Bac maths 2023 Polynésie J1 : sujet et corrigé

Cette page propose le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2023 de Polynésie, posé le 13 mars 2023, accompagné d’un corrigé détaillé placé juste après l’énoncé. On y suit d’abord les cyclistes d’une ville, classés selon leur âge et l’usage de leur vélo : probabilités conditionnelles puis loi binomiale sur un échantillon de 120 personnes. Le deuxième exercice cherche, dans l’espace, une perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires. Le troisième réunit cinq affirmations à justifier sur l’exponentielle, une limite, une primitive et une fonction Python qui calcule une moyenne. Le dernier relie la suite \(u_{n+1} = 0{,}9u_n – 0{,}3\) à une fonction logarithme pour prouver qu’une égalité entre deux suites n’a jamais lieu.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 1
Polynésie — 13 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (4 points) — Thème : probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Les utilisateurs de vélo d’une ville sont classés en deux catégories disjointes :

ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.

Un sondage donne les résultats suivants :

21 % des utilisateurs ont moins de 35 ans.
Parmi eux, 68 % utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l’utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
parmi les 35 ans ou plus, seuls 20 % utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l’utilisent uniquement pour leurs loisirs.

On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.

Dans tout l’exercice on considère les évènements suivants :

\(J\) : « la personne interrogée a moins de 35 ans » ;
\(T\) : « la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels » ;
\(\overline{J}\) et \(\overline{T}\) sont les évènements contraires de \(J\) et \(T\).

Partie A

1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.

On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

2. Calculer la valeur exacte de la probabilité de \(T\).

3. On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.

Démontrer que la probabilité qu’il ait moins de 35 ans est \(0{,}30\) à \(10^{-2}\) près.

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels.

On admet que 30 % d’entre elles ont moins de 35 ans.

On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de 120 personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire.

On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.

\(X\) représente le nombre de personnes de l’échantillon ayant moins de 35 ans.

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à \(10^{-3}\) près.

1. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).

2. Calculer la probabilité qu’au moins 50 utilisateurs de vélo parmi les 120 aient moins de 35 ans.

Exercice 2 (5 points) — Thème : géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormée \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

On considère :

\(d_1\) la droite passant par le point \(\text{H}(2~;~3~;~0)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) ;
\(d_2\) la droite de représentation paramétrique : \(\{\begin{array}{l}x = 2k – 3\\y = k\\z = 5\end{array}.\) où \(k\) décrit \(\mathbb{R}\).

Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d’une droite \(\Delta\) qui soit perpendiculaire aux droites \(d_1\) et \(d_2\).

1. a. Déterminer un vecteur directeur \(\vec{v}\) de la droite \(d_2\).

b. Démontrer que les droites \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas parallèles.

c. Démontrer que les droites \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas sécantes.

d. Quelle est la position relative des droites \(d_1\) et \(d_2\) ?

2. a. Vérifier que le vecteur \(\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).

b. On considère le plan \(P\) passant par le point H et dirigé par les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\).

On admet qu’une équation cartésienne de ce plan est :

\[5x + 4y – z – 22 = 0.\]

Démontrer que l’intersection du plan \(P\) et de la droite \(d_2\) est le point \(\text{M}(3~;~3~;~5)\).

3. Soit \(\Delta\) la droite de vecteur directeur \(\vec{w}\) passant par le point M.

Une représentation paramétrique de \(\Delta\) est donc donnée par :

\[\{\begin{array}{l}x = -r + 3\\y = 2r + 3\\z = 3r + 5\end{array}. \quad \text{où } r \text{ décrit } \mathbb{R}.\]

a. Justifier que les droites \(\Delta\) et \(d_1\) sont perpendiculaires en un point L dont on déterminera les coordonnées.

b. Expliquer pourquoi la droite \(\Delta\) est solution du problème posé.

Exercice 3 (5 points) — Thème : fonction exponentielle, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Affirmation : La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \text{e}^x – x\) est convexe.

