Bac maths 2021 France mars sujet 2 : sujet et corrigé

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques de mars 2021 en France métropolitaine, recopié en entier et suivi d’un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice est un QCM : loi binomiale appliquée à un lecteur optique qui ne déchiffre pas 3 % des adresses postales, puis tirages sans remise dans une urne de boules vertes et blanches. Le deuxième étudie deux suites couplées dont le quotient \(r_n = \dfrac{v_n}{u_n}\) approche \(\sqrt{2}\), avec récurrence, théorème des gendarmes et un programme Python de seuil. Le troisième calcule l’aire du triangle ABC en exprimant de deux façons le volume de la pyramide OABC. Au choix, l’exercice A porte sur les fonctions \(x^2\text{e}^{-x}\) et \(\text{e}^{-x}\) et la distance entre leurs courbes, l’exercice B sur une fonction logarithme et une primitive dont on étudie les tangentes horizontales.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
France métropolitaine — 15 mars 2021 — Sujet 2
Mathématiques — Durée : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

PARTIE I

Dans un centre de traitement du courrier, une machine est équipée d’un lecteur optique automatique de reconnaissance de l’adresse postale. Ce système de lecture permet de reconnaître convenablement 97 % des adresses ; le reste du courrier, que l’on qualifiera d’illisible pour la machine, est orienté vers un employé du centre chargé de lire les adresses.

Cette machine vient d’effectuer la lecture de neuf adresses. On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre d’adresses illisibles parmi ces neuf adresses.

On admet que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 9\) et \(p = 0{,}03\).

1. La probabilité qu’aucune des neuf adresses soit illisible est égale, au centième près, à :

a.	b.	c.	d.
\(0\)	\(1\)	\(0{,}24\)	\(0{,}76\)

2. La probabilité qu’exactement deux des neuf adresses soient illisibles pour la machine est :

a.	b.	c.	d.
\(\dbinom{9}{2} \times 0{,}97^2 \times 0{,}03^7\)	\(\dbinom{7}{2} \times 0{,}97^2 \times 0{,}03^7\)	\(\dbinom{9}{2} \times 0{,}97^7 \times 0{,}03^2\)	\(\dbinom{7}{2} \times 0{,}97^7 \times 0{,}03^2\)

3. La probabilité qu’au moins une des neuf adresses soit illisible pour la machine est :

a.	b.	c.	d.
\(P(X \lt 1)\)	\(P(X \leq\, 1)\)	\(P(X \geq\, 2)\)	\(1 – P(X = 0)\)

PARTIE II

Une urne contient 5 boules vertes et 3 boules blanches, indiscernables au toucher.

On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l’urne.

On considère les évènements suivants :

\(V_1\) : « la première boule tirée est verte » ;
\(B_1\) : « la première boule tirée est blanche » ;
\(V_2\) : « la seconde boule tirée est verte » ;
\(B_2\) : « la seconde boule tirée est blanche ».

4. La probabilité de \(V_2\) sachant que \(V_1\) est réalisé, notée \(P_{V_1}(V_2)\), est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(\dfrac{5}{8}\)	\(\dfrac{4}{7}\)	\(\dfrac{5}{14}\)	\(\dfrac{20}{56}\)

5. La probabilité de l’évènement \(V_2\) est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(\dfrac{5}{8}\)	\(\dfrac{5}{7}\)	\(\dfrac{3}{28}\)	\(\dfrac{9}{7}\)

Exercice 2 (6 points)

Commun à tous les candidats

On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies pour tout entier naturel \(n\) par :

\[\{\begin{array}{l} u_0 = v_0 = 1\\ u_{n+1} = u_n + v_n\\ v_{n+1} = 2u_n + v_n\end{array}.\]

Dans toute la suite de l’exercice, on admet que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont strictement positives.

1. a. Calculez \(u_1\) et \(v_1\).

b. Démontrer que la suite \((v_n)\) est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n \geq\, 1\).

