Voici tous les exercices bac de maths des annales sur le raisonnement par récurrence, classés du plus récent au plus ancien.
Démontrer une propriété pour tout entier naturel : c’est l’objet de ces 84 exercices où la récurrence au bac est explicitement demandée. Ils proviennent des sujets officiels de 2009 à 2026 et portent le plus souvent sur un encadrement de suite, une monotonie ou une formule explicite.
L’initialisation se règle en une ligne ; tout se joue dans l’hérédité. Il faut partir de l’hypothèse, appliquer la fonction associée à la suite en exploitant ses variations, ou manipuler une inégalité sans en changer le sens par erreur. Oublier la conclusion finale coûte aussi des points.
La liste commence par les annales les plus récentes. Chaque ligne indique l’année, le centre et le barème, et mène au sujet complet pour replacer la question dans son exercice. Le corrigé de chacune est accessible en bas de page, une fois votre démonstration rédigée. Un bon entraînement pour ce type de question très fréquent.
Exercices bac de maths par thème · Corrigé bac de maths : Récurrence
Exercices bac de maths : les 84 exercices des annales sur le raisonnement par récurrence
Session 2026
Amérique du Nord – jour 2 · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
Fonction \(f(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}\) et suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) : variations, récurrence et convergence. Par ailleurs, suite géométrique auxiliaire, script Python et encadrement d’une somme de carrés.
Antilles-Guyane – jour 1 · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
Quantité de médicament dans le sang : équation différentielle \(y^{\prime}=-0{,}3y+1\), limite et variations. Ensuite, seuil de toxicité, suite arithmético-géométrique étudiée par récurrence et convergence.
Asie – jour 2 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2u_n-3}\) : encadrement par récurrence et convergence vers 1. Enfin, fonction seuil en Python.
France – jour 1 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
Chauffage d’une pièce : équation différentielle \(y^{\prime}=-0{,}035y+0{,}91\) pour la chauffe, suite de refroidissement et récurrence. En outre, limite et boucle Python.
France (septembre) – jour 2 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Lancers francs au basket : loi binomiale et seuil avec script Python. Ensuite, arbre pondéré et suite \(p_{n+1}=0{,}3p_n+0{,}4\) étudiée par récurrence.
France – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Pollution d’un bassin de truites : suite \(V_{n+1}=0{,}995V_n+6\) avec programme Python et récurrence. Puis, modèle continu \(y^{\prime}=-0{,}005y+6\) et seuil de 50 litres.
Polynésie – jour 1 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=\ln(3u_n^2+1)\) : récurrence d’encadrement et convergence. Enfin, étude de \(g(x)=\ln(3x^2+1)-x\) et théorème des valeurs intermédiaires pour la limite.
Session 2025
Amérique du Nord – jour 1 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Suite homographique \(u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+2}\) : suite auxiliaire et minoration par récurrence. Par ailleurs, limites et interprétation d’un programme Python de seuil.
Amérique du Sud – jour 2 · Exercice 3 · 4 points Spécialité maths
Suites \(v_{n+1}=\ln(-1+2\text{e}^{v_n})\) et \(w_n\) : formule de tableur, récurrence sur le sens de variation et suite géométrique. Ensuite, limite et algorithme de seuil en Python.
Asie (septembre) · Exercice 4 · 5,25 points Spécialité maths
Suite d’évènements \(A_n\) : arbres pondérés, probabilité conditionnelle et relation \(p_{n+1}=-0{,}4p_n+0{,}7\). Enfin, suite géométrique auxiliaire, limite et cas général démontré par récurrence.
Asie – jour 1 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Dose de médicament modélisée par \(u_{n+1}=2+0{,}8u_n\) : récurrence, limite et seuil de 9 mL. En outre, moyenne \(S_n\) des quantités et fonction Python mystere.
