Corrigé du bac S de maths 2013 en Polynésie

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Étude de fonction, aire et algorithme – 6 points

On étudie la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x+2)\mathrm{e}^{-x}\), de courbe représentative \(\mathcal{C}\).

1. a) On cherche les points d’intersection de \(\mathcal{C}\) avec les axes.

• Axe des ordonnées : \(f(0)=(0+2)\mathrm{e}^{0}=2\). La courbe coupe l’axe des ordonnées au point \((0\,;\,2)\).
• Axe des abscisses : comme \(\mathrm{e}^{-x}\gt 0\) pour tout réel \(x\), \(f(x)=0 \iff x+2=0 \iff x=-2\). La courbe coupe l’axe des abscisses au seul point \((-2\,;\,0)\).

1. b) On détermine les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}(x+2)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty\) (car \(-x\to+\infty\)). Par produit, \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).

En \(+\infty\), on a une forme indéterminée ; on développe :

\[f(x)=x\mathrm{e}^{-x}+2\mathrm{e}^{-x}=\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}+2\mathrm{e}^{-x}.\]

Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0\), et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0\). Par somme, \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\).

Interprétation : la droite d’équation \(y=0\) (l’axe des abscisses) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) au voisinage de \(+\infty\).

1. c) On étudie les variations de \(f\).

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables. Avec \(u(x)=x+2\) et \(v(x)=\mathrm{e}^{-x}\), on a \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{-x}\), donc :

\[f^{\prime}(x)=1\times \mathrm{e}^{-x}+(x+2)\times (-\mathrm{e}^{-x})=\mathrm{e}^{-x}\,(1-x-2)=-(x+1)\,\mathrm{e}^{-x}.\]

Comme \(\mathrm{e}^{-x}\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) est du signe de \(-(x+1)\) : positif pour \(x\lt -1\), nul en \(-1\), négatif pour \(x\gt -1\). De plus \(f(-1)=(-1+2)\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
variations de \(f\)	\(-\infty\)	\(\nearrow\)	\(\mathrm{e}\)	\(\searrow\)	\(0\)

\(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et décroissante sur \([-1\,;\,+\infty[\), avec un maximum égal à \(\mathrm{e}\) atteint en \(x=-1\).

2. a) On note \(\mathcal{A}\) l’aire (en unités d’aire) du domaine compris entre \(\mathcal{C}\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\). On l’approche par la somme des aires de quatre rectangles de largeur \(\frac14\), de hauteurs \(f(0)\), \(f\!(\frac14)\), \(f\!(\frac12)\), \(f\!(\frac34)\) :

\[S_4=\frac14\sum_{k=0}^{3}f\!(\frac{k}{4})=\frac14[f(0)+f\!(\tfrac14)+f\!(\tfrac12)+f\!(\tfrac34)].\]

Avec \(f(0)=2\), \(f\!(\frac14)=\frac94\mathrm{e}^{-1/4}\approx 1{,}7523\), \(f\!(\frac12)=\frac52\mathrm{e}^{-1/2}\approx 1{,}5163\) et \(f\!(\frac34)=\frac{11}{4}\mathrm{e}^{-3/4}\approx 1{,}2990\), on obtient :

\[S_4\approx\frac{2+1{,}7523+1{,}5163+1{,}2990}{4}\approx \mathbf{1{,}642}.\]

Comme \(f\) est décroissante sur \([0\,;\,1]\), chaque rectangle déborde au-dessus de la courbe : \(S_4\) est une valeur approchée par excès de \(\mathcal{A}\).

