Bac de maths 2021 aux centres étrangers (jour 2) : sujet et corrigé

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Candidats libres, sujet 2
Centres étrangers — 10 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.

Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.

Question 1 :

On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(g(x) = x^2 + 2x – \dfrac{3}{x}\).

Une équation de la tangente à la courbe représentative de \(g\) au point d’abscisse 1 est :

Question 2 :

On considère la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n = \dfrac{3n}{n + 2}\). On cherche à déterminer la limite de \(v_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

Question 3 : Dans une urne il y a 6 boules noires et 4 boules rouges. On effectue successivement 10 tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité (à \(10^{-4}\) près) d’avoir 4 boules noires et 6 boules rouges ?

Question 4 :

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3\text{e}^x – x\).

Question 5 :

Un code inconnu est constitué de 8 signes.

Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a donc 36 signes utilisables pour chacune des positions.

Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde. En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Au 1^er janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait 10 560 panneaux solaires.

On observe, chaque année, que 2 % des panneaux se sont détériorés et nécessitent d’être retirés tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont installés.

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

On modélise l’évolution du nombre de panneaux solaires par la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 10\,560\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}98u_n + 250\), où \(u_n\) est le nombre de panneaux solaires au 1^er janvier de l’année \(2020 + n\).

1. a. Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.

b. On souhaite savoir au bout de combien d’années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à 12 000.

À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.

c. Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable n à l’issue de l’exécution de ce dernier.

u = 10560
n = 0
while ...... :
    u = ......
    n = ......

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n \leq\, 12\,500\).

3. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

4. En déduire que la suite \((u_n)\) converge. Il n’est pas demandé, ici, de calculer sa limite.

5. On définit la suite \((v_n)\) par \(v_n = u_n – 12\,500\), pour tout entier naturel \(n\).

a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(0{,}98\) dont on précisera le premier terme.

b. Exprimer, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n\) en fonction de \(n\).

c. En déduire, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) en fonction de \(n\).

d. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.

Partie B – Modélisation à l’aide d’une fonction

Une modélisation plus précise a permis d’estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l’aide de la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in [0\,;\,+\infty[\) par

\[f(x) = 12\,500 – 500\,\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4},\]

où \(x\) représente le nombre d’années écoulées depuis le 1^er janvier 2020.

1. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\).

2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

3. En utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d’années le nombre de panneaux solaires dépassera 12 000.

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

ABCDEFGH est un cube. I est le centre de la face ADHE et J est un point du segment [CG].

Il existe donc \(a \in [0\,;\,1]\) tel que \(\vec{\text{CJ}} = a\,\vec{\text{CG}}\).

On note \((d)\) la droite passant par I et parallèle à (FJ).

On note K et L les points d’intersection de la droite \((d)\) et des droites (AE) et (DH).

On se place dans le repère \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\).

Partie A : Dans cette partie \(a = \dfrac{2}{3}\)

1. Donner les coordonnées des points F, I et J.

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\).

3. a. Montrer que le point de coordonnées \((0\,;\,0\,;\,\dfrac{2}{3})\) est le point K.

b. Déterminer les coordonnées du point L, intersection des droites \((d)\) et (DH).

4. a. Démontrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.

b. Démontrer que le quadrilatère FJLK est un losange.

c. Le quadrilatère FJLK est-il un carré ?

Partie B : Cas général

On admet que les coordonnées des points K et L sont : \(\text{K}(0\,;\,0\,;\,1 – \dfrac{a}{2})\) et \(\text{L}(0\,;\,1\,;\,\dfrac{a}{2})\).

On rappelle que \(a \in [0\,;\,1]\).

1. Déterminer les coordonnées de J en fonction de \(a\).

2. Montrer que le quadrilatère FJLK est un parallélogramme.

3. Existe-t-il des valeurs de \(a\) telles que le quadrilatère FJLK soit un losange ? Justifier.

4. Existe-t-il des valeurs de \(a\) telles que le quadrilatère FJLK soit un carré ? Justifier.

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A – Fonction ln

Partie A :

Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de \(0{,}05\).

On possède un test de dépistage de cette maladie.

On considère un échantillon de \(n\) personnes (\(n \geq\, 20\)) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.

On teste l’échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces \(n\) individus, on teste le mélange.

Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.

Soit \(X_n\) la variable aléatoire qui donne le nombre d’analyses effectuées.

1. Montrer \(X_n\) prend les valeurs 1 et \((n + 1)\).

2. Prouver que \(P(X_n = 1) = 0{,}95^n\).

Établir la loi de \(X_n\) en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant :

3. Que représente l’espérance de \(X_n\) dans le cadre de l’expérience ?

Montrer que \(E(X_n) = n + 1 – n \times 0{,}95^n\).

Partie B :

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \([20\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = \ln(x) + x\ln(0{,}95)\).

Montrer que \(f\) est décroissante sur \([20\,;\,+\infty[\).

2. On rappelle que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\). Montrer que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

3. Montrer que \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(a\) sur \([20\,;\,+\infty[\).

Donner un encadrement à 0,1 près de cette solution.

4. En déduire le signe de \(f\) sur \([20\,;\,+\infty[\).

Partie C :

On cherche à comparer deux types de dépistages.

La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus.

La première méthode permet de diminuer le nombre d’analyses dès que \(E(X_n) \lt n\).

En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d’analyses pour des échantillons comportant 87 personnes maximum.

Exercice B – Équation différentielle

Partie A : Détermination d’une fonction \(f\) et résolution d’une équation différentielle

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = \text{e}^x + ax + b\,\text{e}^{-x}\]

où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels que l’on propose de déterminer dans cette partie.

Dans le plan muni d’un repère d’origine O, on a représenté ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}\), représentant la fonction \(f\), et la tangente \((T)\) à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse \(0\).

1. Par lecture graphique, donner les valeurs de \(f(0)\) et de \(f^{\prime}(0)\).

2. En utilisant l’expression de la fonction \(f\), exprimer \(f(0)\) en fonction de \(b\) et en déduire la valeur de \(b\).

3. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

a. Donner, pour tout réel \(x\), l’expression de \(f^{\prime}(x)\).

b. Exprimer \(f^{\prime}(0)\) en fonction de \(a\).

c. En utilisant les questions précédentes, déterminer \(a\), puis en déduire l’expression de \(f(x)\).

4. On considère l’équation différentielle :

\[(E) :\quad y^{\prime} + y = 2\text{e}^x – x – 1\]

a. Vérifier que la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x) = \text{e}^x – x + 2\text{e}^{-x}.\]

est solution de l’équation \((E)\).

b. Résoudre l’équation différentielle \(y^{\prime} + y = 0\).

c. En déduire toutes les solutions de l’équation \((E)\).

Partie B : Étude de la fonction \(g\) sur \([1\,;\,+\infty[\)

1. Vérifier que pour tout réel \(x\), on a :

\[\text{e}^{2x} – \text{e}^x – 2 = (\text{e}^x – 2)(\text{e}^x + 1)\]

2. En déduire une expression factorisée de \(g^{\prime}(x)\), pour tout réel \(x\).

3. On admettra que, pour tout \(x \in [1\,;\,+\infty[\), \(\text{e}^x – 2 \gt 0\).

Étudier le sens de variation de la fonction \(g\) sur \([1\,;\,+\infty[\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Question 1 : réponse a. La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation \(y = g^{\prime}(1)(x – 1) + g(1)\). On calcule d’abord \(g(1) = 1 + 2 – 3 = 0\). La fonction \(g\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et, comme la dérivée de \(-\dfrac{3}{x}\) est \(\dfrac{3}{x^2}\), on obtient \(g^{\prime}(x) = 2x + 2 + \dfrac{3}{x^2}\), d’où \(g^{\prime}(1) = 2 + 2 + 3 = 7\). La tangente a donc pour équation \(y = 7(x – 1)\).

Question 2 : réponse b. Pour \(n \geq\, 1\), on divise numérateur et dénominateur par \(n\) : \(v_n = \dfrac{3}{1 + \frac{2}{n}}\). Comme \(\dfrac{2}{n}\) tend vers 0, le dénominateur tend vers 1 et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 3\).