Asie – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Suite arithmético-géométrique \(u_{n+1}=\dfrac12u_n+10\) et suite géométrique associée, puis suite \((w_n)\) : correction d’une fonction Python et récurrence. Ensuite, convergence.
Centres étrangers – jour 2 · Exercice 1 · 6 points Spécialité maths
Populations animales dans deux milieux : suite géométrique, suite \(v_{n+1}=-0{,}05v_n^2+1{,}1v_n\) et récurrence. Puis, convergence, limite point fixe et programme Python comparant les populations.
France (septembre) – jour 1 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
Deux suites convergeant vers 2 : \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n-2}\) par récurrence et fonction Python rang. Enfin, suite homographique via une suite géométrique auxiliaire.
France – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Posidonie de Porquerolles : suite \(u_{n+1}=-0{,}02u_n^2+1{,}3u_n\), récurrence et limite. De plus, algorithme de seuil et modèle logistique par équation différentielle.
France (septembre) – jour 2 · Exercice 1 · 6 points Spécialité maths
Phénomène El Niño : loi binomiale sur dix ans, espérance et arbre donnant \(p_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}3\). Par ailleurs, récurrence, suite géométrique et limite.
Nouvelle-Calédonie – jour 2 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=\ln(\mathrm{e}^{u_n/2}+2)\) : croissance de la fonction, récurrence et convergence. Ensuite, équation se ramenant au second degré et calcul de la limite.
Session 2024
Amérique du Nord – jour 2 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
Suite définie par \(u_{n+1}=2u_n-u_n^2\) : récurrence et convergence. En outre, suite auxiliaire géométrique \(v_n=\ln(1-u_n)\) et script Python de seuil.
Centres étrangers – jour 1 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=2x\mathrm{e}^{-x}\) sur [0 ; 1], suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) : récurrence et convergence vers \(\ln 2\). Ensuite, script Python de seuil.
Centres étrangers – jour 2 · Exercice 4 · 4 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=\sqrt{x+1}\) et de son point fixe, puis suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) : récurrence et convergence vers le nombre d’or. Puis, script Python de seuil.
France (septembre) – jour 1 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Vrai-faux sur les suites : suite géométrique auxiliaire, théorème des gendarmes et conjecture par récurrence. Enfin, limite de \(\mathrm{e}^n-n\) et suite définie par un script Python.
France – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Taux de chlore d’une piscine : suite arithmético-géométrique \(v_{n+1}=0{,}92v_n+0{,}3\) et récurrence. De plus, limite et modèle continu par équation différentielle \(y^{\prime}=-0{,}08y+\dfrac{q}{4}\).
France (septembre) – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Déplacements aléatoires d’un robot : arbre pondéré, probabilités totales, inversées et suite \(p_{n+1}=\frac{1}{4}p_n+\frac{1}{2}\). Par ailleurs, récurrence, suite géométrique, limite et loi binomiale.
Polynésie (septembre) · Exercice 3 · 4 points Spécialité maths
Pyramide de boules à base carrée : somme \(S_n\) des carrés et fonction Python à compléter. Ensuite, démonstration par récurrence de \(S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
Polynésie – jour 1 · Exercice 4 · 6 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=\dfrac{4}{5-u_n}\) : fonction Python, conjectures et croissance de \(f\). Enfin, récurrence, point fixe et limite de la suite.
Polynésie – jour 2 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=u_n-\ln(u_n/4)\) : fonction Python de somme, de moyenne et variations de \(f\). En outre, récurrence, convergence et limite point fixe.
Session 2023
Amérique du Nord – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Méthode de Héron \(u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{11}{u_n})\) : variations, récurrence et convergence vers \(\sqrt{11}\). Puis, interprétation par des rectangles d’aire 11 et script Python.
Amérique du Nord – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Échanges de sportifs entre deux clubs : suite \(a_{n+1}=0{,}75a_n+300\), récurrence et suite géométrique associée. Enfin, limite et programme Python de seuil.
