Bac 2021 Asie : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Ensuite, Voici le sujet du jour 1 du bac de spécialité mathématiques 2021 en Asie, posé le 7 juin 2021, avec son corrigé détaillé question par question sur une page dédiée. Trois exercices sont communs à tous et le candidat choisit ensuite l’exercice A ou l’exercice B. On suit d’abord les abonnés d’une influenceuse grâce à une suite arithmético-géométrique, avec récurrence, suite auxiliaire et programme Python. Vient ensuite un cube de 8 cm dans lequel on étudie le plan (PQR), le projeté orthogonal du centre et sa distance au plan. Par ailleurs, le troisième exercice tire deux lettres dans un sac : dénombrement, gain algébrique et loi binomiale. De plus, l’exercice A étudie \(\ln(x^2+x+\frac{5}{2})\) et sa convexité, l’exercice B une équation différentielle et une fonction logistique décrivant l’accès des écoles à internet.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2021 en Asie (jour 1).

Ensuite, vous préparez le bac de maths 2027 ? Par ailleurs, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Bac 2021 Asie : le sujet en un coup d’œil

Avant tout, précisons que ce bac 2021 Asie reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2021 en Asie (jour 1) dans sa version intégrale. En effet, l’épreuve se compose de 5 exercices indépendants. Côté programme, il faut notamment maîtriser les suites arithmético-géométriques, le raisonnement par récurrence, l’algorithmique en Python et la géométrie dans l’espace. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 48 minutes par exercice, relecture comprise. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Jour 1
Asie — 7 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte 1 000 abonnés à son profil. On modélise le nombre d’abonnés ainsi : chaque année, elle perd 10 % de ses abonnés auxquels s’ajoutent 250 nouveaux abonnés.

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n\) le nombre d’abonnés à son profil en l’année \((2020+n)\), suivant cette modélisation. Ainsi \(u_0=1\,000\).

1. Calculer \(u_1\).

2. Justifier que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=0{,}9u_n+250\).

3. La fonction Python nommée « suite » est définie ci-dessous. Dans le contexte de l’exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite(10).

def suite( n) :
    u = 1000
    for i in range(n) :
        u = 0,9*u + 250
    return u

4. a. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leq\,2\,500\).

b. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

c. Déduire des questions précédentes que la suite \((u_n)\) est convergente.

5. Soit \((v_n)\) la suite définie par \(v_n=u_n-2\,500\) pour tout entier naturel \(n\).

a. Montrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(0{,}9\) et de terme initial \(v_0=-1\,500\).

b. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) et montrer que :

\[u_n=-1\,500\times 0{,}9^n+2\,500.\]

c. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) et interpréter dans le contexte de l’exercice.

6. Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d’abonnés dépassera 2 200.

Déterminer cette année.

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH d’arête 8 cm et de centre \(\Omega\).

Les points P, Q et R sont définis par \(\vec{\text{AP}}=\dfrac{3}{4}\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\text{AQ}}=\dfrac{3}{4}\vec{\text{AE}}\) et \(\vec{\text{FR}}=\dfrac{1}{4}\vec{\text{FG}}\).

On se place dans le repère orthonormé \((\text{A}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\) avec : \(\vec{\imath}=\dfrac{1}{8}\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\jmath}=\dfrac{1}{8}\vec{\text{AD}}\) et \(\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vec{\text{AE}}\).

Partie I

1. Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point R sont \((8~;~2~;~8)\).

Donner les coordonnées des points P et Q.

2. Montrer que le vecteur \(\vec{n}(1~;~-5~;~1)\) est un vecteur normal au plan (PQR).

3. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (PQR) est \(x-5y+z-6=0\).

Partie II

On note L le projeté orthogonal du point \(\Omega\) sur le plan (PQR).

1. Justifier que les coordonnées du point \(\Omega\) sont \((4~;~4~;~4)\).

2. Donner une représentation paramétrique de la droite \(d\) perpendiculaire au plan (PQR) et passant par \(\Omega\).

3. Montrer que les coordonnées du point L sont \((\dfrac{14}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{14}{3})\).

4. Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan (PQR).

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un sac contient les huit lettres suivantes : A B C D E F G H (2 voyelles et 6 consonnes).

Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac.

On gagne si le tirage est constitué d’une voyelle et d’une consonne.

1. Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac.

a. Déterminer le nombre de tirages possibles.

b. Déterminer la probabilité que le joueur gagne à ce jeu.

Les questions 2 et 3 de cet exercice sont indépendantes.

Pour la suite de l’exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à \(\dfrac{3}{7}\).

2. Pour jouer, le joueur doit payer \(k\) euros, \(k\) désignant un entier naturel non nul.

Si le joueur gagne, il remporte la somme de 10 euros, sinon il ne remporte rien.

