Sujet étrangers 2021 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

En outre, Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques Centres étrangers 2021, réservé aux candidats libres et posé le 10 juin 2021, suivi de son corrigé détaillé question par question. Trois exercices étaient communs : un QCM de cinq questions (tangente, limite de suite, loi binomiale, code secret de 8 signes), l’évolution du parc de la centrale solaire Big Sun avec une suite arithmético-géométrique puis une fonction exponentielle, et un quadrilatère FJLK dessiné dans un cube dont on cherche quand il est losange ou carré. Ensuite, le quatrième exercice était au choix : un dépistage par mélange de sang qui mène à une fonction logarithme, ou une équation différentielle \(y^{\prime} + y = 2\text{e}^x – x – 1\) après lecture d’une courbe et de sa tangente. Par ailleurs, les deux options sont corrigées.

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2021 aux centres étrangers (jour 2).

En outre, vous préparez le bac de maths 2027 ? Ensuite, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Sujet étrangers 2021 : présentation de l’épreuve

Avant tout, précisons que ce sujet étrangers 2021 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2021 aux centres étrangers (jour 2) dans sa version intégrale. Ainsi, vous trouverez 5 exercices indépendants. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont les limites, la loi binomiale, les suites arithmético-géométriques et la fonction exponentielle. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 48 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Candidats libres, sujet 2
Centres étrangers — 10 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.

Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.

Question 1 :

On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(g(x) = x^2 + 2x – \dfrac{3}{x}\).

Une équation de la tangente à la courbe représentative de \(g\) au point d’abscisse 1 est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(y = 7(x – 1)\)	\(y = x – 1\)	\(y = 7x + 7\)	\(y = x + 1\)

Question 2 :

On considère la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n = \dfrac{3n}{n + 2}\). On cherche à déterminer la limite de \(v_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 1\)	\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 3\)	\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \dfrac{3}{2}\)	On ne peut pas la déterminer

Exercice 1 du sujet étrangers 2021 : questions 3 à 5

Question 3 : Dans une urne il y a 6 boules noires et 4 boules rouges. On effectue successivement 10 tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité (à \(10^{-4}\) près) d’avoir 4 boules noires et 6 boules rouges ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(0{,}1662\)	\(0{,}4\)	\(0{,}1115\)	\(0{,}8886\)

Question 4 :

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3\text{e}^x – x\).

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3\)	\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)	\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\)	On ne peut pas déterminer la limite de la fonction \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\)

Question 5 :

Un code inconnu est constitué de 8 signes.

Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a donc 36 signes utilisables pour chacune des positions.

Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde. En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
environ 0,3 seconde	environ 8 heures	environ 3 heures	environ 470 heures

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Au 1^er janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait 10 560 panneaux solaires.

On observe, chaque année, que 2 % des panneaux se sont détériorés et nécessitent d’être retirés tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont installés.

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

On modélise l’évolution du nombre de panneaux solaires par la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 10\,560\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}98u_n + 250\), où \(u_n\) est le nombre de panneaux solaires au 1^er janvier de l’année \(2020 + n\).

1. a. Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.

b. On souhaite savoir au bout de combien d’années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à 12 000.

À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.

c. Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable n à l’issue de l’exécution de ce dernier.

u = 10560
n = 0
while ...... :
    u = ......
    n = ......

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n \leq\, 12\,500\).

3. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

4. En déduire que la suite \((u_n)\) converge. Il n’est pas demandé, ici, de calculer sa limite.

5. On définit la suite \((v_n)\) par \(v_n = u_n – 12\,500\), pour tout entier naturel \(n\).

a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(0{,}98\) dont on précisera le premier terme.

b. Exprimer, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n\) en fonction de \(n\).

c. En déduire, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) en fonction de \(n\).

d. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.

Partie B – Modélisation à l’aide d’une fonction

Une modélisation plus précise a permis d’estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l’aide de la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in [0\,;\,+\infty[\) par

\[f(x) = 12\,500 – 500\,\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4},\]

où \(x\) représente le nombre d’années écoulées depuis le 1^er janvier 2020.

1. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\).

2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

3. En utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d’années le nombre de panneaux solaires dépassera 12 000.

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

ABCDEFGH est un cube. I est le centre de la face ADHE et J est un point du segment [CG].

Il existe donc \(a \in [0\,;\,1]\) tel que \(\vec{\text{CJ}} = a\,\vec{\text{CG}}\).

On note \((d)\) la droite passant par I et parallèle à (FJ).

En outre, on note K et L les points d’intersection de la droite \((d)\) et des droites (AE) et (DH).

On se place dans le repère \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\).

Partie A : Dans cette partie \(a = \dfrac{2}{3}\)

1. Donner les coordonnées des points F, I et J.

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\).