Amérique du Sud – jour 1 · Exercice 4 · 5 points Spécialité maths
Suite logistique \(u_{n+1}=2u_n(1-u_n)\) : variations de la fonction associée, récurrence et convergence. De plus, limite, modèle de population de Verhulst avec suite géométrique et stabilisation.
Amérique du Sud – jour 2 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=5u_n-8n+6\) : fonction Python, minoration par récurrence et limite. Par ailleurs, monotonie et suite auxiliaire géométrique donnant la forme explicite de \(u_n\).
Asie – jour 1 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Suite arithmético-géométrique \(u_{n+1}=0,9u_n+60\) : récurrence, convergence et limite. Ensuite, fonction Python de seuil et application au nombre d’arbres d’un verger.
Asie – jour 2 · Exercice 3 · 4 points Spécialité maths
Désintégration du polonium : suite arithmético-géométrique, récurrence et suite géométrique auxiliaire. Enfin, limite, seuil par le calcul et fonction Python noyaux à compléter.
Centres étrangers – jour 1 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Trajets de Monsieur Durand en vélo ou en transports en commun : arbres pondérés, probabilité conditionnelle et suite \(p_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}6\). En outre, démonstration par récurrence et limite.
Centres étrangers – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=x-\ln(1+x)\) : variations, signe et limite. Ensuite, suite \(u_{n+1}=u_n-\ln(1+u_n)\) : récurrence, monotonie et convergence.
France – jour 1 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Nombre de questions d’une FAQ : suite arithmético-géométrique, récurrence et programme Python de seuil. Puis, modèle exponentiel et comparaison des deux modèles.
France – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Population d’insectes : suite géométrique \(0{,}1\times 1{,}6^n\), seuil et modèle \(v_{n+1}=1{,}6v_n-1{,}6v_n^2\). Enfin, récurrence, limite et fonction Python seuil.
France (septembre) – jour 2 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=\frac{1}{e}(1+\frac{1}{n})u_n\) : programme Python, décroissance et convergence. De plus, formule \(u_n=\frac{n}{e^n}\) par récurrence et limite.
La Réunion – jour 1 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{1}{2}n+1\) : QCM sur les termes, une suite auxiliaire et un script Python. Par ailleurs, encadrement par récurrence et limites.
La Réunion – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Suite homographique \(u_{n+1}=\frac{6u_n+2}{u_n+5}\) : fonction croissante, récurrence et convergence. Ensuite, suite géométrique auxiliaire, limite et fonction seuil en Python.
Mayotte-Liban – jour 2 · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=\ln(2u_n+3)-1\) : fonction auxiliaire, limites, variations et valeurs intermédiaires. Enfin, encadrement de \(\alpha\), intervalle stable, récurrence et convergence.
Nouvelle-Calédonie – jour 1 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=5u_n-4n-3\) : récurrence \(u_n\geq\, n+1\), limite et suite géométrique auxiliaire. En outre, expression explicite et programme Python de seuil.
Nouvelle-Calédonie – jour 2 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Suite homographique \(u_{n+1}=\frac{-u_n-4}{u_n+3}\) : fonction Python et récurrence. Ensuite, convergence et suite auxiliaire arithmétique donnant la limite.
Polynésie (septembre) · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=\frac34u_n^2-2u_n+3\) : variations de \(f\), récurrence et convergence vers 2. Puis, fonction seuil en Python et raisonnement par l’absurde.
Polynésie – jour 1 · Exercice 4 · 6 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=0{,}9u_n-0{,}3\) étudiée par récurrence, fonction \(g(x)=\ln(0{,}5x+1{,}5)-x\) et valeurs intermédiaires, puis suite arithmétique définie par un logarithme.
Session 2022
Amérique du Nord – jour 1 · Exercice 2 · 7 points Spécialité maths
Refroidissement d’un gâteau selon la loi de Newton : suite \(T_{n+1}=0{,}955T_n+0{,}9\), récurrence et suite géométrique auxiliaire. Par ailleurs, limite, inéquation et fonction Python.