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n \geq\, n + 1\).

d. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

2. On pose, pour tout entier naturel \(n\) :

\[r_n = \dfrac{v_n}{u_n}.\]

On admet que :

\[r_n^2 = 2 + \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\]

a. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) :

\[-\dfrac{1}{u_n^2} \leq\, \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \leq\, \dfrac{1}{u_n^2}.\]

b. En déduire :

\[\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}.\]

c. Déterminer la limite de la suite \((r_n^2)\) et en déduire que \((r_n)\) converge vers \(\sqrt{2}\).

d. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\),

\[r_{n+1} = \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}.\]

e. On considère le programme suivant écrit en langage Python :

def seuil() :
    n = 0
    r = 1
    while abs(r-sqrt(2)) > 10**(-4) :
        r = (2+r)/(1+r)
        n = n+1
    return n

(abs désigne la valeur absolue, sqrt la racine carrée et 10** (-4) représente \(10^{-4}\)).

La valeur de \(n\) renvoyée par ce programme est 5.

À quoi correspond-elle ?

Exercice 3 (4 points)

Commun à tous les candidats

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), on considère les points :

A de coordonnées \((2\,;\,0\,;\,0)\), B de coordonnées \((0\,;\,3\,;\,0)\) et C de coordonnées \((0\,;\,0\,;\,1)\).

L’objectif de cet exercice est de calculer l’aire du triangle ABC.

1. a. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}\) est normal au plan (ABC).

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : \(3x + 2y + 6z – 6 = 0\).

2. On note \(d\) la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC).

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d\).

b. Montrer que la droite \(d\) coupe le plan (ABC) au point H de coordonnées \((\dfrac{18}{49}\,;\,\dfrac{12}{49}\,;\,\dfrac{36}{49})\).

c. Calculer la distance OH.

3. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par : \(V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h\), où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base et \(h\) est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.

En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide OABC, déterminer l’aire du triangle ABC.

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle ; dérivation.

Le graphique ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) des fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = x^2\text{e}^{-x} \quad \text{et} \quad g(x) = \text{e}^{-x}.\]

La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.

1. a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).

b. Étudier la position relative des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).

2. Pour tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \([-1\,;\,1]\), on considère les points \(M\) de coordonnées \((x\,;\,f(x))\) et \(N\) de coordonnées \((x\,;\,g(x))\), et on note \(d(x)\) la distance \(MN\). On admet que : \(d(x) = \text{e}^{-x} – x^2\text{e}^{-x}\).

On admet que la fonction \(d\) est dérivable sur l’intervalle \([-1\,;\,1]\) et on note \(d^{\prime}\) sa fonction dérivée.

a. Montrer que \(d^{\prime}(x) = \text{e}^{-x}(x^2 – 2x – 1)\).

b. En déduire les variations de la fonction \(d\) sur l’intervalle \([-1\,;\,1]\).

c. Déterminer l’abscisse commune \(x_0\) des points \(M_0\) et \(N_0\) permettant d’obtenir une distance \(d(x_0)\) maximale, et donner une valeur approchée à \(0{,}1\) près de la distance \(M_0N_0\).

3. Soit \(\Delta\) la droite d’équation \(y = x + 2\).

On considère la fonction \(h\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) et définie par : \(h(x) = \text{e}^{-x} – x – 2\).

En étudiant le nombre de solutions de l’équation \(h(x) = 0\), déterminer le nombre de points d’intersection de la droite \(\Delta\) et de la courbe \(\mathcal{C}_g\).

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; dérivation.

Partie I : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[g(x) = \ln(x) + 2x – 2.\]

1. Déterminer les limites de \(g\) en \(+\infty\) et \(0\).

2. Déterminer le sens de variation de la fonction \(g\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

3. Démontrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

4. Calculer \(g(1)\) puis déterminer le signe de \(g\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Partie II : Étude d’une fonction \(f\)

On considère la fonction \(f\), définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x) = (2 – \dfrac{1}{x})(\ln(x) – 1).\]

1. a. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et on note \(f^{\prime}\) sa dérivée.

Démontrer que, pour tout \(x\) de \(]0\,;\,+\infty[\), on a :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.\]

b. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). Le calcul des limites n’est pas demandé.

2. Résoudre l’équation \(f(x) = 0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) puis dresser le tableau de signes de \(f\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

Partie III : Étude d’une fonction \(F\) admettant pour dérivée la fonction \(f\)

On admet qu’il existe une fonction \(F\) dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) dont la dérivée \(F^{\prime}\) est la fonction \(f\).