2. Affirmation : L’équation \((2\text{e}^x – 6)(\text{e}^x + 2) = 0\) admet \(\ln(3)\) comme unique solution dans \(\mathbb{R}\).

3. Affirmation :

\[\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{2x} – 1}{\text{e}^x – x} = 0.\]

4. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (6x + 5)\text{e}^{3x}\) et \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(F(x) = (2x + 1)\text{e}^{3x} + 4\).

Affirmation : \(F\) est la primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui prend la valeur 5 quand \(x = 0\).

5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.

On rappelle que len(L) représente la longueur de la liste L.

def mystere(L) :
    S = 0
    for i in range(len(L)) :
        S = S + L[i]
    return S / len(L)

Affirmation : L’exécution de mystere([1, 9, 9, 5, 0, 3, 6, 12, 0, 5]) renvoie 50.

Exercice 4 (6 points) — Thème : suites, fonctions

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = -1\) et, pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1} = 0{,}9u_n – 0{,}3.\]

1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = 2 \times 0{,}9^n – 3\).

b. En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(-3 \lt u_n \leq\, -1\).

c. Démontrer que la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

d. Démontrer que la suite \((u_n)\) converge et préciser sa limite.

2. On se propose d’étudier la fonction \(g\) définie sur \(]-3~;~-1]\) par :

\[g(x) = \ln(0{,}5x + 1{,}5) – x.\]

a. Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction \(g\) (limites, variations, image de \(-1\))

\(x\)	\(-3\)		\(-2\)		\(-1\)
Variations de \(g\)	\|\| \(-\infty\)	\(\nearrow\)	\(g(-2)\)	\(\searrow\)	\(1\)

b. En déduire que l’équation \(g(x) = 0\) a exactement une solution que l’on notera \(\alpha\) et dont on donnera un encadrement d’amplitude \(10^{-3}\).

3. Dans la suite de l’exercice, on considère la suite \((v_n)\) définie pour tout \(\in \mathbb{N}\), par :

\[v_n = \ln(0{,}5u_n + 1{,}5).\]

a. En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que la suite \(v\) est arithmétique de raison \(\ln(0{,}9)\).

b. Soit \(n\) un entier naturel.

Démontrer que \(u_n = v_n\) si, et seulement si \(g(u_n) = 0\).

c. Démontrer qu’il n’existe aucun rang \(k \in \mathbb{N}\) pour lequel \(u_k = \alpha\).

d. En déduire qu’il n’existe aucun rang \(k \in \mathbb{N}\) pour lequel \(v_k = u_k\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. On commence par traduire l’énoncé. 21 % des utilisateurs ont moins de 35 ans : \(P(J) = 0{,}21\), donc \(P(\overline{J}) = 0{,}79\). Parmi les moins de 35 ans, 68 % roulent uniquement pour les loisirs, donc les autres, soit \(100 – 68 = 32\) %, utilisent le vélo pour le travail : \(P_J(T) = 0{,}32\) et \(P_J(\overline{T}) = 0{,}68\). Parmi les 35 ans ou plus : \(P_{\overline{J}}(T) = 0{,}20\) et \(P_{\overline{J}}(\overline{T}) = 0{,}80\).

Ces données forment un arbre pondéré à deux niveaux (d’abord \(J\) ou \(\overline{J}\), puis \(T\) ou \(\overline{T}\)) :

Premier niveau	Second niveau	Probabilité du chemin
\(J\) : 0,21	\(T\) : 0,32	\(0{,}067\,2\)
\(J\) : 0,21	\(\overline{T}\) : 0,68	\(0{,}142\,8\)
\(\overline{J}\) : 0,79	\(T\) : 0,20	\(0{,}158\)
\(\overline{J}\) : 0,79	\(\overline{T}\) : 0,80	\(0{,}632\)

On cherche \(P(J \cap T)\) ; on multiplie les probabilités le long du chemin \(J \to T\) :

\[P(J \cap T) = P(J) \times P_J(T) = 0{,}21 \times 0{,}32 = 0{,}067\,2.\]

La probabilité cherchée est \(0{,}067\,2\).