2. b) On complète l’algorithme pour qu’il calcule \(S_N=\dfrac1N\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}f\!(\frac{k}{N})\) pour un entier \(N\) choisi par l’utilisateur. La variable S accumule les aires des rectangles, chacune valant \(\frac1N f\!(\frac kN)\) :

Variables :
    N est un nombre entier
    S est un nombre réel
    k est un nombre entier
Initialisation :
    Affecter à S la valeur 0
    Lire N
Traitement :
    Pour k variant de 0 à N − 1
        Affecter à S la valeur S + (1/N) × f(k/N)
    Fin Pour
Sortie :
    Afficher S

Pour \(N=4\), cet algorithme affiche bien \(S_4\approx 1{,}642\).

3. a) On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=(-x-3)\mathrm{e}^{-x}\). On vérifie que \(g\) est une primitive de \(f\), puis on calcule \(\mathcal{A}\).

\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :

\[g^{\prime}(x)=-1\times \mathrm{e}^{-x}+(-x-3)\times (-\mathrm{e}^{-x})=\mathrm{e}^{-x}\,(-1+x+3)=(x+2)\,\mathrm{e}^{-x}=f(x).\]

Donc \(g\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Comme \(f\) est positive sur \([0\,;\,1]\) (car \(x+2\gt 0\)), l’aire cherchée est l’intégrale :

\[\mathcal{A}=\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x=g(1)-g(0)=-4\mathrm{e}^{-1}-(-3)=3-\frac{4}{\mathrm{e}}.\]

\(\mathcal{A}=3-4\mathrm{e}^{-1}\approx 1{,}528\) unité d’aire.

3. b) On évalue l’erreur commise en remplaçant \(\mathcal{A}\) par \(S_4\) :

\[|\mathcal{A}-S_4|\approx|1{,}5285-1{,}6419|\approx \mathbf{0{,}113}.\]

L’erreur est d’environ \(0{,}11\) unité d’aire ; on la réduirait en augmentant \(N\) dans l’algorithme.

Exercice 2 :

QCM : nombres complexes et géométrie dans l’espace – 4 points

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte ; on donne la bonne réponse avec sa justification.

1. On donne \(z_1=\sqrt6\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\) et \(z_2=\sqrt2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\) ; on cherche la forme exponentielle de \(\dfrac{\mathrm{i}z_1}{z_2}\).

Module : \(|\dfrac{\mathrm{i}z_1}{z_2}|=\dfrac{|\mathrm{i}|\times |z_1|}{|z_2|}=\dfrac{1\times \sqrt6}{\sqrt2}=\sqrt3\).

Argument : \(\arg(\dfrac{\mathrm{i}z_1}{z_2})=\arg(\mathrm{i})+\arg(z_1)-\arg(z_2)=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{6\pi+3\pi+4\pi}{12}=\dfrac{13\pi}{12}\) (modulo \(2\pi\)).

Réponse d : \(\dfrac{\mathrm{i}z_1}{z_2}=\sqrt3\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}\).

2. On cherche l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(-z=\overline{z}\).

En écrivant \(z=x+\mathrm{i}y\) : \(-z=\overline{z}\iff z+\overline{z}=0\iff 2x=0\iff \mathrm{Re}(z)=0\). Les points cherchés sont ceux d’abscisse nulle.

Réponse c : l’ensemble est l’axe des imaginaires purs (axe des ordonnées).

3. On cherche une représentation paramétrique de la droite passant par le point \(C\) et parallèle à la droite \((AB)\).

Le vecteur \(\vec{AB}\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\) dirige la droite cherchée. La bonne représentation est celle dont le vecteur directeur (lu sur les coefficients du paramètre) est \(\vec{AB}\) ou lui est colinéaire, et qui contient le point \(C\) (obtenu, par exemple, pour la valeur \(0\) du paramètre).

Réponse a.

4. On étudie la position relative de la droite \(\Delta\), de vecteur directeur \(\vec u\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\), et du plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(3x-5y+z+d=0\), de vecteur normal \(\vec n\begin{pmatrix}3\\-5\\1\end{pmatrix}\).

\(\vec u\cdot\vec n=1\times 3+1\times (-5)+2\times 1=3-5+2=0\). Le vecteur directeur de \(\Delta\) est orthogonal au vecteur normal du plan : \(\Delta\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\).

