Cette fiche rassemble trente exercices sur les limites de fonctions destinés aux élèves de terminale spécialité mathématiques. Les premiers exercices entraînent au calcul de limites de fonctions polynômes, rationnelles ou avec racine carrée, où il faut lever une forme indéterminée par factorisation ou par la quantité conjuguée. Viennent ensuite la définition d’une limite en l’infini (un intervalle qui contient toutes les valeurs de la fonction pour x assez grand), les limites en un point et les asymptotes horizontales ou verticales.
La seconde partie mobilise les théorèmes de comparaison et le théorème des gendarmes avec les fonctions sinus et cosinus, la composition de limites, les fonctions exponentielles, la croissance comparée et la lecture graphique de courbes ou de tableaux de variation. Un problème de coût moyen et deux familles de fonctions à paramètre complètent l’entraînement.
Cherche chaque exercice au brouillon en rédigeant toutes les justifications, puis compare ta démarche avec la correction détaillée de ces exercices sur les limites, qui reprend chaque question étape par étape.
Exercice 1 – Limite de fonctions (limites de fonctions)
Voici quelques limites à calculer. Ce sont toutes des formes indéterminées et on se limitera aux fonctions polynômes, rationnelles (quotient de deux polynômes) ou comportant des racines carrées.
- \(\lim_{x\to\,+\infty}\dfrac{x^2+x-1}{x-1}\)
- \(\lim_{x\to\,+\infty}\dfrac{x+100}{x^2+x}\)
- \(\lim_{x\to\,+\infty}(\dfrac{x^3}{x^2+x+1}-x)\)
- \(\lim_{x\to\,+\infty}(\dfrac{x^3}{2x^2-1}-\dfrac{x^2}{x+1})\)
- \(\lim_{x\to\,+\infty}(\dfrac{3x^2}{2x+1}-\dfrac{(2x-1)(3x^2+x+2)}{4x^2})\)
- \(\lim_{x\to\,+\infty}\dfrac{\sqrt{x+5}}{x-4}\)
- \(\lim_{x\to\,+\infty}(\sqrt{x^2+x-1}-2x)\)
- \(\lim_{x\to\,+\infty}(\sqrt{x^2+x-1}-x)\)
- \(\lim_{x\to\,+\infty}(\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+3})\)
Exercice 2 – Une limite classique
On rappelle que \(\lim_{t\to\,0}\dfrac{\sin(t)}{t}=1\). Soit n entier naturel.
Etudier la limite suivante : \(\lim_{t\to\,0}\dfrac{\sin(nt)}{t}\).
Exercice 3 (limites de fonctions)
f est la fonction définie sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=\sqrt{x}\).
a) Démontrer que pour tout réel \(A\,\geq\,\,0\), l’intervalle \(]A\,;\,+\infty[\) contient toutes les valeurs f(x) pour x assez
grand.
b) Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
Exercice 4 :
\(g\) est la fonction définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(g(x)\,=\dfrac{1}{x^2}\).
a) Démontrer que pour tout réel \(\alpha\,\gt 0\), l’intervalle \(]0\,;\,\alpha\,[\) contient toutes les valeurs g(x) pour x assez grand.
b) En déduire la limite de la fonction g en \(+\infty\).
c) Interpréter graphiquement cette limite pour la courbe représentative \((\varphi\,)\) de g dans un repère orthonormé.
Exercice 5 (limites de fonctions)
f est la fonction définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par :
\(f(x)=\sqrt{x}+2\).
a) Démontrer que f(x) > 100 pour x assez grand.
b) Démontrer que pour tout réel A > 2, l’intervalle \(]A\,;\,+\infty[\) contient toutes les valeurs f (x) pour x assez
grand.
c) Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
Exercice 6 :
g est la fonction définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :
\(g(x)\,=\dfrac{1}{x}\,+\,1\).
a) Démontrer que pour tout réel \(\alpha\,\gt\,1\), l’intervalle \(]1;\alpha\,[\) contient toutes les valeurs g(x) pour x assez grand.
b) En déduire la limite de la fonction g en \(+\infty\).
c) Interpréter graphiquement cette limite pour la courbe \((\varphi\,)\) de g dans un repère orthonormé.
Exercice 7 (limites de fonctions)
h est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(h(x)=\,2\sin\,(x)\,-x^2\).
a) Utiliser la courbe de h affichée ci-dessous pour conjecturer les limites de h en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
b) Démontrer ces conjectures.
Exercice 8 :
f est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)\,=\,x^3\,-\,5x+\,2\).
a) Vérifier que l’étude de la limite de la fonction f en \(+\infty\), avec les règles opératoires, mène à une forme
indéterminée.
b) Étudier la limite de la fonction f en \(+\infty\).
Exercice 9 (limites de fonctions)
g est la fonction définie sur \(]3;\,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\).
Étudier la limite de la fonction g : a) en \(+\infty\) ; b) en 3.