2. Les évènements \(J\) et \(\overline{J}\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :

\[P(T) = P(J \cap T) + P(\overline{J} \cap T) = 0{,}067\,2 + 0{,}79 \times 0{,}20 = 0{,}067\,2 + 0{,}158 = 0{,}225\,2.\]

La valeur exacte est \(P(T) = 0{,}225\,2\).

3. On sait que la personne utilise son vélo pour le travail : on cherche la probabilité conditionnelle \(P_T(J)\).

\[P_T(J) = \dfrac{P(J \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}067\,2}{0{,}225\,2} \approx 0{,}298\,4.\]

Arrondie au centième, cette probabilité vaut bien 0,30.

Partie B

1. Pour chaque personne de l’échantillon, on observe une épreuve à deux issues : « elle a moins de 35 ans » (succès, de probabilité \(p = 0{,}3\)) ou non. La sélection étant assimilée à un tirage avec remise, les 120 épreuves sont identiques et indépendantes. \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 120\) et \(p = 0{,}3\).

2. On cherche \(P(X \geq\, 50)\). On passe par l’évènement contraire \(X \leq\, 49\), que la calculatrice sait traiter avec la fonction de répartition :

\[P(X \geq\, 50) = 1 – P(X \leq\, 49) \approx 1 – 0{,}995\,6 \approx 0{,}004.\]

La probabilité qu’au moins 50 personnes de l’échantillon aient moins de 35 ans est environ 0,004 : c’est très peu probable, ce qui est cohérent avec l’espérance \(E(X) = 120 \times 0{,}3 = 36\).

Exercice 2 :

1. a. Dans la représentation paramétrique de \(d_2\), les coefficients du paramètre \(k\) donnent un vecteur directeur : \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\).

b. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. S’il existait un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{v} = \lambda\vec{u}\), la troisième coordonnée donnerait \(0 = \lambda \times 1\), donc \(\lambda = 0\), puis la première donnerait \(2 = 0\) : c’est impossible. Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires, donc \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas parallèles.

c. La droite \(d_1\) passe par \(\text{H}(2~;~3~;~0)\) et est dirigée par \(\vec{u}\) ; elle admet la représentation paramétrique \(x = 2 + t\), \(y = 3 – t\), \(z = t\), avec \(t \in \mathbb{R}\). Un point commun aux deux droites correspondrait à des réels \(t\) et \(k\) vérifiant le système :

\[\{\begin{array}{l}2 + t = 2k – 3\\3 – t = k\\t = 5\end{array}.\]

La troisième équation donne \(t = 5\), la deuxième donne alors \(k = 3 – 5 = -2\). La première devient \(2 + 5 = 2 \times (-2) – 3\), soit \(7 = -7\), ce qui est faux. Le système n’a pas de solution : \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas sécantes.

d. Deux droites de l’espace qui ne sont ni parallèles ni sécantes ne sont contenues dans aucun plan commun : \(d_1\) et \(d_2\) sont non coplanaires.

2. a. Le repère étant orthonormé, on calcule les produits scalaires avec les coordonnées :

\[\vec{w} \cdot \vec{u} = (-1) \times 1 + 2 \times (-1) + 3 \times 1 = -1 – 2 + 3 = 0,\]

\[\vec{w} \cdot \vec{v} = (-1) \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = -2 + 2 + 0 = 0.\]

Les deux produits scalaires sont nuls : \(\vec{w}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).

b. Un point de \(d_2\), de paramètre \(k\), a pour coordonnées \((2k – 3~;~k~;~5)\). Il appartient au plan \(P\) si et seulement si :

\[5(2k – 3) + 4k – 5 – 22 = 0 \iff 10k – 15 + 4k – 27 = 0 \iff 14k = 42 \iff k = 3.\]

Cette équation a une seule solution, donc \(P\) et \(d_2\) ont un seul point commun, obtenu pour \(k = 3\) : \(x = 2 \times 3 – 3 = 3\), \(y = 3\), \(z = 5\). L’intersection de \(P\) et de \(d_2\) est bien le point \(\text{M}(3~;~3~;~5)\).