Réponse b.

Exercice 3 :

Probabilités conditionnelles, fluctuation, loi normale – 5 points

Partie 1

Les événements \(C\), \(V\) et \(J\) forment une partition de l’univers avec \(P(C)=0{,}30\) et \(P(J)=0{,}25\) (donc \(P(V)=0{,}45\)) ; on connaît aussi \(P_C(H)=\dfrac56\), \(P_V(H)=\dfrac49\) et \(P(H)=\dfrac{13}{20}\).

1. On calcule la probabilité de l’événement \(C\cap H\) :

\[P(C\cap H)=P(C)\times P_C(H)=0{,}30\times \frac56=\mathbf{0{,}25}.\]

2. a) Les événements \(C\) et \(H\) sont-ils indépendants ?

\(P(C)\times P(H)=0{,}30\times \dfrac{13}{20}=0{,}30\times 0{,}65=0{,}195\), alors que \(P(C\cap H)=0{,}25\). Comme \(P(C\cap H)\neq P(C)\times P(H)\), les événements \(C\) et \(H\) ne sont pas indépendants.

2. b) On calcule \(P_J(H)\).

D’après la formule des probabilités totales (partition \(C\), \(V\), \(J\)) :

\[P(H)=P(C\cap H)+P(V\cap H)+P(J\cap H).\]

Or \(P(V\cap H)=P(V)\times P_V(H)=0{,}45\times \dfrac49=0{,}20\). Donc :

\[P(J\cap H)=0{,}65-0{,}25-0{,}20=0{,}20\quad\text{puis}\quad P_J(H)=\frac{P(J\cap H)}{P(J)}=\frac{0{,}20}{0{,}25}=\mathbf{0{,}80}.\]

Partie 2

1. On détermine l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \(95\,\%\) de la fréquence dans un échantillon de taille \(n=60\), pour une proportion \(p=0{,}30\).

Les conditions sont vérifiées : \(n=60\geq\, 30\), \(np=18\geq\, 5\) et \(n(1-p)=42\geq\, 5\). L’intervalle est :

\[I=[p-1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\,;\,p+1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}]=[0{,}3-1{,}96\sqrt{\frac{0{,}21}{60}}\,;\,0{,}3+1{,}96\sqrt{\frac{0{,}21}{60}}].\]

Avec \(1{,}96\sqrt{\frac{0{,}21}{60}}\approx 0{,}116\), on obtient \(I\approx[0{,}184\,;\,0{,}416]\) (bornes arrondies au millième).

2. Dans l’échantillon observé, 12 cas sur 60 réalisent l’événement étudié. La fréquence observée est \(f=\dfrac{12}{60}=0{,}20\).

Comme \(0{,}20\in[0{,}184\,;\,0{,}416]\), la fréquence observée est dans l’intervalle de fluctuation : on ne rejette pas l’hypothèse \(p=0{,}30\) au seuil de \(95\,\%\) ; cet échantillon ne permet pas de remettre en cause l’affirmation.

Partie 3

La variable aléatoire \(X\) suit une loi normale ; on utilise les valeurs fournies : \(P(X\leq\, 180)\approx0{,}159\), \(P(X\leq\, 220)\approx0{,}841\) et \(P(X\leq\, 240)\approx0{,}977\) (ce qui correspond à une moyenne de \(200\) et un écart type de \(20\)).

1. On calcule \(P(180\leq\, X\leq\, 220)\) :

\[P(180\leq\, X\leq\, 220)=P(X\leq\, 220)-P(X\lt 180)\approx 0{,}841-0{,}159=\mathbf{0{,}682}.\]

(Pour une loi continue, \(P(X\lt 180)=P(X\leq\, 180)\).) On retrouve l’intervalle \([\mu-\sigma\,;\,\mu+\sigma]\), de probabilité environ \(0{,}68\).

