Bac de maths 2025 en Amérique du Nord (jour 1) : sujet et corrigé

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2025
Amérique du Nord — 21 mai 2025 — Sujet 1
Épreuve d’enseignement de spécialité mathématiques — Durée : 4 heures

Exercice 1 (6 points)

Pour accéder au réseau privé d’une entreprise depuis l’extérieur, les connexions des employés transitent aléatoirement via trois serveurs distants différents, notés A, B et C. Ces serveurs ont des caractéristiques techniques différentes et les connexions se répartissent de la manière suivante :

• 25 % des connexions transitent via le serveur A ;
• 15 % des connexions transitent via le serveur B ;
• le reste des connexions s’effectue via le serveur C.

Les connexions à distance sont parfois instables et, lors du fonctionnement normal des serveurs, les utilisateurs peuvent subir des déconnexions pour différentes raisons (saturation des serveurs, débit internet insuffisant, attaques malveillantes, mises à jour de logiciels, etc.).

On dira qu’une connexion est stable si l’utilisateur ne subit pas de déconnexion après son identification aux serveurs. L’équipe de maintenance informatique a observé statistiquement que, dans le cadre d’un fonctionnement habituel des serveurs :

• 90 % des connexions via le serveur A sont stables ;
• 80 % des connexions via le serveur B sont stables ;
• 85 % des connexions via le serveur C sont stables.

Les parties A et B sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être traitées séparément.

Partie A

On s’intéresse au hasard à l’état d’une connexion effectuée par un employé de l’entreprise. On considère les évènements suivants :

• \(A\) : « La connexion s’est effectuée via le serveur A » ;
• \(B\) : « La connexion s’est effectuée via le serveur B » ;
• \(C\) : « La connexion s’est effectuée via le serveur C » ;
• \(S\) : « La connexion est stable ».

On note \(\overline{S}\) l’évènement contraire de l’évènement \(S\).

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation de l’énoncé.

2. Démontrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est égale à \(0{,}12\).

3. Calculer la probabilité \(P(C \cap \overline{S})\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

4. Démontrer que la probabilité de l’évènement \(S\) est \(P(S) = 0{,}855\).

5. On suppose désormais que la connexion est stable.

Calculer la probabilité que la connexion ait eu lieu depuis le serveur B.

On donnera la valeur arrondie au millième.

Partie B

D’après la partie A, la probabilité qu’une connexion soit instable est égale à \(0{,}145\).

1. Dans le but de détecter les dysfonctionnements de serveurs, on étudie un échantillon de 50 connexions au réseau, ces connexions étant choisies au hasard. On suppose que le nombre de connexions est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de connexions instables au réseau de l’entreprise, dans cet échantillon de 50 connexions.

a. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

b. Donner la probabilité qu’au plus huit connexions soient instables. On donnera la valeur arrondie au millième.

2. Dans cette question, on constitue désormais un échantillon de \(n\) connexions, toujours dans les mêmes conditions, où \(n\) désigne un entier naturel strictement positif. On note \(X_n\) la variable aléatoire égale aux nombres de connexions instables et on admet que \(X_n\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et 0,145.

a. Donner l’expression en fonction de \(n\) de la probabilité \(p_n\) qu’au moins une connexion de cet échantillon soit instable.

b. Déterminer, en justifiant, la plus petite valeur de l’entier naturel \(n\) telle que la probabilité \(p_n\) est supérieure ou égale à 0,99.

3. On s’intéresse à la variable aléatoire \(F_n\) égale à la fréquence de connexions instables dans un échantillon de \(n\) connexions, où \(n\) désigne un entier naturel strictement positif.

On a donc \(F_n = \dfrac{X_n}{n}\), où \(X_n\) est la variable aléatoire définie à la question 2.

a. Calculer l’espérance \(E(F_n)\).

On admet que \(V(F_n) = \dfrac{0{,}123975}{n}\).

b. Vérifier que : \(P(|F_n – 0{,}145| \geq\, 0{,}1) \leq\, \dfrac{12{,}5}{n}\)

c. Un responsable de l’entreprise étudie un échantillon de 1 000 connexions et constate que pour cet échantillon \(F_{1000} = 0{,}3\). Il soupçonne un dysfonctionnement des serveurs. A-t-il raison ?