3. a. Montrer que le point de coordonnées \((0\,;\,0\,;\,\dfrac{2}{3})\) est le point K.

b. Déterminer les coordonnées du point L, intersection des droites \((d)\) et (DH).

4. a. Démontrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.

b. Démontrer que le quadrilatère FJLK est un losange.

c. Le quadrilatère FJLK est-il un carré ?

Partie B : Cas général

On admet que les coordonnées des points K et L sont : \(\text{K}(0\,;\,0\,;\,1 – \dfrac{a}{2})\) et \(\text{L}(0\,;\,1\,;\,\dfrac{a}{2})\).

On rappelle que \(a \in [0\,;\,1]\).

1. Déterminer les coordonnées de J en fonction de \(a\).

2. Montrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.

3. Existe-t-il des valeurs de \(a\) telles que le quadrilatère FJLK soit un losange ? Justifier.

4. Existe-t-il des valeurs de \(a\) telles que le quadrilatère FJLK soit un carré ? Justifier.

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A – Fonction ln

Partie A :

Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de \(0{,}05\).

On possède un test de dépistage de cette maladie.

Ensuite, on considère un échantillon de \(n\) personnes (\(n \geq\, 20\)) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.

On teste l’échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces \(n\) individus, on teste le mélange.

Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.

Soit \(X_n\) la variable aléatoire qui donne le nombre d’analyses effectuées.

1. Montrer \(X_n\) prend les valeurs 1 et \((n + 1)\).

2. Prouver que \(P(X_n = 1) = 0{,}95^n\).

Établir la loi de \(X_n\) en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant :

\(x_i\)	1	\(n + 1\)
\(P(X_n = x_i)\)

3. Que représente l’espérance de \(X_n\) dans le cadre de l’expérience ?

Montrer que \(E(X_n) = n + 1 – n \times 0{,}95^n\).

Partie B :

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \([20\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = \ln(x) + x\ln(0{,}95)\).

Montrer que \(f\) est décroissante sur \([20\,;\,+\infty[\).

2. On rappelle que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\). Montrer que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

3. Montrer que \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(a\) sur \([20\,;\,+\infty[\).

Donner un encadrement à 0,1 près de cette solution.

4. En déduire le signe de \(f\) sur \([20\,;\,+\infty[\).

Partie C :

On cherche à comparer deux types de dépistages.

La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus.

La première méthode permet de diminuer le nombre d’analyses dès que \(E(X_n) \lt n\).

En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d’analyses pour des échantillons comportant 87 personnes maximum.

Exercice B – Équation différentielle

Partie A : Détermination d’une fonction \(f\) et résolution d’une équation différentielle

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = \text{e}^x + ax + b\,\text{e}^{-x}\]

où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels que l’on propose de déterminer dans cette partie.

Dans le plan muni d’un repère d’origine O, on a représenté ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}\), représentant la fonction \(f\), et la tangente \((T)\) à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse \(0\).

1. Par lecture graphique, donner les valeurs de \(f(0)\) et de \(f^{\prime}(0)\).

2. En utilisant l’expression de la fonction \(f\), exprimer \(f(0)\) en fonction de \(b\) et en déduire la valeur de \(b\).

3. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

a. Donner, pour tout réel \(x\), l’expression de \(f^{\prime}(x)\).

b. Exprimer \(f^{\prime}(0)\) en fonction de \(a\).

c. En utilisant les questions précédentes, déterminer \(a\), puis en déduire l’expression de \(f(x)\).

4. On considère l’équation différentielle :

\[(E) :\quad y^{\prime} + y = 2\text{e}^x – x – 1\]

a. Vérifier que la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x) = \text{e}^x – x + 2\text{e}^{-x}.\]

est solution de l’équation \((E)\).

b. Résoudre l’équation différentielle \(y^{\prime} + y = 0\).

c. En déduire toutes les solutions de l’équation \((E)\).

Partie B : Étude de la fonction \(g\) sur \([1\,;\,+\infty[\)

1. Vérifier que pour tout réel \(x\), on a :

\[\text{e}^{2x} – \text{e}^x – 2 = (\text{e}^x – 2)(\text{e}^x + 1)\]

2. En déduire une expression factorisée de \(g^{\prime}(x)\), pour tout réel \(x\).

3. On admettra que, pour tout \(x \in [1\,;\,+\infty[\), \(\text{e}^x – 2 \gt 0\).

Étudier le sens de variation de la fonction \(g\) sur \([1\,;\,+\infty[\).

Sujet étrangers 2021 : méthode pour bien s’entraîner

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les limites ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article limites de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs qui coûtent des points

Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Pour une suite arithmético-géométrique, c’est la suite auxiliaire qui est géométrique : calculez sa raison avec soin avant de revenir à la suite de départ.

Sujet étrangers 2021 : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les limites, la loi binomiale et les suites arithmético-géométriques, mais aussi la fonction exponentielle.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2021 aux centres étrangers (jour 2)

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