Sujet Liban 2023 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

De plus, vous consultez ici le sujet Liban 2023, avec l’énoncé intégral des exercices.

Voici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2023 de Madagascar et des centres étrangers du groupe 1, passé le 14 mars 2023, avec l’énoncé complet puis un corrigé détaillé de chaque question sur une page dédiée. En outre, on commence par un QCM de cinq questions : primitive de \(x\text{e}^x\), lecture d’une courbe avec maximum et point d’inflexion, paramètres d’une fonction à partir d’une limite, formule de Bayes avec deux urnes et script Python d’une somme d’inverses. Ensuite, le deuxième exercice étudie la suite \(u_{n+1}=\ln(2u_n+3)-1\) à l’aide d’une fonction auxiliaire et d’une récurrence. Par ailleurs, le troisième place une maison cubique et son garage surmonté d’un toit pyramidal dans un repère de l’espace. De plus, le dernier décide, avec une loi binomiale, si un jeu télévisé peut être programmé.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 à Mayotte et au Liban (jour 2).

Ensuite, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Sujet Liban 2023 : présentation de l’épreuve

Avant tout, précisons que ce sujet Liban 2023 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 à Mayotte et au Liban (jour 2) dans sa version intégrale. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5, 6, 6 et 3 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont la fonction exponentielle, la convexité, les limites et l’algorithmique en Python. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
Centres étrangers groupe 1 (dont Madagascar) — 14 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Groupe 1 (A) : Burkina Faso, Côte d’Ivoire, Ghana, Guinée, Mali, Mauritanie, Sénégal et Togo. En outre, Groupe 1 (B) : Algérie, Angola, Bénin, Cameroun, Congo, Gabon, Irlande, Niger, Nigeria, Portugal, République centrafricaine, République démocratique du Congo, Royaume-Uni, Tchad et Tunisie. Groupe 1 (C) : Belgique, Danemark, Égypte, Guinée équatoriale, Luxembourg, Norvège, Pays-Bas, Suède. Groupe 1 (D) : Afrique du Sud, Arabie saoudite, Bahreïn, Burundi, Comores, Djibouti, Éthiopie, Jordanie, Kenya, Koweït, Madagascar, Mozambique, Qatar. Ensuite, Groupe 1 (E) : Émirats arabes unis, Iran, République de Maurice.

Exercice 1 — QCM (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Question 1 :

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\text{e}^x\).

Une primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) est définie par :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(F(x)=\dfrac{x^2}{2}\text{e}^x\)	\(F(x)=(x-1)\text{e}^x\)	\(F(x)=(x+1)\text{e}^x\)	\(F(x)=\dfrac{2}{x}\text{e}^{x^2}\)

Question 2 :

La courbe \(\mathcal{C}\) ci-dessous représente une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\). On sait que :

le maximum de la fonction \(f\) est atteint au point d’abscisse 3 ;
le point P d’abscisse 5 est l’unique point d’inflexion de la courbe \(\mathcal{C}\).

On a :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
pour tout \(x\in\,]0\,;\,5[\), \(f(x)\) et \(f^{\prime}(x)\) sont de même signe ;	pour tout \(x\in\,]5\,;\,+\infty[\), \(f(x)\) et \(f^{\prime}(x)\) sont de même signe ;	pour tout \(x\in\,]0\,;\,5[\), \(f^{\prime}(x)\) et \(f^{\prime\prime}(x)\) sont de même signe ;	pour tout \(x\in\,]5\,;\,+\infty[\), \(f(x)\) et \(f^{\prime\prime}(x)\) sont de même signe.

Exercice 1 du sujet Liban 2023 : questions 3 à 5

Question 3 :

On considère la fonction \(g\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(g(t)=\dfrac{a}{b+\text{e}^{-t}}\) où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels.

On sait que \(g(0)=2\) et \(\lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=3\).

Les valeurs de \(a\) et \(b\) sont :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(a=2\) et \(b=3\)	\(a=4\) et \(b=\dfrac43\)	\(a=4\) et \(b=1\)	\(a=6\) et \(b=2\)

Question 4 :

Alice dispose de deux urnes A et B contenant chacune quatre boules indiscernables au toucher.

L’urne A contient deux boules vertes et deux boules rouges.

L’urne B contient trois boules vertes et une boule rouge.

Alice choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Elle obtient une boule verte.

La probabilité qu’elle ait choisi l’urne B est :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(\dfrac38\)	\(\dfrac12\)	\(\dfrac35\)	\(\dfrac58\)

Question 5 :

On pose \(S=1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\ldots+\dfrac{1}{100}\).