Exercice 2 (5 points)

On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par son premier terme \(u_0 = 2\) et pour tout entier naturel \(n\), par :

\[u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2}\]

On admet que la suite \((u_n)\) est bien définie.

1. Calculer le terme \(u_1\).

2. On définit la suite \((a_n)\) pour tout entier naturel \(n\), par :

\[a_n = \dfrac{u_n}{u_n – 1}\]

On admet que la suite \((a_n)\) est bien définie.

a. Calculer \(a_0\) et \(a_1\).

b. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n+1} = 3a_n – 1\).

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1,

\[a_n \geq\, 3n – 1\]

d. En déduire la limite de la suite \((a_n)\).

3. On souhaite étudier la limite de la suite \((u_n)\).

a. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \dfrac{a_n}{a_n – 1}\).

b. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

4. On admet que la suite \((u_n)\) est décroissante.

On considère le programme suivant écrit en langage Python :

1  def algo(p):
2      u=2
3      n=0
4      while u-1>p:
5          u=(2*u+1)/(u+2)
6          n=n+1
7      return (n,u)

a. Interpréter les valeurs n et u renvoyées par l’appel de la fonction algo(p) dans le contexte de l’exercice.

b. Donner, sans justifier, la valeur de \(n\) pour \(p = 0{,}001\).

Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\).

On considère la droite \((d)\) dont une représentation paramétrique est :

\[\begin{cases} x = 3 – 2t \\ y = -1 \\ z = 2 – 6t \end{cases} \quad \text{, où } t \in \mathbb{R}\]

On considère également les points suivants :

• \(\text{A}(3 ; -3 ; -2)\)
• \(\text{B}(5 ; -4 ; -1)\)
• C le point de la droite \((d)\) d’abscisse 2
• H le projeté orthogonal du point B sur le plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(x + 3z – 7 = 0\)

Affirmation 1

La droite \((d)\) et l’axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires.

Affirmation 2

Le plan passant par A et orthogonal à la droite \((d)\) a pour équation cartésienne :

\[x + 3z + 3 = 0\]

Affirmation 3

Une mesure, exprimée en radian, de l’angle géométrique \(\widehat{\text{BAC}}\) est \(\dfrac{\pi}{6}\).

Affirmation 4

La distance BH est égale à \(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\).

Exercice 4 (5 points)

La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\), représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\). L’une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l’autre. On les notera \(g\) et \(g^{\prime}\).

On précise également que :

• La courbe \(\mathcal{C}_1\) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées \((0 ; 1)\).
• La courbe \(\mathcal{C}_2\) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées \((0 ; 2)\) et l’axe des abscisses aux points de coordonnées \((-2 ; 0)\) et \((1 ; 0)\).

1. En justifiant, associer à chacune des fonctions \(g\) et \(g^{\prime}\) sa représentation graphique.

2. Justifier que l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(g\) au point d’abscisse 0 est \(y = 2x + 1\).

Partie B

On considère \((E)\) l’équation différentielle

\[y + y^{\prime} = (2x + 3)\text{e}^{-x},\]

où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\).

1. Montrer que la fonction \(f_0\) définie pour tout nombre réel \(x\) par \(f_0(x) = (x^2 + 3x)\text{e}^{-x}\) est une solution particulière de l’équation différentielle \((E)\).

2. Résoudre l’équation différentielle \((E_0) : y + y^{\prime} = 0\).

3. Déterminer les solutions de l’équation différentielle \((E)\).

4. On admet que la fonction \(g\) décrite dans la partie A est une solution de l’équation différentielle \((E)\).

Déterminer alors l’expression de la fonction \(g\).

5. Déterminer les solutions de l’équation différentielle \((E)\) dont la courbe admet exactement deux points d’inflexion.

Partie C

On considère la fonction \(f\) définie pour tout nombre réel \(x\) par :

\[f(x) = (x^2 + 3x + 2)\text{e}^{-x}\]

1. Démontrer que la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\) est égale à 0.

On admet par ailleurs que la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\) est égale à \(+\infty\).

2. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

a. Vérifier que, pour tout nombre réel \(x\), \(f^{\prime}(x) = (-x^2 – x + 1)\text{e}^{-x}\).

b. Déterminer le signe de la fonction dérivée \(f^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}\) puis en déduire les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Expliquer pourquoi la fonction \(f\) est positive sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\).

4. On notera \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \((\text{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})\). On admet que la fonction \(F\) définie pour tout nombre réel \(x\) par \(F(x) = (-x^2 – 5x – 7)\text{e}^{-x}\) est une primitive de la fonction \(f\).

Soit \(\alpha\) un nombre réel positif.

Déterminer l’aire \(\mathcal{A}(\alpha)\), exprimée en unité d’aire, du domaine du plan délimité par l’axe des abscisses, la courbe \(\mathcal{C}_f\) et les droites d’équation \(x = 0\) et \(x = \alpha\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Les pourcentages de l’énoncé deviennent des probabilités, puisque la connexion est choisie au hasard. Au premier niveau : \(P(A) = 0{,}25\), \(P(B) = 0{,}15\) et, pour le serveur C qui reçoit le reste, \(P(C) = 1 – 0{,}25 – 0{,}15 = 0{,}6\). Au second niveau, on place les probabilités conditionnelles de stabilité et leurs complémentaires à 1 :

Sur l’arbre, on écrit donc 0,25, 0,15 et 0,6 sur les trois premières branches, puis 0,9 et 0,1 après A, 0,8 et 0,2 après B, 0,85 et 0,15 après C.

2. L’évènement « la connexion est stable et passe par B » est \(B \cap S\). On multiplie les probabilités le long du chemin : \(P(B \cap S) = P(B) \times P_B(S) = 0{,}15 \times 0{,}8 = 0{,}12\). On a bien \(P(B \cap S) = 0{,}12\).

3. De même, \(P(C \cap \overline{S}) = P(C) \times P_C(\overline{S}) = 0{,}6 \times 0{,}15 = 0{,}09\). Donc \(P(C \cap \overline{S}) = 0{,}09\) : 9 % de l’ensemble des connexions passent par le serveur C et subissent une déconnexion.

4. Les évènements \(A\), \(B\) et \(C\) forment une partition de l’univers (chaque connexion passe par un et un seul serveur). La formule des probabilités totales donne :

\[P(S) = P(A \cap S) + P(B \cap S) + P(C \cap S) = 0{,}25 \times 0{,}9 + 0{,}12 + 0{,}6 \times 0{,}85\]

\[P(S) = 0{,}225 + 0{,}12 + 0{,}51 = 0{,}855\]

On a bien \(P(S) = 0{,}855\).

5. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_S(B)\). Par définition, \(P_S(B) = \dfrac{P(B \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}855} = \dfrac{8}{57} \approx 0{,}14035\). Sachant que la connexion est stable, la probabilité qu’elle soit passée par le serveur B vaut environ 0,140.

Partie B

1. a. On répète 50 fois, de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve à deux issues dont le succès « la connexion est instable » a pour probabilité 0,145. \(X\) compte les succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 50\) et \(p = 0{,}145\).

b. On cherche \(P(X \leq\, 8)\). La calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale) donne \(P(X \leq\, 8) \approx 0{,}70447\). La probabilité qu’au plus huit connexions soient instables est environ 0,704.

2. a. L’évènement « au moins une connexion est instable » est le contraire de « aucune connexion n’est instable », c’est-à-dire de \(\{X_n = 0\}\). Or \(P(X_n = 0) = \binom\,{n}{0} \times 0{,}145^0 \times 0{,}855^n = 0{,}855^n\). Donc \(p_n = 1 – 0{,}855^n\).

b. On résout l’inéquation \(p_n \geq\, 0{,}99\) :

\[1 – 0{,}855^n \geq\, 0{,}99 \iff 0{,}855^n \leq\, 0{,}01 \iff n \ln(0{,}855) \leq\, \ln(0{,}01)\]

(la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\), donc elle conserve l’ordre, et \(\ln(0{,}855^n) = n\ln(0{,}855)\)). Comme \(0{,}855 \lt 1\), on a \(\ln(0{,}855) \lt 0\) : en divisant par ce nombre négatif, on change le sens de l’inégalité :

\[n \geq\, \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}855)} \approx 29{,}4\]

Le plus petit entier qui convient est \(n = 30\). Contrôle : \(p_{29} \approx 0{,}9894 \lt 0{,}99\) et \(p_{30} \approx 0{,}9909 \geq\, 0{,}99\).