Question 3 : réponse c. Les 10 tirages avec remise sont identiques et indépendants ; à chaque tirage la probabilité d’une boule noire est \(\dfrac{6}{10} = 0{,}6\). Le nombre \(N\) de boules noires suit donc la loi binomiale \(\mathcal{B}(10\,;\,0{,}6)\). Avoir 4 noires (donc 6 rouges) correspond à \(N = 4\) :

\[P(N = 4) = \binom\,{10}{4} \times 0{,}6^4 \times 0{,}4^6 = 210 \times 0{,}1296 \times 0{,}004096 \approx 0{,}11148.\]

À \(10^{-4}\) près, la probabilité vaut 0,1115.

Question 4 : réponse b. On a une forme indéterminée « \(+\infty – \infty\) ». Pour \(x \gt 0\), on factorise : \(f(x) = x(3\dfrac{\text{e}^x}{x} – 1)\). Par croissances comparées, \(\dfrac{\text{e}^x}{x}\) tend vers \(+\infty\), donc la parenthèse aussi, et par produit avec \(x\) qui tend vers \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

Question 5 : réponse b. Chacune des 8 positions peut prendre 36 valeurs, donc il existe \(36^8 = 2\,821\,109\,907\,456\) codes possibles. Au pire, le logiciel doit tous les essayer : cela prend \(\dfrac{36^8}{10^8} \approx 28\,211\) secondes, soit \(\dfrac{28\,211}{3\,600} \approx 7{,}8\) heures, c’est-à-dire environ 8 heures.

Exercice 2 :

Partie A

1. a. Chaque année, 2 % des panneaux sont retirés : il en reste 98 %, et garder 98 % d’une quantité revient à la multiplier par \(1 – \dfrac{2}{100} = 0{,}98\). On ajoute ensuite les 250 panneaux neufs. Si \(u_n\) est le nombre de panneaux au 1^er janvier de l’année \(2020 + n\), celui de l’année suivante est donc \(0{,}98u_n + 250\), ce qui est exactement la relation \(u_{n+1} = 0{,}98u_n + 250\). Le premier terme \(u_0 = 10\,560\) correspond au parc du 1^er janvier 2020.

b. On calcule les termes successifs à la calculatrice (mode suite ou en répétant « Ans × 0,98 + 250 ») : \(u_1 \approx 10\,599\), \(u_2 \approx 10\,637\), … On obtient \(u_{67} \approx 11\,999\) et \(u_{68} \approx 12\,009\). Le nombre de panneaux dépasse strictement 12 000 pour la première fois au bout de 68 ans, c’est-à-dire au 1^er janvier 2088.

c. Tant que le nombre de panneaux ne dépasse pas 12 000, on calcule le terme suivant et on augmente le compteur d’années d’une unité. À la sortie de la boucle, n contient le premier rang pour lequel \(u_n \gt 12\,000\), soit 68.

u = 10560
n = 0
while u <= 12000 :
    u = 0.98 * u + 250
    n = n + 1

2. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n \leq\, 12\,500\) ».

Initialisation. \(u_0 = 10\,560 \leq\, 12\,500\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(u_n \leq\, 12\,500\). En multipliant par \(0{,}98\), qui est positif, l’inégalité est conservée : \(0{,}98u_n \leq\, 12\,250\). En ajoutant 250 aux deux membres : \(0{,}98u_n + 250 \leq\, 12\,500\), c’est-à-dire \(u_{n+1} \leq\, 12\,500\). \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc par récurrence \(u_n \leq\, 12\,500\) pour tout entier naturel \(n\).

3. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} – u_n = 0{,}98u_n + 250 – u_n = 250 – 0{,}02u_n = 0{,}02(12\,500 – u_n)\). D’après la question 2, \(12\,500 – u_n \geq\, 0\), donc \(u_{n+1} – u_n \geq\, 0\). La suite \((u_n)\) est croissante.

4. La suite \((u_n)\) est croissante (question 3) et majorée par 12 500 (question 2). D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge, vers une limite inférieure ou égale à 12 500.