3. a. Les vecteurs directeurs \(\vec{w}\) de \(\Delta\) et \(\vec{u}\) de \(d_1\) sont orthogonaux (question 2. a.), donc les droites sont orthogonales. Pour qu’elles soient perpendiculaires, il reste à montrer qu’elles sont sécantes. On résout, avec les paramètres \(t\) (pour \(d_1\)) et \(r\) (pour \(\Delta\)) :

\[\{\begin{array}{l}2 + t = -r + 3\\3 – t = 2r + 3\\t = 3r + 5\end{array}.\]

La deuxième équation donne \(t = -2r\). En reportant dans la troisième : \(-2r = 3r + 5\), donc \(r = -1\) et \(t = 2\). On contrôle la première équation : \(2 + 2 = 4\) et \(-(-1) + 3 = 4\), elle est vérifiée. Les droites sont donc sécantes au point obtenu pour \(t = 2\) : \(x = 4\), \(y = 1\), \(z = 2\).

Les droites \(\Delta\) et \(d_1\) sont perpendiculaires au point \(\text{L}(4~;~1~;~2)\).

b. La droite \(\Delta\) passe par M, qui appartient à \(d_2\) (question 2. b.), et son vecteur directeur \(\vec{w}\) est orthogonal à \(\vec{v}\) : \(\Delta\) et \(d_2\) sont donc sécantes en M et orthogonales, c’est-à-dire perpendiculaires en M. D’après la question 3. a., \(\Delta\) est aussi perpendiculaire à \(d_1\) en L. La droite \(\Delta\) est donc perpendiculaire à la fois à \(d_1\) et à \(d_2\) : elle répond au problème posé (c’est la perpendiculaire commune aux deux droites).

Exercice 3 :

1. Vrai. La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(f^{\prime}(x) = \text{e}^x – 1\) et \(f^{\prime\prime}(x) = \text{e}^x\). Or \(\text{e}^x \gt 0\) pour tout réel \(x\) : la dérivée seconde est positive sur \(\mathbb{R}\), donc \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

2. Vrai. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

\(2\text{e}^x – 6 = 0 \iff \text{e}^x = 3 \iff x = \ln(3)\) ;
\(\text{e}^x + 2 = 0 \iff \text{e}^x = -2\), qui n’a pas de solution car une exponentielle est toujours strictement positive.

L’équation a donc \(\ln(3)\) pour unique solution.

3. Faux. Pour lever l’indétermination, on factorise par le terme dominant au numérateur (\(\text{e}^{2x}\)) et au dénominateur (\(\text{e}^x\)) :

\[\dfrac{\text{e}^{2x} – 1}{\text{e}^x – x} = \dfrac{\text{e}^{2x}(1 – \text{e}^{-2x})}{\text{e}^x(1 – \dfrac{x}{\text{e}^x})} = \text{e}^x \times \dfrac{1 – \text{e}^{-2x}}{1 – \dfrac{x}{\text{e}^x}}.\]

On a \(\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-2x} = 0\) et, par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0\). La fraction tend donc vers \(\dfrac{1 – 0}{1 – 0} = 1\), tandis que \(\text{e}^x\) tend vers \(+\infty\). Par produit, la limite vaut \(+\infty\) et non 0.

4. Vrai. On dérive \(F\) comme produit : avec \(u(x) = 2x + 1\), \(u^{\prime}(x) = 2\), et \(v(x) = \text{e}^{3x}\), \(v^{\prime}(x) = 3\text{e}^{3x}\) :

\[F^{\prime}(x) = 2\text{e}^{3x} + (2x + 1) \times 3\text{e}^{3x} = (2 + 6x + 3)\text{e}^{3x} = (6x + 5)\text{e}^{3x} = f(x).\]

Donc \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(F(0) = (0 + 1)\text{e}^0 + 4 = 1 + 4 = 5\). Comme deux primitives de \(f\) diffèrent d’une constante, il n’y en a qu’une qui vaut 5 en 0 : c’est bien \(F\).

