Bac septembre 2025 : maths en France (septembre, jour 1)

Sommaire

Ensuite, Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques de septembre 2025 en France métropolitaine, posé le 9 septembre 2025 lors de la session de remplacement, suivi d’un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice résout une équation différentielle avec second membre exponentiel, puis s’en sert pour modéliser la glycémie après un repas : variations, instant d’hypoglycémie à la minute près, glycémie moyenne par intégration par parties. Par ailleurs, le deuxième se déroule dans un cube prolongé par un point M : droites perpendiculaires, points coplanaires, intersection de deux droites, vecteur normal, projeté orthogonal et comparaison de deux volumes. De plus, le troisième compare deux suites qui convergent vers 2, avec une récurrence, une fonction Python et une suite géométrique auxiliaire. En outre, le dernier est un vrai-faux sur les visites d’un musée : dénombrement de codes, probabilités conditionnelles, loi binomiale et espérance.

Ensuite, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2025 en France (septembre, jour 1).

Par ailleurs, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Bac septembre 2025 : le sujet en un coup d’œil

Avant tout, précisons que ce bac septembre 2025 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 en France (septembre, jour 1) dans sa version intégrale. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5, 5, 6 et 4 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les équations différentielles, l’intégration par parties, la géométrie dans l’espace et le raisonnement par récurrence. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 1
France métropolitaine — 9 septembre 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On considère l’équation différentielle

\[(E) \qquad y^{\prime} + 0{,}4y = \text{e}^{-0{,}4t}\]

où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(t\).

On cherche l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\) qui sont solutions de cette équation.

1. Soit \(u\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(u(t) = t\,\text{e}^{-0{,}4t}\).

Vérifier que \(u\) est solution de \((E)\).

2. Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(t) = f(t) – u(t)\).

Soit \((H)\) l’équation différentielle \(y^{\prime} + 0{,}4y = 0\).

a. Démontrer que si la fonction \(g\) est solution de l’équation différentielle \((H)\) alors la fonction \(f\) est solution de l’équation différentielle \((E)\).

On admettra que la réciproque est vraie.

b. Résoudre l’équation différentielle \((H)\).

c. En déduire les solutions de \((E)\).

d. Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0) = 1\).

Partie B

On s’intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas.

La glycémie en \(\text{g.L}^{-1}\), en fonction du temps \(t\), exprimé en heure, écoulé depuis la fin du repas, est modélisée par la fonction \(f\) définie sur \([0\,;\,6]\) par :

\[f(t) = (t + 1)\,\text{e}^{-0{,}4t}.\]

1. a. Montrer que, pour tout \(t \in [0\,;\,6]\), \(f^{\prime}(t) = (-0{,}4t + 0{,}6)\,\text{e}^{-0{,}4t}\).

b. Étudier les variations de \(f\) sur \([0\,;\,6]\) puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle.

2. Une personne est en hypoglycémie lorsque sa glycémie est inférieure à \(0{,}7\ \text{g.L}^{-1}\).

a. Démontrer que sur l’intervalle \([0\,;\,6]\) l’équation \(f(t) = 0{,}7\) admet une unique solution que l’on notera \(\alpha\).

b. Au bout de combien de temps après avoir pris son repas cette personne est-elle en hypoglycémie ?

On exprimera ce temps à la minute près.

3. On souhaite déterminer la glycémie moyenne en \(\text{g.L}^{-1}\) chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.

a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que :

\[\displaystyle\int_0^6 f(t)\,\text{d}t = -23{,}75\,\text{e}^{-2{,}4} + 8{,}75.\]

b. Calculer la glycémie moyenne en \(\text{g.L}^{-1}\) chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.

c. En remarquant que la fonction \(f\) est solution de l’équation différentielle \((E)\), expliquer comment on aurait pu obtenir ce résultat autrement.

Exercice 2 (5 points)

On considère le cube ABCDEFGH.

On place le point M tel que \(\vec{BM} = \vec{AB}\).

Partie A

1. Montrer que les droites (FG) et (FM) sont perpendiculaires.

2. Montrer que les points A, M, G et H sont coplanaires.

Partie B

On se place dans le repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE})\).

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{GM}\) et \(\vec{AH}\) et montrer qu’ils ne sont pas colinéaires.

2. a. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite (GM) est :

\[\{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 1 – t \\ z = 1 – t \end{array}. \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.\]

b. On admet qu’une représentation paramétrique de la droite (AH) est :

\[\{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = k \\ z = k \end{array}. \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}.\]

Montrer que le point d’intersection de (GM) et (AH), que l’on nommera N, a pour coordonnées \((0\,;\,2\,;\,2)\).

3. a. Montrer que le triangle AMN est un triangle rectangle en A.

b. Calculer l’aire de ce triangle.

4. Soit J le centre de la face BCGF.

a. Déterminer les coordonnées du point J.

b. Montrer que le vecteur \(\vec{FJ}\) est un vecteur normal au plan (AMN).

c. Montrer que J appartient au plan (AMN). En déduire qu’il est le projeté orthogonal du point F sur le plan (AMN).

5. On rappelle que le volume \(\mathcal{V}\) d’un tétraèdre ou d’une pyramide est donné par la formule :

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h,\]

\(\mathcal{B}\) étant l’aire d’une base et \(h\) la hauteur relative à cette base.

Montrer que le volume du tétraèdre AMNF est le double du volume de la pyramide BCGFM.