Amérique du Nord – jour 2 · Exercice 1 · 7 points Spécialité maths
Location de vélos entre deux points : arbres pondérés, probabilité inversée et suite \(a_{n+1}=0,6a_n+0,24\). Ensuite, formule explicite par récurrence, limite et seuil.
Amérique du Sud – jour 1 · Exercice 2 · 7 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=\frac15u_n^2\) : fonction Python, récurrence et monotonie. Enfin, limite et suite géométrique auxiliaire obtenue avec le logarithme népérien.
Amérique du Sud – jour 2 · Exercice 3 · 7 points Spécialité maths
Espèce menacée dans une réserve : suite \(u_{n+1}=0{,}9u_n+100\), récurrence et suite géométrique associée. En outre, limite et programme Python de seuil de population.
Asie – jour 2 · Exercice 4 · 7 points Spécialité maths
Descendance d’une bactérie : suite \(p_{n+1}=0{,}3+0{,}7p_n^2\), tableur, conjectures et récurrence. Ensuite, convergence, limite par équation du second degré et fonction Python.
France (septembre) – jour 1 · Exercice 3 · 7 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) et de l’équation \(f(x)=k\), puis suite \(u_{n+1}=\mathrm{e}^{u_n/4}\), récurrence, convergence et valeur approchée de la limite.
France (septembre) – jour 2 · Exercice 3 · 7 points Spécialité maths
Fonction \(f(x)=x-x\ln x\) : limites, dérivée et variations. Enfin, suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) par récurrence, convergence et maximum de la famille \(f_k\).
Mayotte-Liban – jour 1 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
Étude de \(f(x)=1+x-e^{0{,}5x-2}\) : limites, variations, TVI et suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\). De plus, récurrence, limite et programme Python.
Mayotte-Liban – jour 2 · Exercice 4 · 6 points Spécialité maths
Fonction \(f(x)=e^{-x}+\ln x\) sur \(]0;1]\) : limite, variations et solution unique. Par ailleurs, suites croisées \(a_{n+1}=e^{-b_n}\), récurrence et convergence.
Nouvelle-Calédonie – jour 1 · Exercice 2 · 7 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f(x)=x^3e^x\) : fonction Python, dérivée et variations. Ensuite, encadrement par récurrence, convergence et limite.
Polynésie (septembre) · Exercice 2 · 7 points Spécialité maths
Suite logistique \(u_{n+1}=ku_n(1-u_n)\) : variations de \(f\), conjecture graphique et encadrement par récurrence. Enfin, convergence et terminaison d’une boucle Python.
Polynésie – jour 1 · Exercice 3 · 7 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}\) : premiers termes, script Python de liste et monotonie. En outre, convergence, limite et conjecture de \(u_n\) démontrée par récurrence.
Polynésie – jour 2 · Exercice 3 · 7 points Spécialité maths
Colonie d’oiseaux modélisée par \(u_{n+1}=0,008u_n(200-u_n)\) : point fixe, fonction croissante et récurrence. Ensuite, convergence, limite et algorithme de seuil Python qui ne s’arrête pas.
Session 2021
Amérique du Nord · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Population animale sur une île du Pacifique : suite \(u_{n+1}=0{,}75u_n(1-0{,}15u_n)\), étude de fonction et récurrence. Enfin, convergence et fonction Python de seuil d’extinction.
Asie – jour 1 · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Abonnés d’une influenceuse : suite \(u_{n+1}=0{,}9u_n+250\), fonction Python et majoration par récurrence. De plus, suite géométrique auxiliaire, limite et programme de seuil.
Centres étrangers – jour 1 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Télétravail dans une entreprise : suite arithmético-géométrique, suite géométrique auxiliaire et seuil. Par ailleurs, suite homographique étudiée par récurrence et encadrement.