3. a. Pour une loi binomiale, \(E(X_n) = n \times 0{,}145\). Par linéarité de l’espérance, \(E(F_n) = E(\dfrac{X_n}{n}) = \dfrac{1}{n} E(X_n) = \dfrac{0{,}145n}{n}\), donc \(E(F_n) = 0{,}145\).

b. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que, pour tout réel \(\delta \gt 0\), \(P(|F_n – E(F_n)| \geq\, \delta) \leq\, \dfrac{V(F_n)}{\delta^2}\). Avec \(\delta = 0{,}1\), donc \(\delta^2 = 0{,}01\) :

\[P(|F_n – 0{,}145| \geq\, 0{,}1) \leq\, \dfrac{0{,}123975}{0{,}01 \, n} = \dfrac{12{,}3975}{n}\]

Comme \(12{,}3975 \lt 12{,}5\) et \(n \gt 0\), on a \(\dfrac{12{,}3975}{n} \lt \dfrac{12{,}5}{n}\), d’où \(P(|F_n – 0{,}145| \geq\, 0{,}1) \leq\, \dfrac{12{,}5}{n}\).

c. Avec \(n = 1\,000\), l’inégalité précédente donne \(P(|F_{1000} – 0{,}145| \geq\, 0{,}1) \leq\, \dfrac{12{,}5}{1\,000} = 0{,}0125\). Or l’échantillon observé donne \(|0{,}3 – 0{,}145| = 0{,}155 \geq\, 0{,}1\) : il réalise un évènement dont la probabilité, en fonctionnement normal, est au plus de 1,25 %. Un tel écart est très peu probable si les serveurs fonctionnent normalement : le responsable a raison de soupçonner un dysfonctionnement (sans que ce soit une certitude).

Exercice 2 :

1. On applique la relation de récurrence avec \(u_0 = 2\) : \(u_1 = \dfrac{2 \times 2 + 1}{2 + 2} = \dfrac{5}{4}\), soit \(u_1 = 1{,}25\).

2. a. \(a_0 = \dfrac{u_0}{u_0 – 1} = \dfrac{2}{1} = 2\) et \(a_1 = \dfrac{1{,}25}{1{,}25 – 1} = \dfrac{1{,}25}{0{,}25} = 5\). Donc \(a_0 = 2\) et \(a_1 = 5\).

b. Soit \(n\) un entier naturel. Commençons par le dénominateur de \(a_{n+1}\) :

\[u_{n+1} – 1 = \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2} – \dfrac{u_n + 2}{u_n + 2} = \dfrac{u_n – 1}{u_n + 2}\]

On en déduit, en multipliant par l’inverse :

\[a_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1} – 1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 2} \times \dfrac{u_n + 2}{u_n – 1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n – 1}\]

D’autre part :

\[3a_n – 1 = \dfrac{3u_n}{u_n – 1} – \dfrac{u_n – 1}{u_n – 1} = \dfrac{3u_n – u_n + 1}{u_n – 1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n – 1}\]

Les deux expressions sont égales : pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n+1} = 3a_n – 1\).

c. Pour tout entier \(n \geq\, 1\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(a_n \geq\, 3n – 1\) ».

Initialisation. Pour \(n = 1\) : \(a_1 = 5\) et \(3 \times 1 – 1 = 2\). Comme \(5 \geq\, 2\), \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n \geq\, 1\) un entier tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \(a_n \geq\, 3n – 1\). En multipliant par 3 (nombre positif) puis en retirant 1 : \(3a_n – 1 \geq\, 9n – 4\), c’est-à-dire \(a_{n+1} \geq\, 9n – 4\) d’après la question b. Or \(9n – 4 – (3(n+1) – 1) = 9n – 4 – 3n – 2 = 6n – 6 = 6(n – 1) \geq\, 0\) puisque \(n \geq\, 1\). Donc \(a_{n+1} \geq\, 9n – 4 \geq\, 3(n+1) – 1\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, donc par récurrence \(a_n \geq\, 3n – 1\) pour tout entier \(n \geq\, 1\).

d. On a \(\lim\limits_{n \to +\infty} (3n – 1) = +\infty\) et \(a_n \geq\, 3n – 1\) pour tout \(n \geq\, 1\). Par le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = +\infty\).