Ainsi, on a : \(F^{\prime} = f\).

On note \(\mathcal{C}_F\) la courbe représentative de la fonction \(F\) dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\). On ne cherchera pas à déterminer une expression de \(F(x)\).

1. Étudier les variations de \(F\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

2. La courbe \(\mathcal{C}_F\) représentative de \(F\) admet-elle des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ?

Justifier la réponse.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie I. La variable \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(9\,;\,0{,}03)\) : pour tout entier \(k\) entre 0 et 9, \(P(X = k) = \dbinom{9}{k} \times 0{,}03^k \times 0{,}97^{9-k}\), où \(0{,}03\) est la probabilité qu’une adresse soit illisible et \(0{,}97\) celle qu’elle soit lue correctement.

1. « Aucune adresse illisible » correspond à \(X = 0\) : \(P(X = 0) = \dbinom{9}{0} \times 0{,}03^0 \times 0{,}97^9 = 0{,}97^9 \approx 0{,}760\). Réponse d. (\(0{,}76\)).

2. On cherche \(P(X = 2)\) : deux « succès » (adresses illisibles, probabilité \(0{,}03\) chacune) et donc sept adresses lues (probabilité \(0{,}97\) chacune), parmi \(\dbinom{9}{2}\) placements possibles. Ainsi \(P(X = 2) = \dbinom{9}{2} \times 0{,}97^7 \times 0{,}03^2\). Réponse c. Les réponses a et b inversent les exposants, les réponses b et d utilisent 7 au lieu de 9 épreuves.

3. « Au moins une adresse illisible » est l’évènement \(X \geq\, 1\), dont le contraire est \(X = 0\). Donc \(P(X \geq\, 1) = 1 – P(X = 0)\). Réponse d. (La réponse a donne justement \(P(X = 0)\), et la c oublie le cas \(X = 1\).)

Partie II. Au premier tirage, l’urne contient 8 boules : \(P(V_1) = \dfrac{5}{8}\) et \(P(B_1) = \dfrac{3}{8}\). Comme on ne remet pas la boule, il en reste 7 au second tirage : 4 vertes et 3 blanches si la première était verte, 5 vertes et 2 blanches si elle était blanche.

Premier tirage	Probabilité	Second tirage	Probabilité conditionnelle
\(V_1\)	\(\dfrac{5}{8}\)	\(V_2\)	\(\dfrac{4}{7}\)
\(V_1\)	\(\dfrac{5}{8}\)	\(B_2\)	\(\dfrac{3}{7}\)
\(B_1\)	\(\dfrac{3}{8}\)	\(V_2\)	\(\dfrac{5}{7}\)
\(B_1\)	\(\dfrac{3}{8}\)	\(B_2\)	\(\dfrac{2}{7}\)

4. Si la première boule est verte, il reste 4 vertes sur 7 boules, donc \(P_{V_1}(V_2) = \dfrac{4}{7}\). Réponse b. (Attention, \(\dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14}\) est \(P(V_1 \cap V_2)\), pas la probabilité conditionnelle.)

5. \(V_1\) et \(B_1\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(V_2) = P(V_1) \times P_{V_1}(V_2) + P(B_1) \times P_{B_1}(V_2) = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{8} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{20}{56} + \dfrac{15}{56} = \dfrac{35}{56} = \dfrac{5}{8}.\]

Réponse a. On retrouve la proportion de boules vertes dans l’urne, ce qui est logique : sans information sur la première boule, la seconde a autant de chances d’être verte que la première.

Exercice 2 :

1. a. On applique les relations de récurrence avec \(n = 0\) : \(u_1 = u_0 + v_0 = 1 + 1 = 2\) et \(v_1 = 2u_0 + v_0 = 2 + 1 = 3\). Donc \(u_1 = 2\) et \(v_1 = 3\).

b. Pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1} – v_n = (2u_n + v_n) – v_n = 2u_n\). Or on a admis que \(u_n \gt 0\), donc \(v_{n+1} – v_n \gt 0\) : la suite \((v_n)\) est strictement croissante. Une suite croissante est minorée par son premier terme : pour tout \(n\), \(v_n \geq\, v_0\), c’est-à-dire \(v_n \geq\, 1\).

c. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n \geq\, n + 1\) ».

