Limite de fonctions : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
Mis à jour le 29 mai 2025
Exercice 1 – Limite de fonctions
Voici quelques limites à calculer. Ce sont toutes des formes indéterminées et on se limitera aux fonctions polynômes, rationnelles (quotient de deux polynômes) ou comportant des racines carrées.
Exercice 2 – Une limite classique
On rappelle que .Soit n entier naturel.
Etudier la limite suivante : .
Exercice 3 :
f est la fonction définie sur l’intervalle par
.
a) Démontrer que pour tout réel , l’intervalle
contient toutes les valeurs f(x) pour x assez
grand.
b) Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
Exercice 4 :
est la fonction définie sur
par
.
a) Démontrer que pour tout réel , l’intervalle
; contient toutes les valeurs g(x) pour x assez grand.
b) En déduire la limite de la fonction g en .
c) Interpréter graphiquement cette limite pour la courbe représentative de g dans un repère orthonormé.
Exercice 5 :
f est la fonction définie sur par :
.
a) Démontrer que f(x) > 100 pour x assez grand.
b) Démontrer que pour tout réel A > 2, l’intervalle contient toutes les valeurs f (x) pour x assez
grand.
c) Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
Exercice 6 :
g est la fonction définie sur par :
.
a) Démontrer que pour tout réel , l’intervalle
contient toutes les valeurs g(x) pour x assez grand.
b) En déduire la limite de la fonction g en .
c) Interpréter graphiquement cette limite pour la courbe de g dans un repère orthonormé.
Exercice 7 :
h est la fonction définie sur par :
.
a) Utiliser la courbe de h affichée ci-dessous pour conjecturer les limites de h en et en
.
b) Démontrer ces conjectures.
Exercice 8 :
f est la fonction définie sur par
.
a) Vérifier que l’étude de la limite de la fonction f en , avec les règles opératoires, mène à une forme
indéterminée.
b) Étudier la limite de la fonction f en .
Exercice 9 :
g est la fonction définie sur par
.
Étudier la limite de la fonction g: a) en ; b) en 3.
Exercice 10 :
f est la fonction définie sur par :
.
a) Vérifier que l’étude de la limite de la fonction f en , avec les règles opératoires, mène à une forme
indéterminée.
b) Étudier la limite de la fonction f en .
Exercice 11 :
f est la fonction définie sur par :
Étudier la limite de la fonction f:
a. en . b. en
.
Exercice 12 :
Soit , définie pour tout réel x et
définie pour tout réel
.
1. Tracer les courbes représentatives des fonction f et g entre les abscisses 0 et 10.
2. Relever graphiquement à partir de quelle valeur de x on a :
3. Conjecturer les limites de f et g en et en
.
Exercice 13 :
Déterminer les limites suivantes :
Exercice 14 :
Déterminer les limites suivantes :
Exercice 15 :
Déterminer les limites suivantes :
Exercice 16 :
g est la fonction définie sur l’intervalle par
.
- Démontrer que, pour tout nombre réel
, l’intervalle
contient toutes les valeurs g(x) pour x assez grand.
- En déduire la limite de la fonction g en
.
- Interpréter graphiquement cette limite.
Exercice 17 :
h est la fonction définie sur l’intervalle par
.
1.Démontrer que, pour tout nombre réel , l’intervalle
contient toutes les valeurs
h(x) pour x assez grand.
2.En déduire la limite de la fonction h en .
3.Interpréter graphiquement cette limite.
Exercice 18 :
- f est la fonction définie sur
par
.
Etudier la limite de f en .
2. g est une fonction définie sur l’intervalle par
.
Etudier la limite de la fonction g.
a) en b) en – 1.
Exercice 19 :
g est la fonction définie sur par
- Etudier la limite de la fonction g en
.
- a) Démontrer que, pour tout nombre réel x,
.
b) Etudier la limite de la fonction g en .
