Bac maths 2021 Asie J1 : sujet et corrigé

Voici le sujet du jour 1 du bac de spécialité mathématiques 2021 en Asie, posé le 7 juin 2021, avec son corrigé détaillé question par question sur cette page. Trois exercices sont communs à tous et le candidat choisit ensuite l’exercice A ou l’exercice B. On suit d’abord les abonnés d’une influenceuse grâce à une suite arithmético-géométrique, avec récurrence, suite auxiliaire et programme Python. Vient ensuite un cube de 8 cm dans lequel on étudie le plan (PQR), le projeté orthogonal du centre et sa distance au plan. Le troisième exercice tire deux lettres dans un sac : dénombrement, gain algébrique et loi binomiale. L’exercice A étudie \(\ln(x^2+x+\frac{5}{2})\) et sa convexité, l’exercice B une équation différentielle et une fonction logistique décrivant l’accès des écoles à internet.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Jour 1
Asie — 7 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte 1 000 abonnés à son profil. On modélise le nombre d’abonnés ainsi : chaque année, elle perd 10 % de ses abonnés auxquels s’ajoutent 250 nouveaux abonnés.

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n\) le nombre d’abonnés à son profil en l’année \((2020+n)\), suivant cette modélisation. Ainsi \(u_0=1\,000\).

1. Calculer \(u_1\).

2. Justifier que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=0{,}9u_n+250\).

3. La fonction Python nommée « suite » est définie ci-dessous. Dans le contexte de l’exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite(10).

def suite( n) :
    u = 1000
    for i in range(n) :
        u = 0,9*u + 250
    return u

4. a. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leq\,2\,500\).

b. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

c. Déduire des questions précédentes que la suite \((u_n)\) est convergente.

5. Soit \((v_n)\) la suite définie par \(v_n=u_n-2\,500\) pour tout entier naturel \(n\).

a. Montrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(0{,}9\) et de terme initial \(v_0=-1\,500\).

b. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) et montrer que :

\[u_n=-1\,500\times 0{,}9^n+2\,500.\]

c. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) et interpréter dans le contexte de l’exercice.

6. Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d’abonnés dépassera 2 200.

Déterminer cette année.

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH d’arête 8 cm et de centre \(\Omega\).

Les points P, Q et R sont définis par \(\vec{\text{AP}}=\dfrac{3}{4}\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\text{AQ}}=\dfrac{3}{4}\vec{\text{AE}}\) et \(\vec{\text{FR}}=\dfrac{1}{4}\vec{\text{FG}}\).

On se place dans le repère orthonormé \((\text{A}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\) avec : \(\vec{\imath}=\dfrac{1}{8}\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\jmath}=\dfrac{1}{8}\vec{\text{AD}}\) et \(\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vec{\text{AE}}\).

Partie I

1. Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point R sont \((8~;~2~;~8)\).

Donner les coordonnées des points P et Q.

2. Montrer que le vecteur \(\vec{n}(1~;~-5~;~1)\) est un vecteur normal au plan (PQR).

3. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (PQR) est \(x-5y+z-6=0\).

Partie II

On note L le projeté orthogonal du point \(\Omega\) sur le plan (PQR).

1. Justifier que les coordonnées du point \(\Omega\) sont \((4~;~4~;~4)\).

2. Donner une représentation paramétrique de la droite \(d\) perpendiculaire au plan (PQR) et passant par \(\Omega\).

3. Montrer que les coordonnées du point L sont \((\dfrac{14}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{14}{3})\).

4. Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan (PQR).

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un sac contient les huit lettres suivantes : A B C D E F G H (2 voyelles et 6 consonnes).

Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac.

On gagne si le tirage est constitué d’une voyelle et d’une consonne.

1. Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac.

a. Déterminer le nombre de tirages possibles.

b. Déterminer la probabilité que le joueur gagne à ce jeu.

Les questions 2 et 3 de cet exercice sont indépendantes.

Pour la suite de l’exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à \(\dfrac{3}{7}\).

2. Pour jouer, le joueur doit payer \(k\) euros, \(k\) désignant un entier naturel non nul.

Si le joueur gagne, il remporte la somme de 10 euros, sinon il ne remporte rien.

On note \(G\) la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur (c’est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée).

a. Déterminer la loi de probabilité de \(G\).

b. Quelle doit être la valeur maximale de la somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur ?

3. Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie.