5. a. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1} = u_{n+1} – 12\,500 = 0{,}98u_n + 250 – 12\,500 = 0{,}98u_n – 12\,250.\]

Or \(12\,250 = 0{,}98 \times 12\,500\), donc \(v_{n+1} = 0{,}98(u_n – 12\,500) = 0{,}98\,v_n\). La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(0{,}98\), de premier terme \(v_0 = 10\,560 – 12\,500 = -1\,940\).

b. Pour une suite géométrique, \(v_n = v_0 \times q^n\), donc \(v_n = -1\,940 \times 0{,}98^n\) pour tout entier naturel \(n\).

c. Comme \(u_n = v_n + 12\,500\), on obtient \(u_n = 12\,500 – 1\,940 \times 0{,}98^n\) pour tout entier naturel \(n\).

d. Puisque \(-1 \lt 0{,}98 \lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0{,}98^n = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 1\,940 \times 0{,}98^n = 0\) et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 12\,500\). Dans ce modèle, le nombre de panneaux de la centrale augmente d’année en année en se rapprochant de 12 500, sans jamais dépasser cette valeur : à long terme, le parc se stabilise autour de 12 500 panneaux (à ce niveau, les 2 % retirés, soit 250 panneaux, sont exactement compensés par les 250 installés).

Partie B

1. La fonction \(x \mapsto \text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4}\) est de la forme \(\text{e}^{u}\) avec \(u(x) = -0{,}02x + 1{,}4\), \(u^{\prime}(x) = -0{,}02\). Sa dérivée est \(-0{,}02\,\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4}\). Donc pour tout \(x \geq\, 0\) :

\[f^{\prime}(x) = -500 \times (-0{,}02)\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4} = 10\,\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4}.\]

Une exponentielle est strictement positive, donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\) : la fonction \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).

2. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(-0{,}02x + 1{,}4\) tend vers \(-\infty\) ; or \(\displaystyle\lim_{X \to -\infty} \text{e}^X = 0\), donc par composition \(\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4}\) tend vers 0. Ainsi \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 12\,500\) : on retrouve la même valeur limite qu’avec la suite.

3. On résout \(f(x) \gt 12\,000\) :

\[12\,500 – 500\,\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4} \gt 12\,000 \iff 500\,\text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4} \lt 500 \iff \text{e}^{-0{,}02x + 1{,}4} \lt 1.\]

Comme \(1 = \text{e}^0\) et que la fonction exponentielle est strictement croissante, cela équivaut à \(-0{,}02x + 1{,}4 \lt 0\), soit \(0{,}02x \gt 1{,}4\), soit \(x \gt 70\). Pour \(x = 70\), on a exactement \(f(70) = 12\,500 – 500 = 12\,000\). Le nombre de panneaux dépasse donc 12 000 dès que plus de 70 ans se sont écoulés : en comptant en années entières, au bout de 71 ans, c’est-à-dire au 1^er janvier 2091.

Exercice 3 :

Partie A

1. Dans le repère \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\), on a A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), C(1 ; 1 ; 0), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 1). Comme \(\vec{\text{AF}} = \vec{\text{AB}} + \vec{\text{AE}}\), on a F(1 ; 0 ; 1). Le centre I de la face carrée ADHE est le milieu de sa diagonale [AH], donc \(\text{I}(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\). Enfin \(\vec{\text{CG}}\) a pour coordonnées \((0\,;\,0\,;\,1)\), donc \(\vec{\text{CJ}} = \dfrac{2}{3}\vec{\text{CG}}\) a pour coordonnées \((0\,;\,0\,;\,\dfrac{2}{3})\) et, en partant de C(1 ; 1 ; 0), \(\text{J}(1\,;\,1\,;\,\dfrac{2}{3})\).

2. La droite \((d)\) est parallèle à (FJ) : elle a pour vecteur directeur \(\vec{\text{FJ}}(0\,;\,1\,;\,-\dfrac{1}{3})\) et passe par I. Une représentation paramétrique de \((d)\) est donc :

\[\{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = \dfrac{1}{2} + t \\ z = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3}t \end{array}. \quad t \in \mathbb{R}.\]

3. a. La droite (AE) est l’ensemble des points de coordonnées \((0\,;\,0\,;\,z)\). Cherchons le point de \((d)\) d’ordonnée nulle : \(\dfrac{1}{2} + t = 0\) donne \(t = -\dfrac{1}{2}\), et alors \(z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}\) (et \(x = 0\)). Le point \((0\,;\,0\,;\,\dfrac{2}{3})\) appartient donc à la fois à \((d)\) et à (AE) : c’est le point K.

b. La droite (DH) est formée des points de coordonnées \((0\,;\,1\,;\,z)\). Sur \((d)\), \(y = 1\) donne \(t = \dfrac{1}{2}\), d’où \(z = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}\). Donc \(\text{L}(0\,;\,1\,;\,\dfrac{1}{3})\).