Initialisation. Pour \(n = 0\) : \(u_0 = 1\) et \(0 + 1 = 1\), donc \(u_0 \geq\, 0 + 1\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(u_n \geq\, n + 1\). D’après la question b, on a aussi \(v_n \geq\, 1\). En additionnant ces deux inégalités membre à membre : \(u_n + v_n \geq\, n + 1 + 1\), soit \(u_{n+1} \geq\, (n + 1) + 1\). La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geq\, n + 1\).

d. On a \(\lim\limits_{n \to +\infty} (n + 1) = +\infty\) et, pour tout \(n\), \(u_n \geq\, n + 1\). Par le théorème de comparaison (minoration par une suite qui tend vers \(+\infty\)), \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).

2. a. Le nombre \((-1)^{n+1}\) vaut \(1\) si \(n\) est impair et \(-1\) si \(n\) est pair ; dans tous les cas \(-1 \leq\, (-1)^{n+1} \leq\, 1\). Comme \(u_n \gt 0\), on a \(u_n^2 \gt 0\) et diviser par \(u_n^2\) conserve le sens des inégalités :

\[-\dfrac{1}{u_n^2} \leq\, \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \leq\, \dfrac{1}{u_n^2}.\]

b. Puisque \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty\), on a \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n^2 = +\infty\), donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{u_n^2} = 0\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} (-\dfrac{1}{u_n^2}) = 0\). La suite étudiée est encadrée par deux suites qui tendent vers 0 : d’après le théorème des gendarmes,

\[\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} = 0.\]

c. Comme \(r_n^2 = 2 + \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\), par somme de limites \(\lim\limits_{n \to +\infty} r_n^2 = 2\). De plus \(r_n = \dfrac{v_n}{u_n}\) est strictement positif (quotient de deux nombres strictement positifs), donc \(r_n = \sqrt{r_n^2}\). La fonction racine carrée étant continue en 2, on obtient \(\lim\limits_{n \to +\infty} r_n = \sqrt{2}\) : la suite \((r_n)\) converge vers \(\sqrt{2}\).

d. Pour tout entier naturel \(n\), on divise le numérateur et le dénominateur par \(u_n\), qui n’est pas nul :

\[r_{n+1} = \dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}} = \dfrac{2u_n + v_n}{u_n + v_n} = \dfrac{2 + \dfrac{v_n}{u_n}}{1 + \dfrac{v_n}{u_n}} = \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}.\]

e. La variable r démarre à 1, qui est \(r_0 = \dfrac{v_0}{u_0}\), avec n = 0. À chaque passage dans la boucle, r est remplacé par \(\dfrac{2 + r}{1 + r}\) (le terme suivant d’après la question d) et n augmente de 1 : la variable r contient donc toujours \(r_n\). La boucle s’arrête dès que \(|r_n – \sqrt{2}| \leq\, 10^{-4}\). La valeur 5 renvoyée signifie donc que 5 est le plus petit entier \(n\) pour lequel \(r_n\) est à une distance inférieure ou égale à \(10^{-4}\) de \(\sqrt{2}\) : \(r_5\) est la première valeur approchée de \(\sqrt{2}\) à \(10^{-4}\) près de la suite.

Vérification : \(r_4 = \dfrac{41}{29} \approx 1{,}41379\), écart environ \(4{,}2 \times 10^{-4}\) ; \(r_5 = \dfrac{99}{70} \approx 1{,}414286\), écart environ \(7{,}2 \times 10^{-5}\).

Exercice 3 :

1. a. Un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On a \(\vec{AB}\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}\), qui ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\vec{AC}\) est nulle, pas celle de \(\vec{AB}\)). Calculons les produits scalaires :

\[\vec{n} \cdot \vec{AB} = 3 \times (-2) + 2 \times 3 + 6 \times 0 = 0 \quad \text{et} \quad \vec{n} \cdot \vec{AC} = 3 \times (-2) + 2 \times 0 + 6 \times 1 = 0.\]

Donc \(\vec{n}\) est normal au plan (ABC).

b. Un plan de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}\) a une équation de la forme \(3x + 2y + 6z + d = 0\). Le point A\((2\,;\,0\,;\,0)\) lui appartient : \(3 \times 2 + 0 + 0 + d = 0\), d’où \(d = -6\). Une équation cartésienne de (ABC) est donc \(3x + 2y + 6z – 6 = 0\). (On peut contrôler avec B : \(6 – 6 = 0\), et C : \(6 – 6 = 0\).)

