Exercices de maths Terminale : Suites : limites et récurrence

Exercice 1Récurrence

1. Montrer par récurrence que pour tout \(n \geq 1\), \(1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).
2. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(4^n - 1\) est divisible par \(3\).

Exercice 2Récurrence et suite

\(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\).

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\).
2. Montrer par récurrence que \(0 \leq u_n \leq 3\) pour tout \(n\).
3. Montrer que \((u_n)\) est croissante.

Exercice 3Limites usuelles

Déterminer la limite de :

1. \(u_n = 3n^2 - 5n\)
2. \(v_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}} + 2\)
3. \(w_n = 0{,}7^n\)
4. \(t_n = -2 \times 1{,}3^n\)
5. \(s_n = (-1)^n\)

Exercice 4Formes indéterminées

Déterminer la limite de :

1. \(u_n = \dfrac{3n^2 - 1}{n^2 + n}\)
2. \(v_n = n^2 - 3n\)
3. \(w_n = \dfrac{2^n - 1}{2^n + 1}\)
4. \(t_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\)
5. \(s_n = \dfrac{n}{2^n}\) (admis : \(2^n \geq n^2\) pour \(n \geq 4\))

Exercice 5Comparaison

1. Montrer que \(u_n = n + \cos n\) tend vers \(+\infty\).
2. Montrer que \(v_n = \dfrac{\sin n}{n}\) tend vers \(0\).
3. Montrer que \(w_n = \dfrac{(-1)^n}{n^2 + 1}\) tend vers \(0\).

Exercice 6Suite géométrique

\(u_0 = 8\) et \(u_{n+1} = 0{,}75u_n + 1\). On pose \(v_n = u_n - 4\).

1. Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Limite de \((u_n)\) ?
4. Calculer \(S_n = u_0 + \dots + u_n\) et sa limite.

Exercice 7Monotonie et convergence

\(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2}{2}\).

1. Montrer par récurrence que \(u_n > 2\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
3. En déduire que \((u_n)\) converge. Déterminer sa limite.

Exercice 8Seuil

\(u_n = 1 - 0{,}9^n\).

1. Sens de variation et limite.
2. Déterminer le plus petit \(n\) tel que \(u_n > 0{,}99\) (par le calcul avec \(\ln\), puis vérifier par un algorithme).

Exercice 9Algorithme

def seuil(A):
    u = 2
    n = 0
    while u <= A:
        u = 3*u - 1
        n += 1
    return n

1. Quelle suite est étudiée ?
2. Que renvoie seuil(100) ?
3. Justifier que la boucle se termine.

Exercice 10Problème

Une population de poissons évolue selon \(p_{n+1} = 0{,}8p_n + 300\), avec \(p_0 = 1\,000\).

1. Calculer \(p_1\), \(p_2\).
2. Montrer que \(v_n = p_n - 1\,500\) est géométrique.
3. Exprimer \(p_n\) et déterminer sa limite. Interpréter.
4. La population dépasse-t-elle un jour \(1\,450\) ? À partir de quand ?