Centres étrangers – jour 2 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Panneaux solaires d’une centrale : suite arithmético-géométrique, programme Python et récurrence. Ensuite, suite géométrique, limite et modèle \(f(x)=12\,500-500\mathrm{e}^{-0{,}02x+1{,}4}\).
France (septembre) – jour 1 · Exercice 2 · 5 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=\frac{4u_n}{1+3u_n}\) : encadrement par récurrence, convergence et fonction Python de seuil. Enfin, suite géométrique auxiliaire et formule explicite de \(u_n\).
France – jour 1 · Exercice 3 · 6 points Spécialité maths
Décongélation de gâteaux : modèle linéaire, suite \(T_{n+1}=0{,}94T_n+1{,}5\) et récurrence. En outre, suite géométrique auxiliaire, limite et programme Python de seuil.
France (mars) – jour 2 · Exercice 2 · 6 points Spécialité maths
Suites couplées \(u_{n+1}=u_n+v_n\) et \(v_{n+1}=2u_n+v_n\) : monotonie, récurrence et limite. Ensuite, convergence de \(v_n/u_n\) vers \(\sqrt2\) et programme Python.
France – jour 2 · Exercice 3 · 5 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=\dfrac{4u_n}{u_n+4}\) : conjecture sur tableur, positivité par récurrence et décroissance. Puis, suite arithmétique \(\dfrac{4}{u_n}\), expression explicite et limite.
Polynésie · Exercice 1 · 5 points Spécialité maths
Suite \(u_{n+1}=0{,}95u_n+200\) : minoration par récurrence, convergence et suite géométrique auxiliaire. Enfin, limite et évolution d’une population animale.
Session 2020
Antilles-Guyane (septembre) · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Équation de Pell-Fermat \(x^2-5y^2=1\) : parité, nombres premiers entre eux et congruences modulo 5. Par ailleurs, solutions générées par une matrice et divisibilité par 9.
France (septembre) · Exercice 4 · 5 points Bac S
Produit \(v_n=u_1\times \dots\times u_n\) avec \(u_n=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\) : algorithme, monotonie et convergence. Ensuite, récurrence, limite et somme de logarithmes.
France (septembre) · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Entiers \(a_n=6\times 5^n-2\) et \(b_n=3\times 5^n+1\) : congruences, PGCD et divisibilité par 7. Enfin, algorithme corrigé et suites couplées écrites avec une matrice.
Polynésie (septembre) · Exercice 4 · 5 points Bac S
Suite complexe \(z_{n+1}=(1+i)z_n-i\) : points dans le plan, triangle isocèle rectangle et suite de modules géométrique. En outre, forme exponentielle et récurrence.
Polynésie (septembre) · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Puissances d’une matrice 3×3 et suites couplées : diagonalisation et récurrence \(A^n=PD^nP^{-1}\). Ensuite, expression de \(a_n\) et congruences modulo 5.
Session 2019
Amérique du Nord · Exercice 3 · 6 points Bac S
Inégalité \(\ln(x+1)\leq\, x\) par étude de fonction, puis suite \(u_{n+1}=u_n-\ln(1+u_n)\) : récurrence, monotonie et convergence. Enfin, limite et algorithme de seuil.
Nouvelle-Calédonie (mars) · Exercice 4 · 5 points Bac S
Suite \(u_{n+1}=\frac{u_n}{u_n+8}\) : formule de tableur, conjectures, algorithme et récurrence. De plus, convergence, suite géométrique auxiliaire, expression explicite et seuil.
Session 2018
France · Exercice 4 · 5 points Bac S
Points d’affixes \(z_{n+1}=\frac{3-i\sqrt3}{4}z_n\) : forme exponentielle et récurrence. Ensuite, suite géométrique des modules et limite de la longueur d’une ligne brisée.
Pondichéry · Exercice 1 · 6 points Bac S
Refroidissement d’un four à céramique : suite \(T_{n+1}=0{,}82T_n+3{,}6\), récurrence et seuil par logarithme. Enfin, modèle exponentiel \(f(t)=980\text{e}^{-t/5}+20\) avec limite et variations.