2. a. La droite \(d\) est orthogonale au plan (ABC), donc \(\vec{n}\) en est un vecteur directeur ; elle passe par O\((0\,;\,0\,;\,0)\). Une représentation paramétrique de \(d\) est :

\[\{\begin{array}{l} x = 3t\\ y = 2t\\ z = 6t\end{array}. \quad t \in \mathbb{R}.\]

b. Un point de \(d\), de paramètre \(t\), appartient au plan (ABC) si et seulement si \(3 \times 3t + 2 \times 2t + 6 \times 6t – 6 = 0\), soit \(49t = 6\), c’est-à-dire \(t = \dfrac{6}{49}\). L’équation a une unique solution : \(d\) coupe le plan en un seul point, de coordonnées \((3 \times \dfrac{6}{49}\,;\,2 \times \dfrac{6}{49}\,;\,6 \times \dfrac{6}{49})\), soit H\((\dfrac{18}{49}\,;\,\dfrac{12}{49}\,;\,\dfrac{36}{49})\).

c. \(\text{OH}^2 = (\dfrac{18}{49})^2 + (\dfrac{12}{49})^2 + (\dfrac{36}{49})^2 = \dfrac{324 + 144 + 1296}{49^2} = \dfrac{1764}{49^2}\). Comme \(1764 = 42^2\), on obtient \(\text{OH} = \dfrac{42}{49}\), soit \(\text{OH} = \dfrac{6}{7}\).

3. Premier calcul. Les points A, B et C sont sur les trois axes du repère orthonormé, donc les droites (OA), (OB) et (OC) sont deux à deux perpendiculaires. Prenons pour base le triangle OAB, rectangle en O : son aire vaut \(\dfrac{\text{OA} \times \text{OB}}{2} = \dfrac{2 \times 3}{2} = 3\). La hauteur correspondante est OC = 1, car (OC) est perpendiculaire au plan (OAB). D’où :

\[V = \dfrac{1}{3} \times 3 \times 1 = 1.\]

Second calcul. Prenons pour base le triangle ABC. La hauteur issue de O est la distance de O au plan (ABC), c’est-à-dire OH, puisque H est le projeté orthogonal de O sur ce plan. En notant \(\mathcal{A}\) l’aire de ABC : \(V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A} \times \dfrac{6}{7} = \dfrac{2\mathcal{A}}{7}\).

Les deux expressions désignent le même volume : \(\dfrac{2\mathcal{A}}{7} = 1\), donc l’aire du triangle ABC vaut \(\dfrac{7}{2} = 3{,}5\) unités d’aire.

Exercice A :

1. a. Les points d’intersection ont pour abscisses les solutions de \(f(x) = g(x)\) :

\[x^2\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x} \iff (x^2 – 1)\text{e}^{-x} = 0 \iff x^2 – 1 = 0 \iff x = -1 \ \text{ou} \ x = 1,\]

car \(\text{e}^{-x} \gt 0\) pour tout réel \(x\). Comme \(g(-1) = \text{e}\) et \(g(1) = \text{e}^{-1}\), les courbes se coupent en \((-1\,;\,\text{e})\) et \((1\,;\,\text{e}^{-1})\), ce que confirme le graphique (environ \((-1\,;\,2{,}72)\) et \((1\,;\,0{,}37)\)).

b. On étudie le signe de \(f(x) – g(x) = (x^2 – 1)\text{e}^{-x}\). Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), il est du signe de \(x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)\), trinôme positif à l’extérieur de ses racines \(-1\) et \(1\) :

\(x\)	\(-\infty\) … \(-1\)	\(-1\) … \(1\)	\(1\) … \(+\infty\)
\(f(x) – g(x)\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
Position	\(\mathcal{C}_f\) au-dessus de \(\mathcal{C}_g\)	\(\mathcal{C}_f\) au-dessous de \(\mathcal{C}_g\)	\(\mathcal{C}_f\) au-dessus de \(\mathcal{C}_g\)

Conclusion : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur \(]-\infty\,;\,-1[\) et sur \(]1\,;\,+\infty[\), au-dessous sur \(]-1\,;\,1[\), les deux courbes se coupant en \(x = -1\) et \(x = 1\).

