Limite de fonctions : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

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Terminale • Lycée
Limite de fonctions
⏱️ Temps de travail : 20-45 min
🎯 Niveau : Lycée
📱 Format : Gratuit
📄 PDF : Disponible
 Les limites et asymptotes à travers des exercices de maths en terminale corrigés. Consultez également les exercices de corrigés en terminale en PDF .

Exercice 1 – Limite de fonctions

Voici quelques limites à calculer. Ce sont toutes des formes indéterminées et on se limitera aux fonctions polynômes, rationnelles (quotient de deux polynômes) ou comportant des racines carrées.

  • \lim_{x\to\,+\infty}\frac{x^2+x-1}{x-1}
  • \lim_{x\to\,+\infty}\frac{x+100}{x^2+x}
  • \lim_{x\to\,+\infty}\frac{x^3}{x^2+x+1}-x
  • \lim_{x\to\,+\infty}\frac{x^3}{2x^2-1}-\frac{x^2}{x+1}
  • \lim_{x\to\,+\infty}\frac{3x^2}{2x+1}-\frac{(2x-1)(3x^2+x+2)}{4x^2}
  • \lim_{x\to\,+\infty}\frac{\sqrt{x+5}}{x-4}
  • \lim_{x\to\,+\infty},\sqrt{x^2+x-1},-2x
  • \lim_{x\to\,+\infty},\sqrt{x^2+x-1},-x
  • \lim_{x\to\,+\infty},\sqrt{x^2+2x},-\sqrt{x^2+3}

Exercice 2 – Une limite classique

On rappelle que \lim_{t\to\,0}\frac{sin(t)}{t}=1.Soit n entier naturel.

Etudier la limite suivante : \lim_{t\to\,0}\frac{sin(nt)}{t}.

Exercice 3 :

f est la fonction définie sur l’intervalle [0\,;\,+\infty[ par f(x)=\sqrt{x}.
a) Démontrer que pour tout réel A\,\geq\,\,0, l’intervalle ]A\,;\,+\infty[ contient toutes les valeurs f(x) pour x assez
grand.
b) Que peut-on en déduire pour la fonction f ?

Exercice 4 :

g est la fonction définie sur ]0\,;\,+\infty[ par g(x)\,=\frac{1}{x^2}.
a) Démontrer que pour tout réel \alpha\,>0, l’intervalle ]0\,;\,\alpha\,[ ; contient toutes les valeurs g(x) pour x assez grand.
b) En déduire la limite de la fonction g en +\infty.
c) Interpréter graphiquement cette limite pour la courbe représentative (\varphi\,) de g dans un repère orthonormé.

Exercice 5 :

f est la fonction définie sur [0\,;\,+\infty[ par :
f(x)=\sqrt{x}+2.
a) Démontrer que f(x) > 100 pour x assez grand.
b) Démontrer que pour tout réel A > 2, l’intervalle ]A\,;\,+\infty[ contient toutes les valeurs f (x) pour x assez
grand.
c) Que peut-on en déduire pour la fonction f ?

Exercice 6 :

g est la fonction définie sur ]0\,;\,+\infty[ par :
g(x)\,=\frac{1}{x}\,+\,1.
a) Démontrer que pour tout réel \alpha\,>\,1, l’intervalle ]1;\alpha\,[ contient toutes les valeurs g(x) pour x assez grand.
b) En déduire la limite de la fonction g en +\infty.
c) Interpréter graphiquement cette limite pour la courbe (\varphi\,) de g dans un repère orthonormé.

Exercice 7 :

h est la fonction définie sur \mathbb{R} par :
h(x)=\,2sin\,(x)\,-x^2.
a) Utiliser la courbe de h affichée ci-dessous pour conjecturer les limites de h en +\infty et en -\infty.
b) Démontrer ces conjectures.

Exercice 8 :

f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)\,=\,x^3\,-\,5x+\,2.
a) Vérifier que l’étude de la limite de la fonction f en +\infty, avec les règles opératoires, mène à une forme
indéterminée.
b) Étudier la limite de la fonction f en +\infty.

Exercice 9 :

g est la fonction définie sur ]3;\,+\infty[ par g(x)=\frac{2x+1}{x-3}.
Étudier la limite de la fonction g: a) en +\infty ; b) en 3.

Exercice 10 :

f est la fonction définie sur \mathbb{R} par :

f(x)=-x^4+3x+1.
a) Vérifier que l’étude de la limite de la fonction f en +\infty, avec les règles opératoires, mène à une forme
indéterminée.
b) Étudier la limite de la fonction f en +\infty.

