Exercice 1 – Etude d’une fonction f
Soit f la fonction définie sur 
par .
1. Etudier les variations de f sur .
2. Résoudre l’équation sur l’intervalle .
On note cette solution .
Exercice 2 – Fonction continue qui ne s’annule jamais
Montrer qu’une fonction continue sur R qui ne s’annule jamais est de signe constant.
Exercice 3 – Tangente et unicité d’une solution
Montrer que l’équation tan x = x possède une unique solution dans
Exercice 4 – Continuité et théorème du point fixe
Montrer que toute application continue d’un segment dans lui-même admet un point fixe :
Exercice 5 – Montrer qu’il y a une unique racine
Soit f la fonction définie sur par
Montrer que f possède une unique racine puis en donner un encadrement d’amplitude 0, 01.
Exercice 6 – Etude d’un polynôme
. Soit P la fonction définie sur par
1. Dresser le tableau de variations de P.
2. En déduire le nombre de racines de P.
3. Retrouver directement ces racines en factorisant P(x).
Exercice 7 – Théorème des valeurs intermédiaires
Montrer que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.
Exercice 8 – Racine et théorème des valeurs intermédiaires
Soit f la fonction définie sur R par
Montrer que f possède une unique racine.
Exercice 9 :
La fonction de Heaviside, notée H, du nom d’un physicien anglais (1850-1925) est couramment
utilisée en automatisme.
Pour tout réel x,
a) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction H.
b) Sur quels intervalles, les plus grands possibles, la fonction H est-elle continue ?
Exercice 10 :
La partie entière d’un nombre réel x, notée E(x), est l’unique entier relatif n tel que :
1.Déterminer :
2.Déterminer pour tout réel de l’intervalle :
3.a) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction E sur l’intervalle .
b) Étudier graphiquement la continuité de la fonction E sur l’intervalle .
c) De façon plus générale, en quels nombres réels la fonction E est-elle discontinue ?
Exercice 11 :
f est la fonction définie sur par :
a. Expliquer pourquoi la fonction f est continue sur l’intervalle , puis sur l’intervalle .
b. Expliquer pourquoi :
et
Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
c) Conclure pour la continuité de la fonction f sur .
Exercice 12 :
Un designer a dessiné une partie d’un logo dans le repère ci-dessous.
Ce logo est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 8] par :
a) Déterminer les nombres réels a et b afin que la fonction f soit continue sur l’intervalle [0 ; 8].
b) Déterminer le nombre dérivé en 3 de la fonction polynôme , puis de la fonction affine
.
La fonction f est-elle dérivable en 3 ?
c) Étudier la dérivabilité de la fonction f en 5.
Exercice 13 :
est la suite définie pour tout entier naturel par .
a) Proposer une suite et une fonction f telles que pour tout entier naturel , .
b) Démontrer que la suite est convergente et préciser sa limite.
Exercice 14 :
f est la fonction définie sur I=[1 ; 2] par :
a) Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle I et dresser son tableau de variations.
b) Vérifier que pour tout réel x de I, .
2. est la suite définie par et pour tout entier naturel n,
a) Démontrer par récurrence que la suite :
• est décroissante ;
• est minorée par 1.
b) En déduire que la suite converge vers un réel .
c) Expliquer pourquoi est solution dans I de l’équation .
Déterminer .
Exercice 15 :
f est la fonction définie sur par :
.
Voici le tableau de variations de la fonction f.
a) Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet deux solutions et dans avec .
b) Donner la valeur exacte de et un encadrement d’amplitude de à l’aide de la calculatrice.
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