3. a. Soit \(n\) un entier naturel. Le nombre \(a_n\) ne peut pas valoir 1 : sinon on aurait \(u_n = u_n – 1\), ce qui est impossible. De \(a_n = \dfrac{u_n}{u_n – 1}\), on tire \(a_n(u_n – 1) = u_n\), soit \(a_n u_n – u_n = a_n\), c’est-à-dire \(u_n(a_n – 1) = a_n\). Comme \(a_n – 1 \neq 0\), on peut diviser : \(u_n = \dfrac{a_n}{a_n – 1}\).

b. Pour \(n \geq\, 1\), \(a_n \geq\, 3n – 1 \gt 0\), et \(a_0 = 2\) : \(a_n\) n’est jamais nul, on peut donc diviser numérateur et dénominateur par \(a_n\) :

\[u_n = \dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{a_n}}\]

Comme \(\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = +\infty\), on a \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{a_n} = 0\), donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} (1 – \dfrac{1}{a_n}) = 1\) et, par quotient, \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1\).

4. a. La fonction part de \(u = u_0 = 2\) et \(n = 0\). À chaque passage dans la boucle, u est remplacé par le terme suivant de la suite et n augmente de 1 : la variable u contient donc toujours \(u_n\). La boucle continue tant que \(u_n – 1 \gt p\), c’est-à-dire tant que l’écart entre \(u_n\) et sa limite 1 dépasse \(p\) (cet écart est positif car la suite, décroissante et de limite 1, reste supérieure ou égale à 1). La fonction renvoie le premier indice \(n\) tel que \(u_n – 1 \leq\, p\), et la valeur \(u_n\) correspondante, premier terme de la suite situé à moins de \(p\) de sa limite.

b. En faisant tourner le programme, on obtient \(u_5 \approx 1{,}0027\) (écart supérieur à 0,001) et \(u_6 \approx 1{,}00091\) (écart inférieur à 0,001). Pour \(p = 0{,}001\), on obtient \(n = 6\).

Exercice 3 :

Affirmation 1 : vraie.

D’après la représentation paramétrique, \((d)\) passe par le point \((3 ; -1 ; 2)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}\). L’axe des ordonnées passe par O et est dirigé par \(\vec{\jmath}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\vec{u}\) est nulle mais pas les autres), donc les droites ne sont pas parallèles.

Cherchons un point commun. Un point de l’axe des ordonnées a ses coordonnées \(x\) et \(z\) nulles. Pour un point de \((d)\), \(x = 0\) impose \(3 – 2t = 0\), soit \(t = 1{,}5\), et alors \(z = 2 – 6 \times 1{,}5 = -7 \neq 0\). Aucun point de \((d)\) n’est donc sur l’axe des ordonnées : les droites ne sont pas sécantes.

Deux droites coplanaires sont soit parallèles, soit sécantes. Ici elles ne sont ni l’un ni l’autre : elles sont non coplanaires.

Affirmation 2 : vraie.

Un plan orthogonal à \((d)\) admet pour vecteur normal un vecteur directeur de \((d)\), par exemple \(\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = -\dfrac{1}{2}\vec{u}\). Son équation est donc de la forme \(x + 3z + d = 0\). Il passe par \(\text{A}(3 ; -3 ; -2)\), donc \(3 + 3 \times (-2) + d = 0\), soit \(d = 3\). Le plan cherché a bien pour équation \(x + 3z + 3 = 0\).

Affirmation 3 : fausse.

Coordonnées de C : l’abscisse vaut 2, donc \(3 – 2t = 2\), d’où \(t = \dfrac{1}{2}\), puis \(y = -1\) et \(z = 2 – 3 = -1\). Ainsi \(\text{C}(2 ; -1 ; -1)\).