On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants.

a. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

b. Calculer la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\), qu’il y ait exactement quatre joueurs gagnants.

c. Calculer \(P(X\geq\,5)\) en arrondissant à \(10^{-3}\). Donner une interprétation du résultat obtenu.

d. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(P(X\leq\, n)\geq\,0{,}9\).

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B

Exercice A

Principaux domaines abordés : convexité ; fonction logarithme.

Partie I : lectures graphiques

\(f\) désigne une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée \(f^{\prime}\).

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes

1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction \(f\) en 0.

2. a. Donner les variations de la fonction dérivée \(f^{\prime}\).

b. En déduire un intervalle sur lequel \(f\) est convexe.

Partie II : étude de fonction

La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=\ln(x^2+x+\dfrac{5}{2}).\]

1. Calculer les limites de la fonction \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

2. Déterminer une expression \(f^{\prime}(x)\) de la fonction dérivée de \(f\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

3. En déduire le tableau des variations de \(f\). On veillera à placer les limites dans ce tableau.

4. a. Justifier que l’équation \(f(x)=2\) a une unique solution \(\alpha\) dans l’intervalle \([-\dfrac{1}{2}~;~+\infty[\).

b. Donner une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-1}\) près.

5. La fonction \(f^{\prime}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). On admet que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-2x^2-2x+4}{(x^2+x+\dfrac{5}{2})^2}\).

Déterminer le nombre de points d’inflexion de la courbe représentative de \(f\).

Exercice B

Principaux domaines abordés : étude de fonction, fonction exponentielle ; équations différentielles.

Partie I

Considérons l’équation différentielle

\[y^{\prime}=-0{,}4y+0{,}4\]

où \(y\) désigne une fonction de la variable \(t\), définie et dérivable sur \([0~;~+\infty[\).

1. a. Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.

b. En déduire l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.

c. Déterminer la fonction \(g\), solution de cette équation différentielle, qui vérifie \(g(0)=10\).

Partie II

Soit \(p\) la fonction définie et dérivable sur l’intervalle \([0~;~+\infty[\) par

\[p(t)=\dfrac{1}{g(t)}=\dfrac{1}{1+9\text{e}^{-0{,}4t}}.\]

1. Déterminer la limite de \(p\) en \(+\infty\).

2. Montrer que \(p^{\prime}(t)=\dfrac{3{,}6\text{e}^{-0{,}4t}}{(1+9\text{e}^{-0{,}4t})^2}\) pour tout \(t\in[0~;~+\infty[\).

3. a. Montrer que l’équation \(p(t)=\dfrac{1}{2}\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([0~;~+\infty[\).

b. Déterminer une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-1}\) près à l’aide d’une calculatrice.

Partie III

1. \(p\) désigne la fonction de la partie II.

Vérifier que \(p\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime}=0{,}4y(1-y)\) avec la condition initiale \(y(0)=\dfrac{1}{10}\) où \(y\) désigne une fonction définie et dérivable sur \([0~;~+\infty[\).

2. Dans un pays en voie de développement, en l’année 2020, 10 % des écoles ont accès à internet.

Une politique volontariste d’équipement est mise en œuvre et on s’intéresse à l’évolution de la proportion des écoles ayant accès à internet.

On note \(t\) le temps écoulé, exprimé en année, depuis l’année 2020.

La proportion des écoles ayant accès à internet à l’instant \(t\) est modélisée par \(p(t)\).

Interpréter dans ce contexte la limite de la question II 1 puis la valeur approchée de \(\alpha\) de la question II 3. b. ainsi que la valeur \(p(0)\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Perdre 10 % revient à garder 90 % des abonnés, puis on en ajoute 250 : \(u_1=1\,000\times 0{,}9+250=900+250\), soit \(u_1=1\,150\).

2. Passer de l’année \(2020+n\) à l’année \(2020+n+1\), c’est d’abord retirer 10 % des \(u_n\) abonnés, ce qui revient à multiplier par \(1-\dfrac{10}{100}=0{,}9\) : il en reste \(0{,}9u_n\). On ajoute ensuite les 250 nouveaux abonnés. Donc, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=0{,}9u_n+250\).

3. La fonction part de \(u=1\,000=u_0\) et applique \(n\) fois la relation de récurrence : elle renvoie \(u_n\). Ainsi suite(10) renvoie \(u_{10}\approx1\,977\), c’est-à-dire le nombre d’abonnés de l’influenceuse en 2030 selon le modèle. (En Python, le nombre décimal s’écrit 0.9 avec un point.)

