Les équations différentielles : cours de maths en terminale en PDF.

cours de maths en terminale S

Signaler une erreur / Remarque ?

Sommaire de cette fiche

1 Introduction
2 I . Vocabulaire et généralités.
3 II . Résolution de y’ = ay, a constante réelle :
4 III .Résolution de y’ = ay + b, a (non nul) et b constantes réelles
5 Exercice sur les équations différentielles

Cours de maths sur les équations différentielles du premier ordre avec résolution en classe de terminale.

Introduction

• Une équation différentielle est une équation dans laquelle l’inconnue est une fonction f.

De plus, cette équation fait intervenir la fonction f ainsi que ses dérivées successives, d’où le terme différentiel.

• Les équations différentielles apparaissent naturellement dans de nombreux domaines : physique, électricité, biologie,chimie, évolution des populations, modélisation informatique….

• En électricité , l’équilibre stationnaire d’un circuit électrique RLC(Résistance-Bobine) est traduit par l’équation : E = Ri(t) + L i'(t) où i est l’intensité du courant et t la variable temps.

• En sciences physiques encore, si N(t) désigne le nombre de noyaux désintégrés à l’instant t, l’expérience montre que N ‘(t) = -kN (t ) où k est une constante.

• La résolution de ces équations est donc fondamentale dans de nombreux domaines déjà rencontrées lors de la construction de la fonction exponentielle, nous étudierons en priorité les équations différentielles du type y’ = ay + b, où la fonction y est l’inconnue, et a et b sont deux réels.

I . Vocabulaire et généralités.

Dans une équation différentielle l’inconnue est une fonction, notée y en général.

L’équation est dite différentielle car elle fait intervenir les dérivées successives de la fonction y.

Rappelons en effet que la dérivée est associé à un taux de variation (ou croissance), qui est lui-même une différence (quotient des variations de y sur variation de x) : d’où le terme différentiel.

Résoudre l’équation différentielle y’ = ay + b c’est trouver toutes les fonctions f dérivables sur IR telles que pour tout x, f ’(x) = af(x) + b où a et b sont deux constantes (indépendant de x).

Précisons aussi que l’équation y’ = ay + b est dite du premier ordre car elle fait intervenir seulement la dérivée première.

Evidemment, il y des équations différentielles du 2ème ordre, du 3ème …

II . Résolution de y’ = ay, a constante réelle :

Théorème :

1. Les fonctions solutions de l’équation y’ = ay sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=k exp ax\,\,(k\in \mathbb{R})$ .

2. Il existe une unique fonction dérivable f telle que y’ = ay et : k est alors fixé par cette condition initiale.

Exercice :

a. Résoudre l’équation différentielle (E) : y’ = 3y.

b. Déterminer la solution de (E) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées A(2,3).

III .Résolution de y’ = ay + b, a (non nul) et b constantes réelles

Théorème :

Soit a un réel non nul.

• Les fonctions solutions de l’équation y’ = ay + b sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=k exp ax-\frac{b}{a}\,\,(k\,\in\,\mathbb{R})$ .

• Il existe une unique fonction dérivable f telle que y’ = ay + b et ( k est alors fixé par cette condition initiale).

Exercice sur les équations différentielles

Résoudre dans $\mathbb{R}$ , l’équation 2y’ + y = 1.

Cette publication est également disponible en : English (Anglais) Español (Espagnol) العربية (Arabe)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «les équations différentielles : cours de maths en terminale.» au format PDF.

D'autres fiches dans la section cours de maths en terminale S

Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours et exercices corrigés.

D'autres fiches similaires à les équations différentielles : cours de maths en terminale..

Fonction continue : cours de maths en terminale en PDF.
90
La continuité d'une fonction numérique dans un cours de maths faisant intervenir le théorème des valeurs intermédiaires. Nous terminerons cette leçon par l'interprétation graphique et les propriétés de la continuité. Remarque : Les programmes limitent la continuité à une approche intuitive qui est de considérer qu’une fonction est continue sur un…
Cours de maths en terminale à télécharger en PDF.
88
Des cours de maths en terminale que vous pouvez télécharger en PDF gratuitement puis les imprimer sur les très nombreux chapitres de ce niveau qui représente la dernière étape du lycée qui se conclue par les épreuves du baccalauréat durant 4 heures. Les leçons parcourent tous les chapitres comme les nombres,…
La fonction exponentielle : cours de maths en terminale en PDF.
86
La fonction exponentielle avec un cours de maths en terminale où nous étudierons une première approche à l'aide des équations différentielles. Puis nous verrons les différentes propriétés, les définitions et limites usuelles de la fonction exponentielle et la courbe représentative de la fonction. I . Equation différentielle f ’ =…

Les dernières fiches mises à jour.

Voici les dernières ressources similaires à les équations différentielles : cours de maths en terminale. mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Mathovore c'est 13 624 664 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.