4. a. On compare \(\vec{\text{FJ}}\) et \(\vec{\text{KL}}\) : \(\vec{\text{FJ}}(0\,;\,1\,;\,-\dfrac{1}{3})\) et \(\vec{\text{KL}}(0 – 0\,;\,1 – 0\,;\,\dfrac{1}{3} – \dfrac{2}{3}) = (0\,;\,1\,;\,-\dfrac{1}{3})\). Comme \(\vec{\text{FJ}} = \vec{\text{KL}}\), FJLK est un parallélogramme (non aplati, car K n’est pas sur (FJ) : son abscisse est 0 alors que tous les points de (FJ) ont pour abscisse 1).

b. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. On a \(\vec{\text{KF}}(1\,;\,0\,;\,\dfrac{1}{3})\), donc \(\text{KF}^2 = 1 + \dfrac{1}{9} = \dfrac{10}{9}\), et \(\text{FJ}^2 = 0 + 1 + \dfrac{1}{9} = \dfrac{10}{9}\). Ainsi KF = FJ et FJLK est un losange.

c. Un losange est un carré si et seulement s’il a un angle droit. Or \(\vec{\text{KF}} \cdot \vec{\text{FJ}} = 1 \times 0 + 0 \times 1 + \dfrac{1}{3} \times (-\dfrac{1}{3}) = -\dfrac{1}{9} \neq 0\). Les côtés [KF] et [FJ] ne sont pas perpendiculaires : FJLK n’est pas un carré.

Partie B

1. \(\vec{\text{CJ}} = a\,\vec{\text{CG}}\) a pour coordonnées \((0\,;\,0\,;\,a)\) ; en partant de C(1 ; 1 ; 0), on obtient J(1 ; 1 ; \(a\)).

2. \(\vec{\text{FJ}}\) a pour coordonnées \((1 – 1\,;\,1 – 0\,;\,a – 1) = (0\,;\,1\,;\,a – 1)\) et \(\vec{\text{KL}}\) a pour coordonnées \((0\,;\,1\,;\,\dfrac{a}{2} – 1 + \dfrac{a}{2}) = (0\,;\,1\,;\,a – 1)\). Ces vecteurs sont égaux, donc FJLK est un parallélogramme pour toute valeur de \(a\).

3. Le parallélogramme FJLK est un losange si et seulement si KF = FJ. On a \(\vec{\text{KF}}(1\,;\,0\,;\,\dfrac{a}{2})\) donc \(\text{KF}^2 = 1 + \dfrac{a^2}{4}\), et \(\text{FJ}^2 = 1 + (a – 1)^2\). Ainsi :

\[\text{KF} = \text{FJ} \iff \dfrac{a^2}{4} = (a – 1)^2 \iff a – 1 = \dfrac{a}{2} \ \text{ou}\ a – 1 = -\dfrac{a}{2} \iff a = 2 \ \text{ou}\ a = \dfrac{2}{3}.\]

Seule la valeur \(\dfrac{2}{3}\) appartient à \([0\,;\,1]\). FJLK est un losange pour \(a = \dfrac{2}{3}\) uniquement, ce qui correspond au cas de la partie A. (On peut aussi l’obtenir en écrivant que les diagonales sont perpendiculaires : \(\vec{\text{FL}} \cdot \vec{\text{JK}} = (\dfrac{a}{2} – 1)(1 – \dfrac{3a}{2}) = 0\).)

4. Un carré est à la fois un losange et un rectangle. D’après la question 3, il faudrait \(a = \dfrac{2}{3}\) ; mais la question 4. c de la partie A a montré que, pour cette valeur, FJLK n’a pas d’angle droit. On peut aussi le voir directement : \(\vec{\text{KF}} \cdot \vec{\text{FJ}} = \dfrac{a}{2}(a – 1)\), qui ne s’annule que pour \(a = 0\) ou \(a = 1\) (FJLK est alors un rectangle), valeurs pour lesquelles ce n’est pas un losange. Il n’existe aucune valeur de \(a\) pour laquelle FJLK est un carré.

