, 1\), \(2^n=2\times 2^{n-1}\) avec \(2^{n-1}\) entier, donc

\[u_n=18\times 2^{n-1}-6=6(3\times 2^{n-1}-1).\]

Le facteur \(3\times 2^{n-1}-1\) est un entier naturel (il vaut au moins 2), donc \(u_n\) est divisible par 6. On pose alors \(v_n=\dfrac{u_n}{6}=3\times 2^{n-1}-1\) pour \(n\geq\, 1\).

3. L’affirmation « pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(v_n\) est un nombre premier » est-elle vraie ?

\(n\)	1	2	3	4	5	6
\(u_n\)	12	30	66	138	282	570
\(v_n\)	2	5	11	23	47	95

Les cinq premiers termes sont premiers, mais \(v_6=95=5\times 19\) ne l’est pas. L’affirmation est fausse (contre-exemple \(n=6\)).

4. a. Montrer que \(v_{n+1}-2v_n=1\) pour tout \(n\geq\, 1\).

\[v_{n+1}-2v_n=(3\times 2^{n}-1)-2(3\times 2^{n-1}-1)=3\times 2^{n}-1-3\times 2^{n}+2=1.\]

4. b. En déduire que \(v_n\) et \(v_{n+1}\) sont premiers entre eux.

L’égalité précédente s’écrit \(1\times v_{n+1}+(-2)\times v_n=1\). Il existe donc deux entiers relatifs \(1\) et \(-2\) réalisant une combinaison égale à 1 : d’après le théorème de Bézout, \(v_n\) et \(v_{n+1}\) sont premiers entre eux.

4. c. En déduire le PGCD de \(u_n\) et \(u_{n+1}\).

On a \(u_n=6v_n\) et \(u_{n+1}=6v_{n+1}\), donc \(\mathrm{PGCD}(u_n\ ;\ u_{n+1})=6\times \mathrm{PGCD}(v_n\ ;\ v_{n+1})=6\times 1\). Pour tout \(n\geq\, 1\), \(\mathrm{PGCD}(u_n\ ;\ u_{n+1})=6\).

5. a. Vérifier que \(2^4\equiv 1\ [5]\).

\(2^4=16=3\times 5+1\), donc \(2^4\equiv 1\ [5]\).

5. b. Montrer que si \(n=4k+2\) (\(k\in\mathbb{N}\)), alors \(u_n\) est divisible par 5.

\(u_{4k+2}=9\times (2^4)^k\times 2^2-6\equiv 9\times 1^k\times 4-6\equiv 30\equiv 0\ [5]\). Donc \(u_n\) est divisible par 5.

5. c. \(u_n\) est-il divisible par 5 pour les autres valeurs de \(n\) ?

On raisonne sur le reste de \(n\) dans la division par 4, en utilisant \((2^4)^k\equiv 1\ [5]\) :

• \(n=4k\) : \(u_n=9\times (2^4)^k-6\equiv 9-6\equiv 3\ [5]\) ;
• \(n=4k+1\) : \(u_n=18\times (2^4)^k-6\equiv 18-6=12\equiv 2\ [5]\) ;
• \(n=4k+3\) : \(u_n=72\times (2^4)^k-6\equiv 72-6=66\equiv 1\ [5]\).

Dans ces trois cas le reste est non nul : \(u_n\) est divisible par 5 si et seulement si \(n\) est de la forme \(4k+2\). (Contrôle : \(u_0=3\), \(u_1=12\), \(u_3=66\) ne sont pas multiples de 5, tandis que \(u_2=30\) et \(u_6=570\) le sont.)