Exercice 20 :
Dans chacun des cas, on donne le tableau de variation d’une fonction f.
Tracer, à main levée, une courbe susceptible de représenter la fonction f dans un repère.
Exercice 21 :
Donner, sans justification, la limite des fonctions suivantes en .
Exercice 22 :
Une usine fabrique une puce destinée aux appareils électroniques.
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle
par où q désigne la quantité de puces fabriquées (en milliers)
et C(q) le coût total (en millions d’euros).
1.
a. Représenter graphiquement la fonction C à l’écran de votre calculatrice.
b. Etudier la limite de la fonction C en .
2. On note le coût moyen de fabrication d’une puce lorsqu’on en fabrique q (avec q>0).
a. Exprimer en fonction de q.
b. Représenter graphiquement la fonction à l’écran de la calculatrice.
c. Etudier la limite de la fonction en
.
Interpréter le résultat obtenu en termes économiques.
Exercice 23 :
g est la fonction définie sur par :
.
Louise a affiché la courbe représentative de g à l’écran de sa calculatrice.
Elle conjecture : « La fonction g a pour limite en
. »
a) k désigne un nombre entier naturel.
Calculer .
b) Expliquer alors pourquoi Louise se trompe.
Exercice 24 :
Voici dans un repère orthonormé la courbe représentative de la fonction f:
et les droites d’équations
y = x— 1 et y=x+ 4.
Étudier les limites de la fonction f en et en
.
Exercice 25 :
Voici la courbe représentative d’une fonction f définie sur
.
1. Lire sur le graphique, les limites de la fonction f en , en
, à droite et à gauche en – 2.
2. g est la fonction définie pour x différent de – 2 et de 0 par .
Déterminer Ia limite de la fonction g en :
a) b)
c)
d) à droite et à gauche en O.
3. h est la fonction définie sur par
.
Déterminer la limite de la fonction h en :
a) b)
c)
d) O.
Exercice 26 :
g est la fonction définie sur par :
a) Montrer que pour tout x > 0,
b) Déterminer l’équation de l’asymptote à la courbe représentative de g dans un repère orthonormé.
Exercice 27 :
g est la fonction définie sur par :
On note la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé.
a) Utiliser un encadrement de g(x) pour étudier la limite de g en .
b) En déduire une asymptote d à la courbe .
c) Montrer que la courbe coupe une infinité de fois son asymptote d.
2. Numa affirme : « La limite de la fonction g en est
».
Expliquer pourquoi Numa se trompe.
Exercice 28 :
1. h est la fonction définie par :
Voici la courbe représentative de la fonction h à l’écran d’une calculatrice.
a) Conjecturer la limite de la fonction h en .
b) Démontrer cette conjecture.
Conseil : mettre en facteur au dénominateur.
2. k est la fonction définie sur par
a) Afficher la courbe représentative de k à l’écran de la calculatrice et conjecturer la limite de k en .
b) Prouver cette conjecture.
Exercice 29 :
Pour tout réel a, on note la fonction définie sur
par
1 . a) Déterminer la limite de la fonction en
.
b) Suivant les valeurs du nombre réel a, déterminer la limite de la fonction en
.
2. a) Démontrer que pour tout réel x :
b) Démontrer que pour tout réel , la fonction
admet un extremum pour une valeur de x que l’on exprimera en fonction de
.
3. Dans un repère orthonormé, on note la courbe représentative de la fonction
.
Voici les courbes pour cinq valeurs de a :
Déterminer, pour chacune des courbes tracées, la valeur de a correspondante, en justifiant les réponses.
Exercice 30 :
Pour tout réel non nul , on désigne par
la fonction définie sur R par :
1.a) Tracer, à l’aide d’un logiciel de géométrie, la courbe représentative de la fonction .
b) Conjecturer, suivant les valeurs de , les limites de la fonction
en
et en
.
2. Démontrer les conjectures précédentes.
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