Exercice A – Fonction ln :

Partie A

1. On commence toujours par une analyse, celle du mélange. Si elle est négative, aucune des \(n\) personnes n’est malade et on s’arrête : 1 analyse. Si elle est positive, on analyse en plus chacune des \(n\) personnes : \(1 + n\) analyses. \(X_n\) prend donc les valeurs 1 et \(n + 1\).

2. \(X_n = 1\) signifie que le mélange est négatif, c’est-à-dire qu’aucune des \(n\) personnes n’est malade. Chaque personne est saine avec la probabilité \(1 – 0{,}05 = 0{,}95\), et les choix sont assimilés à des tirages avec remise, donc indépendants. Par conséquent \(P(X_n = 1) = 0{,}95^n\). L’événement contraire donne \(P(X_n = n + 1) = 1 – 0{,}95^n\). Loi de \(X_n\) :

3. L’espérance \(E(X_n)\) est le nombre moyen d’analyses effectuées par échantillon de \(n\) personnes, si l’on répète cette méthode un grand nombre de fois. Par définition :

\[E(X_n) = 1 \times 0{,}95^n + (n + 1)(1 – 0{,}95^n) = 0{,}95^n + n + 1 – n \times 0{,}95^n – 0{,}95^n = n + 1 – n \times 0{,}95^n.\]

Partie B

1. \(f\) est dérivable sur \([20\,;\,+\infty[\) et \(f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x} + \ln(0{,}95)\). Pour \(x \geq\, 20\), \(\dfrac{1}{x} \leq\, \dfrac{1}{20} = 0{,}05\), donc \(f^{\prime}(x) \leq\, 0{,}05 + \ln(0{,}95)\). Or \(\ln(0{,}95) \approx -0{,}0513\), donc \(0{,}05 + \ln(0{,}95) \approx -0{,}0013 \lt 0\). Ainsi \(f^{\prime}(x) \lt 0\) sur \([20\,;\,+\infty[\) : \(f\) est (strictement) décroissante sur \([20\,;\,+\infty[\).

2. Pour \(x \geq\, 20\), on factorise par \(x\) : \(f(x) = x(\dfrac{\ln x}{x} + \ln(0{,}95))\). Comme \(\dfrac{\ln x}{x}\) tend vers 0, la parenthèse tend vers \(\ln(0{,}95)\), qui est strictement négatif. Par produit avec \(x\) qui tend vers \(+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

3. \(f\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur \([20\,;\,+\infty[\). On a \(f(20) = \ln 20 + 20\ln(0{,}95) \approx 2{,}996 – 1{,}026 \approx 1{,}97 \gt 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(a\) sur \([20\,;\,+\infty[\).

À la calculatrice : \(f(87) \approx 0{,}0034 \gt 0\) et \(f(87{,}1) \approx -0{,}0006 \lt 0\), donc \(87 \lt a \lt 87{,}1\).

4. Comme \(f\) est strictement décroissante et s’annule en \(a\) : \(f(x) \gt 0\) sur \([20\,;\,a[\), \(f(a) = 0\) et \(f(x) \lt 0\) sur \(]a\,;\,+\infty[\).

Partie C

Pour un entier \(n \geq\, 20\) :

\[E(X_n) \lt n \iff n + 1 – n \times 0{,}95^n \lt n \iff 1 \lt n \times 0{,}95^n.\]

Les deux membres sont strictement positifs et la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), donc cela équivaut à \(0 \lt \ln n + n\ln(0{,}95)\), c’est-à-dire à \(f(n) \gt 0\). D’après la partie B, \(f(n) \gt 0\) équivaut à \(n \lt a\), avec \(87 \lt a \lt 87{,}1\). Pour un nombre entier de personnes, cela signifie \(n \leq\, 87\). La méthode par mélange réduit en moyenne le nombre d’analyses pour les échantillons de 20 à 87 personnes ; au-delà de 87 personnes, il vaut mieux tester chaque individu séparément.

Exercice B – Équation différentielle :

Partie A

1. La courbe passe par le point de coordonnées (0 ; 3), donc \(f(0) = 3\). Le nombre dérivé \(f^{\prime}(0)\) est le coefficient directeur de la tangente \((T)\) ; celle-ci passe par (0 ; 3) et (1 ; 1), donc son coefficient directeur vaut \(\dfrac{1 – 3}{1 – 0} = -2\) : \(f^{\prime}(0) = -2\).