2. a. On écrit \(d(x) = (1 – x^2)\text{e}^{-x}\) et on dérive ce produit \(uv\) avec \(u(x) = 1 – x^2\), \(u^{\prime}(x) = -2x\), \(v(x) = \text{e}^{-x}\), \(v^{\prime}(x) = -\text{e}^{-x}\) :

\[d^{\prime}(x) = -2x\,\text{e}^{-x} + (1 – x^2)(-\text{e}^{-x}) = \text{e}^{-x}(-2x – 1 + x^2) = \text{e}^{-x}(x^2 – 2x – 1).\]

b. Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(d^{\prime}(x)\) a le signe du trinôme \(x^2 – 2x – 1\). Son discriminant vaut \(\Delta = 4 + 4 = 8\), ses racines sont \(\dfrac{2 – 2\sqrt{2}}{2} = 1 – \sqrt{2} \approx -0{,}41\) et \(1 + \sqrt{2} \approx 2{,}41\). Seule la première est dans \([-1\,;\,1]\). Le trinôme (coefficient de \(x^2\) positif) est positif avant \(1 – \sqrt{2}\) et négatif entre les racines. Aux bornes, \(d(-1) = d(1) = 0\) puisque \(1 – x^2 = 0\).

\(x\)	\(-1\)		\(1 – \sqrt{2}\)		\(1\)
\(d^{\prime}(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(d\)	\(0\)	croissante ↗	\((2\sqrt{2} – 2)\text{e}^{\sqrt{2} – 1}\)	décroissante ↘	\(0\)

La fonction \(d\) est strictement croissante sur \([-1\,;\,1 – \sqrt{2}]\) et strictement décroissante sur \([1 – \sqrt{2}\,;\,1]\).

c. D’après le tableau, \(d\) atteint son maximum en \(x_0 = 1 – \sqrt{2}\). Calculons \(x_0^2 = 1 – 2\sqrt{2} + 2 = 3 – 2\sqrt{2}\), donc \(1 – x_0^2 = 2\sqrt{2} – 2\), et \(-x_0 = \sqrt{2} – 1\). Ainsi :

\[M_0N_0 = d(x_0) = (2\sqrt{2} – 2)\text{e}^{\sqrt{2} – 1} \approx 1{,}254.\]

La distance maximale vaut donc environ 1,3 à 0,1 près.

3. Un point d’abscisse \(x\) est commun à \(\Delta\) et \(\mathcal{C}_g\) si et seulement si \(\text{e}^{-x} = x + 2\), c’est-à-dire \(h(x) = 0\). Il suffit donc de compter les solutions de cette équation.

La fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(h^{\prime}(x) = -\text{e}^{-x} – 1\). Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(h^{\prime}(x) \lt -1 \lt 0\) : \(h\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Limites : en \(-\infty\), \(\text{e}^{-x} \to +\infty\) et \(-x – 2 \to +\infty\), donc \(\lim\limits_{x \to -\infty} h(x) = +\infty\) ; en \(+\infty\), \(\text{e}^{-x} \to 0\) et \(-x – 2 \to -\infty\), donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = -\infty\).

La fonction \(h\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\), et 0 est compris entre ses limites \(+\infty\) et \(-\infty\) : d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(h(x) = 0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\). Comme \(h(-1) = \text{e} – 1 \gt 0\) et \(h(0) = -1 \lt 0\), cette solution est entre \(-1\) et \(0\) (environ \(-0{,}44\)).

Conclusion : la droite \(\Delta\) et la courbe \(\mathcal{C}_g\) ont un seul point d’intersection.

Exercice B :

Partie I

1. En \(+\infty\) : \(\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} (2x – 2) = +\infty\), donc par somme \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\).

En 0 : \(\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \to 0} (2x – 2) = -2\), donc par somme \(\lim\limits_{x \to 0^+} g(x) = -\infty\).