Exercice 3 (6 points)

Le but de cet exercice est d’étudier les convergences de deux suites vers une même limite.

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur \([2\,;\,+\infty[\) par

\[f(x) = \sqrt{3x – 2}.\]

1. Justifier les éléments du tableau de variations ci-dessous :

On admet que la suite \((u_n)\) vérifiant \(u_0 = 6\) et, pour tout \(n\) entier naturel, \(u_{n+1} = f(u_n)\) est bien définie.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout \(n\) entier naturel : \(2 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n \leq\, 6\).

b. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.

3. On appelle \(\ell\) la limite de \((u_n)\).

On admet qu’elle est solution de l’équation \(f(x) = x\). Déterminer la valeur de \(\ell\).

4. On considère la fonction rang écrite ci-dessous en langage Python.

On rappelle que sqrt(\(x\)) renvoie la racine carrée du nombre \(x\).

1  from math import *
2
3  def rang(a) :
4    u = 6
5    n=0
6    while u > = a :
7      u = sqrt(3*u - 2)
8      n = n+1
9    return n

a. Pourquoi peut-on affirmer que rang(2.000001) renvoie une valeur ?

b. Pour quelles valeurs du paramètre \(a\) l’instruction rang(a) renvoie-t-elle un résultat ?

Partie B

On admet que la suite \((v_n)\) vérifiant \(v_0 = 6\) et, pour tout \(n\) entier naturel, \(v_{n+1} = 3 – \dfrac{2}{v_n}\) est bien définie.

1. Calculer \(v_1\).

2. Pour tout \(n\) entier naturel, on admet que \(v_n \neq 2\) et on pose :

\[w_n = \dfrac{v_n – 1}{v_n – 2}\]

a. Démontrer que la suite \((w_n)\) est géométrique de raison 2 et préciser son premier terme \(w_0\).

b. On admet que, pour tout \(n\) entier naturel,

\[w_n – 1 = \dfrac{1}{v_n – 2}.\]

En déduire que, pour tout \(n\) entier naturel,

\[v_n = 2 + \dfrac{1}{1{,}25 \times 2^n – 1}\]

c. Calculer la limite de \((v_n)\).

3. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) pour lequel \(v_n \lt 2{,}01\) en résolvant l’inéquation.

Partie C

À l’aide des parties précédentes, déterminer le plus petit entier \(N\) tel que pour tout \(n \geq\, N\), les termes \(v_n\) et \(u_n\) appartiennent à l’intervalle \(]1{,}99\,;\,2{,}01[\).

Exercice 4 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Un musée propose des visites avec ou sans audioguide. Les billets peuvent être achetés en ligne ou directement au guichet.

1. Lorsqu’une personne achète son billet en ligne, un code de validation lui est envoyé par SMS afin qu’elle confirme son achat.

Ce code est généré de façon aléatoire et est constitué de 4 chiffres deux à deux distincts, le premier chiffre étant différent de 0.

Affirmation 1 : Le nombre de codes différents pouvant être générés est 5 040.

2. Une étude a permis de considérer que :

la probabilité qu’une personne choisisse l’audioguide sachant qu’elle a acheté son billet en ligne est égale à 0,8 ;
la probabilité qu’une personne achète son billet en ligne est égale à 0,7 ;
la probabilité qu’une personne opte pour une visite sans audioguide est égale à 0,32.

Affirmation 2 : La probabilité qu’un visiteur ne prenne pas l’audioguide sachant qu’il a acheté son billet au guichet est supérieure à deux tiers.

Exercice 4 du bac septembre 2025 : questions 3 à 4

3. On choisit au hasard 12 visiteurs de ce musée.

On suppose que le choix de l’option « audioguide » est indépendant d’un visiteur à l’autre.

Affirmation 3 : La probabilité qu’exactement la moitié de ces visiteurs opte pour l’audioguide est égale à \(924 \times 0{,}2176^6\).

4. Lorsqu’une personne dispose d’un audioguide, elle peut choisir parmi trois parcours :

un premier d’une durée de cinquante minutes,
un deuxième d’une durée d’une heure et vingt minutes,
un troisième d’une durée d’une heure et quarante minutes.

Le temps de parcours peut être modélisé par une variable aléatoire \(X\) dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous :

\(x_i\)	50 min	1 h 20 min	1 h 40 min
\(P(X = x_i)\)	0,1	0,6	0,3

Affirmation 4 : L’espérance de \(X\) est 77 minutes.

Bac septembre 2025 : conseils de révision

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les équations différentielles et l’intégration par parties. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur équations différentielles.

Points de vigilance

Pour une équation différentielle, n’oubliez pas la solution particulière avant d’écrire la forme générale, puis utilisez la condition initiale pour fixer la constante.
Pour une intégration par parties, choisissez comme fonction à dériver celle qui se simplifie, et écrivez les quatre fonctions avant de calculer.
En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.

Bac septembre 2025 : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les équations différentielles, l’intégration par parties et la géométrie dans l’espace, mais aussi le raisonnement par récurrence.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2025 en France (septembre, jour 1)

Les autres sujets du bac de maths 2025

Bac de maths 2027 : tous les sujets Cours de terminale Exercices de terminale

Voter... post

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «bac de maths 2025 en France (septembre, jour 1) : sujet et corrigé à télécharger en PDF» au format PDF.