Exercice 11 :

f est la fonction définie sur ]-1;\,+\infty[ par :

f(x)=\frac{4x+5}{x+1}
Étudier la limite de la fonction f:
a. en +\infty.    b. en -1.

Exercice 12 :

Soit f\,:\,x\,\mapsto  \,-(x-\,3)^2, définie pour tout réel x et  g\,:\,x\,\mapsto  \,-2+\frac{1}{2x} définie pour tout réel x\neq\,0.
1. Tracer les courbes représentatives des fonction f et g entre les abscisses 0 et 10.
2. Relever graphiquement à partir de quelle valeur de x on a :
a)f(x)<-10          b)g(x)\in\,]-2;0[
3. Conjecturer les limites de f et g en +\infty et en -\infty.

Exercice 13 :

Déterminer les limites suivantes :

a)\lim_{x\to\,+\infty}e^x+2sin(x)\\b)\lim_{x\to\,-\infty}e^xcos(x)\\c)\lim_{x\to\,+\infty}\frac{1+3cos(x)}{(x+1)^2}\,\\d)\lim_{x\to\,-\infty}\frac{sin(x)}{x}

Exercice 14 :

Déterminer les limites suivantes :

a)\,\lim_{x\to\,-\infty}\sqrt{2-x}\\b)\,\lim_{x\to\,-1^+}e^{\sqrt{x+1}}

Exercice 15 :

Déterminer les limites suivantes :

a)\lim_{x\to\,-\infty}\sqrt{1+e^x}\\\\b)\lim_{x\to\,1^+}e^{\frac{1}{x-1}}

Exercice 16 :

g est la fonction définie sur l’intervalle ]0;+\infty[ par g(x)=\frac{1}{x}+1.

  1. Démontrer que, pour tout nombre réel \alpha\,>0, l’intervalle ]1-\alpha\,;1+\alpha\,[ contient toutes les valeurs g(x) pour x assez grand.
  2. En déduire la limite de la fonction g en +\infty.
  3. Interpréter graphiquement cette limite.

Exercice 17 :

h est la fonction définie sur l’intervalle ]1;+\infty[ par h(x)=\frac{1}{x^2-1}.

1.Démontrer que, pour tout nombre réel \alpha\,>0, l’intervalle ]-\alpha\,;+\alpha\,[ contient toutes les valeurs

h(x) pour x assez  grand.

2.En déduire la limite de la fonction h en +\infty.

3.Interpréter graphiquement cette limite.

Exercice 18 :

  1. f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=-x^2+3x+1.

Etudier la limite de f en +\infty.

2. g est une fonction définie sur l’intervalle ]-1;+\infty[ par g(x)=\frac{4x^2-x+5}{x+1}.

Etudier la limite de la fonction g.

a) en +\infty    b) en – 1.

Exercice 19 :

g est la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1}

  1. Etudier la limite de la fonction g en -\infty.
  2. a) Démontrer que, pour tout nombre réel x, g(x)=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}.

b) Etudier la limite de la fonction g en +\infty.

Exercice  20 :

Dans chacun des cas, on donne le tableau de variation d’une fonction f.

Tracer, à main levée, une courbe \varphi susceptible de représenter la fonction f dans un repère.

tableau variation, fonctions et limites

Exercice 21 :

Donner, sans justification, la limite des fonctions suivantes en +\infty.

a)\,f(x)=x\sqrt{x}\\b)\,g(x)=(x^2+1)(-x^2+2)\\c)\,h(x)=e^x\,(\,\frac{1}{x}\,+2\,)\\d)\,k(x)=x^2\,(\,-3-\,\frac{1}{x}\,\,)

Exercice 22 :

Une usine fabrique une puce destinée aux appareils électroniques.

Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle [0;+\infty[

par C(q)=\frac{8}{1+e^{-q}} où q désigne la quantité de puces fabriquées (en milliers)

et C(q) le coût total (en millions d’euros).

Problème d'étude de fonctions et de limites.

1.

a. Représenter graphiquement la fonction C à l’écran de votre calculatrice.

b. Etudier la limite de la fonction C en +\infty.

2. On note C_M(q) le coût moyen de fabrication d’une puce lorsqu’on en fabrique q (avec q>0).

a. Exprimer  C_M(q) en fonction de q.

b. Représenter graphiquement la fonction C_M à l’écran de la calculatrice.

c. Etudier la limite de la fonction C_M en +\infty.

Interpréter le résultat obtenu en termes économiques.