Exercice 10 :
f est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=-x^4+3x+1\).
a) Vérifier que l’étude de la limite de la fonction f en \(+\infty\), avec les règles opératoires, mène à une forme
indéterminée.
b) Étudier la limite de la fonction f en \(+\infty\).
Exercice 11 (limites de fonctions)
f est la fonction définie sur \(]-1;\,+\infty[\) par :
\(f(x)=\dfrac{4x+5}{x+1}\)
Étudier la limite de la fonction f :
a. en \(+\infty\). b. en \(-1\).
Exercice 12 :
Soit \(f\,:\,x\,\mapsto \,-(x-\,3)^2\), définie pour tout réel x et \(g\,:\,x\,\mapsto \,-2+\dfrac{1}{2x}\) définie pour tout réel \(x\neq\,0\).
1. Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g entre les abscisses 0 et 10.
2. Relever graphiquement à partir de quelle valeur de x on a :
a) \(f(x)\lt -10\) b) \(g(x)\in\,]-2;0[\)
3. Conjecturer les limites de f et g en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Exercice 13 (limites de fonctions)
Déterminer les limites suivantes :
- a) \(\lim_{x\to\,+\infty}(e^x+2\sin(x))\)
- b) \(\lim_{x\to\,-\infty}e^x\cos(x)\)
- c) \(\lim_{x\to\,+\infty}\dfrac{1+3\cos(x)}{(x+1)^2}\)
- d) \(\lim_{x\to\,-\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}\)
Exercice 14 :
Déterminer les limites suivantes :
- a) \(\lim_{x\to\,-\infty}\sqrt{2-x}\)
- b) \(\lim_{x\to\,-1^+}e^{\sqrt{x+1}}\)
Exercice 15 (limites de fonctions)
Déterminer les limites suivantes :
- a) \(\lim_{x\to\,-\infty}\sqrt{1+e^x}\)
- b) \(\lim_{x\to\,1^+}e^{\frac{1}{x-1}}\)
Exercice 16 :
g est la fonction définie sur l’intervalle \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{1}{x}+1\).
- Démontrer que, pour tout nombre réel \(\alpha\,\gt 0\), l’intervalle \(]1-\alpha\,;1+\alpha\,[\) contient toutes les valeurs g(x) pour x assez grand.
- En déduire la limite de la fonction g en \(+\infty\).
- Interpréter graphiquement cette limite.
Exercice 17 (limites de fonctions)
h est la fonction définie sur l’intervalle \(]1;+\infty[\) par \(h(x)=\dfrac{1}{x^2-1}\).
1.Démontrer que, pour tout nombre réel \(\alpha\,\gt 0\), l’intervalle \(]-\alpha\,;+\alpha\,[\) contient toutes les valeurs
h(x) pour x assez grand.
2.En déduire la limite de la fonction h en \(+\infty\).
3.Interpréter graphiquement cette limite.
Exercice 18 :
- f est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-x^2+3x+1\).
Etudier la limite de f en \(+\infty\).
2. g est une fonction définie sur l’intervalle \(]-1;+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{4x^2-x+5}{x+1}\).
Etudier la limite de la fonction g.
a) en \(+\infty\) b) en – 1.
Exercice 19 (limites de fonctions)
g est la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(g(x)=\dfrac{e^x+1}{e^x-1}\)
- Etudier la limite de la fonction g en \(-\infty\).
- a) Démontrer que, pour tout nombre réel x non nul, \(g(x)=\dfrac{1+e^{-x}}{1-e^{-x}}\).
b) Etudier la limite de la fonction g en \(+\infty\).
Exercice 20 :
Dans chacun des cas, on donne le tableau de variation d’une fonction f.
Tracer, à main levée, une courbe \(\varphi\) susceptible de représenter la fonction f dans un repère.
Exercice 21 :
Donner, sans justification, la limite des fonctions suivantes en \(+\infty\).
- a) \(f(x)=x\sqrt{x}\)
- b) \(g(x)=(x^2+1)(-x^2+2)\)
- c) \(h(x)=e^x(\dfrac{1}{x}+2)\)
- d) \(k(x)=x^2(-3-\dfrac{1}{x})\)
Exercice 22 :
Une usine fabrique une puce destinée aux appareils électroniques.
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle \([0;+\infty[\)
par \(C(q)=\dfrac{8}{1+e^{-q}}\) où q désigne la quantité de puces fabriquées (en milliers)
et C(q) le coût total (en millions d’euros).
1.
a. Représenter graphiquement la fonction C à l’écran de votre calculatrice.
b. Etudier la limite de la fonction C en \(+\infty\).
2. On note \(C_M(q)\) le coût moyen de fabrication d’une puce lorsqu’on en fabrique q (avec q > 0).
a. Exprimer \(C_M(q)\) en fonction de q.
b. Représenter graphiquement la fonction \(C_M\) à l’écran de la calculatrice.
c. Etudier la limite de la fonction \(C_M\) en \(+\infty\).