Session 2017
France · Exercice 4 Bac S – spécialité
Triangles rectangles presque isocèles : équation \(y^2=2x^2+2x+1\), parité et théorème de Bézout. Ensuite, suites définies par une relation matricielle et récurrence.
Session 2013
Amérique du Nord · Exercice 2 · 5 points Bac S
Suite \(u_{n+1}=\sqrt{2u_n}\) : algorithme, récurrence, monotonie et convergence. Enfin, suite géométrique auxiliaire avec logarithme, limite et algorithme de seuil.
France · Exercice 4 · 5 points Bac S
Suite \(u_{n+1}=\frac{2}{3}u_n+\frac{1}{3}n+1\) : premiers termes, récurrence et monotonie. De plus, suite géométrique auxiliaire, limite et limite d’une somme divisée par \(n^2\).
France · Exercice 4 · 5 points Bac S – spécialité
Migrations entre ville et campagne : suites couplées écrites \(U_{n+1}=AU_n\) et diagonalisation \(P^{-1}AP=D\). Par ailleurs, récurrence sur \(A^n\) et évolution de la population.
Liban · Exercice 4 · 5 points Bac S
Suite \(v_{n+1}=\frac{9}{6-v_n}\) : choix d’un algorithme, conjecture et encadrement par récurrence. Ensuite, monotonie, convergence et suite arithmétique auxiliaire \(w_n=\frac{1}{v_n-3}\).
Polynésie · Exercice 4 · 5 points Bac S
Corrigé : suite \(u_{n+1}=\frac{3u_n}{1+2u_n}\), positivité par récurrence et monotonie. Enfin, convergence, suite géométrique auxiliaire de raison 3 et limite égale à 1.
Session 2012
Antilles-Guyane · Exercice 3 · 5 points Bac S
Suite \(u_{n+1}=\frac{n+1}{2n}u_n\) : récurrence et monotonie. Ensuite, suite géométrique auxiliaire donnant \(u_n=\frac{n}{2^n}\) et limite grâce à \(\ln x-x\ln2\).
Polynésie · Exercice 3 · 5 points Bac S
Suite \(u_{n+1}=3u_n-2n+3\) : algorithme, récurrence, limite par comparaison et monotonie. Puis, suite géométrique auxiliaire, seuil \(10^p\) et algorithme de recherche.
Session 2009
France · Exercice 1 Bac S
Suite arithmético-géométrique \(u_{n+1}=\frac13u_n+4\) avec suite géométrique auxiliaire et limite, puis conjecture et démonstration par récurrence de \(w_n=2n+1\).
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Questions fréquentes
Une récurrence est-elle demandée à chaque session du bac ?
Très souvent, oui, en général à l’intérieur d’un exercice sur les suites. La question précise parfois la méthode, parfois non : savoir reconnaître qu’une propriété dépendant de \(n\) se prouve par récurrence est donc indispensable.
Comment utiliser une fonction croissante dans l’hérédité ?
Si \(u_{n+1} = f(u_n)\) et que \(f\) est croissante sur l’intervalle concerné, appliquer \(f\) à l’encadrement supposé conserve l’ordre des inégalités. Il faut préciser que \(f\) est croissante sur cet intervalle, sinon l’argument est incomplet.
Peut-on se passer de la récurrence pour prouver une inégalité ?
Parfois, par un calcul direct ou l’étude d’une différence. Mais lorsque l’énoncé impose la récurrence, une autre méthode risque de ne pas être acceptée, ou seulement en partie. Suivez la méthode demandée.
Que doit contenir la conclusion d’une récurrence ?
Une phrase indiquant que la propriété est initialisée et héréditaire, donc vraie pour tout entier naturel \(n\) à partir du rang de départ. Cette phrase est courte, mais son absence est régulièrement sanctionnée.