4. a. Notons \(\mathcal{P}_n\) la propriété « \(u_n\leq\,2\,500\) ».

Initialisation : \(u_0=1\,000\leq\,2\,500\), donc \(\mathcal{P}_0\) est vraie.

Hérédité : supposons \(u_n\leq\,2\,500\) pour un entier \(n\) quelconque. En multipliant par \(0{,}9\gt 0\), l’ordre est conservé : \(0{,}9u_n\leq\,2\,250\). En ajoutant 250 : \(0{,}9u_n+250\leq\,2\,500\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\leq\,2\,500\). \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.

Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leq\,2\,500\).

b. Pour tout entier \(n\), \(u_{n+1}-u_n=0{,}9u_n+250-u_n=250-0{,}1u_n=0{,}1(2\,500-u_n)\). D’après la question a, \(2\,500-u_n\geq\,0\), donc \(u_{n+1}-u_n\geq\,0\) : la suite \((u_n)\) est croissante.

c. La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par 2 500. D’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente (et sa limite est inférieure ou égale à 2 500).

5. a. Pour tout entier \(n\) :

\[v_{n+1}=u_{n+1}-2\,500=0{,}9u_n+250-2\,500=0{,}9u_n-2\,250=0{,}9(u_n-2\,500)=0{,}9v_n.\]

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par \(0{,}9\) : \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}9\), de premier terme \(v_0=u_0-2\,500=1\,000-2\,500=-1\,500\).

b. Pour une suite géométrique, \(v_n=v_0\times q^n\), donc \(v_n=-1\,500\times 0{,}9^n\). Comme \(u_n=v_n+2\,500\), on obtient bien \(u_n=-1\,500\times 0{,}9^n+2\,500\).

c. Comme \(-1\lt 0{,}9\lt 1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^n=0\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}(-1\,500\times 0{,}9^n)=0\) et, par somme, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2\,500\).

Interprétation : à long terme, le nombre d’abonnés de l’influenceuse se rapprochera de 2 500, sans jamais dépasser cette valeur.

6. On calcule les termes successifs tant que le nombre d’abonnés ne dépasse pas 2 200, en comptant les années :

def annee() :
    u = 1000
    n = 0
    while u <= 2200 :
        u = 0.9*u + 250
        n = n + 1
    return 2020 + n

On peut aussi raisonner avec la formule explicite : \(u_n\gt 2\,200\iff-1\,500\times 0{,}9^n\gt -300\iff0{,}9^n\lt 0{,}2\iff n\ln(0{,}9)\lt \ln(0{,}2)\iff n\gt \dfrac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}9)}\approx15{,}28\) (on change le sens en divisant par \(\ln(0{,}9)\lt 0\)). Vérification : \(u_{15}\approx2\,191\) et \(u_{16}\approx2\,222\). Le plus petit entier qui convient est \(n=16\) : le programme renvoie 2036, et le nombre d’abonnés dépassera 2 200 en 2036.

Exercice 2 :

Partie I

1. L’arête mesure 8, donc \(\vec{\text{AB}}=8\vec{\imath}\) et \(\vec{\text{AE}}=8\vec{k}\). Alors \(\vec{\text{AP}}=\dfrac{3}{4}\times 8\vec{\imath}=6\vec{\imath}\) et \(\vec{\text{AQ}}=6\vec{k}\). D’où \(\text{P}(6~;~0~;~0)\) et \(\text{Q}(0~;~0~;~6)\).

2. On a \(\vec{\text{PQ}}(-6~;~0~;~6)\) et \(\vec{\text{PR}}(2~;~2~;~8)\). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\vec{\text{PQ}}\) est nulle, pas celle de \(\vec{\text{PR}}\)), ils dirigent donc le plan (PQR). Calculons les produits scalaires :

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{PQ}}=1\times (-6)+(-5)\times 0+1\times 6=0,\qquad\vec{n}\cdot\vec{\text{PR}}=1\times 2+(-5)\times 2+1\times 8=0.\]

\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (PQR) : c’est un vecteur normal au plan (PQR).

3. Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(1~;~-5~;~1)\) a une équation de la forme \(x-5y+z+d=0\). Le point \(\text{P}(6~;~0~;~0)\) lui appartient : \(6+d=0\), donc \(d=-6\). Une équation de (PQR) est \(x-5y+z-6=0\). (Contrôle : Q donne \(0-0+6-6=0\) et R donne \(8-10+8-6=0\).)

Partie II

1. Le centre \(\Omega\) du cube est le milieu de la grande diagonale [AG]. Avec \(\text{A}(0~;~0~;~0)\) et \(\text{G}(8~;~8~;~8)\), on obtient \(\Omega(4~;~4~;~4)\).

2. La droite \(d\) est perpendiculaire au plan (PQR), elle est donc dirigée par \(\vec{n}(1~;~-5~;~1)\), et elle passe par \(\Omega\). Une représentation paramétrique est :

\[d : \{\begin{array}{l}x=4+t\\y=4-5t\\z=4+t\end{array}.,\quad t\in\mathbb{R}.\]

3. L est le point d’intersection de \(d\) et de (PQR). On remplace \(x\), \(y\), \(z\) dans l’équation du plan :

\[(4+t)-5(4-5t)+(4+t)-6=0\iff27t-18=0\iff t=\dfrac{2}{3}.\]

On obtient \(x=4+\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{3}\), \(y=4-\dfrac{10}{3}=\dfrac{2}{3}\), \(z=\dfrac{14}{3}\). Donc \(\text{L}(\dfrac{14}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{14}{3})\).

4. La distance de \(\Omega\) au plan est la longueur \(\Omega\text{L}\). On a \(\vec{\Omega\text{L}}(\dfrac{2}{3}~;~-\dfrac{10}{3}~;~\dfrac{2}{3})\), donc :

\[\Omega\text{L}=\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{100}{9}+\dfrac{4}{9}}=\sqrt{\dfrac{108}{9}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.\]

Les unités du repère valant 1 cm, la distance de \(\Omega\) au plan (PQR) est \(2\sqrt{3}\ \text{cm}\approx3{,}46\ \text{cm}\).

Exercice 3 :

1. a. Un tirage simultané de deux lettres parmi huit est une combinaison de 2 éléments parmi 8. Le nombre de tirages possibles est \(\dbinom{8}{2}=\dfrac{8\times 7}{2}=28\).

b. Un tirage gagnant associe une voyelle (2 choix) et une consonne (6 choix) : il y en a \(2\times 6=12\). Les 28 tirages étant équiprobables, la probabilité de gagner est \(\dfrac{12}{28}=\dfrac{3}{7}\).

2. a. Si le joueur gagne (probabilité \(\dfrac{3}{7}\)), son gain algébrique vaut \(10-k\) ; s’il perd (probabilité \(\dfrac{4}{7}\)), il vaut \(-k\). La loi de \(G\) est :

\(g_i\)	\(-k\)	\(10-k\)
\(P(G=g_i)\)	\(\dfrac{4}{7}\)	\(\dfrac{3}{7}\)

b. Le jeu est favorable au joueur lorsque son espérance de gain est strictement positive. Or

\[E(G)=-k\times \dfrac{4}{7}+(10-k)\times \dfrac{3}{7}=\dfrac{30-7k}{7}.\]

\(E(G)\gt 0\iff30-7k\gt 0\iff k\lt \dfrac{30}{7}\approx4{,}29\). Comme \(k\) est un entier naturel non nul, la mise maximale pour que le jeu reste favorable est \(k=4\) euros (on a alors \(E(G)=\dfrac{2}{7}\approx0{,}29\) euro).

3. a. Chaque partie est une épreuve de Bernoulli dont le succès « le joueur gagne » a pour probabilité \(\dfrac{3}{7}\). Les lettres étant remises dans le sac, les 10 parties se déroulent dans les mêmes conditions et sont indépendantes. \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=\dfrac{3}{7}\).

b. \(P(X=4)=\dbinom{10}{4}(\dfrac{3}{7})^4(\dfrac{4}{7})^6=210\times (\dfrac{3}{7})^4\times (\dfrac{4}{7})^6\approx\) \(0{,}247\).

c. À la calculatrice, \(P(X\leq\,4)\approx0{,}5601\), donc \(P(X\geq\,5)=1-P(X\leq\,4)\approx\) \(0{,}440\).

