Cette fiche rassemble quinze exercices de terminale consacrés à la continuité d’une fonction et à ses applications. On y étudie d’abord des fonctions rationnelles et des polynômes : sens de variation, résolution d’équations, recherche du nombre de racines et d’un encadrement à la calculatrice. Plusieurs énoncés demandent de démontrer un résultat général, comme l’existence d’un point fixe ou d’une racine réelle pour tout polynôme de degré impair.
La seconde partie aborde des situations plus variées : la fonction de Heaviside et la partie entière, qui présentent des sauts, des fonctions définies par morceaux dont il faut assurer le raccordement et la dérivabilité, puis des suites du type \(u_{n+1}=f(u_n)\) dont on cherche la limite. Pour réussir ces exercices de terminale sur la continuité, il faut savoir appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire pour les fonctions strictement monotones, lire un tableau de variations et rédiger une récurrence.
Cherchez chaque question au brouillon avant de consulter la correction détaillée de ces exercices, qui reprend toutes les étapes du raisonnement et les calculs.
L’essentiel : Cette fiche réunit 20 exercices de maths en Terminale sur « Continuité et théorème des valeurs intermédiaires », du plus simple au plus difficile : etude d’une fonction f, fonction continue qui ne s’annule jamais et continuité et théorème du point fixe. Le corrigé détaillé est sur une page séparée ; fiche gratuite à imprimer en PDF.
Exercice 1 – Etude d’une fonction f (continuité terminale exercices)
Soit f la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)=5-\frac{8}{x+2}\) .
1. Etudier les variations de f sur \([0;+\infty[\).
2. Résoudre l’équation \(f(x)=x\) sur l’intervalle \([0;+\infty[\).
On note \(\alpha\) cette solution .
Exercice 2 – Fonction continue qui ne s’annule jamais
Montrer qu’une fonction continue sur R qui ne s’annule jamais est de signe constant.
Exercice 3 – Tangente et unicité d’une solution (continuité terminale exercices)
Montrer que l’équation tan x = x possède une unique solution dans \(]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[.\)
Exercice 4 – Continuité et théorème du point fixe
Montrer que toute application continue d’un segment dans lui-même admet un point fixe :
Exercice 5 – Montrer qu’il y a une unique racine
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}^+\) par \(f(x)=x^2+\sqrt{x}-3.\)
Montrer que f possède une unique racine puis en donner un encadrement d’amplitude 0,01.
Exercice 6 – Etude d’un polynôme
Soit P la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(P(x)=x^3+x^2-3x+1.\)
1. Dresser le tableau de variations de P.
2. En déduire le nombre de racines de P.
3. Retrouver directement ces racines en factorisant P(x).
Exercice 7 – Théorème des valeurs intermédiaires
Montrer que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.
Exercice 8 – Racine et théorème des valeurs intermédiaires
Soit f la fonction définie sur R par \(f(x)=x^5+x^3+x+1.\)
Montrer que f possède une unique racine.
Exercice 9 :
La fonction de Heaviside, notée H, du nom d’un physicien anglais (1850-1925) est couramment
utilisée en automatisme.
Pour tout réel x :
- \(H(x)=0\) si \(x\lt 0\) ;
- \(H(x)=1\) si \(x\geq\, 0\).
a) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction H.
b) Sur quels intervalles, les plus grands possibles, la fonction H est-elle continue ?
Exercice 10 :
La partie entière d’un nombre réel x, notée E(x), est l’unique entier relatif n tel que :
\(n\leq\, x\lt n+1\)
1. Déterminer :
a. \(E(2{,}6)\) ; b. \(E(0{,}3)\) ; c. \(E(4)\) ; d. \(E(-1{,}2)\).
2. Déterminer \(E(x)\) pour tout réel \(x\) de l’intervalle :
a) \([0;1[\) ; b) \([1;2[\) ; c) \([-1;0[\) ; d) \([-2;-1[\).
3.a) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction E sur l’intervalle \([-5;5[\).
b) Étudier graphiquement la continuité de la fonction E sur l’intervalle \([-5;5[\).
c) De façon plus générale, en quels nombres réels la fonction E est-elle discontinue ?