Exercice 23 :

g est la fonction définie sur \mathbb{R} par :
g(x)=\,x^4sin(x).
Louise a affiché la courbe représentative de g à l’écran de sa calculatrice.
Elle conjecture : « La fonction g a pour limite +\infty en +\infty. »
a) k désigne un nombre entier naturel.
Calculer g(k\pi).
b) Expliquer alors pourquoi Louise se trompe.

exercices limites fonctions 1

Exercice 24 :

Voici dans un repère orthonormé la courbe représentative de la fonction f:
x\,\mapsto  \,x-1\,+5\,sin^2\,(x)
et les droites d’équations
y = x— 1 et y=x+ 4.
Étudier les limites de la fonction f en -\infty et en +\infty.

exercices limites fonctions 2

Exercice 25 :

Voici la courbe représentative \varphi d’une fonction f définie sur ]-\,\infty,\,-2[\,\cup\,]-\,2;\,+\,\infty,[.
1. Lire sur le graphique, les limites de la fonction f en -\infty, en +\infty, à droite et à gauche en – 2.
2. g est la fonction définie pour x différent de – 2 et de 0 par g(x)\,=\,\frac{1}{f(x)}.
Déterminer Ia limite de la fonction g en :
a) -\infty     b) +\infty   c)  -2   d) à droite et à gauche en O.
3. h est la fonction définie sur ]-\,\infty,\,-2[\,\cup\,]0;\,+\,\infty,[ par  h(x)=\sqrt{f(x)}.

Déterminer la limite de la fonction h en :
a) -\infty     b) +\infty   c)  -2   d) O.

exercices limites fonctions 3

Exercice 26 :

g est la fonction définie sur [0\,;\,+\infty[ par :
g(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{x^2+1}}
a) Montrer que pour tout x > 0,
g(x)=\frac{2-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}
b) Déterminer l’équation de l’asymptote à la courbe représentative de g dans un repère orthonormé.

Exercice 27 :

g est la fonction définie sur \mathbb{R} par :
g\,(x)\,=\,e^{-x}\,sin(x).
On note \varphi la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé.
a) Utiliser un encadrement de g(x) pour étudier la limite de g en +\infty.
b) En déduire une asymptote d à la courbe \varphi.
c) Montrer que la courbe \varphi coupe une infinité de fois son asymptote d.
2. Numa affirme : « La limite de la fonction g en -\infty est +\infty».

Expliquer pourquoi Numa se trompe.

Exercice 28 :

1. h est la fonction définie [0\,;\,+\infty[ par :
h(x)=\frac{e^{2x}}{x+e^x}
Voici la courbe représentative de la fonction h à l’écran d’une calculatrice.

exercices limites fonctions 4
a) Conjecturer la limite de la fonction h en +\infty.
b) Démontrer cette conjecture.
Conseil : mettre e^x en facteur au dénominateur.
2. k est la fonction définie sur ]-\infty\,;\,-1]   par k(x)=\frac{e^{2x}}{x+e^x}
a) Afficher la courbe représentative de k à l’écran de la calculatrice et conjecturer la limite de k en -\infty.
b) Prouver cette conjecture.

Exercice 29 :

Pour tout réel a, on note h_a la fonction définie sur \mathbb{R}  par h_a(x)=\frac{ax+\frac{1}{2}}{e^x}
1 . a) Déterminer la limite de la fonction  h_a en +\infty.
b) Suivant les valeurs du nombre réel a, déterminer la limite de la fonction  h_a en -\infty.
2. a) Démontrer que pour tout réel x :
h_a'(x)=\frac{-ax+a-\frac{1}{2}}{e^x}
b) Démontrer que pour tout réel a\neq\,0, la fonction h_a admet un extremum pour une valeur de x que l’on exprimera en fonction de a.
3. Dans un repère orthonormé, on note \varphi\,_a la courbe représentative de la fonction h_a.
Voici les courbes pour cinq valeurs de a :
exercices limites fonctions 5
Déterminer, pour chacune des courbes tracées, la valeur de a correspondante, en justifiant les réponses.

Exercice 30 :

Pour tout réel non nul \lambda, on désigne par f_\lambda la fonction définie sur R par :
f_\lambda(x)=\frac{e^{\lambda\,x}+e^{-\lambda\,x}}{2\lambda}

exercices limites fonctions 6
1.a) Tracer, à l’aide d’un logiciel de géométrie, la courbe représentative de la fonction f_\lambda.

b) Conjecturer, suivant les valeurs de \lambda, les limites de la fonction f_\lambda en -\infty et en +\infty.
2. Démontrer les conjectures précédentes.

Corrigé des exercices de maths.

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