On note \(G\) la variable aléatoire égale au gain algébrique d’un joueur (c’est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée).

a. Déterminer la loi de probabilité de \(G\).

b. Quelle doit être la valeur maximale de la somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur ?

Exercice 3 du bac 2021 Asie : question 3

3. Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie.

On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants.

a. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

b. Calculer la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\), qu’il y ait exactement quatre joueurs gagnants.

c. Calculer \(P(X\geq\,5)\) en arrondissant à \(10^{-3}\). Donner une interprétation du résultat obtenu.

d. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(P(X\leq\, n)\geq\,0{,}9\).

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B

Exercice A

Principaux domaines abordés : convexité ; fonction logarithme.

Partie I : lectures graphiques

\(f\) désigne une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée \(f^{\prime}\).

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes

1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction \(f\) en 0.

2. a. Donner les variations de la fonction dérivée \(f^{\prime}\).

b. En déduire un intervalle sur lequel \(f\) est convexe.

Partie II : étude de fonction

La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=\ln(x^2+x+\dfrac{5}{2}).\]

1. Calculer les limites de la fonction \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

2. Déterminer une expression \(f^{\prime}(x)\) de la fonction dérivée de \(f\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

3. En déduire le tableau des variations de \(f\). On veillera à placer les limites dans ce tableau.

4. a. Justifier que l’équation \(f(x)=2\) a une unique solution \(\alpha\) dans l’intervalle \([-\dfrac{1}{2}~;~+\infty[\).

b. Donner une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-1}\) près.

5. La fonction \(f^{\prime}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). On admet que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-2x^2-2x+4}{(x^2+x+\dfrac{5}{2})^2}\).

Déterminer le nombre de points d’inflexion de la courbe représentative de \(f\).

Exercice B

Principaux domaines abordés : étude de fonction, fonction exponentielle ; équations différentielles.

Partie I

Considérons l’équation différentielle

\[y^{\prime}=-0{,}4y+0{,}4\]

où \(y\) désigne une fonction de la variable \(t\), définie et dérivable sur \([0~;~+\infty[\).

1. a. Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.

b. En déduire l’ensemble des solutions de cette équation différentielle.

c. Déterminer la fonction \(g\), solution de cette équation différentielle, qui vérifie \(g(0)=10\).

Partie II

Soit \(p\) la fonction définie et dérivable sur l’intervalle \([0~;~+\infty[\) par

\[p(t)=\dfrac{1}{g(t)}=\dfrac{1}{1+9\text{e}^{-0{,}4t}}.\]

1. Déterminer la limite de \(p\) en \(+\infty\).

2. Montrer que \(p^{\prime}(t)=\dfrac{3{,}6\text{e}^{-0{,}4t}}{(1+9\text{e}^{-0{,}4t})^2}\) pour tout \(t\in[0~;~+\infty[\).

3. a. Montrer que l’équation \(p(t)=\dfrac{1}{2}\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([0~;~+\infty[\).

b. Déterminer une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-1}\) près à l’aide d’une calculatrice.

Partie III

1. \(p\) désigne la fonction de la partie II.

Vérifier que \(p\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime}=0{,}4y(1-y)\) avec la condition initiale \(y(0)=\dfrac{1}{10}\) où \(y\) désigne une fonction définie et dérivable sur \([0~;~+\infty[\).

2. Dans un pays en voie de développement, en l’année 2020, 10 % des écoles ont accès à internet.

Une politique volontariste d’équipement est mise en œuvre et on s’intéresse à l’évolution de la proportion des écoles ayant accès à internet.

On note \(t\) le temps écoulé, exprimé en année, depuis l’année 2020.

La proportion des écoles ayant accès à internet à l’instant \(t\) est modélisée par \(p(t)\).

Interpréter dans ce contexte la limite de la question II 1 puis la valeur approchée de \(\alpha\) de la question II 3. b. ainsi que la valeur \(p(0)\).

Bac 2021 Asie : conseils de révision

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les suites arithmético-géométriques ou le raisonnement par récurrence. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article suites arithmético-géométriques de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Points de vigilance

Pour une suite arithmético-géométrique, c’est la suite auxiliaire qui est géométrique : calculez sa raison avec soin avant de revenir à la suite de départ.
Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.
Pour un programme Python, faites tourner la boucle à la main sur deux ou trois tours : la condition d’arrêt du while est souvent le piège.

Questions fréquentes sur ce bac 2021 Asie

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les suites arithmético-géométriques, le raisonnement par récurrence et l’algorithmique en Python, mais aussi la géométrie dans l’espace.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2021 en Asie (jour 1)

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