Interpréter le résultat obtenu en termes économiques.
Exercice 23 :
g est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(g(x)=\,x^4\sin(x)\).
Louise a affiché la courbe représentative de g à l’écran de sa calculatrice.
Elle conjecture : « La fonction g a pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\). »
a) k désigne un nombre entier naturel.
Calculer \(g(k\pi)\).
b) Expliquer alors pourquoi Louise se trompe.
Exercice 24 :
Voici dans un repère orthonormé la courbe représentative de la fonction f :
\(x\,\mapsto \,x-1\,+5\,\sin^2\,(x)\)
et les droites d’équations
\(y=x-1\) et \(y=x+4\).
Étudier les limites de la fonction f en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
Exercice 25 :
Voici la courbe représentative \(\varphi\) d’une fonction f définie sur \(]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]-2\,;\,+\infty[\).
1. Lire sur le graphique les limites de la fonction f en \(-\infty\), en \(+\infty\), à droite et à gauche en \(-2\).
2. g est la fonction définie pour x différent de \(-2\) et de 0 par \(g(x)\,=\,\dfrac{1}{f(x)}\).
Déterminer la limite de la fonction g en :
a) \(-\infty\) b) \(+\infty\) c) \(-2\) d) à droite et à gauche en 0.
3. h est la fonction définie sur \(]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[\) par \(h(x)=\sqrt{f(x)}\).
Déterminer la limite de la fonction h en :
a) \(-\infty\) b) \(+\infty\) c) \(-2\) d) 0.
Exercice 26 :
g est la fonction définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par :
\(g(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2+1}}\)
a) Montrer que pour tout x > 0,
\(g(x)=\dfrac{2-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\)
b) Déterminer l’équation de l’asymptote à la courbe représentative de g dans un repère orthonormé.
Exercice 27 :
g est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(g\,(x)\,=\,e^{-x}\,\sin(x).\)
On note \(\varphi\) la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé.
a) Utiliser un encadrement de g(x) pour étudier la limite de g en \(+\infty\).
b) En déduire une asymptote d à la courbe \(\varphi\).
c) Montrer que la courbe \(\varphi\) coupe une infinité de fois son asymptote d.
2. Numa affirme : « La limite de la fonction g en \(-\infty\) est \(+\infty\) ».
Expliquer pourquoi Numa se trompe.
Exercice 28 :
1. h est la fonction définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par :
\(h(x)=\dfrac{e^{2x}}{x+e^x}\)
Voici la courbe représentative de la fonction h à l’écran d’une calculatrice.
a) Conjecturer la limite de la fonction h en \(+\infty\).
b) Démontrer cette conjecture.
Conseil : mettre \(e^x\) en facteur au dénominateur.
2. k est la fonction définie sur \(]-\infty\,;\,-1]\) par \(k(x)=\dfrac{e^{2x}}{x+e^x}\)
a) Afficher la courbe représentative de k à l’écran de la calculatrice et conjecturer la limite de k en \(-\infty\).
b) Prouver cette conjecture.
Exercice 29 :
Pour tout réel a, on note \(h_a\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h_a(x)=\dfrac{ax+\frac{1}{2}}{e^x}\)
1 . a) Déterminer la limite de la fonction \(h_a\) en \(+\infty\).
b) Suivant les valeurs du nombre réel a, déterminer la limite de la fonction \(h_a\) en \(-\infty\).
2. a) Démontrer que pour tout réel x :
\(h_a^{\prime}(x)=\dfrac{-ax+a-\frac{1}{2}}{e^x}\)
b) Démontrer que pour tout réel \(a\neq\,0\), la fonction \(h_a\) admet un extremum pour une valeur de x que l’on exprimera en fonction de \(a\).
3. Dans un repère orthonormé, on note \(\varphi\,_a\) la courbe représentative de la fonction \(h_a\).
Voici les courbes pour cinq valeurs de a : \(-2\) ; 0 ; \(\dfrac{1}{4}\) ; 1 ; 2.
Déterminer, pour chacune des courbes tracées, la valeur de a correspondante, en justifiant les réponses.
Exercice 30 :
Pour tout réel non nul \(\lambda\), on désigne par \(f_\lambda\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f_\lambda(x)=\dfrac{e^{\lambda\,x}+e^{-\lambda\,x}}{2\lambda}\)
1.a) Tracer, à l’aide d’un logiciel de géométrie, la courbe représentative de la fonction \(f_\lambda\).
b) Conjecturer, suivant les valeurs de \(\lambda\), les limites de la fonction \(f_\lambda\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
2. Démontrer les conjectures précédentes.
Limites de fonctions : nos conseils pour progresser
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. De plus, un travail régulier sur limites de fonctions vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Fonction (mathématiques) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec la récurrence : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