On calcule \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Dans un repère orthonormé :

\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = 2 \times (-1) + (-1) \times 2 + 1 \times 1 = -3\]

\[\text{AB} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \quad \text{et} \quad \text{AC} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}\]

Comme \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos\widehat{\text{BAC}}\), on obtient \(\cos\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}\). L’angle géométrique, compris entre 0 et \(\pi\), vaut donc \(\dfrac{2\pi}{3}\), et non \(\dfrac{\pi}{6}\) (dont le cosinus est positif, \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)). L’affirmation est fausse : \(\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{2\pi}{3}\).

Affirmation 4 : vraie.

Le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) est normal au plan \(\mathcal{P}\). H est le point d’intersection de \(\mathcal{P}\) avec la droite passant par B et dirigée par \(\vec{n}\), qui a pour représentation paramétrique :

\[\begin{cases} x = 5 + k \\ y = -4 \\ z = -1 + 3k \end{cases} \quad k \in \mathbb{R}\]

On remplace dans l’équation de \(\mathcal{P}\) : \((5 + k) + 3(-1 + 3k) – 7 = 0\), soit \(10k – 5 = 0\), donc \(k = \dfrac{1}{2}\). Ainsi \(\text{H}(\dfrac{11}{2} ; -4 ; \dfrac{1}{2})\) et \(\vec{\text{BH}}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2}\vec{n}\).

\[\text{BH} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + 0 + \dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{10}{4}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}\]

L’affirmation est vraie : \(\text{BH} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}\).

Exercice 4 :

Partie A

1. Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction. Observons les deux courbes :

• la courbe \(\mathcal{C}_2\) est au-dessus de l’axe des abscisses sur \(]-2 ; 1[\) et en dessous sur \(]-\infty ; -2[\) et \(]1 ; +\infty[\) ;
• la fonction représentée par \(\mathcal{C}_1\) est décroissante sur \(]-\infty ; -2]\), croissante sur \([-2 ; 1]\), décroissante sur \([1 ; +\infty[\), avec un minimum en \(-2\) et un maximum en 1.

Les changements de signe de la fonction de \(\mathcal{C}_2\) correspondent exactement aux changements de variation de celle de \(\mathcal{C}_1\). À l’inverse, \(\mathcal{C}_2\) change de sens de variation vers \(x \approx -1{,}3\), alors que \(\mathcal{C}_1\) y est nettement en dessous de l’axe (vers \(-4{,}4\)) et ne s’y annule pas : \(\mathcal{C}_1\) ne peut pas représenter la dérivée de la fonction de \(\mathcal{C}_2\). Conclusion : \(\mathcal{C}_1\) représente \(g\) et \(\mathcal{C}_2\) représente \(g^{\prime}\).

2. La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \(y = g^{\prime}(0)(x – 0) + g(0)\). D’après l’énoncé, \(\mathcal{C}_1\) passe par \((0 ; 1)\), donc \(g(0) = 1\), et \(\mathcal{C}_2\) passe par \((0 ; 2)\), donc \(g^{\prime}(0) = 2\). L’équation réduite de la tangente est bien \(y = 2x + 1\).

Partie B

1. \(f_0\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables. Avec \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\), où \(u(x) = x^2 + 3x\) et \(v(x) = \text{e}^{-x}\) :

\[f_0^{\prime}(x) = (2x + 3)\text{e}^{-x} – (x^2 + 3x)\text{e}^{-x} = (-x^2 – x + 3)\text{e}^{-x}\]

\[f_0(x) + f_0^{\prime}(x) = (x^2 + 3x – x^2 – x + 3)\text{e}^{-x} = (2x + 3)\text{e}^{-x}\]

L’égalité est vraie pour tout réel \(x\) : \(f_0\) est une solution particulière de \((E)\).

2. \((E_0)\) s’écrit \(y^{\prime} = -y\), de la forme \(y^{\prime} = ay\) avec \(a = -1\). Ses solutions sont les fonctions \(x \mapsto k\,\text{e}^{-x}\), où \(k\) est un réel quelconque.

3. Les solutions de \((E)\) s’obtiennent en ajoutant à la solution particulière \(f_0\) les solutions de l’équation homogène \((E_0)\). Ce sont donc les fonctions \(x \mapsto (x^2 + 3x + k)\text{e}^{-x}\), avec \(k \in \mathbb{R}\).