2. \(f(0) = \text{e}^0 + a \times 0 + b\,\text{e}^0 = 1 + b\). Comme \(f(0) = 3\), on obtient \(b = 2\).

3. a. La dérivée de \(\text{e}^{-x}\) est \(-\text{e}^{-x}\), donc pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x) = \text{e}^x + a – b\,\text{e}^{-x}\), soit \(f^{\prime}(x) = \text{e}^x + a – 2\text{e}^{-x}\) avec \(b = 2\).

b. \(f^{\prime}(0) = 1 + a – 2\), donc \(f^{\prime}(0) = a – 1\).

c. Comme \(f^{\prime}(0) = -2\), on a \(a – 1 = -2\), d’où \(a = -1\). Finalement, pour tout réel \(x\), \(f(x) = \text{e}^x – x + 2\text{e}^{-x}\).

4. a. \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(g^{\prime}(x) = \text{e}^x – 1 – 2\text{e}^{-x}\). Alors :

\[g^{\prime}(x) + g(x) = \text{e}^x – 1 – 2\text{e}^{-x} + \text{e}^x – x + 2\text{e}^{-x} = 2\text{e}^x – x – 1.\]

Cette égalité est vraie pour tout réel \(x\) : \(g\) est solution de \((E)\). (On remarque que \(g\) est la fonction \(f\) trouvée à la question 3.)

b. L’équation \(y^{\prime} + y = 0\) s’écrit \(y^{\prime} = -y\), de la forme \(y^{\prime} = ay\) avec \(a = -1\). Ses solutions sont les fonctions \(x \mapsto C\,\text{e}^{-x}\), où \(C\) est un réel quelconque.

c. Une fonction \(h\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(h – g\) est solution de \(y^{\prime} + y = 0\) : en effet \((h – g)^{\prime} + (h – g) = (h^{\prime} + h) – (g^{\prime} + g)\), qui vaut 0 exactement quand \(h^{\prime} + h = 2\text{e}^x – x – 1\). Les solutions de \((E)\) sont donc les fonctions \(x \mapsto \text{e}^x – x + 2\text{e}^{-x} + C\,\text{e}^{-x}\), \(C \in \mathbb{R}\), que l’on peut aussi écrire \(x \mapsto \text{e}^x – x + K\text{e}^{-x}\) avec \(K \in \mathbb{R}\).

Partie B

1. On développe le membre de droite : \((\text{e}^x – 2)(\text{e}^x + 1) = \text{e}^{2x} + \text{e}^x – 2\text{e}^x – 2 = \text{e}^{2x} – \text{e}^x – 2\), en utilisant \(\text{e}^x \times \text{e}^x = \text{e}^{2x}\). L’égalité est vérifiée pour tout réel \(x\).

2. On met \(\text{e}^{-x}\) en facteur dans \(g^{\prime}(x)\), en utilisant \(\text{e}^x = \text{e}^{-x} \times \text{e}^{2x}\) et \(1 = \text{e}^{-x} \times \text{e}^{x}\) :

\[g^{\prime}(x) = \text{e}^x – 1 – 2\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(\text{e}^{2x} – \text{e}^x – 2) = \text{e}^{-x}(\text{e}^x – 2)(\text{e}^x + 1).\]

3. Sur \([1\,;\,+\infty[\), les trois facteurs de \(g^{\prime}(x)\) sont strictement positifs : \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(\text{e}^x + 1 \gt 0\) et \(\text{e}^x – 2 \gt 0\) (admis ; en effet \(\text{e}^x \geq\, \text{e} \approx 2{,}718\)). Donc \(g^{\prime}(x) \gt 0\) et \(g\) est strictement croissante sur \([1\,;\,+\infty[\), de \(g(1) = \text{e} – 1 + \dfrac{2}{\text{e}} \approx 2{,}45\) vers \(+\infty\) (car \(g(x) = \text{e}^x(1 – \dfrac{x}{\text{e}^x}) + 2\text{e}^{-x}\) avec \(\dfrac{x}{\text{e}^x}\) qui tend vers 0).

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