Interprétation : sur dix joueurs, la probabilité qu’au moins la moitié d’entre eux gagnent est d’environ 0,44, soit un peu moins d’une chance sur deux.

d. La calculatrice donne les probabilités cumulées \(P(X\leq\,5)\approx0{,}782\) et \(P(X\leq\,6)\approx0{,}921\). La première est inférieure à 0,9, la seconde supérieure, et les probabilités cumulées augmentent avec \(n\) : le plus petit entier cherché est \(n=6\).

Exercice A :

Partie I : lectures graphiques

1. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse 0 est \(f^{\prime}(0)\). On lit sur la courbe de \(f^{\prime}\) qu’elle coupe l’axe des ordonnées à la hauteur du deuxième trait de quadrillage (chaque carreau vaut 0,2) : \(f^{\prime}(0)=0{,}4\).

2. a. Par lecture graphique, \(f^{\prime}\) est décroissante sur \(]-\infty~;~-2]\), croissante sur \([-2~;~1]\) et décroissante sur \([1~;~+\infty[\).

b. Une fonction dérivable est convexe sur un intervalle où sa dérivée est croissante. D’après a, \(f\) est convexe sur \([-2~;~1]\).

Partie II : étude de fonction

1. Notons \(u(x)=x^2+x+\dfrac{5}{2}\). En \(+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}u(x)=+\infty\) (somme de termes qui tendent vers \(+\infty\)). En \(-\infty\), on factorise par le terme de plus haut degré : \(u(x)=x^2(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{5}{2x^2})\) ; la parenthèse tend vers 1 et \(x^2\) vers \(+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to-\infty}u(x)=+\infty\). Comme \(\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty\), par composition :

\[\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.\]

2. Le trinôme \(u(x)\) a pour discriminant \(\Delta=1^2-4\times 1\times \dfrac{5}{2}=-9\lt 0\) : il garde le signe de son coefficient dominant, donc \(u(x)\gt 0\) pour tout réel \(x\), ce qui justifie que \(f\) est bien définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Avec \((\ln u)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}\) et \(u^{\prime}(x)=2x+1\) :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+\dfrac{5}{2}}.\]

3. Le dénominateur étant strictement positif, \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(2x+1\) : négatif pour \(x\lt -\dfrac{1}{2}\), nul en \(-\dfrac{1}{2}\), positif ensuite. Le minimum vaut \(f(-\dfrac{1}{2})=\ln(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2})=\ln\dfrac{9}{4}\approx0{,}81\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{1}{2}\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
variations de \(f\)	\(+\infty\)	\(\searrow\)	\(\ln\dfrac{9}{4}\)	\(\nearrow\)	\(+\infty\)

4. a. Sur \([-\dfrac{1}{2}~;~+\infty[\), \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, elle va de \(\ln\dfrac{9}{4}\approx0{,}81\) à \(+\infty\). Comme \(2\in[\ln\dfrac{9}{4}~;~+\infty[\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(f(x)=2\) admet une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle.

b. À la calculatrice : \(f(1{,}7)\approx1{,}96\lt 2\) et \(f(1{,}8)\approx2{,}02\gt 2\), donc \(1{,}7\lt \alpha\lt 1{,}8\) ; plus finement \(f(1{,}75)\approx1{,}990\lt 2\), donc \(1{,}75\lt \alpha\lt 1{,}8\) et \(\alpha\approx1{,}8\) à \(10^{-1}\) près. (On peut aussi résoudre exactement \(x^2+x+\dfrac{5}{2}=\text{e}^2\) : \(\alpha=\dfrac{-1+\sqrt{4\text{e}^2-9}}{2}\approx1{,}767\).)

5. Le dénominateur de \(f^{\prime\prime}(x)\) est un carré non nul, donc strictement positif : \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe du numérateur \(-2x^2-2x+4=-2(x^2+x-2)=-2(x+2)(x-1)\). Ce trinôme, de coefficient dominant \(-2\lt 0\), est négatif à l’extérieur de ses racines \(-2\) et 1 et positif entre elles :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(1\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime\prime}(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)

\(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe exactement en \(-2\) et en 1 : la courbe de \(f\) possède deux points d’inflexion, d’abscisses \(-2\) et 1 (ce qui confirme la lecture graphique de la partie I).