Parmi les scripts Python ci-dessous, celui qui permet de calculer la somme \(S\) est :

def somme_a():
    S = 0
    for k in range(100):
        S=1/(k+1)
    return S

def somme_b():
    S = 0
    for k in range(100) :
        S = S + 1/(k + 1)
    return S

def somme_c():
    k = 0
    while S < 100 :
        S = S+1/(k+1)
    return S

def somme_d():
    k = 0
    while k < 100:
        S = S + 1/(k + 1)
    return S

Exercice 2 (6 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-1{,}5\,;\,+\infty[\) par

\[f(x)=\ln(2x+3)-1.\]

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite \((u_n)\) définie par :

\(u_0=0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout entier naturel \(n\).

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction \(g\) définie sur \(]-1{,}5\,;\,+\infty[\) par \(g(x)=f(x)-x\).

1. Déterminer la limite de la fonction \(g\) en \(-1{,}5\).

On admet que la limite de la fonction \(g\) en \(+\infty\) est \(-\infty\).

2. Étudier les variations de la fonction \(g\) sur \(]-1{,}5\,;\,+\infty[\).

3. a. Démontrer que, dans l’intervalle \(]-0{,}5\,;\,+\infty[\), l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\).

b. Déterminer un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-2}\).

Partie B : Étude de la suite \((u_n)\)

On admet que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]-1{,}5\,;\,+\infty[\).

1. Soit \(x\) un nombre réel. Montrer que si \(x\in[-1\,;\,\alpha]\) alors \(f(x)\in[-1\,;\,\alpha]\).

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :

\[-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\,\alpha.\]

b. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.

Exercice 3 (6 points)

La figure ci-dessous correspond à la maquette d’un projet architectural.

Il s’agit d’une maison de forme cubique (ABCDEFGH) accolée à un garage de forme cubique (BIJKLMNO) où L est le milieu du segment [BF] et K est le milieu du segment [BC].

Le garage est surmonté d’un toit de forme pyramidale (LMNOP) de base carrée LMNO et de sommet P positionné sur la façade de la maison.

On munit l’espace du repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), avec \(\vec{\imath}=\dfrac12\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\jmath}=\dfrac12\vec{\text{AD}}\) et \(\vec{k}=\dfrac12\vec{\text{AE}}\).

1. a. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points H, M et N.

b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (HM).

2. L’architecte place le point P à l’intersection de la droite (HM) et du plan (BCF).

Montrer que les coordonnées de P sont \((2\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac43)\).

3. a. Calculer le produit scalaire \(\vec{\text{PM}}\cdot\vec{\text{PN}}\).

b. Calculer la distance PM.

On admet que la distance PN est égale à \(\dfrac{\sqrt{11}}{3}\).

c. Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l’angle \(\widehat{\text{MPN}}\) ne dépasse pas \(55^\circ\).

Le toit pourra-t-il être construit ?

4. Justifier que les droites (HM) et (EN) sont sécantes.

Quel est leur point d’intersection ?

Exercice 4 (3 points)

Une société de production s’interroge sur l’opportunité de programmer un jeu télévisé.

Ce jeu réunit quatre candidats et se déroule en deux phases :

La première phase est une phase de qualification. Cette phase ne dépend que du hasard. Pour chaque candidat, la probabilité de se qualifier est \(0{,}6\).
La deuxième phase est une compétition entre les candidats qualifiés. Elle n’a lieu que si deux candidats au moins sont qualifiés. Sa durée dépend du nombre de candidats qualifiés comme l’indique le tableau ci-dessous (lorsqu’il n’y a pas de deuxième phase, on considère que sa durée est nulle).

Nombre de candidats qualifiés pour la deuxième phase	0	1	2	3	4
Durée de la deuxième phase en minutes	0	0	5	9	11

Pour que la société décide de retenir ce jeu, il faut que les deux conditions suivantes soient vérifiées :

Condition n° 1 : La deuxième phase doit avoir lieu dans au moins 80 % des cas.

Condition n° 2 : La durée moyenne de la deuxième phase ne doit pas excéder 6 minutes.

Le jeu peut-il être retenu ?

Sujet Liban 2023 : méthode pour bien s’entraîner

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la fonction exponentielle ou la convexité, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article fonction exponentielle de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs qui coûtent des points

Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).

Questions fréquentes sur ce sujet Liban 2023

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la fonction exponentielle, la convexité et les limites, mais aussi l’algorithmique en Python.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 à Mayotte et au Liban (jour 2)

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