Exercice 11 :
f est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
- \(f(x)=1-2x\) si \(x\geq\, 2\) ;
- \(f(x)=e^{x-2}-4\) si \(x\lt 2\).
a. Expliquer pourquoi la fonction f est continue sur l’intervalle \(]2\,;\,+\,\infty[\), puis sur l’intervalle \(]-\,\infty\,;\,2[\).
b. Expliquer pourquoi :
\(\lim_{\,x\to\,2^+}\,f(x)=-3\) et \(\lim_{\,x\to\,2^-}\,f(x)=-3\)
Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
c) Conclure pour la continuité de la fonction f sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 12 :
Un designer a dessiné une partie d’un logo dans le repère ci-dessous.
Ce logo est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 8] par :
- \(f(x)=0{,}64x^2\) si \(0\leq\, x\leq\, 3\) ;
- \(f(x)=ax+b\) si \(3\lt x\lt 5\) ;
- \(f(x)=4-(x-6)^2\) si \(5\leq\, x\leq\, 8\).
a) Déterminer les nombres réels a et b afin que la fonction f soit continue sur l’intervalle [0 ; 8].
b) Déterminer le nombre dérivé en 3 de la fonction polynôme \(x\,\mapsto \,0{,}64x^2\), puis de la fonction affine
\(x\,\mapsto \,-1{,}38x\,+\,9{,}9\).
La fonction f est-elle dérivable en 3 ?
c) Étudier la dérivabilité de la fonction f en 5.
Exercice 13 :
\((v_n)\) est la suite définie pour tout entier naturel \(n\,\geq\,\,2\) par \(v_n=\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\).
a) Proposer une suite \((u_n)\) et une fonction f telles que pour tout entier naturel \(n\,\geq\,\,2\), \(v_n=f(u_n)\).
b) Démontrer que la suite \((v_n)\) est convergente et préciser sa limite.
Exercice 14 :
f est la fonction définie sur I=[1 ; 2] par :
\(f(x)=5-\frac{16}{3+x}\)
1. a) Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle I et dresser son tableau de variations.
b) Vérifier que pour tout réel x de I, \(f(x)\,\in\,I\).
2. \((u_n)\) est la suite définie par \(u_0=2\) et pour tout entier naturel n, \(u_{n+1}=f(u_n).\)
a) Démontrer par récurrence que la suite \((u_n)\) :
• est décroissante ;
• est minorée par 1.
b) En déduire que la suite \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\).
c) Expliquer pourquoi \(\ell\) est solution dans I de l’équation \(f(x)\,=\,x\).
Déterminer \(\ell\).
Exercice 15 :
f est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=\,3x^4\,-\,8x^3\,-\,6x^2\,+\,24x\).
Voici le tableau de variations de la fonction f.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||||
| \(f^{\prime}(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(-19\) | \(\nearrow\) | \(13\) | \(\searrow\) | \(8\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
a) Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\) dans \(\mathbb{R}\) avec \(\alpha\lt\beta\).
b) Donner la valeur exacte de \(\beta\) et un encadrement d’amplitude \(10^{-2}\) de \(\alpha\) à l’aide de la calculatrice.
Exercice 16 :
On a représenté ci-dessous une fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([-3\,;5]\). Les cercles vides indiquent des points exclus de la courbe.
![Courbe d'une fonction f sur [-3 ; 5] avec un saut en x = 1 et un point isolé en x = 3](https://mathovore.fr/wp-content/uploads/exo-figures/f3a1648af5612.svg)
1. Lire graphiquement \(f(1)\) et \(f(3)\), puis déterminer \(\lim_{x\to1^-}f(x)\), \(\lim_{x\to1^+}f(x)\) et \(\lim_{x\to3}f(x)\).
2. La fonction \(f\) est-elle continue en 1 ? en 3 ? Justifier.
3. Donner les plus grands intervalles de \([-3\,;5]\) sur lesquels \(f\) est continue, sachant que \(f(x)=x+2\) sur \([-3\,;1[\) et \(f(x)=\dfrac{x+1}{2}\) pour \(x\in[1\,;5]\) avec \(x\neq3\).
4. Quelle valeur faut-il donner à \(f(3)\) pour que \(f\) soit continue en 3 ?
5. Résoudre l’équation \(f(x)=2{,}5\) dans l’intervalle \([-3\,;5]\).
Exercice 17 :
On souhaite résoudre l’équation \((E)\ :\ e^x=3-x\). La figure ci-dessous montre la courbe de la fonction exponentielle et la droite d’équation \(y=3-x\).
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=e^x+x-3\).
