Sujet France 2021 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

Ensuite, vous consultez ici le sujet France 2021, avec l’énoncé intégral des exercices.

Par ailleurs, Voici le sujet du bac de spécialité mathématiques Métropole 2021, sujet 2 destiné aux candidats libres et posé le 8 juin 2021, suivi de son corrigé détaillé sur une page dédiée. De plus, trois exercices étaient communs à tous. En outre, le premier est un QCM de géométrie dans l’espace sur deux droites et un plan dépendant d’un paramètre. Ensuite, le deuxième porte sur le dépistage de la leucose chez les chats d’un centre vétérinaire : arbre pondéré, loi binomiale et programme Python de seuil. Par ailleurs, le troisième étudie la suite définie par \(u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n + 4}\) à l’aide d’une suite arithmétique auxiliaire. De plus, pour finir, le candidat choisissait entre une étude de fonction avec logarithme et position de deux courbes, ou une fonction exponentielle avec lecture de la courbe de la dérivée et convexité.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2021 en France (jour 2).

Ensuite, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Sujet France 2021 : présentation de l’épreuve

Avant tout, précisons que ce sujet France 2021 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2021 en France (jour 2) dans sa version intégrale. Ainsi, vous trouverez 5 exercices indépendants. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont la géométrie dans l’espace, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et l’algorithmique en Python. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 48 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Candidats libres, sujet 2
France métropolitaine — 8 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère :

La droite \(\mathcal{D}\) passant par les points \(\text{A}(1\,;\,1\,;\,-2)\) et \(\text{B}(-1\,;\,3\,;\,2)\).
La droite \(\mathcal{D}^{\prime}\) de représentation paramétrique : \(\{\begin{array}{l}x = -4 + 3t\\ y = 6 – 3t\\ z = 8 – 6t\end{array}.\) avec \(t \in \mathbb{R}\).
Le plan \(\mathcal{P}\) d’équation cartésienne \(x + my – 2z + 8 = 0\) où \(m\) est un nombre réel.

Question 1 : Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite \(\mathcal{D}^{\prime}\) ?

a.	b.	c.	d.
\(\text{M}_1(-1\,;\,3\,;\,-2)\)	\(\text{M}_2(11\,;\,-9\,;\,-22)\)	\(\text{M}_3(-7\,;\,9\,;\,2)\)	\(\text{M}_4(-2\,;\,3\,;\,4)\)

En outre, Question 2 : Un vecteur directeur de la droite \(\mathcal{D}^{\prime}\) est :

a.	b.	c.	d.
\(\vec{u_1}\begin{pmatrix}-4\\6\\8\end{pmatrix}\)	\(\vec{u_2}\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}\)	\(\vec{u_3}\begin{pmatrix}3\\-3\\-6\end{pmatrix}\)	\(\vec{u_4}\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\)

Question 3 : Les droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}^{\prime}\) sont :

a.	b.	c.	d.
sécantes	strictement parallèles	non coplanaires	confondues

Question 4 : La valeur du réel \(m\) pour laquelle la droite \(\mathcal{D}\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\) est :

a.	a.	c.	d.
\(m = -1\)	\(m = 1\)	\(m = 5\)	\(m = -2\)

Exercice 2 (6 points)

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

La leucose féline est une maladie touchant les chats ; elle est provoquée par un virus.

Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40 % la proportion de chats porteurs de la maladie.

On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.

Ce test possède les caractéristiques suivantes.

Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans 90 % des cas.
Lorsque le chat n’est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans 85 % des cas.

On choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les évènements suivants :

\(M\) : « Le chat est porteur de la maladie » ;
\(T\) : « Le test du chat est positif » ;
\(\overline{M}\) et \(\overline{T}\) désignent les évènements contraires des évènements \(M\) et \(T\) respectivement.

1. a. Traduire la situation par un arbre pondéré.

b. Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.

c. Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à \(0{,}45\).

d. On choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Calculer la probabilité qu’il soit porteur de la maladie.

Exercice 2 du sujet France 2021 : questions 2 à 3

2. On choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de 20 chats au hasard. Ensuite, on admet que l’on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans l’échantillon choisi.

a. Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire \(X\).

b. Calculer la probabilité qu’il y ait dans l’échantillon exactement 5 chats présentant un test positif.

c. Calculer la probabilité qu’il y ait dans l’échantillon au plus 8 chats présentant un test positif.

d. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

3. Dans cette question, on choisit un échantillon de \(n\) chats dans le centre, qu’on assimile encore à un tirage avec remise. On note \(p_n\) la probabilité qu’il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon.

a. Montrer que \(p_n = 1 – 0{,}55^n\).

b. Décrire le rôle du programme ci-dessous écrit en langage Python, dans lequel la variable \(n\) est un entier naturel et la variable \(P\) un nombre réel.

def seuil():
    n = 0
    P = 0
    while P < 0.99 :
        n = n+1
        P = 1 - 0.55**n
    return n

c. Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme.