4. Comme \(g\) est solution de \((E)\), il existe un réel \(k\) tel que \(g(x) = (x^2 + 3x + k)\text{e}^{-x}\). Or \(g(0) = 1\) (partie A) et \(g(0) = k \times \text{e}^0 = k\), donc \(k = 1\). Ainsi \(g(x) = (x^2 + 3x + 1)\text{e}^{-x}\).

5. Soit \(y_k(x) = (x^2 + 3x + k)\text{e}^{-x}\) une solution de \((E)\). En dérivant comme à la question 1 :

\[y_k^{\prime}(x) = (-x^2 – x + 3 – k)\text{e}^{-x}\]

\[y_k^{\prime\prime}(x) = (-2x – 1)\text{e}^{-x} – (-x^2 – x + 3 – k)\text{e}^{-x} = (x^2 – x + k – 4)\text{e}^{-x}\]

Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(y_k^{\prime\prime}(x)\) a le signe du trinôme \(x^2 – x + k – 4\). La courbe a un point d’inflexion là où la dérivée seconde s’annule en changeant de signe. Un trinôme change de signe exactement deux fois lorsque son discriminant est strictement positif (s’il est nul ou négatif, il garde un signe constant et il n’y a aucun point d’inflexion). Ici \(\Delta = (-1)^2 – 4(k – 4) = 17 – 4k\), et \(\Delta \gt 0 \iff k \lt \dfrac{17}{4}\).

Les solutions cherchées sont les fonctions \(x \mapsto (x^2 + 3x + k)\text{e}^{-x}\) avec \(k \lt \dfrac{17}{4}\).

Partie C

1. Pour tout réel \(x\), on développe : \(f(x) = x^2\text{e}^{-x} + 3x\text{e}^{-x} + 2\text{e}^{-x}\). Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^2\text{e}^{-x} = 0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} x\text{e}^{-x} = 0\). De plus \(\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} = 0\). Par somme, \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\).

2. a. Avec la formule de dérivation d’un produit :

\[f^{\prime}(x) = (2x + 3)\text{e}^{-x} – (x^2 + 3x + 2)\text{e}^{-x} = (-x^2 – x + 1)\text{e}^{-x}\]

ce qui est bien l’expression annoncée.

b. Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(-x^2 – x + 1\). Son discriminant vaut \(\Delta = (-1)^2 – 4 \times (-1) \times 1 = 5 \gt 0\), d’où deux racines :

\[x_1 = \dfrac{-1 – \sqrt{5}}{2} \approx -1{,}618 \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0{,}618\]

Le coefficient de \(x^2\) est \(-1\), négatif : le trinôme est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles. On en déduit le tableau :

\(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; x_1]\), croissante sur \([x_1 ; x_2]\) et décroissante sur \([x_2 ; +\infty[\). Pour information, \(f(x_1) = (2 – \sqrt{5})\text{e}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \approx -1{,}19\) et \(f(x_2) = (2 + \sqrt{5})\text{e}^{\frac{1 – \sqrt{5}}{2}} \approx 2{,}28\).

3. Pour \(x \geq\, 0\), on a \(x^2 \geq\, 0\) et \(3x \geq\, 0\), donc \(x^2 + 3x + 2 \geq\, 2 \gt 0\). Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), le produit \(f(x)\) est strictement positif : \(f\) est positive sur \([0 ; +\infty[\). (On peut aussi factoriser \(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\), dont les racines \(-2\) et \(-1\) sont négatives.)

4. La fonction \(f\) est continue et positive sur \([0 ; \alpha]\), donc l’aire cherchée est l’intégrale de \(f\) entre 0 et \(\alpha\). Avec la primitive \(F\) donnée :

\[\mathcal{A}(\alpha) = \int_0^{\alpha} f(x)\,\text{d}x = F(\alpha) – F(0) = (-\alpha^2 – 5\alpha – 7)\text{e}^{-\alpha} – (-7)\text{e}^{0}\]

Donc \(\mathcal{A}(\alpha) = 7 – (\alpha^2 + 5\alpha + 7)\text{e}^{-\alpha}\) unités d’aire. On remarque que cette aire tend vers 7 quand \(\alpha\) tend vers \(+\infty\).

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