5. Faux. La boucle parcourt tous les indices de la liste et ajoute chaque élément à S : à la fin, S contient la somme des éléments. La fonction renvoie cette somme divisée par le nombre d’éléments, c’est-à-dire la moyenne de la liste.

Ici, la somme vaut \(1 + 9 + 9 + 5 + 0 + 3 + 6 + 12 + 0 + 5 = 50\) et la liste compte 10 éléments. L’appel renvoie donc \(\dfrac{50}{10} = 5\) (affiché 5.0 en Python), et non 50.

Exercice 4 :

1. a. Pour \(n \in \mathbb{N}\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(u_n = 2 \times 0{,}9^n – 3\) ».

Initialisation. Pour \(n = 0\) : \(2 \times 0{,}9^0 – 3 = 2 – 3 = -1 = u_0\). \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie. Alors :

\[u_{n+1} = 0{,}9u_n – 0{,}3 = 0{,}9(2 \times 0{,}9^n – 3) – 0{,}3 = 2 \times 0{,}9^{n+1} – 2{,}7 – 0{,}3 = 2 \times 0{,}9^{n+1} – 3.\]

\(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par récurrence, \(u_n = 2 \times 0{,}9^n – 3\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

b. Comme \(0 \lt 0{,}9 \lt 1\), on a pour tout entier naturel \(n\) : \(0 \lt 0{,}9^n \leq\, 1\) (la valeur 1 étant atteinte pour \(n = 0\)). En multipliant par 2, puis en retranchant 3 :

\[0 \lt 2 \times 0{,}9^n \leq\, 2 \quad \text{donc} \quad -3 \lt 2 \times 0{,}9^n – 3 \leq\, -1.\]

Ainsi, \(-3 \lt u_n \leq\, -1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

c. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), grâce à la formule explicite :

\[u_{n+1} – u_n = 2 \times 0{,}9^{n+1} – 2 \times 0{,}9^n = 2 \times 0{,}9^n \times (0{,}9 – 1) = -0{,}2 \times 0{,}9^n.\]

Comme \(0{,}9^n \gt 0\), cette différence est strictement négative : la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

d. Comme \(-1 \lt 0{,}9 \lt 1\), on a \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}9^n = 0\), donc par opérations sur les limites \(\lim\limits_{n \to +\infty} (2 \times 0{,}9^n – 3) = -3\). La suite \((u_n)\) converge vers \(-3\). (On pouvait aussi invoquer le théorème de convergence monotone : la suite est décroissante et minorée par \(-3\), mais la formule explicite donne directement la limite.)

2. a. Ensemble de définition. \(g(x)\) existe si \(0{,}5x + 1{,}5 \gt 0\), c’est-à-dire \(x \gt -3\) : c’est bien le cas sur \(]-3~;~-1]\), et la barre double en \(-3\) dans le tableau indique que \(g\) n’y est pas définie.

Limite en \(-3\). Quand \(x\) tend vers \(-3\) par valeurs supérieures, \(0{,}5x + 1{,}5\) tend vers 0 par valeurs positives, donc \(\ln(0{,}5x + 1{,}5)\) tend vers \(-\infty\) ; comme \(-x\) tend vers 3, par somme \(\lim\limits_{x \to -3} g(x) = -\infty\).

Variations. La fonction \(g\) est dérivable sur \(]-3~;~-1]\) et, avec \((\ln u)^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}}{u}\) :

\[g^{\prime}(x) = \dfrac{0{,}5}{0{,}5x + 1{,}5} – 1 = \dfrac{0{,}5 – 0{,}5x – 1{,}5}{0{,}5x + 1{,}5} = \dfrac{-0{,}5x – 1}{0{,}5x + 1{,}5}.\]

Le dénominateur est strictement positif sur l’intervalle, donc \(g^{\prime}(x)\) a le signe de \(-0{,}5x – 1\), qui est positif si et seulement si \(x \leq\, -2\). Ainsi \(g^{\prime}\) est positive sur \(]-3~;~-2]\) et négative sur \([-2~;~-1]\) (nulle seulement en \(-2\)) : \(g\) est croissante sur \(]-3~;~-2]\) et décroissante sur \([-2~;~-1]\).