1. Étudier les variations de \(g\) et déterminer ses limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
2. Montrer que l’équation \((E)\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\).
3. Justifier que \(\alpha\in]0\,;1[\), puis, à l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-2}\).
4. En déduire le signe de \(g(x)\) selon les valeurs de \(x\), puis la position relative de la courbe de la fonction exponentielle et de la droite d’équation \(y=3-x\).
Exercice 18 :
1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\).
a) Simplifier l’expression de \(f(x)\) pour \(x\neq3\).
b) Quelle valeur faut-il donner à \(f(3)\) pour que la fonction ainsi prolongée soit continue sur \(\mathbb{R}\) ?
2. Soit \(g\) la fonction définie sur \(]-1\,;0[\cup]0\,;+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}\).
a) Montrer que, pour tout réel \(x\) de ce domaine, \(g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\).
b) En déduire la valeur de \(g(0)\) qui rend \(g\) continue sur \(]-1\,;+\infty[\).
3. Soit \(a\) un réel et \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
- \(h(x)=ax^2+1\) si \(x\leq\,2\) ;
- \(h(x)=3x-a\) si \(x\gt 2\).
Déterminer la valeur de \(a\) pour laquelle \(h\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 19 :
Pour tout entier naturel \(n\geq\,1\), on définit la fonction \(f_n\) sur l’intervalle \([0\,;1]\) par \(f_n(x)=x^n+x-1\). La figure ci-dessous montre les courbes de \(x\mapsto x^n\) pour \(n=1,\,2,\,3,\,5\) et la droite d’équation \(y=1-x\).
![Courbes de x puissance n pour n = 1, 2, 3 et 5 et droite d'équation y = 1 - x sur [0 ; 1]](https://mathovore.fr/wp-content/uploads/exo-figures/f705882e56c01.svg)
1. Montrer que \(f_n\) est strictement croissante sur \([0\,;1]\).
2. Montrer que l’équation \(f_n(x)=0\) admet une unique solution \(x_n\) dans \([0\,;1]\), et que \(x_n\in]0\,;1[\).
3. Calculer \(x_1\) et \(x_2\) (valeurs exactes), puis donner un encadrement de \(x_3\) d’amplitude \(10^{-2}\).
4. a) Exprimer \(f_{n+1}(x_n)\) en fonction de \(x_n\) et de \(n\), et montrer que \(f_{n+1}(x_n)\lt 0\).
b) En déduire que la suite \((x_n)\) est strictement croissante.
c) Montrer que la suite \((x_n)\) converge vers un réel \(\ell\) de \(]0\,;1]\).
5. On suppose que \(\ell\lt 1\). Montrer que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n^n=0\), puis aboutir à une contradiction. Conclure.
Exercice 20 :
Un randonneur part à 8 h du refuge situé au pied d’une montagne et arrive à 12 h au sommet, par un sentier unique de longueur \(L\) kilomètres. Le lendemain, il repart du sommet à 8 h, redescend par le même sentier et arrive au refuge à 12 h. Il peut ralentir ou s’arrêter, mais jamais « sauter » d’un endroit à un autre.
On note \(a(t)\) (respectivement \(d(t)\)) la distance parcourue depuis le refuge, mesurée le long du sentier, à l’heure \(t\) de la montée (respectivement de la descente), avec \(t\in[8\,;12]\). On admet que \(a\) et \(d\) sont continues sur \([8\,;12]\).
1. Donner les valeurs de \(a(8)\), \(a(12)\), \(d(8)\) et \(d(12)\).
2. On pose \(\varphi(t)=a(t)-d(t)\). Calculer \(\varphi(8)\) et \(\varphi(12)\), puis montrer qu’il existe un réel \(t_0\) de \([8\,;12]\) tel que \(\varphi(t_0)=0\).
3. Interpréter ce résultat concrètement.
4. Le deuxième jour, le randonneur repart du sommet à 9 h et arrive au refuge à 13 h. Le résultat de la question 3 reste-t-il vrai pour une heure comprise entre 9 h et 12 h ?
Continuité terminale exercices : méthode de travail
Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. De plus, un travail régulier sur continuité terminale exercices vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Théorème des valeurs intermédiaires sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec nombres complexes : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
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Le livre MathovoreAnnales du bac de maths TerminaleObjectif bac : entraînez-vous sur les exercices du bac de spécialité maths, classés par chapitre, avec leur correction complète.Ouvrir les annales du bac 
