Bac 2023 Polynésie : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

De plus, cette page propose le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2023 de Polynésie, posé le 13 mars 2023, accompagné d’un corrigé détaillé proposé sur une page dédiée. On y suit d’abord les cyclistes d’une ville, classés selon leur âge et l’usage de leur vélo : probabilités conditionnelles puis loi binomiale sur un échantillon de 120 personnes. En outre, le deuxième exercice cherche, dans l’espace, une perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires. Ensuite, le troisième réunit cinq affirmations à justifier sur l’exponentielle, une limite, une primitive et une fonction Python qui calcule une moyenne. Par ailleurs, le dernier relie la suite \(u_{n+1} = 0{,}9u_n – 0{,}3\) à une fonction logarithme pour prouver qu’une égalité entre deux suites n’a jamais lieu.

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en Polynésie (jour 1).

En outre, pour réviser le bac maths 2027, retrouvez sur une seule page l’ensemble des sujets corrigés des dernières sessions.

Bac 2023 Polynésie : ce que contient le sujet

Avant tout, précisons que ce bac 2023 Polynésie reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en Polynésie (jour 1) dans sa version intégrale. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 4, 5, 5 et 6 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la géométrie dans l’espace et les limites. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 1
Polynésie — 13 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (4 points) — Thème : probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Les utilisateurs de vélo d’une ville sont classés en deux catégories disjointes :

ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.

Un sondage donne les résultats suivants :

21 % des utilisateurs ont moins de 35 ans.
Parmi eux, 68 % utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l’utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
parmi les 35 ans ou plus, seuls 20 % utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l’utilisent uniquement pour leurs loisirs.

On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.

Dans tout l’exercice on considère les évènements suivants :

\(J\) : « la personne interrogée a moins de 35 ans » ;
\(T\) : « la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels » ;
\(\overline{J}\) et \(\overline{T}\) sont les évènements contraires de \(J\) et \(T\).

Partie A

1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.

On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

2. Calculer la valeur exacte de la probabilité de \(T\).

3. On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.

Démontrer que la probabilité qu’il ait moins de 35 ans est \(0{,}30\) à \(10^{-2}\) près.

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels.

On admet que 30 % d’entre elles ont moins de 35 ans.

Par ailleurs, on sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de 120 personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire.

On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.

\(X\) représente le nombre de personnes de l’échantillon ayant moins de 35 ans.

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à \(10^{-3}\) près.

1. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).

2. Calculer la probabilité qu’au moins 50 utilisateurs de vélo parmi les 120 aient moins de 35 ans.

Exercice 2 (5 points) — Thème : géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormée \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

On considère :

\(d_1\) la droite passant par le point \(\text{H}(2~;~3~;~0)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) ;
\(d_2\) la droite de représentation paramétrique : \(\{\begin{array}{l}x = 2k – 3\\y = k\\z = 5\end{array}.\) où \(k\) décrit \(\mathbb{R}\).

Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d’une droite \(\Delta\) qui soit perpendiculaire aux droites \(d_1\) et \(d_2\).

1. a. Déterminer un vecteur directeur \(\vec{v}\) de la droite \(d_2\).

b. Démontrer que les droites \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas parallèles.

c. Démontrer que les droites \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas sécantes.

d. Quelle est la position relative des droites \(d_1\) et \(d_2\) ?

2. a. Vérifier que le vecteur \(\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\).

b. On considère le plan \(P\) passant par le point H et dirigé par les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\).

On admet qu’une équation cartésienne de ce plan est :

\[5x + 4y – z – 22 = 0.\]

Démontrer que l’intersection du plan \(P\) et de la droite \(d_2\) est le point \(\text{M}(3~;~3~;~5)\).

3. Soit \(\Delta\) la droite de vecteur directeur \(\vec{w}\) passant par le point M.

Une représentation paramétrique de \(\Delta\) est donc donnée par :

\[\{\begin{array}{l}x = -r + 3\\y = 2r + 3\\z = 3r + 5\end{array}. \quad \text{où } r \text{ décrit } \mathbb{R}.\]

a. Justifier que les droites \(\Delta\) et \(d_1\) sont perpendiculaires en un point L dont on déterminera les coordonnées.

b. Expliquer pourquoi la droite \(\Delta\) est solution du problème posé.

Exercice 3 (5 points) — Thème : fonction exponentielle, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Affirmation : La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \text{e}^x – x\) est convexe.

2. Affirmation : L’équation \((2\text{e}^x – 6)(\text{e}^x + 2) = 0\) admet \(\ln(3)\) comme unique solution dans \(\mathbb{R}\).

3. Affirmation :

\[\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{2x} – 1}{\text{e}^x – x} = 0.\]

4. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (6x + 5)\text{e}^{3x}\) et \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(F(x) = (2x + 1)\text{e}^{3x} + 4\).

Affirmation : \(F\) est la primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui prend la valeur 5 quand \(x = 0\).

5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.

On rappelle que len(L) représente la longueur de la liste L.

def mystere(L) :
    S = 0
    for i in range(len(L)) :
        S = S + L[i]
    return S / len(L)

Affirmation : L’exécution de mystere([1, 9, 9, 5, 0, 3, 6, 12, 0, 5]) renvoie 50.

Exercice 4 (6 points) — Thème : suites, fonctions

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = -1\) et, pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1} = 0{,}9u_n – 0{,}3.\]

1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = 2 \times 0{,}9^n – 3\).

b. En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(-3 \lt u_n \leq\, -1\).

c. Démontrer que la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

d. Démontrer que la suite \((u_n)\) converge et préciser sa limite.

2. On se propose d’étudier la fonction \(g\) définie sur \(]-3~;~-1]\) par :

\[g(x) = \ln(0{,}5x + 1{,}5) – x.\]

a. Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction \(g\) (limites, variations, image de \(-1\))

\(x\)	\(-3\)		\(-2\)		\(-1\)
Variations de \(g\)	\|\| \(-\infty\)	\(\nearrow\)	\(g(-2)\)	\(\searrow\)	\(1\)

b. En déduire que l’équation \(g(x) = 0\) a exactement une solution que l’on notera \(\alpha\) et dont on donnera un encadrement d’amplitude \(10^{-3}\).

3. Dans la suite de l’exercice, on considère la suite \((v_n)\) définie pour tout \(\in \mathbb{N}\), par :

\[v_n = \ln(0{,}5u_n + 1{,}5).\]

a. En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que la suite \(v\) est arithmétique de raison \(\ln(0{,}9)\).

b. Soit \(n\) un entier naturel.

Démontrer que \(u_n = v_n\) si, et seulement si \(g(u_n) = 0\).

c. Démontrer qu’il n’existe aucun rang \(k \in \mathbb{N}\) pour lequel \(u_k = \alpha\).

d. En déduire qu’il n’existe aucun rang \(k \in \mathbb{N}\) pour lequel \(v_k = u_k\).

Bien travailler ce bac 2023 Polynésie

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.

Les erreurs fréquentes à éviter

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.

Bac 2023 Polynésie : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la géométrie dans l’espace, mais aussi les limites.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en Polynésie (jour 1)

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