2. La fonction \(g\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(g^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x} + 2\). Pour \(x \gt 0\), \(\dfrac{1}{x} \gt 0\), donc \(g^{\prime}(x) \gt 0\) : \(g\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

3. La fonction \(g\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), elle tend vers \(-\infty\) en 0 et vers \(+\infty\) en \(+\infty\). La valeur 0 est comprise entre ces limites, donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

4. \(g(1) = \ln(1) + 2 – 2 = 0\). La solution étant unique, \(\alpha = 1\). Comme \(g\) est strictement croissante et s’annule en 1 : \(g(x) \lt 0\) sur \(]0\,;\,1[\), \(g(1) = 0\) et \(g(x) \gt 0\) sur \(]1\,;\,+\infty[\).

Partie II

1. a. On dérive le produit \(uv\) avec \(u(x) = 2 – \dfrac{1}{x}\), \(u^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x^2}\), \(v(x) = \ln(x) – 1\), \(v^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\) :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x^2}(\ln(x) – 1) + (2 – \dfrac{1}{x}) \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{\ln(x) – 1}{x^2} + \dfrac{2}{x} – \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{\ln(x) – 1 + 2x – 1}{x^2} = \dfrac{\ln(x) + 2x – 2}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}.\]

b. Comme \(x^2 \gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(g(x)\), étudié à la question I.4. On calcule \(f(1) = (2 – 1)(\ln 1 – 1) = -1\).

\(x\)	\(0\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(f^{\prime}(x)\)	\|\|	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f\)	\|\|	décroissante ↘	\(-1\)	croissante ↗

\(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;\,1]\), strictement croissante sur \([1\,;\,+\infty[\), et admet un minimum égal à \(-1\) en \(x = 1\). (Pour information, \(f\) tend vers \(+\infty\) en 0 et en \(+\infty\).)

2. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[f(x) = 0 \iff 2 – \dfrac{1}{x} = 0 \ \text{ou} \ \ln(x) – 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2} \ \text{ou} \ x = \text{e}.\]

Les solutions sont \(\dfrac{1}{2}\) et \(\text{e}\), toutes deux dans \(]0\,;\,+\infty[\). Pour le signe, on étudie chaque facteur : \(2 – \dfrac{1}{x} \gt 0 \iff \dfrac{1}{x} \lt 2 \iff x \gt \dfrac{1}{2}\) (car \(x \gt 0\)), et \(\ln(x) – 1 \gt 0 \iff x \gt \text{e}\).

\(x\)	\(0\)		\(\dfrac{1}{2}\)		\(\text{e}\)
\(2 – \dfrac{1}{x}\)	\|\|	\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
\(\ln(x) – 1\)	\|\|	\(-\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\|\|	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)

\(f(x) \gt 0\) sur \(]0\,;\,\dfrac{1}{2}[\) et sur \(]\text{e}\,;\,+\infty[\), \(f(x) \lt 0\) sur \(]\dfrac{1}{2}\,;\,\text{e}[\). C’est cohérent avec les variations : \(f\) descend jusqu’à \(-1\) en 1, en passant par 0 en \(\dfrac{1}{2}\), puis remonte et s’annule à nouveau en \(\text{e}\).

Partie III

1. Puisque \(F^{\prime} = f\), le sens de variation de \(F\) est donné par le signe de \(f\), établi à la question II.2 : \(F\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,\dfrac{1}{2}]\), strictement décroissante sur \([\dfrac{1}{2}\,;\,\text{e}]\), puis strictement croissante sur \([\text{e}\,;\,+\infty[\). Elle admet un maximum local en \(\dfrac{1}{2}\) et un minimum local en \(\text{e}\).

2. La tangente à \(\mathcal{C}_F\) au point d’abscisse \(a\) a pour coefficient directeur \(F^{\prime}(a) = f(a)\). Elle est parallèle à l’axe des abscisses si et seulement si ce coefficient est nul, c’est-à-dire \(f(a) = 0\). D’après la question II.2, cela se produit exactement pour \(a = \dfrac{1}{2}\) et \(a = \text{e}\). Oui : \(\mathcal{C}_F\) admet exactement deux tangentes parallèles à l’axe des abscisses, aux points d’abscisses \(\dfrac{1}{2}\) et \(\text{e}\) (ce sont les points où \(F\) atteint son maximum local et son minimum local).

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