Valeurs. \(g(-1) = \ln(-0{,}5 + 1{,}5) + 1 = \ln 1 + 1 = 1\), comme indiqué. Le maximum vaut \(g(-2) = \ln(0{,}5) + 2 = 2 – \ln 2 \approx 1{,}31\).

b. Sur \([-2~;~-1]\) : \(g\) est décroissante, donc pour tout \(x\) de cet intervalle \(g(x) \geq\, g(-1) = 1 \gt 0\). L’équation \(g(x) = 0\) n’y a aucune solution.

Sur \(]-3~;~-2]\) : \(g\) est continue et strictement croissante, avec \(\lim\limits_{x \to -3} g(x) = -\infty\) et \(g(-2) = 2 – \ln 2 \gt 0\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans cet intervalle.

Au total, l’équation \(g(x) = 0\) a exactement une solution \(\alpha\) sur \(]-3~;~-1]\). Par balayage à la calculatrice : \(g(-2{,}889) \approx -0{,}002\,4 \lt 0\) et \(g(-2{,}888) \approx 0{,}005\,6 \gt 0\), donc :

\[-2{,}889 \lt \alpha \lt -2{,}888.\]

3. a. D’après la question 1. a., \(0{,}5u_n + 1{,}5 = 0{,}5(2 \times 0{,}9^n – 3) + 1{,}5 = 0{,}9^n – 1{,}5 + 1{,}5 = 0{,}9^n\). Donc, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

\[v_n = \ln(0{,}9^n) = n\ln(0{,}9).\]

On en déduit \(v_{n+1} – v_n = (n+1)\ln(0{,}9) – n\ln(0{,}9) = \ln(0{,}9)\), qui ne dépend pas de \(n\) : la suite \(v\) est arithmétique de raison \(\ln(0{,}9)\) (et de premier terme \(v_0 = 0\)).

b. D’après la question 1. b., \(u_n \in ]-3~;~-1]\), donc \(g(u_n)\) est bien défini. Alors :

\[u_n = v_n \iff u_n = \ln(0{,}5u_n + 1{,}5) \iff \ln(0{,}5u_n + 1{,}5) – u_n = 0 \iff g(u_n) = 0.\]

On a donc bien \(u_n = v_n\) si, et seulement si, \(g(u_n) = 0\).

c. Supposons qu’il existe un rang \(k\) tel que \(u_k = \alpha\). On aurait alors \(-2{,}889 \lt u_k \lt -2{,}888\). Or on calcule avec la formule explicite :

\[u_{27} = 2 \times 0{,}9^{27} – 3 \approx -2{,}883\,7 \quad \text{et} \quad u_{28} = 2 \times 0{,}9^{28} – 3 \approx -2{,}895\,3.\]

La suite étant strictement décroissante :

si \(k \leq\, 27\), alors \(u_k \geq\, u_{27} \approx -2{,}883\,7 \gt -2{,}888\) ;
si \(k \geq\, 28\), alors \(u_k \leq\, u_{28} \approx -2{,}895\,3 \lt -2{,}889\).

Dans les deux cas, \(u_k\) n’est pas dans l’intervalle \(]-2{,}889~;~-2{,}888[\) qui contient \(\alpha\). La suite « saute » par-dessus \(\alpha\) entre les rangs 27 et 28 : il n’existe aucun rang \(k\) tel que \(u_k = \alpha\).

d. Soit \(k \in \mathbb{N}\). D’après la question 3. b., \(v_k = u_k \iff g(u_k) = 0\). Comme \(u_k \in ]-3~;~-1]\) et que \(\alpha\) est l’unique solution de \(g(x) = 0\) sur cet intervalle (question 2. b.), cela équivaut à \(u_k = \alpha\), ce qui est impossible d’après la question 3. c. Donc il n’existe aucun rang \(k\) pour lequel \(v_k = u_k\).

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