2. On calcule \(P(X\geq\, 240)\) à l’aide de l’événement contraire :

\[P(X\geq\, 240)=1-P(X\lt 240)=1-P(X\leq\, 240)\approx 1-0{,}977=\mathbf{0{,}023}.\]

Exercice 4 :

Suite définie par récurrence – 5 points

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=\dfrac12\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}\).

1. a) On calcule les deux premiers termes suivants :

\[u_1=\frac{3\times \frac12}{1+2\times \frac12}=\frac{\frac32}{2}=\frac34,\qquad u_2=\frac{3\times \frac34}{1+2\times \frac34}=\frac{\frac94}{\frac52}=\frac{9}{10}.\]

\(u_1=\dfrac34\) et \(u_2=\dfrac{9}{10}\).

1. b) On démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\gt 0\).

Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n\gt 0\) ».

• Initialisation : \(u_0=\frac12\gt 0\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
• Hérédité : supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un certain entier \(n\), c’est-à-dire \(u_n\gt 0\). Alors \(3u_n\gt 0\) et \(1+2u_n\gt 1\gt 0\) ; le quotient \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}\) est donc strictement positif : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
• Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire ; donc pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\gt 0\).

Remarque : on montre de la même façon que \(u_n\lt 1\) pour tout \(n\), car \(u_{n+1}\lt 1\iff 3u_n\lt 1+2u_n\iff u_n\lt 1\). On dispose donc de l’encadrement \(0\lt u_n\lt 1\), utilisé ci-dessous.

2. a) On étudie le sens de variation de \((u_n)\).

Tous les termes étant strictement positifs, on compare le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) :

\[\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3u_n}{1+2u_n}\times \frac{1}{u_n}=\frac{3}{1+2u_n}.\]

Comme \(0\lt u_n\lt 1\), on a \(1\lt 1+2u_n\lt 3\), donc \(\dfrac{3}{1+2u_n}\gt \dfrac33=1\). Ainsi \(u_{n+1}\gt u_n\) pour tout \(n\) : la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

2. b) La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(1\) : d’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente (vers une limite \(\ell\leq\, 1\)).

3. a) On pose, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=\dfrac{u_n}{1-u_n}\) (bien défini car \(u_n\neq1\)). On montre que \((v_n)\) est géométrique de raison \(3\).

On calcule d’abord \(1-u_{n+1}=1-\dfrac{3u_n}{1+2u_n}=\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}=\dfrac{1-u_n}{1+2u_n}\). Donc :

\[v_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}}=\frac{3u_n}{1+2u_n}\times \frac{1+2u_n}{1-u_n}=3\times \frac{u_n}{1-u_n}=3v_n.\]

\((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(3\).

3. b) Son premier terme est \(v_0=\dfrac{\frac12}{1-\frac12}=1\), d’où, pour tout \(n\) : \(v_n=v_0\times 3^n=3^n\).

3. c) On exprime \(u_n\) en fonction de \(n\). De \(v_n=\dfrac{u_n}{1-u_n}\), on tire :

\[v_n(1-u_n)=u_n\iff v_n=u_n+u_nv_n\iff u_n(1+v_n)=v_n\iff u_n=\frac{v_n}{1+v_n},\]

car \(1+v_n\gt 0\). Donc \(u_n=\dfrac{3^n}{1+3^n}\) pour tout entier naturel \(n\). Vérification : \(u_0=\frac{1}{2}\), \(u_1=\frac34\), \(u_2=\frac{9}{10}\).

3. d) On détermine la limite de \((u_n)\). En divisant numérateur et dénominateur par \(3^n\gt 0\) :

\[u_n=\frac{3^n}{3^n(\frac{1}{3^n}+1)}=\frac{1}{1+(\frac13)^n}.\]

Comme \(-1\lt \frac13\lt 1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}(\frac13)^n=0\), donc par quotient \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1\).