Limite de fonctions : exercices de maths en terminale corrigés.

Les limites et asymptotes à travers des exercices de maths en terminale corrigés. Consultez également les exercices de corrigés en terminale en PDF .

Exercice 1 – Limite de fonctions

Voici quelques limites à calculer. Ce sont toutes des formes indéterminées et on se limitera aux fonctions polynômes, rationnelles (quotient de deux polynômes) ou comportant des racines carrées.

$\lim_{x\to\,+\infty}\frac{x^2+x-1}{x-1}$
$\lim_{x\to\,+\infty}\frac{x+100}{x^2+x}$
$\lim_{x\to\,+\infty}\frac{x^3}{x^2+x+1}-x$
$\lim_{x\to\,+\infty}\frac{x^3}{2x^2-1}-\frac{x^2}{x+1}$
$\lim_{x\to\,+\infty}\frac{3x^2}{2x+1}-\frac{(2x-1)(3x^2+x+2)}{4x^2}$
$\lim_{x\to\,+\infty}\frac{\sqrt{x+5}}{x-4}$
$\lim_{x\to\,+\infty},\sqrt{x^2+x-1},-2x$
$\lim_{x\to\,+\infty},\sqrt{x^2+x-1},-x$
$\lim_{x\to\,+\infty},\sqrt{x^2+2x},-\sqrt{x^2+3}$

Exercice 2 – Une limite classique

On rappelle que $\lim_{t\to\,0}\frac{sin(t)}{t}=1$ .Soit n entier naturel.

Etudier la limite suivante : $\lim_{t\to\,0}\frac{sin(nt)}{t}$ .

Exercice 3 :

f est la fonction définie sur l’intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$ .
a) Démontrer que pour tout réel $A\,\geq\,\,0$ , l’intervalle $]A\,;\,+\infty[$ contient toutes les valeurs f(x) pour x assez
grand.
b) Que peut-on en déduire pour la fonction f ?

Exercice 4 :

est la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $g(x)\,=\frac{1}{x^2}$ .
a) Démontrer que pour tout réel $\alpha\,>0$ , l’intervalle $]0\,;\,\alpha\,[$ ; contient toutes les valeurs g(x) pour x assez grand.
b) En déduire la limite de la fonction g en $+\infty$ .
c) Interpréter graphiquement cette limite pour la courbe représentative $(\varphi\,)$ de g dans un repère orthonormé.

Exercice 5 :

f est la fonction définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par :
$f(x)=\sqrt{x}+2$ .
a) Démontrer que f(x) > 100 pour x assez grand.
b) Démontrer que pour tout réel A > 2, l’intervalle $]A\,;\,+\infty[$ contient toutes les valeurs f (x) pour x assez
grand.
c) Que peut-on en déduire pour la fonction f ?

Exercice 6 :

g est la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par :
$g(x)\,=\frac{1}{x}\,+\,1$ .
a) Démontrer que pour tout réel $\alpha\,>\,1$ , l’intervalle $]1;\alpha\,[$ contient toutes les valeurs g(x) pour x assez grand.
b) En déduire la limite de la fonction g en $+\infty$ .
c) Interpréter graphiquement cette limite pour la courbe $(\varphi\,)$ de g dans un repère orthonormé.

Exercice 7 :

h est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$h(x)=\,2sin\,(x)\,-x^2$ .
a) Utiliser la courbe de h affichée ci-dessous pour conjecturer les limites de h en $+\infty$ et en $-\infty$ .
b) Démontrer ces conjectures.

Exercice 8 :

f est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)\,=\,x^3\,-\,5x+\,2$ .
a) Vérifier que l’étude de la limite de la fonction f en $+\infty$ , avec les règles opératoires, mène à une forme
indéterminée.
b) Étudier la limite de la fonction f en $+\infty$ .

Exercice 9 :

g est la fonction définie sur $]3;\,+\infty[$ par $g(x)=\frac{2x+1}{x-3}$ .
Étudier la limite de la fonction g: a) en $+\infty$ ; b) en 3.

Exercice 10 :

f est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

.
a) Vérifier que l’étude de la limite de la fonction f en $+\infty$ , avec les règles opératoires, mène à une forme
indéterminée.
b) Étudier la limite de la fonction f en $+\infty$ .

Exercice 11 :

f est la fonction définie sur $]-1;\,+\infty[$ par :

$f(x)=\frac{4x+5}{x+1}$
Étudier la limite de la fonction f:
a. en $+\infty$ . b. en .

Exercice 12 :

Soit $f\,:\,x\,\mapsto \,-(x-\,3)^2$ , définie pour tout réel x et $g\,:\,x\,\mapsto \,-2+\frac{1}{2x}$ définie pour tout réel $x\neq\,0$ .
1. Tracer les courbes représentatives des fonction f et g entre les abscisses 0 et 10.
2. Relever graphiquement à partir de quelle valeur de x on a :
$b)g(x)\in\,]-2;0[$
3. Conjecturer les limites de f et g en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Exercice 13 :

Déterminer les limites suivantes :

$a)\lim_{x\to\,+\infty}e^x+2sin(x)\\b)\lim_{x\to\,-\infty}e^xcos(x)\\c)\lim_{x\to\,+\infty}\frac{1+3cos(x)}{(x+1)^2}\,\\d)\lim_{x\to\,-\infty}\frac{sin(x)}{x}$

Exercice 14 :

Déterminer les limites suivantes :

$a)\,\lim_{x\to\,-\infty}\sqrt{2-x}\\b)\,\lim_{x\to\,-1^+}e^{\sqrt{x+1}}$

Exercice 15 :

Déterminer les limites suivantes :

$a)\lim_{x\to\,-\infty}\sqrt{1+e^x}\\\\b)\lim_{x\to\,1^+}e^{\frac{1}{x-1}}$

Voir Exercices 11 à 15...

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