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n + 4}.\]

1. La copie d’écran ci-dessous présente les valeurs, calculées à l’aide d’un tableur, des termes de la suite \((u_n)\) pour \(n\) variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient \(\dfrac{4}{u_n}\) (avec, pour les valeurs de \(u_n\), affichage de deux chiffres pour les parties décimales).

\(n\)	\(u_n\)	\(\dfrac{4}{u_n}\)
0	1,00	4
1	0,80	5
2	0,67	6
3	0,57	7
4	0,50	8
5	0,44	9
6	0,40	10
7	0,36	11
8	0,33	12
9	0,31	13
10	0,29	14
11	0,27	15
12	0,25	16

À l’aide de ces valeurs, conjecturer l’expression de \(\dfrac{4}{u_n}\) en fonction de \(n\).

Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.), et d’en déduire la limite de la suite \((u_n)\) (question 6.).

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n \gt 0\).

3. Démontrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

Exercice 3 du sujet France 2021 : questions 4 à 6

4. Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite \((u_n)\) ?

5. On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(v_n = \dfrac{4}{u_n}\).

Démontrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique.

Préciser sa raison et son premier terme.

En déduire, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(v_n\) en fonction de \(n\).

6. Déterminer, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; dérivation.

Partie 1

On désigne par \(h\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[h(x) = 1 + \dfrac{\ln(x)}{x^2}.\]

On admet que la fonction \(h\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et on note \(h^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Déterminez les limites de \(h\) en 0 et en \(+\infty\).

2. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) de \(]0\,;\,+\infty[\), \(h^{\prime}(x) = \dfrac{1 – 2\ln(x)}{x^3}\).

3. En déduire les variations de la fonction \(h\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

4. Montrer que l’équation \(h(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) appartenant à \(]0\,;\,+\infty[\) et vérifier que : \(\dfrac{1}{2} \lt \alpha \lt 1\).

5. Déterminer le signe de \(h(x)\) pour \(x\) appartenant à \(]0\,;\,+\infty[\).

Partie 2

On désigne par \(f_1\) et \(f_2\) les fonctions définies sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f_1(x) = x – 1 – \dfrac{\ln(x)}{x^2} \qquad \text{et} \qquad f_2(x) = x – 2 – \dfrac{2\ln(x)}{x^2}.\]

On note \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) les représentations graphiques respectives de \(f_1\) et \(f_2\) dans un repère \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

1. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) appartenant à \(]0\,;\,+\infty[\), on a :

\[f_1(x) – f_2(x) = h(x).\]

2. Déduire des résultats de la Partie 1 la position relative des courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\).

On justifiera que leur unique point d’intersection a pour coordonnées \((\alpha\,;\,\alpha)\).

On rappelle que \(\alpha\) est l’unique solution de l’équation \(h(x) = 0\).

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle ; dérivation ; convexité.

Partie 1

On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée \(f^{\prime}\) d’une fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\).

À l’aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses :

1. Le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

2. La convexité de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Partie 2

On admet que la fonction \(f\) mentionnée dans la Partie 1 est définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]

On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), et on note \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime\prime}\) les fonctions dérivées première et seconde de \(f\) respectivement.

1. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\),

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + 2\text{e}^{-x}.\]

En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).

Justifier que la courbe \(\mathcal{C}\) admet une asymptote que l’on précisera.

On admet que \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

2. a. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\), \(f^{\prime}(x) = (-x – 1)\text{e}^{-x}\).

b. Étudier les variations sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) et dresser son tableau de variations.

c. Montrer que l’équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l’intervalle \([-2\,;\,-1]\) dont on donnera une valeur approchée à \(10^{-1}\) près.

3. Déterminer, pour tout nombre réel \(x\), l’expression de \(f^{\prime\prime}(x)\) et étudier la convexité de la fonction \(f\).

Que représente pour la courbe \(\mathcal{C}\) son point A d’abscisse 0 ?

Sujet France 2021 : méthode pour bien s’entraîner

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la géométrie dans l’espace ou les probabilités conditionnelles, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article géométrie dans l’espace de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs qui coûtent des points

En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.

Sujet France 2021 : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la géométrie dans l’espace, les probabilités conditionnelles et la loi binomiale, mais aussi l’algorithmique en Python.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2021 en France (jour 2)

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