Exercice B :

Partie I

1. a. Une fonction constante \(y=K\) a une dérivée nulle ; elle est solution si \(0=-0{,}4K+0{,}4\), c’est-à-dire \(K=1\). La fonction constante égale à 1 est une solution particulière.

b. Les solutions de l’équation homogène \(y^{\prime}=-0{,}4y\) sont les fonctions \(t\mapsto C\text{e}^{-0{,}4t}\), \(C\in\mathbb{R}\). Les solutions de l’équation complète s’obtiennent en leur ajoutant la solution particulière : ce sont les fonctions \(t\mapsto C\text{e}^{-0{,}4t}+1\), avec \(C\in\mathbb{R}\).

c. \(g(0)=C\times \text{e}^0+1=C+1=10\), donc \(C=9\) et \(g(t)=1+9\text{e}^{-0{,}4t}\).

Partie II

1. Comme \(\lim\limits_{t\to+\infty}(-0{,}4t)=-\infty\) et \(\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\), on a \(\lim\limits_{t\to+\infty}9\text{e}^{-0{,}4t}=0\), donc \(\lim\limits_{t\to+\infty}(1+9\text{e}^{-0{,}4t})=1\) et, par quotient, \(\lim\limits_{t\to+\infty}p(t)=1\).

2. \(p=\dfrac{1}{g}\) avec \(g\) dérivable et strictement positive, donc \(p^{\prime}=-\dfrac{g^{\prime}}{g^2}\). Or \(g^{\prime}(t)=9\times (-0{,}4)\text{e}^{-0{,}4t}=-3{,}6\text{e}^{-0{,}4t}\). D’où, pour tout \(t\geq\,0\) :

\[p^{\prime}(t)=-\dfrac{-3{,}6\text{e}^{-0{,}4t}}{(1+9\text{e}^{-0{,}4t})^2}=\dfrac{3{,}6\text{e}^{-0{,}4t}}{(1+9\text{e}^{-0{,}4t})^2}.\]

3. a. D’après la question 2, \(p^{\prime}(t)\gt 0\) (une exponentielle et un carré non nul sont strictement positifs) : \(p\) est continue et strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\). De plus \(p(0)=\dfrac{1}{1+9}=0{,}1\) et \(\lim\limits_{t\to+\infty}p(t)=1\). Comme \(\dfrac{1}{2}\in[0{,}1~;~1[\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires montre que l’équation \(p(t)=\dfrac{1}{2}\) a une unique solution \(\alpha\) sur \([0~;~+\infty[\).

b. On peut encadrer à la calculatrice : \(p(5{,}4)\approx0{,}491\) et \(p(5{,}5)\approx0{,}501\). On peut aussi résoudre : \(p(t)=\dfrac{1}{2}\iff1+9\text{e}^{-0{,}4t}=2\iff\text{e}^{-0{,}4t}=\dfrac{1}{9}\iff-0{,}4t=-\ln9\iff t=\dfrac{\ln9}{0{,}4}\approx5{,}49\). Donc \(\alpha\approx5{,}5\) à \(10^{-1}\) près.

Partie III

1. Calculons \(0{,}4p(t)(1-p(t))\). On a \(1-p(t)=\dfrac{1+9\text{e}^{-0{,}4t}-1}{1+9\text{e}^{-0{,}4t}}=\dfrac{9\text{e}^{-0{,}4t}}{1+9\text{e}^{-0{,}4t}}\), donc :

\[0{,}4p(t)(1-p(t))=0{,}4\times \dfrac{1}{1+9\text{e}^{-0{,}4t}}\times \dfrac{9\text{e}^{-0{,}4t}}{1+9\text{e}^{-0{,}4t}}=\dfrac{3{,}6\text{e}^{-0{,}4t}}{(1+9\text{e}^{-0{,}4t})^2}=p^{\prime}(t).\]

De plus \(p(0)=\dfrac{1}{10}\). \(p\) est donc bien solution de \(y^{\prime}=0{,}4y(1-y)\) avec \(y(0)=\dfrac{1}{10}\).

2. On interprète chacune des trois valeurs dans le contexte des écoles :

\(p(0)=0{,}1\) : en 2020, 10 % des écoles ont accès à internet, ce qui correspond bien à la donnée de l’énoncé.
\(\alpha\approx5{,}5\) : la moitié des écoles aura accès à internet au bout d’environ 5 ans et demi, c’est-à-dire au cours de l’année 2025.
\(\lim\limits_{t\to+\infty}p(t)=1\) : à long terme, la quasi-totalité des écoles aura accès à internet (la proportion se rapproche de 100 %).

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